专题01 二次根式13大题型分类专训（期末真题汇编，浙江专用）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 二次根式专题汇编，覆盖13个高频考点，精选浙江多地期末真题，注重基础巩固与能力提升，融入几何应用及探究性问题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约30题|求参数、有意义条件、最简二次根式判断|基础题占比60%，如宁波期末“二次根式有意义的条件”| |解答题|8题|混合运算、几何应用、化简求值|含赵爽弦图等情境（绍兴期末），难点题（双重二次根式）占比20%|

专题01 二次根式 13大高频考点概览 考点01 求二次根式中的参数 考点08分母有理化（重点题型） 考点02二次根式有意义的条件（基础题型） 考点09双重二次根式的应用（重点题型） 考点03已知未知数的值求二次根式的值（重点题型） 考点10已知字母的值，化简求值 考点04利用二次根式的性质化简（高频题型） 考点11已知代数值的值，化简求值 考点05最简二次根式的判断 考点12二次根式在几何中的应用（常考题型） 考点06根据二次根式的运算判断选项（高频题型） 考点13二次根式在解答题中的应用 考点07二次根式的混合运算（难点题型） 地 城 考点01 求二次根式中的参数 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有___个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是________． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·浙江·期末）已知有理数满足等式，则______；_____． 【答案】 【分析】根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案． 【详解】解：由于， ， 由于与是有理数， ，， ，． 故答案为：；． 【点睛】本题考查实数，解题的关键是将等式进行适当的变形，本题属于中等题型． 地 城 考点02 二次根式有意义的条件 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若代数式有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式解答即可； 【详解】∵ 有意义 故选：A 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，概念：式子 叫二次根式，性质： 二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0 2．（24-25八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】将代入计算即可得． 【详解】解：当时，， 故选：A 【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义的条件为：被开方数是非负数，据此列不等式得， 移项得， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）函数的自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，考虑根号下需要大于等于0，分母不为0，列不等式组即可解答，熟知二次根式有意义的条件为根号下不能为负数是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件和分母不能为0，可得， 解得且， 故答案为：且． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）使二次根式有意义的的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义 ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题的关键． 地 城 考点03 已知未知数的值求二次根式的值 1．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）当时，二次根式的值是____________． 【答案】 【分析】将已知条件代入所求的代数式，然后开平方求值． 【详解】解：根据题意，得 当时，． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，掌握定义是解题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）当a＝3时，二次根式的值是______． 【答案】1 【分析】把a=3代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当a=3时， = =1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二次根式求值，准确计算是解题的关键． 地 城 考点04 利用二次根式的性质化简 1．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，，从而得出，，最后再由二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江·期末）实数在数轴上的位置如图所示：那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简，进而得出答案，正确化简各式是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， 则原式， ， ， 故选：． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）适合的正整数a的所有值的平方和为（    ） A．13 B．14 C．5 D．16 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意判断出a的符号，求出正整数a的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵, ∴ ∴， ∴， ∴正整数a的值为1，2，3， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）非零实数，满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键熟练运用平方差公式；先运用平方差公式找到与的关系式；代入，通分化简即可． 