专题06 平行四边形及其判定（包含多边形）12大题型分类专训（期末真题汇编，浙江专用）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 专题聚焦平行四边形及其判定，涵盖12大高频考点，精选浙江多地期末真题，注重基础巩固与综合应用能力梯度培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|多题覆盖|多边形内角和、平行四边形性质（角度/线段/面积）|结合地方文化情境（椒江剪纸、八卦田）| |解答题|综合大题为主|判定证明、性质与判定综合（压轴题）|网格作图考查空间观念，综合题融合性质与判定（如考点12菱形与平行四边形综合）|

专题06 平行四边形及其判定 （包含多边形） 12大高频考点概览 考点01 多边形对角线条数问题 考点07利用四边形的性质证明（重点题型） 考点02多边形内角和问题 考点08平行四边形的性质中作图题（重点题型） 考点03多边形内角和与外角和综合（重点题型） 考点09证明四边形是平行四边形（高频题型） 考点04利用平行四边形的性质求角度（高频题型） 考点10添加一个条件使得成为平行四边形（高频题型） 考点05利用平行四边形的性质求线段（基础题型） 考点11利用平行四边形的性质与判定求解（重点题型） 考点06利用平行四边形的性质求面积（高频题型） 考点12平行四边形的性质与判定综合（压轴题） 地 城 考点01 多边形对角线条数问题 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形的对角线的总条数为（    ） A．40 B．30 C．20 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可，熟知n边形的对角线条数是是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形为n边形， 由题意得，， ∴， ∴这个多边形为八边形， ∴这个多边形可连对角线的条数是 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列量中一定没有发生变化的是（    ） A．内角度数 B．内角和度数 C．对角线条数 D．外角和度数 【答案】D 【分析】根据多边形外角和一定为360度即可得到答案． 【详解】解：∵一个多边形去掉一个角后得到的多边形可能边数增加，也由可能边数减小，也有可能不变， ∴内角度数，内角和度数，对角线条数都可能会发生变化， 又∵多边形外角和度数都为360度， ∴外角和度数一定不会发生变化， 故选D． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和，外角和，对角线条数等问题，熟知多边形外角和都为360度是解题的关键． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）若一个多边形的内角和为，则从该多边形的一个顶点出发的对角线条数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和多边形内角和公式求出多边形的边数，根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则（n-2）×180°=900°， 解得n=7， 从七边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：7-3=4， 故选：B． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角、多边形的对角线，掌握n边形的内角和等于（n-2）×180°、从n边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是n-3是解题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（  ） A．条 B．条 C．3条 D．条 【答案】C 【分析】根据由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线解答即可． 【详解】解：由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线， 故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键． 地 城 考点02 多边形内角和问题 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在四边形中，与互补，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角，利用四边形内角和为及互补角的性质求解． 【详解】解：四边形的内角和为， ∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在四边形中，，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形的内角和是360度的实际运用．根据多边形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了四边形内角和360度，根据，，以及四边形内角和360度进行列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：在四边形中，，， ∴ 则 解得， 故选：C 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）椒江章安剪纸是台州市非物质文化遗产代表性项目．如图是小明的窗花剪纸，外形为正八边形，则它的内角和为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和．熟练掌握多边形内角和公式，是解题的关键．多边形的内角和公式，n是边数． 直接利用多边形的内角和解答． 【详解】． 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，多边形内角和，解题的关键是掌握多边形内角和． 由三角形外角的性质，多边形内角和，转化为五边形内角和，即可列式求解， 【详解】解： ． ∴． 故选：C． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图所示窗框的形状是六边形，则六边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据n边形的内角和为进行求解即可． 【详解】解：六边形的内角和是， 故选：C． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的内角和为______． 【答案】/1080度 【分析】本题考查了多边形内角和，根据多边形的内角和公式即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 地 城 考点03 多边形内角和与外角和综合 1．（24-25八年级下·浙江·期中）一个多边形的内角和是外角和的五倍，求这个正多边形的边数（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】因为一个多边形的外角和是，再根据n边形内角和公式进行作答即可． 【详解】解：设这个多边形为n边形， 依题意得， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了n边形内角和公式，以及多边形的外角和是，难度较小． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在n边形中，设的外角的度数为α，与不相邻的个内角的和为β．若，则_____． 【答案】6 【分析】题目主要考查多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用，熟练掌握多边形的内角和与外角和的关系是解题关键． 利用多边形的内角和与外角定义列得方程，解方程求得n的值即可． 【详解】解：在n边形中，设的外角的度数为α， 则的度数为， ∵与不相邻的个内角的和为β， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：6． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小540°，则这个多边形的边数为______． 【答案】7 【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得（n-2）·180°=360°+540°， 解得：n=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、解一元一次方程，熟知多边形的外角和等于360°，内角和等于（n-2）·180°是解题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在平行四边形中，，则______． 【答案】/135度 【分析】利用和互补，加上已知的角度之比可得度数，那么． 题目主要考查平行四边形的对角相等，邻角互补，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 地 城 考点04 利用平行四边形的性质求角度 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）在平行四边形中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，对角相等，即， 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在平行四边形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，中，平分，交边于点E，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，平分交于点．