专题03 一元二次方程根与系数的关系10大题型分类专训（期末真题汇编，浙江专用）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 专题聚焦一元二次方程根与系数的关系，汇编浙江多地期末真题，覆盖10大高频考点，梯度设计合理，含新定义、几何综合等创新题型。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|题量丰富，各题型分布均衡|直接求值、求参数、分式求值、几何综合、新定义问题|基础到难点梯度分明，结合地域期末真题，突出综合应用与创新思维|

专题03 一元二次方程根与系数的关系 10大高频考点概览 考点01 直接利用根与系数的关系求值（基础题型） 考点06利用根与系数的关系求参数（重点题型） 考点02已知方程的一个根求另一个根 考点07根与系数的关系综合解答（重点题型） 考点03利用根与系数的关系求分式的值（重点题型） 考点08根与系数的关系与几何综合（常考题型） 考点04“构建方程”求代数式的值（难点题型） 考点09根与系数的关系中新定义问题 考点05“降次法”求代数式的值（常考题型） 考点10根与系数的关系中阅读问题（常考题型） 地 城 考点01 直接利用根与系数的关系求值 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：∵ 方程 中，，， ∴ ． 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）设是关于的一元二次方程的两个不同实数根，则的值是（      ） A． B．4 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程中，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系求解是解决问题的关键． 【详解】解：， ，，， ； 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，注意两根之积等于．根据根与系数的关系可得出，此题得解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）设方程的两根分别是，，则的值是（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题可利用一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 【详解】由可知，其二次项系数，一次项系数， 由一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)可得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)提升解题效率． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知m，n是方程的两根，则的值为________． 【答案】4 【分析】先根据根与系数的关系得到，再把展开整理得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得， 所以 ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 7．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）设，是方程的两根，则的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系：，即可解答． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系是解题的关键． 地 城 考点02 已知方程的一个根求另一个根 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根为______． 【答案】/1 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得，，再根据，并代入可得答案． 【详解】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系可得 ，， 已知，代入得 ，整理得， 将代入得 ， 解得. 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若是一元二次方程的根，则方程的另一个根为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， 即方程的另一个根为． 故答案为： 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知方程的一个根为2，则另一个根为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：令方程的另一个根为， 则， 所以， 即方程的另一个根为． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）若方程（为常数）的一个解是，则另一个解______． 【答案】0 【分析】设方程的另一个解为，根据两根之和等于，即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个解为， 由一元二次方程的根与系数的关系得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记一元二次方程的两根之和等于是解题的关键． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知是方程的根，则该方程的另一根为______． 【答案】 【分析】设关于的方程的另一个根是，利用两根之和等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设关于的方程的另一个根是， 依题意得：， 解得：， ∴该方程的另一根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则该方程的另外一个根是______． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系：，可得出，再进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为k， 则根据根与系数的关系得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的公式是解决此题的关键． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若方程（a，b为常数，且）的一个解是，则另一个解是______． 【答案】0 【分析】设方程的另一个解为，根据根与系数的关系可得：，即可得出结果． 【详解】解：设方程的另一个解为， 根据题意得：， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 地 城 考点03 利用根与系数的关系求分式的值 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知一元二次方程：的两根为，，则的值为______． 【答案】 【分析】一元二次方程的两根分别为，，可得，， 再把要求值的代数式通分，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程：的两根为，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，掌握“利用根与系数的关系构建整体代入求值”是解本题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知一元二次方程的两根分别为、，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得，，再把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（    ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根与系数的关系．根据完全平方公式可变形为，再利用完全平方公式可得，最后利用根与系数的关系即可解答． 【详解】解：根据完全平方公式将原式变形变形，得： ， 再利用完全平方公式可得， 故原式， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， 原式， 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为a，b，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程，两根分别为，， 根据一元二次方程根与系数的关系，得 ，， ∴． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若是方程的两个根，已知，则_________． 【答案】12 【分析】由一元二次方程的根与系数之间的关系求得两根之积与两根之和，将变形为，再代入数值计算即可求解． 【详解】解：∵x1、x2是方程的两个根， ∴x1+x2=b，x1x2=4， ∴==， ∴b=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=，x1•x2=． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若一元二次方程的两个根为，，则____________ 【答案】10 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， 根据根与系数的关系可得： ，， ∴． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）思维拓展：已知实数s，t分别满足，则____________ 【答案】 【分析】根据题意可知s与是方程的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积，代入代数式即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， 方程两边除以得到：， 即， ∴s与是方程的两个根， ∴，， ∴， 故的值为． 地 城 考点04 “构建方程”求代数式的值 1．（2024·浙江杭州·三模）已知a、b为实数，且满足，，则_______． 【答案】13 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，注意：解答此题需要分类讨论．