【详解】两边同时乘以，可得： 可得： 把代入 故答案为： 地 城 考点05 最简二次根式的判断 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，二次根式的化简等知识点，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A. ，被开方数含分母，需化简为，不是最简二次根式，不符合题意； B. ，被开方数3无平方因子且不含分母，符合最简二次根式定义，符合题意； C. ，可化简为整数，不是最简二次根式，不符合题意； D. ，含平方因子4，可进一步化简，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：选项A：，被开方数5是质数，无平方因数，无法化简，符合最简二次根式条件，是最简二次根式； 选项B：，可分解为，含平方因数4，故不是最简二次根式； 选项C：，可化简为，被开方数为完全平方，故不是最简二次根式； 选项D：，可化简为2，故不是最简二次根式． 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式属于最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意 B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数4是完全平方数，可化简为整数，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化为最简二次根式，最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A 5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级下·北京·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、 ，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 地 城 考点06 根据二次根式的运算判断选项 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式合并法则、二次根式乘除运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴该选项错误； B、∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴该选项错误； C、∵， ∴该选项正确； D、∵， ∴该选项错误． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）下列二次根式的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加、乘、除运算及算术平方根的性质，需根据相关法则逐一验证选项，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）下列各式中计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的运算、同类二次根式的合并及算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的化简与运算规则是解题的关键． 逐一验证每个选项，依据二次根式的运算、同类二次根式合并、平方运算及算术平方根的定义判断正误． 【详解】解：与不是同类二次根式，无法合并，故A项错误． ，故B项错误． ，故C项正确． （算术平方根为非负数）， ，故D项错误． 故选：C． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则进行判断． 【详解】解：A：已经是最简结果，并不等于，故该选项不合题意； B：，故该选项不合题意； C：，正确，故该选项符合题意； D：，故该选项不合题意． 故选：C ． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的加、减、乘、除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的各种运算法则． 根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：二次根式相加需被开方数相同才能合并，与无法合并，结果应为，故错误，不符合题意； 选项B：合并同类项：，不等于3，故错误，不符合题意； 选项C：二次根式相乘法则：，故，故错误，不符合题意； 选项D：二次根式相除法则：，故，正确，符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式的运算法则，准确进行计算． 根据二次根式运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A、与被开方数不同，不能合并，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不符合题意． 故选：C． 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 本题考查二次根式的运算性质，需逐一验证各选项的正确性。 【详解】A. ，二次根式加法不能直接合并，错误，故本选项不符合题意； B. ，系数相减但未保留根号，结果应为，错误，故本选项不符合题意； C. ，符合二次根式乘法法则，正确，故本选项符合题意； D. ，算术平方根非负，结果应为而非，错误，故本选项不符合题意； 故选：C。 地 城 考点07 二次根式的混合运算 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）（1）计算： （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法，化简绝对值，再化简二次根式，再计算即可； （2）先正确求出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先算除法，再算乘法即可； （2）先去括号，再将各式化为最简二次根式，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25九年级下·浙江台州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算二次根式的乘除，再运用二次根式的性质进行化简，最后运算加减法，即可作答． （2）先整理原式，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查二次根式的化简，混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先进行二次根式的化简，再算加减即可； （2）先进行平方差公式运算，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 8．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质以及二次根式的乘法计算，再计算加法即可； （2）先根据完全平方公式以及二次根式的性质进行计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 地 城 考点08 分母有理化 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）化简：（的自然数）的结果为________． 