若，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行四边形的性质求，再根据平行四边形的性质求． 【详解】在中，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期末）在中，，则___________度． 【答案】135 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质．由平行四边形的性质得，则，而，所以，求得，据此求解即可得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． 地 城 考点05 利用平行四边形的性质求线段 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，，和分别是和的角平分线，交于点E和点F，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定，根据平行四边形的性质得出，，，根据等腰三角形的判定得出，，最后得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵和分别是和的角平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，的对角线，相交于点，．若，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，平行四边形中对角线互相平分这一性质是解决本题的关键 根据平行四边形的性质，即“平行四边形的对角线互相平方”可求解与，再由勾股定理求解即可 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 又∵，即 ∴在中， 由勾股定理可得． 故选：A ． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，是对角线的交点．已知的周长为50，，，则的长为（   ）． A．18 B．20 C．22 D．26 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等，对角线互相平分是解题的关键．先根据平行四边形的性质得到，再根据的周长为50求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵的周长为50， ∴， ∴， 故选C． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，角平分线的定义，推出，再根据线段的和差关系，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A 5．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，在中，的平分线交的延长线于点，若，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，由的平分线交的延长线于点E，得，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，再根据计算即可． 【详解】解：∵的平分线交的延长线于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，在中，对角线，交于点O，，若，，则的长是______． 【答案】20 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，由平行四边形的性质得，，由，得，则，所以，于是得到问题的答案，推导出，进而求得是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，交于点O，， ，， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：20． 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，的平分线交于点E，的平分线交于点F，则线段的长是________． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键． 根据平行四边形的性质，结合角平分线的定义，得到等腰和等腰，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】在中，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：3 8．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，点E在边上，且，对角线平分，若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据平行四边形的性质得出，，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，，根据勾股定理求出． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 9．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，平分交边于点，且，则的周长为______． 【答案】18 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，得出是解题关键． 利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出，再求出的周长． 【详解】解：∵平分交边于点， ， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：18． 地 城 考点06 利用平行四边形的性质求面积 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在 中，，分别是和的中点，是上的一个动点，从点运动到点在点的运动过程中，与的面积之和（  ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大再变小 【答案】A 【分析】由三角形的面积公式得到，而，即可得到，即可得到答案． 本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由三角形和平行四边形的面积公式得到． 【详解】解：，分别是和的中点， ，， ， ， ， ， 与的面积之和不变． 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中线，三角形全等的判定和性质，以及三角形的面积； 根据题意证明，从而得到，，再根据，，即可求得四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，点是中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，对角线交于点O，点F为上一点，若，，且，，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等高三角形面积的比等于底的比等知识．设，由，得，由平行四边形的性质得，，由，得，则，由，，推导出，得出，则，再求得，进而可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线，交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，中，为钝角，以为边向外作，为钝角，连结，．设的面积分别为，则的面积可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，理解平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 如图，过作于，交的延长线于，过作于，过作于，交于，再证明四边形是矩形，结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过作于，交的延长线于，过作于，过作于，交于， ∵平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 故选：C． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，点E、F分别是平行四边形边上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，，，则阴影部分四边形的面积为（    ） A．17 B．19 C．18 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形性质．利用平行四边形的性质可得，进而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ∴， 设，，，则，，， ∴， ， 即阴影部分四边形的面积为25； 故选：D． 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，的面积是32，点E，G在上，点F，H在上，且，，点M，N在上，点P在上，则阴影部分的面积是______． 【答案】16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的计算，根据平行四边形的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：16． 地 城 考点07 利用四边形的性质证明 1．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点和点，的垂直平分线分别交于点和点与的延长线相交于点． (1)若的长为，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形及多边形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，可得的周长为的长，据此即可求得； （2）首先由，可得，，再根据三角形的内角和定理，可求得，，再根据四边形的内角和定理，即可求得． 【详解】（1）解：∵、的垂直平分线分别交于E、G两点， ∴，， 的周长； （2）解：由（1）知，， ∴，， ，， ， ， ， ，， ， ． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，点E是的边的中点，延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形性质、勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键． （1）要证明即可证明； （2）根据（1）中的结论和勾股定理、平行四边形的性质可以求得的长． 【详解】（1）明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，，以点C为圆心，为半径作弧，交边于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题关键． （1）由平行四边形的性质可得，由作法可知，，进而得到，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质可得，，，再在直角三角形中，利用勾股定理先求出，再求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 由作法可知，， ， ； （2）解：，， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ∴在中，， ∴在中，， ∴的长为． 4．（24-25八年级下·广西防城港·期末）如图，在中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质．熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，，由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，证得，即可证得结论； （2）先由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 又平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ，， ． 5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，分别过点B、D作，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)连结，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）证明，则； （2）由，，可得，即，由，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，在上，点，在上． (1)若，，求的度数； (2)若四边形是平行四边形，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，由平行四边形的性质可得出答案； （2）由平行四边形的性质得出，，则可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （2）证明：四边形和四边形是平行四边形， ，， ，即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 地 城 考点08 平行四边形的性质中作图题 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1． (1)以为边在图1中画一个平行四边形，使每个顶点都在格点上，且面积为12； (2)以为对角线在图2中画一个平行四边形（非正方形），使每个顶点都在格点上，且面积为10． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作一个底为3，高为4的以为边的平行四边形即可； （2）作一个底为5，高为2的以AB为对角线的平行四边形即可． 【详解】（1）如图1，四边形ABCD即为所求； （2）如图2，四边形ACBD即为所求； 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，平行四边形的面积和性质等知识，熟练掌握知识点并学会利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，在的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点和点都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图． (1)图1中，以为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6； (2)图2中，以为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10． （温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据平行四边形的面积公式及对边平行的性质即可求解； (2)根据平行四边形的面积公式，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】（1）解：如下图所示，均以AB为边作平行四边形，且面积为6． （2）解：如下图所示，均以AB为对角线作平行四边形，且面积为10． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、性质及平行四边形的面积公式等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）在下面的正方形网格中，按要求用无刻度的直尺作图，且所作图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，作一个以为对角线的矩形． (2)在图2中，作一个以为边，且面积为15的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定，矩形的判定和性质． （1）根据矩形的判定作出图形； （2）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可． 【详解】（1）解：如图1，四边形是矩形，即为所求； （2）解：如图2，或均符合要求． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． (1)图1中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； (2)图2中，在边上找一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质，全等三角形的性质． （1）根据网格的特点以为对角线，作平行四边形，对角线交于点，即可求解； （2）根据网格的特点作，找到的格点的对角线交于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求 地 城 考点09 证明四边形是平行四边形 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，，的平分线交于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线可得，进而得到，从而得出结论； （2）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的性质得到，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， ， 的平分线交于点E， ， ， ． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，菱形中，，点分别是上的点，，连接． (1)求证：； (2)以为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角、平行四边形的判定等知识点． （1）由菱形的性质可得，易证是等边三角形可得，再结合，即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由可得．即，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：∵菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、等边对等角等知识，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据矩形的性质和已知即可证明四边形是平行四边形； （2）先求出，由矩形的性质和等边对等角得到，最后由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 在矩形中，， ∴， 在中，． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知 ． (1)如图，是上一点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，连结，．求证：四边形是平行四边形． (2)图中 的四个顶点在 的边上，这样的四边形叫 的内接四边形．在图中用直尺和圆规作一个 的内接菱形保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定与性质、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 对于（1），由题意可知，再根据平行四边形的性质可得，则可知四边形是平行四边形． 对于（2），结合平行四边形的性质、菱形的性质画图即可． 【详解】（1）证明：由作图可得， 四边形为平行四边形， ∴，即， 四边形是平行四边形． （2）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接， 则菱形即为所求答案不唯一． 由作图可知： ∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 6．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，在中，D，E，F分别是边的中点，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，若四边形是菱形，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】由三角形中位线定理可求，，即可求解； 由菱形的性质可得，可证，由等腰三角形的性质可得，，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：，E，F分别是边的中点， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形， ， ，E分别是边的中点， ，， ， 是边的中点， ，， 在中，，， ， 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 7．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四变形的判定方法和性质，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，进而推出，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，结合三角形的内角和定理以及对顶角相等，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中， ∴， ∵点E，F分别在的延长线上，且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，点、分别在、上，分别交、于点、，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，连接，若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． （1）先证得，再利用等量代换证得，证得，即可证明结论； （2）利用角平分线的定义和平行线的定义可证得，可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 地 城 考点10 添加一个条件使得成为平行四边形 1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，在四边形中，，是对角线，要使四边形为平行四边形，可添加条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A、添加后，四边形一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，有可能为等腰梯形，不合题意； B、添加，得出，不能判定为平行四边形，不符合题意； C、添加，得出，不能判定为平行四边形，不合题意； D、添加，根据一组对比平行且相等的四边形是平行四边形可以判定为平行四边形，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，，添加下列条件后不能使四边形成为平行四边形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，分别分析每个选项，根据平行四边形的判定和全等三角形的判定和性质进行求证即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，故，，， A. 添加，则，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形； B. 添加，则又∵， ∴四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形； C. 添加，则，，， ∴ ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形； D. 添加，无法证明四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件不能使四边形成为平行四边形； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，根据题意可知两组对边分别平行的四边形即是平行四边形，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵两组对边分别平行的四边形为平行四边形， ∴四边形是平行四边形， 故选：D． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，点是边的中点，点是边上一点，则下列条件中，不能说明四边形为平行四边形的是（    ） A．为的中点 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质，得出，，根据中点得出，根据平行四边形的判定逐项判断即可，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：∵在中，点是边的中点， ∴，，， ∴， A、为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、，不能说明四边形为平行四边形，符合题意； C、， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则可添加的条件为______．（不添加任何辅助线，写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行求解即可． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 地 城 考点11 利用平行四边形的性质与判定求解 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，E，F分别为，上的点，，连结，，过点D作，交的延长线于点G，连结．若要知道矩形的面积，则只需要知道下列哪个图形的面积？该图形是（    ） A． B． C．四边形 D．四边形 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由三角形的面积公式可求，通过证明四边形AFCE是平行四边形，可得，可得，由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，点在线段上，射线，连结，以为邻边作 ，连结，记的长为的长为．若，，，则在点的运动过程中，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理． 先根据题意求出，，再分别代入四个选项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴在线段上，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即 ∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则，值随着改变； ，值随着改变； ，值随着改变； ，值不变； 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接相交于于点，根据折叠的性质可得，进而得出四边形是平行四边形，设，则，，在中，利用勾股定理列出方程，求得，进而可得． 【详解】解：连接相交于于点， 将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处， ，，， ， 又将沿折叠，点恰好落在上的点处，， ，，，， ， ， ， ， ， 又四边形是矩形，， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则，， ，， ， ，， 在中，， 即， 化简方程解得，， ， 舍去， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质等知识，掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形中，，，，过点B作于点E，点F为上一动点，连接，取中点G，连接，，，若面积为面积的，则的长度是________． 