【答案】 【分析】利用分母有理化计算得出，，，，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分母有理化，掌握分母有理化的运算法则是解题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若，则______． 【答案】15 【分析】本题考查分母有理化、代数式求值，先将分母有理化，得到，然后由得 ，整理得．利用此关系式将高次幂降次，代入多项式计算即可． 【详解】解：， 所以，两边平方，得， 则，即， ∴， ∴， ， ∴： ， 故答案为：15． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值是（    ） A．或1 B．或 C．或 D．或2 【答案】C 【分析】设，则，根据题意得出关于m的分式方程，解方程求出m，然后用含x的式子表示出y，进而计算的值即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 经检验，，是分式方程的解， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，的值是或， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，解一元二次方程，分母有理化，设出未知数，用含x的式子表示出y是解答本题的关键． 地 城 考点09 双重二次根式的应用 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）已知是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握完全平方公式和．首先根据题意可得，再根据完全平方公式可得，再代入求值即可． 【详解】解：是的小数部分， ， ． 故选：． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 3．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简________． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）（1）已知，试比较的大小，并写出比较过程； （2）化简：． 【答案】（1），详见解析；（2） 【分析】本题考查了二次根式的计算，复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）分子有理化后比较即可； （2）先化简复合二次根式，再算加减即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ． （2） ． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 地 城 考点10 已知字母的值，化简求值 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，二次根式的运算求解； 【详解】解：； 故选：D 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的运算；掌握完全平方公式是解题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知，则的值为______． 【答案】32 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的变形，先将，b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可．解题的关键是对原代数式进行适当的变形，以简化运算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：32． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，则值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、解一元一次方程、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．根据二次根式非负数的性质确定的值，进而可得的值，然后代入求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得，， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若，则的值为 _____． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对多项式进行变形，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入中， 原式． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若，，则______． 【答案】 【分析】根据配方法以及二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的运算，求代数式的值，运用了恒等变换和整体代入的思想．解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则． 6．（24-25八年级下·浙江台州·期末）若，，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】先根据平方差公式进行因式分解，再把x、y代入求值即可，也可以直接代入，按照完全平方公式计算． 【详解】解： 当，时， 原式= = = 【点睛】本题主要考查代数式的化简求值问题，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键. 7．（24-25八年级下·浙江金华·期末）计算或求值： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键； （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）求出，的值，将代数式转化为，整体代入法进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ，， ． 地 城 考点11 已知代数值的值，化简求值 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知，，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用及二次根式和分式的运算，根据题意可得，且，将利用完全平方公式变形为，再利用分式加法法则结合完全平方公式整理为，最后将已知整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，且， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为 _____． 【答案】1 【分析】先利用完全平方公式求出的值，再结合绝对值的性质得到的值，最后代入所求代数式计算结果． 【详解】解：已知，， 将两式分别平方，根据完全平方公式得： ①；②， ①②得：， 化简得，， ∴， ∵， ∴若，则，整理得，即； 若，则，整理得，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的加减法和代数式求值，先根据已知中条件把分式通分，求出，再利用完全平方公式求出，，最后把所求代数式分解因式，再把和的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴； ∴， ， ∴； ∴ ； ∴， 当时， ； 当时， ； 综上，， 故答案为： 4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知，，则代数式________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握完全平方公式，等式的性质及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 利用等式的性质将已知等式相减，然后代入求值，再根据二次根式混合运算的运算顺序和计算法则进行计算． 【详解】解：∵， ∴两式左右分别相减，得 ∴ ∴原式= = =， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）若的小数部分是a，则的值是______． 【答案】/ 【分析】先估算的大小，得出a的值，然后计算代数式的值即可． 【详解】解：3＜＜4， ∴的整数部分是3，小数部分是−3， ∴＝＝=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方． 地 城 考点12 二次根式在几何中的应用 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，二次根式的加减运算，规律探究题．先根据勾股定理求出的长度，进而得到对应的数，再通过分析与的关系，找出对应的数的规律，最后根据规律求出在数轴上对应的数． 【详解】解：由题意得， ∵以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点， ∴，即对应的数为； ∵，在的右侧取最近整数点， ∴对应的数为3； ∵以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点， ∴， 则，对应的数为； ∵，在的右侧取最近整数点， ∴对应的数为4； ∵以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点， ∴， ∴， ∴对应的数为； 通过前面的计算，我们可以得到： 对应的数为； 对应的数为； 对应的数为； 对应的数为； 对应的数为； 对应的数为； 对应的数为； ； ∴奇数时，对应的数为；偶数时，对应的数为． ∵2026为偶数，此时， 将代入对应的数为中， 可得：． 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连接并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，二次根式混合运算，由全等三角形的性质可得，，，设，，则，，在中，根据勾股定理得出，求出，在中，根据勾股定理得出，求出，从而得出，整理即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵点为的中点， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）若三边长分别为，，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、二次根式的乘法，判断三角形是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理验证（两较短边的平方和等于最长边的平方）后，直接利用三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴，满足两较短边的平方和等于最长边的平方， ∴故为直角三角形，且直角边为和， ∴的面积为， 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（   ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．利用等腰三角形的性质可以得到，设为，再运用勾股定理得，代入解方程即可解题． 【详解】解：如图，设为，为，为，图2中的余角为， ∵为等腰三角形，， ，， ， ， 结合两图，可得， 设为， 根据勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：B． 5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在等腰直角三角形中，，．在斜边上取点E，使得，连接，将沿着直线翻折，得到，点D与点B对应，交于点F．则四边形的面积为______． 【答案】2 【分析】延长交于，由等腰三角形的性质得，设，由折叠得，由角的和差得，，求出，由勾股定理得 ， ，由即可求解． 【详解】解：延长交于， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 设， 由折叠得， ，， ， ， ， 解得， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中， ， ， ， ； 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，能熟练利用等腰三角形的判定及性质，勾股定理进行求解是解题的关键． 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，，点是上的动点，连接，，则的最小值是 _____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，线段和最短的问题，含度直角三角形的性质，勾股定理，根据轴对称的性质确定点的位置是解题的关键．作点关于的对称点，连接，连接与相交于点，此时，，线段的长即为的最小值，先证明是等边三角形，得到，在中，利用含度直角三角形的性质和勾股定理求解的长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，连接与相交于点， 此时，，线段的长即为的最小值． 垂直平分， ，， ，， 是等边三角形， ，， ，， 在中，， ， ， 即的最小值． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，点、分别在线段、上，且，连结，若平分，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形，直角三角形勾股定理的应用．根据题意，结合图形，得到，在中利用勾股定理求出，在中利用勾股定理求出，从而得到结果． 【详解】解：过点B作于H点，过B作，交的延长线于G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点13 二次根式在解答题中的应用 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）【问题情境】整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【灵活运用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则的值为___________； (2)解方程：； (3)求． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查整体代换思想在代数式求值、一元一次方程求解及二次根式运算中的应用，核心是通过将复杂的重复出现的式子设为一个整体，简化计算过程． （1）将原式变形为含的形式，利用整体代入直接求值； （2）设为整体，将原方程转化为简单的一元一次方程，求解后回代得到的值； （3）设重复出现的为整体，将复杂的乘积运算转化为多项式乘法，消去同类项后得到结果． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：． （2）解：设，则原方程可化为：， 解得：， ∴， 解得； （3）解：设， 则，，， 原式 ． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）【阅读感悟】李林同学在计算时，采用了如下方法． ∵ ， ∵， ∴． 【迁移应用】计算下列两个式子： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，理解题意并进行正确地计算是解题的关键． （1）将原式利用完全平方公式计算，再根据题意求得其算术平方根即可； （2）将原式立方并计算，再根据题意求得其立方根即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 3．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）观察以下式子：记，则 ①； ②； 【计算观察】（1）___________；___________．（直接写出结果即可） 【归纳验证】（2）猜想：___________（为正整数）；并证明． 【应用推广】（3）令，计算的值． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（1）根据题干中的运算法则代入求解即可； （2）猜想：，根据题意得到，然后化简求解即可； （3）根据题意得到，，，然后代入求解即可． 【详解】（1） ； ； （2）猜想： 证明： ； （3）根据题意得，，， ∴ ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他． （1）函数的最大值为________． （2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值． 【猜想提升】小明由上述的提出猜想：（当且仅当时取到等号）． 通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题． （3）设a，b，c是非负实数，求的最小值． 【答案】（1） （2）8， （3）2 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，不等式性质，熟练掌握完全平方公式和基本不等式的性质是解题的关键． （1）变形得，则有，即可求解． （2）变形得，则有，，即可求解． （3）变形得，则有，即，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴y有最大值； （2）∵， ∴， ∴y有最小值； 此时，， 得， （舍去）； （3）∵， ∵a，b，c是非负实数， ∴， ∴， ∴的最小值为2， ∴的最小值为2． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方， 如：， ； 【类比归纳】 (1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方． 【变式探究】 (2)若且a，m，n均为正整数，求a值． 【答案】(1)； (2)或10． 【分析】（1）将7看成是，则，由此求解即可； （2）根据，，可以得到，，再根据a，m，n均为正整数，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴，， ∵a，m，n均为正整数， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01二次根式 ☆13大高频考点概览 考点01求二次根式中的参数 考点08分母有理化（重点题型） 考点02二次根式有意义的条件（基础题型） 考点09双重二次根式的应用（重点题型） 考点03已知未知数的值求二次根式的值（重点题型） 考点10已知字母的值，化简求值 考点04利用二次根式的性质化简（高频题型） 考点11已知代数值的值，化简求值 考点05最简二次根式的判断 考点12二次根式在几何中的应用（常考题型） 考点06根据二次根式的运算判断选项（高频题型） 考点13二次根式在解答题中的应用 考点07二次根式的混合运算（难点题型） 目目 考点01 求二次根式中的参数 1.(24-25八年级下·浙江宁波期末)若V9-n是整数，则满足条件的正整数n共有个。 2.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)已知v3-a是整数，则自然数a的值是 3.(24-25八年级下浙江期末)己知有理数a,b满足等式5-V3a=2b+33-a,则a=；b= 目目 考点02 二次根式有意义的条件 1.(24-25八年级下.浙江杭州期末)若代数式√a-1有意义，则a的取值范围是() A.a≥1 B.a=1 C.a≤1 D.a≠1 2.(24-25八年级下·浙江温州期末)当a=5时，二次根式V4+a的值是() A.3 B.2 C.1 D.-1 3.(24-25八年级下·浙江宁波期中)若二次根式Vx-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 4.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)二次根式√2+x在实数范围内有意义，x的取值范围是· 5.(2425八年级下浙江宁波期末)函数y=的自变量x的取值范国是 1/9 丽学科网 让教与学更高效 6.