【答案】或 【分析】先证明为等腰直角三角形，得出，分两种情况：①当点G在内部时；②当点G在的外部时，画出对应的示意图，过点G作于点N，利用全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式等知识即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 当点G在内部时，过点G作于点N，如图所示： 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点G为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵面积为面积的， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； 当点G在的外部时，过点G作于点N，如图所示： 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点G为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； ∴综上分析可知：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积计算，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，注意分类讨论． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在矩形中，，过点作垂直交于点，连接，若直线恰好经过的中点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，延长交的延长线于点，交于点，证明，得出，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交的延长线于点，交于点， 依题意，是的中点，则， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 又∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n． （1）若点P是平行四边形的对称中心，则________； （2）平行四边形的面积为________（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、三角形中位线的判定及性质，中心对称的性质． （1）连接、，根据平行四边形的判定及性质得出四边形，，，，，为平行四边形，再根据中心对称的性质得出点E，F，G，H分别为，，，的中点，设四边形面积为，即可得到则，，再作比即可得出答案； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，分别表示出，，，再根据图形的面积和整理即可得出答案． 【详解】（1）连接、 四边形为平行四边形 ，    ，，，， ，， 四边形，，，，，为平行四边形， 点P是平行四边形的对称中心， 点E，F，G，H分别为，，，的中点， ∴平行四边形，，，的面积都相等，且等于四边形面积的， 设四边形面积为，则， ，，， ∴， ， 故答案为：； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， 故答案为：． 地 城 考点12 平行四边形的性质与判定综合 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，菱形中，，点在对角线上，交于点，交于点．    (1)求的度数； (2)连结，当时，判断与的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的性质． （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等即可解决问题； （2）连接，根据菱形的对称性，证得，，然后利用菱形的性质和三角形内角和定理证明，得，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：，理由如下： 连接，   四边形是菱形， ∴点B与点D关于对称， ∴，， 菱形中，，， ， ， ， ∴ ， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ， ， ． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，边长为4的正方形，E为边上的动点（不与A，B重合），连结，以为边向右上方作正方形，边与交于点H，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)如图2，连结，过点C作于点N，交于点K．求证：点K为的中点． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，作辅助线构造特殊三角形是解题关键． （1）根据正方形的性质，得出，，，，证明即可证明结论； （2）连结，设，，由勾股定理得，，在中，，由此列方程解出x的值； （3）延长，作于，作于，由，，得，推出，得到同理可证得到故以、、、为顶点的四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得对角线、互相平分即为中点． 【详解】（1）证明：四边形和四边形均为正方形 ，，， ， ， ． （2）连结，设，， ，， 在中，． ∵在中，， ， 解得（舍去），， ． （3）延长，作于，作于， ∴， ∴， 在和中，， ， 同理可证， ， 故以、、、为顶点的四边形是平行四边形 对角线、互相平分 即为中点． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，分别是，的中点，延长至点，使，连结，，． (1)从条件①；②中选择合适的一个，完成四边形为矩形的证明． (2)在（1）的结论下，若平分，且，求四边形的面积． 【答案】(1)选择①；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，，得出四边形为平行四边形，选择①，根据等腰三角形性质，证明，再根据矩形的判定证明四边形为矩形即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再证明，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理得出，根据平行四边形的面积公式得出． 【详解】（1）解：选择条件①；不能选择条件②； ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 选择①， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， ∵四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图1，正方形中，点在边上，连接，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，过点作于点，连接． ①求证：； ②设长为，长为，求的面积（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析 ② 【分析】（1）由四边形是正方形可得，又由可得出四边形为平行四边形，由此结论得证； （2）①连接，结合（1）可知四边形为平行四边形，再根据正方形的性质可证得，再利用三角形全等的性质即可得证； ②设，则，由①可知，根据四边形是正方形可得，，再利用勾股定理与乘法公式的变形的运用即可求出的面积． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2）①如图，连接， 由（1）得四边形为平行四边形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， （SAS）， ，， ， ，即为等腰直角三角形， ， ， ； ②设，则， 四边形是正方形， ，由①得， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在中，M是的中点，连结并延长交的延长线于点N，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连结，若，． ①求证； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②10 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据得到，然后证明，得到，即可证明其为平行四边形； （2）①证明出，由平行四边形得到，再由等腰三角形三线合一即可证明；②先由勾股定理求解，再由平行四边形对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）①证明：在中，，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ②解：在中，， 在中，， ． 7．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．    (1)如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (3)当点落在的边上时，求点之间的距离． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)4或或． 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理． （1）先证，再由已知平行四边形即可； （2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，结合勾股定理即可计算； （3）分情况：当点落在边上时，如图2；当点落在边上时，如图3，连结交于点；当点落在边上时，如图4，连结交于点，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴四边形为平行四边形； （2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点， 连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，    在中， ∵ ∴ 由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 即，解得， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 由平行四边形的中心对称性，得; （3）当点落在边上时，如图2，    由折叠可知，，， ∵ ∴ 在平行四边形中，， ∴四边形是平行四边形 ∴ 在中， ∴ ∴ 当点落在边上时，如图3，连结交于点 由平行四边形的中心对称性，得， 由翻折，得， ∴， ∴， 在中， ∴ 由勾股定理，得 当点落在边上时，如图4，连结交于点， 由折叠可知，则垂直平分， 由轴对称性可知垂直平分，    ∴点与点重合 过点作的垂线交于点， 在中，，， 由勾股定理，得． 综上所述，点之间的距离为4或或． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点D在边上（不与点B，C重合），且，过点D作，分别交的延长线和于点P和点Q． (1)求证：． (2)若点Q是线段的中点，探索与的数量关系． (3)若的形状和大小都确定，说说的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 (3)的值是定值，这个定值是边上的高的2倍 【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，根据余角性质得出，即可证明结论； （2）过点P作，交的延长线于点E，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）过点A作于点M，延长至点E，使，连接，延长交于点F，证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，证明垂直平分，得出，说明，即可得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点P作，交的延长线于点E，如图所示： 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值是定值，这个定值是边上的高的2倍． 理由：过点A作于点M，延长至点E，使，连接，延长交于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值是定值，这个定值是边上的高的2倍． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06平行四边形及其判定 ☆12大高频考点概览 考点01多边形对角线条数问题 考点07利用四边形的性质证明（重点题型） 考点02多边形内角和问题 考点08平行四边形的性质中作图题（重点题型） 考点03多边形内角和与外角和综合（重点题型） 考点09证明四边形是平行四边形（高频题型） 考点04利用平行四边形的性质求角度（高频题型） 考点10添加一个条件使得成为平行四边形（高频题型） 考点05利用平行四边形的性质求线段（基础题型） 考点11利用平行四边形的性质与判定求解（重点题型） 考点06利用平行四边形的性质求面积（高频题型） 考点12平行四边形的性质与判定综合（压轴题） 目目 考点01 多边形对角线条数问题 1.(24-25八年级下·浙江嘉兴期末)已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的对角线的总条数为 () A.40 B.30 C.20 D.5 2.(24-25八年级下·浙江嘉兴期末)一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形， 下列量中一定没有发生变化的是() A.内角度数 B.内角和度数 C.对角线条数 D.外角和度数 3.(24-25八年级下·浙江嘉兴·期末)若一个多边形的内角和为900°，则从该多边形的一个顶点出发的对角 线条数是() A.3 B.4 C.5 D.6 4.(24-25八年级下·浙江杭州期末)从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为() A.5条 B.4条 C.3条 D.2条 目目 考点02 多边形内角和问题 1.(24-25八年级下·浙江杭州期末)在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B=120°，则∠D=() A.60° B.90° C.120° D.150° 2.(24-25八年级下·浙江金华.期末)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,∠A=∠C=100°，则∠D的度数是 1/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (). B A.60° B.70° C.80° D.90° 3.(24-25八年级下·浙江杭州期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，设∠B=∠C=a, 则a=() D A B A.55 B.609 C.65° D.70 4.(24-25八年级上·浙江台州期末)椒江章安剪纸是台州市非物质文化遗产代表性项目，如图是小明的窗 花剪纸，外形为正八边形，则它的内角和为() A.900° B.1080° C.1260° D.1440° 5.(24-25八年级上·浙江温州·期末)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n.90°，则n的值为 () A.4 B.5 C.6 D.7 6.(24-25八年级下·浙江杭州期末)如图所示窗框的形状是六边形，则六边形的内角和是() 2/18 00学科网 w w. xxk.com 让教与学更高效 $$A . 3 6 0 ^ { \circ }$$ $$B . 5 4 0 ^ { \circ }$$ $$C . 7 2 0 ^ { \circ }$$ $$D . 9 0 0 ^ { \circ }$$ 7.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一 个八边形，则这个八边形的内角和为. 目目 考点03 多边形内角和与外角和综合 1.(24-25八年级下·浙江·期中)一个多边形的内角和是外角和的五倍，求这个正多边形的边数() A.9 B.10 C.11 D.12 2.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)在n边形中，设 ∠A 的外角的度数为 α， ，与 ∠A 4不相邻的 (n-1) 个内角的 和为 β. 若 $$\beta = \alpha + 5 4 0 ^ { \circ } ，$$ ，则 n= . 3.(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小 $$5 4 0 ^ { \circ } ，$$ ，则这个多边形 的边数为. 4.(24-25八年级下·浙江杭州期末)在平行四边形 ABCD 中， ∠A：∠B=3：1， ，则 ∠C= . 目目 考点04 利用平行四边形的性质求角度 1.(24-25八年级下浙江台州·期末)在平行四边形 ABCD 中， $$\angle A = 3 0 ^ { \circ } ，$$ ，则 ∠C 的度数为() $$A . 1 5 0 ^ { \circ }$$ $$B . 1 2 0 ^ { \circ }$$ $$C . 6 0 ^ { \circ }$$ $$D . 3 0 ^ { \circ }$$ 2.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)在平行四边形 ABCD 中， ∠A：∠B=2：1， ，则 的度数为() $$A . 5 0 ^ { \circ }$$ $$B . 6 0 ^ { \circ }$$ $$C . 1 0 0 ^ { \circ }$$ $$D . 1 2 0 ^ { \circ }$$ 3.(24-25八年级下·浙江宁波期末)如图， $$\parallelogram A B C D$$ 中，AE平分 ∠DAB， ，交BC边于点 $$E ， \angle D = 1 1 0 ^ { \circ } ，$$ ，则 ∠AEC 的度数是() 3/18 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 A.110° B.125° C.135 D.145° 4.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)如图，在口ABCD中，BE平分LABC交AD于点E.若LAEB=32°，则∠C 的度数是 B 5,(24-25八年级下·浙江温州期末)在口ABCD中，∠C=3∠B,则∠A= 度 目目 考点05 利用平行四边形的性质求线段 1.(24-25八年级下·浙江金华.期末)如图，在口ABCD中，AB=8cm,AD=5cm,AE和BF分别是∠BAD和 LABC的角平分线，交CD于点E和点F,则线段EF的长度为() D E A.3cm B.2cm C.1cm D.2.5cm 2.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点0，AB1AC.