(24-25八年级下·浙江宁波期末)使二次根式+3有意义的x的取值范围是 3 目目 考点03 已知未知数的值求二次根式的值 1.(24-25八年级下·浙江湖州·期末)当x=5时，二次根式Vx-3的值是 2.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)当a=3时，二次根式/a-2的值是 目目 考点04 利用二次根式的性质化简 1.(24-25八年级下·浙江湖州期末)已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简V(a+1)2+V(b-2)的 正确结果是() b 01 2 A.a+b-1 B.1-a-b C.a-b+3 D.b-a-3 2.(24-25八年级下·浙江·期末)实数a、b在数轴上的位置如图所示：那么a-b1+V(a+b)的结果是() a0→ A.2a B.2b C.-2a D.-2b 3.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)适合2V(a-3)2=6-2a的正整数a的所有值的平方和为() A.13 B.14 C.5 D.16 4.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末)非零实数x,y满足（√9x2+2024-3x)(Vy2+2024-y)=2024,则 x2+2xy+3y2 2x2+y2 目目 考点05 最简二次根式的判断 1.(24-25八年级下·浙江台州期末)下列二次根式是最简二次根式的是() A.V0.3 B.V3 c.4 D.8 2.(24-25八年级下·浙江湖州期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.15 B.V⑧ C.Va2 D.v4 3,(24-25八年级下·浙江台州·期末)下列二次根式属于最简二次根式的是(). A.V0.1 B.3 C.4 D. 4,（24-25八年级下·浙江宁波·期末)下列式子是最简二次根式的是（) 2/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.V7 B得 C.√8 D.V0.2 5.(24-25八年级下·浙江台州期末)下列各式中，是最简二次根式的是() A.V0.5 B.V25 c.3 D.V27 6.(24-25八年级下.北京·期中)下列二次根式中，最简二次根式是() A.V12 c.2 D.1.5 目目 考点06 根据二次根式的运算判断选项 1.(24-25八年级下·浙江杭州期末)下列运算正确的是() A.V2+V3=V5B.V2-3=-1 C.V23=6 D.得- 2.(24-25八年级下·浙江金华·期末)下列二次根式的运算正确的是() A:V4÷8=号 B.22+V2=3V4 C.V(-3)2=-3 D.2W3×43=8W3 3.(24-25八年级下浙江绍兴期末)下列各式中计算正确的是() A.3+25=5V5B.V12-V3=3 C.(2W3)=12 D,V(-3)2=±3 4.（24-25八年级下·浙江台州期末)下列各式中，运算正确的是（) A.2+V3=2V3 B.3V3-V3=3 C.12=23 D.V(-2)2=-2 5.(24-25八年级下·浙江台州期末)下列计算正确的是（) A.V8+V3=V11 B.3V2-V2=3 C.V5×V2=10 D.V8÷V2=2 6.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)下列各式运算正确的是() A.2+3=V5B.2W3-3=2 C.V2×6=23D.24÷V2=32 7.(24-25八年级下·浙江宁波期末)下列计算正确的是（) A.V2+5=V7B.52-22=3C.V2×V5=10D.V(-2)2=±2 目目 考点07 二次根式的混合运算 1.(2425八年级下渐江宁波期末)(1)计算：h2-2+218-24×目 3/9 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (x≥3-2x (2)解不等式组： >1 2.(24-25八年级下·浙江杭州期末)计算： (1)V24÷V3×(-V2) ai8-(⑧+，月 3.(24-25九年级下·浙江台州·期末)计算： (1)4W3+V12 (2)V8×V27÷V6 4.(24-25八年级下·浙江杭州·期末)计算： (024+2-8×6+目 a西-12，语 5.(24-25八年级下浙江台州期末)计算： (1)W18+V8: 212÷3-×5+20. 6.（24-25八年级下·浙江杭州期末)计算： (1)33+V8-V2-V27: (2(5+v3(W5-3. 7.(24-25八年级下·浙江宁波期末)计算： (1)V12-6W3+V27: (2)(3+V6)(3-V6) 8.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)计算： (1)W8+V3×V6; 265-2)+5 目目 考点08 分母有理化 1 1 1.(24-25八年级下-浙江嘉兴期未)化简：1+3+3+5++2m-1+V2m+(n≥1的自然数)的结果为 2.(24-25八年级下浙江宁波期未)若a=-3则2a4-12am3-24a+7=一· 4/9 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 3.(2425七年级下浙江杭州期末)已知+=4，则号的值是() A.-1或1 B.-2或2 C.-V3或3 D.-2或2 目目 考点09 双重二次根式的应用 1.(（2425八年级下浙江丽水期末)已m足v2的小数部分，则m2+点一-2的值是（） A.0 B.1 C.2 D.3 2.（24-25八年级下·浙江宁波期末)化简24+2V3-V21-12W3的结果为 3,(24-25八年级下·浙江湖州·期末)观察下列各式： 5+26=(2+3)+22×3=(2)2+(W3)2+2W2×V3=(W2+3)2, 8+2W7=(1+7)+2W1×7=12+(W72+2×1×V7=(1+7)2,.请运用以上的方法化简 V7+2W10=. 4.(24-25八年级下·浙江嘉兴期末)(1)己知a=2W2-V6,b=V6-2,试比较a,b的大小，并写出比较过程 (2)化简：V4+2V3+V4-2W3. 5.(24-25八年级下-浙江温州期未)化简、23-610+43-22的结果是（) A.3+V2 B.3-2V2 C.3+22 D.3-V2 目目 考点10 已知字母的值，化简求值 1.(24-25八年级下·浙江台州期末)已知a=V2-1,则代数式a2+2a+1的值是() A.22 B.1+V2 C.V2-2 D.2 2.(2425八年级下浙江塞兴期末)已知a=25b=2有则3a2-10ab+362的值为 1 3.(2425八年级下渐江杭州期末)已知y=-2+2-x+3,则值为 4.(24-25八年级下浙江宁波期末)若m=V2+1,则7m2-14m+5的值为， 5.(24-25八年级下浙江杭州期末)若a=V2+1,b=V2-1,则a2-ab+b2= 6.