若AC=6, BD=10,则AB的长为() A D O B A.4 B.5 C.6 D.7 3.(24-25八年级下·浙江金华期末)如图，0是口ABCD对角线的交点.已知△0AD的周长为50， BD=32,AC=24,则BC的长为(). 4/18 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 B A.18 B.20 C.22 D.26 4.(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)如图，在口ABCD中，AB=5,AD=7,∠DAB的平分线交BC于点E, 则CE的长为() D E A.2 B.3 C.4 D.5 5,(24-25八年级下·浙江温州期末)如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线交AD的延长线于点E,若CD=5, ED=1,则BC的长为() A DE B A.4 B.5 C.6 D.7 6.(24-25八年级下·浙江湖州·期末)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,BD⊥AD,若AD=8, BD=12,则AC的长是 D B 7.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)如图，在口ABCD中，AB=6,BC=9,∠ABC的平分线交AD于点E, LBCD的平分线交AD于点F,则线段EF的长是 B 8.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)如图，在口ABCD中，点E在边AD上，且AE=2DE,对角线AC平分 5/18 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∠BCE,若BC=3V2,CD=V10,则AC的长为 E D B 9.(24-25八年级下·浙江杭州期末)如图，在口ABCD中，AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且 AE=3,则口ABCD的周长为 目目 考点06 利用平行四边形的性质求面积 1,(24-25八年级下·浙江金华·期末)如图，在口ABCD中，E,F分别是AD和BC的中点，P是AB上的一个 动点，从点A运动到点B,在点P的运动过程中，△PED与△PFC的面积之和() D A.不变 B,变小 C.变大 D,先变大再变小 2.(25-26九年级上·浙江绍兴期末)如图，在口ABCD中，点E是CD中点，连接AE并延长，交BC的延长线 于点F,点G在边AB上，且AG=3BG,连接CG,若△CEF的面积为2，则四边形AGCE的面积为() 0 E GB A.5 B.5.5 C.6 D.6.5 3,(24-25八年级下·浙江台州期末)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点F为OD上一点，若 0A:0B=3:4,OE:ED=3:1,且AE=3,CE=2,则口ABCD的面积为() 6/18 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 B A.6 B.8 C.10 D.12 4.(24-25八年级下·浙江衢州·期末)如图，△ABC中，∠ABC为钝角，以AB为边向外作口ABDE,∠ABD为 钝角，连结CE,CD.设△CDE,△ACE,△BCD的面积分别为S,S1,S2,则△ABC的面积可表示为 () A.S+S1+S2 B.S+S1-S2 C.S-S1+S2 D.S-S1-S2 5,(24-25八年级下·浙江宁波·期末)如图，点E、F分别是平行四边形ABCD边BC、CD上一点，连接 AE、DE,连接AF交ED于点P,连接BF分别交AE、DE于点G、H,设△BGE的面积为S1,△PDF的面积 为S2,四边形CEHF的面积为S3,若S1=4,S2=3,S3=18,则阴影部分四边形AGHP的面积为() G H B A.17 B.19 C.18 D.25 6.(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)如图，口ABCD的面积是32，点E,G在AD上，点F,H在BC上，且EF IAB,GHIDC,点M,N在EF上，点P在GH上，则阴影部分的面积是 目目 考点07 利用四边形的性质证明 1,(25-26八年级上·浙江衢州·期末)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D和点E,AC 的垂直平分线分别交AC,BC于点F和点G,DE与FG的延长线相交于点O, 7/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)若BC的长为10cm,求△AEG的周长. (2)若LEAG=20°，求L0的度数， 2.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)如图，点E是口ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点 F (I)求证：AD=CF. (2)若∠BAF=90°，BC=5,AB=8,求EF的长. 3.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)如图，在平行四边形ABCD中，BC>AB,以点C为圆心，CD为半径 作弧，交边BC于点E,连接AE. B E (I)求证：∠ADE=LCDE; (2)若AE⊥BC,CE=5,BE=3,求ED的长. 4.(24-25八年级下·广西防城港期末)如图，在口ABCD中，AE平分LBAD交BD于点E,交BC于点M,CF 平分LBCD交BD于点F. E (I)求证：AE=CF; (2)若LABC=80°，求LAMB的度数. 5,(24-25八年级下·浙江嘉兴·期末)如图，在口ABCD中，分别过点B、D作BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分 8/18 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 别为E、F. B (I)求证：AE=CF; (2)连结BF,DE,若AB=BF=5,AC=9,求BE的长. 6.(24-25八年级下·浙江温州期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC 上，点G,H在BD上. A H G B (I)若AC=AD,∠CAD=50°，求LBCD的度数； (②)若四边形EHFG是平行四边形，求证：AE=CF 目目 考点08 平行四边形的性质中作图题 1.(24-25八年级下·浙江宁波期中)如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A,B在 格点上，每一个小正方形的边长为1. A ……… B B (图1) (图2) (1)以AB为边在图1中画一个平行四边形，使每个顶点都在格点上，且面积为12； (2)以AB为对角线在图2中画一个平行四边形（非正方形），使每个顶点都在格点上，且面积为10. 2.(24-25八年级下·浙江湖州·期末)如图，在10×10的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点A和点 9/18 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 B都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图. B 图1 图2 (I)图1中，以AB为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6； (2)图2中，以AB为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上) 3.(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)在下面的正方形网格中，按要求用无刻度的直尺作图，且所作图形的 顶点均在格点上 图1 图2 (1)在图1中，作一个以AB为对角线的矩形， (2)在图2中，作一个以AB为边，且面积为15的平行四边形， 4.(25-26九年级上·浙江绍兴·期末)如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点） 上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图. (图1) (图2) ()图1中，在边AB上找一点D,连接CD,使得△ACD面积为△ABC面积的： (2)图2中，在边BC上找一点E,连接AE,使得AE⊥BC, 10/18 耐学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 目目 考点09 证明四边形是平行四边形 1.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,∠A=∠C,∠ABC的平分线交CD于 点E. D E (I)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)当∠D=60°，求LDEB的度数. 2.(24-25八年级下浙江台州期末)如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E,F分别是CD,AC上的点，DE=CF, 连接AE,BF. D G (I)求证：△BCF兰△ADE: (2)以F为圆心，BF为半径画弧，交BC延长线于点G,连接EG,FG,求证：四边形AFGE是平行四边形， 4.(24-25八年级下·浙江金华·期末)如图，四边形ABCD为矩形，对角线交于点O,DE‖AC交BC延长线于 点E. C (I)求证：四边形ACED是平行四边形； (2)若LE=35°，求LB0C的度数， 5.(24-25八年级下·浙江金华.期末)己知口ABCD. E D 图1 图2 (I)如图1，E是AD上一点，以点C为圆心，AE的长为半径作弧，交BC于点F,连结AF,CE.求证四边形AFCE 11/18 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 是平行四边形. (2)图1中口AFCE的四个顶点在口ABCD的边上，这样的四边形叫口ABCD的内接四边形.在图2中用直尺 和圆规作一个口ABCD的内接菱形（保留作图痕迹） 6.(24-25八年级下·浙江湖州·期末)如图，在△ABC中，D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点，连结 FD,FE. D B (1)求证：四边形BEFD是平行四边形 (2)连结BF,若四边形BEFD是菱形，BF=12,AC=8,求EF的长. 7.(24-25八年级下·浙江嘉兴·期末)如图，在口ABCD中，点E,F分别在BA,DC的延长线上，且 BE=DF.连结AF,交BC于点H,连结EC E (1)求证：四边形EAFC是平行四边形. (2)若∠E=∠D=55°，求LAHB的度数. 8.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N, ∠A=∠F,∠C=∠D. (1)求证：四边形BCED是平行四边形； (2)己知DE=3,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长. 12/18 耐学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 目目 考点10 添加一个条件使得成为平行四边形 1.(24-25八年级下·浙江温州期末)如图，在四边形ABCD中，ABIICD,AC是对角线，要使四边形ABCD为 平行四边形，可添加条件() A.AD=BC B.∠ACD=∠BAC C.∠BAD+∠D=180 D.AB=CD 2.(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)如图，在口ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，连接AE,CF,AC, EF,添加下列条件后不能使四边形AECF成为平行四边形的是() B A.BE=DF B.AE II CF C.OE=OF D.AF=AE 3.(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)如图，在四边形ABCD中，ABIICD,要使四边形ABCD是平行四边形， 下列添加的条件正确的是() B A.AD=BCB.∠B=∠C C.∠A=∠D D.∠A=∠C 4.(24-25八年级下·浙江金华·期末)如图，在口ABCD中，点E是边AB的中点，点F是边CD上一点，则下列 条件中，不能说明四边形AEFD为平行四边形的是() D F E B A.F为CD的中点B.AD=EF C.∠D=∠AEF D.AE+CF=AB 5.(24-25八年级下·浙江嘉兴期末)如图，四边形ABCD中，ABIICD,若添加一个条件，使四边形ABCD为 平行四边形，则可添加的条件为·（不添加任何辅助线，写出一个即可） 13/18 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 目目 考点11 利用平行四边形的性质与判定求解 1.(24-25八年级下·浙江宁波期末)如图，在矩形ABCD中，E,F分别为BC,AD上的点，BE=DF,连结 EF,CF,过点D作DGNCF,交EF的延长线于点G,连结CG.若要知道矩形ABCD的面积，则只需要知道下 列哪个图形的面积？该图形是() G A,△CEG B.△CEF C.四边形ECDG D.四边形FCDG 2.(24-25八年级下·浙江温州·期末)如图，点C,D在线段AB上，射线DP⊥AB,连结PB,以BC,BP为邻边作 口CBPE,连结AE,CP,记AE的长为m,CE的长为n,若AC=4,AD=5,BD=3,则在点P的运动过程中， 下列代数式的值不变的是() D C D B A.mn B.m-n C.m2+n2 D.m2-n2 3,(24-25八年级下·浙江温州·期末)如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AD,CD上的点，且AE<ED, 将矩形沿EF折叠，点D恰好落在BC边上点G处，再将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在EG上的点H处，若AB=1, AD=2,则ED的长为() D A.5+1 B.3 c. D. 2 14/18 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 4.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB=BD,∠BAD=45°，AD=4,过 点B作BE⊥AD于点E,点F为BC上一动点，连接EF,取EF中点G,连接AG,BG,DG,若△BDG面积为△ABG 面积的，则BF的长度是 D G C 5.(24-25八年级下·浙江金华期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,BE=DF,过点D作DG垂直AE 交FC于点P,连接BP,若直线DG恰好经过AB的中点，则BP= 6.(24-25八年级下·浙江金华期末)如图，过平行四边形ABCD内的点P作各边的平行线分别交AB,BC,CD,DA 于点E,F,G,H.连接AF,AG,FG.己知△AFG与平行四边形AEPH的面积分别为m,n. D E B (1)若点P是平行四边形ABCD的对称中心，则片= (2)平行四边形ABCD的面积为 (用含m、n的代数式表示). 目目 考点12 平行四边形的性质与判定综合 1.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)如图，菱形ABCD中，∠ABC=100°，点P在对角线AC上，PE II BC交AB 于点E,PFIAB交BC于点F. 15/18 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 P B (1)求LEPF的度数； (2)连结PD,当LDPC=60时，判断PD与PF的数量关系并证明. 2.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)如图1，边长为4的正方形ABCD,E为AB边上的动点（不与A,B重 合)，连结CE,以CE为边向右上方作正方形CEFG,边EF与AD交于点H,连结DG. G H D K B B 图1 图2 (I)求证：DG=BE, (2)若HD=2DG,求BE的长. (3)如图2，连结BG,过点C作CN⊥BG于点N,交ED于点K.求证：点K为ED的中点. 3.(24-25八年级下·浙江杭州期末)如图，在△ABC中，D,E分别是AC,BC的中点，延长ED至点F,使 DF=ED,连结AE,AF,CF. D B (I)从条件①AC=AB;②AC=BC中选择合适的一个，完成四边形AECF为矩形的证明. (2)在(1)的结论下，若AC平分∠FAB,且AF=1,求四边形ABEF的面积. 5.(24-25八年级下·浙江台州期末)如图1，正方形ABCD中，点E在边BC上，连接DE,过点A作AF I DE交 CB延长线于点F. 16/18 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 D D B 图1 图2 (I)求证：DE=AF; (②)如图2，连接BD,过点E作EP⊥BD于点P,连接AP. ①求证：DE=V2AP; ②设AB长为a,AP长为b,求△PED的面积（用含a,b的代数式表示） 6,(24-25八年级下·浙江宁波·期末)如图1，在口ABCD中，M是CD的中点，连结AM并延长交BC的延长线 于点N,连结AC,DN. A D A B C 图1 图2 (1)求证：四边形ACND是平行四边形. (2)如图2，连结BM,若CD=2BC=13,BM=12. ①求证BM⊥AN; ②求AN的值. 7.(24-25八年级下·浙江湖州·期末)在☐ABCD中，AB=6,AD=4,∠A=60°，点E,F分别为边CD,AB上 异于端点的动点，且DE=BF,连结EF,将四边形CEFB沿着EF折叠得到四边形HEFG, D B (C)A ·B 图1 图2 备用图 (1)如图1，边HE,AB交于点Q,若AQ=BF,求证：四边形AQED为平行四边形； (2)如图2，当点C落在点A处时，求折痕EF的长； 17/18 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (3)当点G落在口ABCD的边上时，求点B,G之间的距离， 8.(24-25八年级上·浙江杭州·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边BC上（不与点B,C重合）， 且BD>CD,过点D作DP⊥BC,分别交BA的延长线和AC于点P和点Q. ○ B ▣ D (I)求证：AP=AQ. (2)若点Q是线段DP的中点，探索AQ与QC的数量关系. (3)若△ABC的形状和大小都确定，说说DP+DQ的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何 意义；如果不是定值，说明理由， 18/18