(24-25八年级下·浙江台州期末)若x=V3+1,y=V3-1,则代数式x2-y的值为 7.（24-25八年级下·浙江金华期末)计算或求值： (0312-3+32 5/9 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (2)已知x=2+V3,y=2-V3,求x2+xy+y2的值. 目目 考点11 已知代数值的值，化简求值 1.(24-25八年级下…浙江台州期末)已知m+n=4, m=2,则层+，原的位为() A.22 B.2 C.2 D.1 2.（24-25八年级下·浙江宁波期末)已知a+b=VW2002+2,a-b=W2002-2,b3+c31=b3-c3,则a3 b3-c3的值为· 3.(2425八年级下浙江台州期未)已知+=y=2,则x2-y2= 4.(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)已知a-b=V2,a-c=2,则代数式(b-c)2+(b-c)+4= 5.(24-25八年级下浙江舟山期未)若10的小数部分是a,则十的值是 目目 考点12 二次根式在几何中的应用 1.(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)如图，在3×3的网格中构造正方形ABCD,以AB长度为半径，数轴的 原点0为圆心画圆，交数轴正半轴于点M1,在M1的右侧取最近整数点N1;再以N1为圆心，M1N1长为半径 画圆，交数轴正半轴于点M2,在M2的右侧取最近整数点W2;以W2为圆心，MzN2长为半径画圆，交数轴正 半轴于点M3,以此类推，点M2026在数轴上对应的数是(） M1N1M2N2… 3 234.… A.2030-V5 B.2024+V5 C.12144-4047W5 D.6072-20235 2.(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四 边形EFGH都是正方形.连接DG并延长，交BC于点P,点P为BC的中点，若EF=2,则AE的长为() 6/9 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 D H E F A.2V3 B.3V3-1 C.33+4 3 D.V5+1 3.(24-25八年级下·浙江台州·期末)若△ABC三边长分别为V2,2W2,V10,则△ABC的面积为() A.2 B.4 C.5 D.2W5 4.(24-25八年级下·浙江温州·期中)将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD,DE进行剪切，得到三角形 ①②③，再按如图2方式拼放，其中EC与BD共线，若BD=6,则AB的长为() A ② ② ① ③ ① B 7 D 图1 图2 A.号 B.号 C.V50 D.7 5.(24-25八年级下·浙江台州期末)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=2.在斜边AB上 取点E,使得AE=BC,连接CE,将△BCE沿着直线CE翻折，得到△CDE,点D与点B对应，CD交AB于 点F.则四边形ACED的面积为 6,(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=4,AD=CD, 点E是AB上的动点，连接CE,DE,则CE+DE的最小值是· B D A 7.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)如图，在☐ABCD中，AB=3,AD=5,∠ABC=60°，点E、F分别在 7/9 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 线段AD、BD上，且DE=DF,连结BE,若BE平分LAEF,则DE的长为 目目 考点13 二次根式在解答题中的应用 1.(24-25八年级下·浙江金华期末)【问题情境】整体代换是数学的一种思想方法.例如：若x2+x=0, 求x2+x+1186的值.我们将x2+x作为一个整体代入，则原式=0+1186=1186. 【灵活运用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果a+b=3,则4(a+b)-2a-2b的值为 ②)解方程：号-(1-3）= (3)求(W1+V2+…+V2025(W2+V3+…+V2026-(W1+V2+…+V2026(W2+V3+…+V2025 2.(24-25八年级下·浙江台州期末)【阅读感悟】李林同学在计算V5+V21-V5-V21时，采用了如下方 法 (W5+V21-V5-V21=(5+V21-2W5+V21×V5-V21+(5-V21 =10-2×2 =6, W5+V21>V5-V21, V5+V21-5-V21=6. 【迁移应用】计算下列两个式子： (1)W7+3V5+V7-35; a 3.(24-25八年级下浙江舟山期末)观察以下式子：记xn2=(1+22,则 ①x好-x6=(1+V2-12=(1+2+1)(1+V2-1)=2+22: ②x22-x12=(1+22)2-(1+V22=6+22;… 【计算观察】(1)x32-x22= ；X42-x32= (直接写出结果即可) 8/9 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 【归纳验证】(2)猜想：x异-x异-1= (n为正整数)；并证明. 【应用推广】(3)令Mn=x7-x7-1,计算M1+M2+M3+…+M20的值. 4.(24-25八年级下·浙江宁波期末)【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识，整理如 下：对于正数a、b,有(Va-Vb≥0，所以a+b-2Wab≥0，即a+b≥2Wab(当且仅当a=b时取到等 号》.特别地，a+之2 .1=2(当且仅当Q=1时取到等号).因此，当a>0时，Q+有最小值2，此时 a=1. 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他， (1)函数y=2-x-(x>0)的最大值为 (2)求函数y=4x+(x>1)的最小值，并写出取最小值时x的值. 【猜想提升】小明由上述的a+b≥2Wab提出猜想：a+b+c≥3abc(当且仅当a=b=c时取到等号). 通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题. (3)设a,b,c是非负实数，求后+b。+的最小值 5.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成 另一个式子的平方， 如：5+26=(2+3)+22×3=(W22+(V32+2V2×V3=(2+3, 8+27=1+7)+21×7=12+(72+2×1×V7=(1+V72; 【类比归纳】 (1)请你仿照小明的方法将7+2W10化成另一个式子的平方. 【变式探究】 (2)若a+221=(vm+vn且a,m,n均为正整数，求a值. 9/9