根据已知条件推知、是方程，即的两个根，然后通过解方程求得①，；②，；最后将所求的代数式转化为完全平方和的形式，并将①②分别代入求值． 【详解】解：、为实数，且满足，， ，， 、是方程，即的两个根， 或； ①当，时，，即； ②当，时，，即，不合题意； 综上所述，； 故答案为：13． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若，且，则________． 【答案】/ 【分析】根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果． 本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用．关键是观察方程组的系数特点，得到，是方程的两个根，得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ，是方程的两个根， ， ． 故答案为：． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，．且，则 的值为___________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了根与系数的关系．把变形为，则可以把、看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，然后利用，所以变形为，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， ， 、可看作方程的两根， ，， ， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）设实数，满足，且，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，在方程两边同时除以，得到的形式与比较，可以得到与是方程的两个不相等实数根，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两根时，则，． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴与是方程的两个不相等实数根， ∴， ∴， ∴代数式的值是． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 【答案】 【分析】结合题意得、是方程的两不等实数根，由根与系数的关系得，，再根据即可得解． 【详解】解：，，且、是两个不相等的实数， 、是方程的两不等实数根， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解、根与系数的关系、已知式子的值求代数式的值，解题关键是结合根与系数的关系得出、的值． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有一个根为2，则k的值为______． （2）若方程有两个实数根．k为符合条件的最大整数，实数m，n满足，，且，则的值为______． 【答案】 1 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，即可求解的值； （2）先根据一元二次方程根的判别式确定的最大整数值，再对已知等式变形，得到和是同一一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系即可求解的值. 【详解】解：（1）将代入，得， ， 解得； （2）∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 整理得 解得， 因此符合条件的最大整数， 将代入已知条件，得 ，整理得 ，整理得 因为，所以和是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ 即，解得. 地 城 考点05 “降次法”求代数式的值 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则__________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系解题即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得：， 由根与系数的关系可得： ，， ∴． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知m、n是方程，的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据方程的解得到，根与系数的关系，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为：0． 3．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值等于_______． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可．此题考查了一元二次方程的根和根与系数关系，整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】4051 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 将代入原方程，再结合根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 则 ， 故答案为：4051． 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）已知m，n是方程的两根，则的值为 ____． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据根与系数的关系可得，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两根， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 0． 6．（24-25八年级下·浙江·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】2026 【分析】根据题意，得，进一步可得，根据根与系数的关系可得，即可求出代数式的值． 【详解】解：根据题意，得，， ， ． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 地 城 考点06 利用根与系数的关系求参数 1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程的根为，若，则的值为______． 【答案】 【分析】灵活运用根与系数的关系并结合分式运算，将已知条件转化为关于参数的方程是解题的关键．根据一元二次方程 的根与系数的关系，可得，，再对通分变形后代入求解，进而求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程（），由根与系数的关系可得：，， 对通分，得：， 已知，代入得：， 化简，约去（），得， 解得． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的定义、根与系数的关系可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 解得：， ∴的值为． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把转换为，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 经检验，是分式方程的解， 又∵方程有两个实数根， ∴， 当时，， 当时，， ∴符合条件的m的值为． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）m的取值范围是______． （2）若满足，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解答此题的关键； （1）根据方程有两个不相等的实数根可知，求出的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出与的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即，解得， 故答案为：； （2），是方程的两个实数根， ，． ， ，解得，（舍弃）． ， 故答案为：． 地 城 考点07 根与系数的关系综合解答 1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求的取值范围． (2)若该方程的两根异号，设其中一个实数根为a，记，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由根的判别式计算即可求解； （2）由两根异号得出，结合1得出，由一元二次方程的根得出，进而可得出，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． ， ． （2）证明：∵两根异号， ， 解得， 由（1）知， 的取值范围为， 为方程的一个实数根， ， ， ， ， ， 随的增大而增大， ∴当时，， ∵， ． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式并求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，，代入得到关于的一元二次方程，求解并结合进行取舍即可． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 由（1）可知，， ∴． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得 ，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到 ，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根， ∴ ， ∴； （2）解：根据题意，得，， ∵， ， ∴． 5．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入原方程求出k的值，再利用根与系数的关系求出和的值即可得到答案； （2）利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴把代入得， 解得， ∴原方程为， ∴，， ∴； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程有两个实数根为． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据方程的系数结合，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于k的方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由根与系数的关系可得出，，， ， ， 解得或， 由（1）知，不满足，舍去；满足所有条件， 故存在实数． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知实数满足， (1)求作以，为根的二次项系数为1的一元二次方程； (2)若，求的值． 【答案】(1)一元二次方程为 (2) 【分析】（1）根据题目要求及已知条件设一元二次方程为，然后，根据一元二次方程中根与系数的关系，找到关于的方程，解出的值代入原方程即可； （2）根据所给等式得出和是一元二次方程的两个实数根， 再根据一元二次方程中根与系数的关系，得出的值即可． 【详解】（1）解：设一元二次方程为． ， ， ， ∴一元二次方程为； （2）解：由题意，得和是一元二次方程的两个实数根， ． ∴的值为． 8．（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或1 【分析】（1）由题意知，，然后作答即可； （2）由题意知，，，由得，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 即的值为或1． 9．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）设，是关于x的一元二次方程的两根． (1)当时，求及m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有2个实数根． (3)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系计算即可得出结果； （2）求出，即可得证； （3）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将展开，整体代入并计算即可得证． 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴无论m取何值，方程总有2个实数根； （3）证明：，是关于x的一元二次方程的两根， ∴，， ∴ ， 即． 地 城 考点08 根与系数的关系与几何综合 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)时，周长为；时，周长为 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再分为斜边和为直角边两种情况，利用勾股定理列方程进行计算即可． 【详解】（1）证明： ， 无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由得， ，， 当为斜边时， ， 解得或（舍去）， 则，， 所以的周长为：； 当为直角边时， ， 解得， 则，， 所以的周长为：， 综上所述，当时，周长为12；当时，周长为30． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． (3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理的应用． （1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根． （2）根据根与系数的关系得，再由勾股定理得到，即可解得k的值，利用取舍k的值，即可得到的周长． （3）依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，可得：．设是方程③和方程④的一个相同的实根，可得，可得．再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ， 无论k为任意实数值方程，总有实数根． （2）解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根， ∴， ∵b、c为直角边，斜边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ， 舍去， ∴， ∴的周长， （3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④． 设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减， 解得：． 设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减， ∴解得， ∴． 又方程①的两根之积等于1， ∴也是方程①的根，则． 又， 两方程相减，得． 若，则方程①无实根， ∴， ∴． ∴， ∴， 由④得：． 又， 解得：，． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)证明：该方程一定有两个不相等的实数根． (2)已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为时，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数之间的关系、勾股定理．掌握一元二次方程根的判别式与根的个数之间的关系以及根与系数之间的关系，是解题的关键． （1）求出根的判别式的符号即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴该方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个根为， 则：，， ∵该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，且这个直角三角形的斜边长为， ∴， ∴， ∴，即 解得：或， ∵， 当时，，不合题意，舍去． ∴． 地 城 考点09 根与系数的关系中新定义问题 1．（24-25八年级下·浙江·期末）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： (1)【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． (2)【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． (3)【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 【答案】(1)①，；②1 (2)； (3) 【分析】（1）①解方程，得或，因此两根为和； ②根据方程的特征数对为，得出 ，， 根据韦达定理得出，，则，求解即可． （2）根据方程的根为，由韦达定理得，，根据方程的根为，由韦达定理得：，即，代入得，整理得．两根积：，得． （3）解方程，得出，得出方程B的特征数对，．对方程A：，由韦达定理得，，则，，根据“关联全整根方程”定义得出，结合，得，求出，根据方程A是“全整根方程”，得出是非负完全平方数，即可解答． 【详解】（1）解：①， ∴， 解得：或， 因此两根为和； ②∵其特征数对为， ∴ ，， ∵，， ∴， 由第二个方程得， 代入第一个方程验证：时，，符合要求； 时，舍去，因此． （2）解：∵方程的根为， 由韦达定理得，， ∵方程的根为， 由韦达定理得：，即， 代入得， 整理得． 两根积：，展开得， 代入，得， 因此． （3）解：， ∴，解得：， ∴方程B的特征数对：，． 对方程A：， 由韦达定理得，， ∴（），， ∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程A：是“全整根方程”， ∴是非负完全平方数， ∴时，，符合，此时； 时，，符合，此时； 其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： (1)若，则它的导出多项式_____； (2)设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，，是关于的方程的两根，且，试求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）①由题意易得，则有，然后进行求解即可； ②由题意易得，则有，然后根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】（1）解：根据导出多项式的定义可知：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②由是关于的二次多项式，可知：，即， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵，是关于的方程的两根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵， ∴， 解得：． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）定义：对于一元二次方程，设其两个实数根为，．若存在正实数k，使得，则称该方程为“和谐方程”，k称为“和谐系数”． (1)已知关于x的方程是“和谐方程”，其中m为实数，设两个实数根为，． ①当时，则______； ②若，记，求S的最小值，并求此时m的值． ③以下是对该和谐方程的判断，其中正确的有______．（多选题） A．若，则 B．当时，则 C．当时，则 D．存在一个实数m，使得该方程和谐系数和同时满足． E．对于任意实数m，总存在正实数k，使方程是“和谐方程”． (2)设关于x的一元二次方程是“和谐方程”，k为“和谐系数”，且．试探究a，b，c，k之间的关系式，并予以证明． 【答案】(1)①；②S最小值为，此时为；③ACE (2)，证明见解析 【分析】（1）①根据根与系数的关系和新定义进行求解即可；②根据，得到两根同号或有一个根为0，根据根与系数的关系求出的范围，再进行求解即可；③根据新定义逐一进行判断即可； （2）根据新定义和根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：①当时，原方程化为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，， ∴同号或者两数有一个数为0， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴当，即时，有最小值为； ③A、当时，则， ∴异号， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；正确； B、当时，，原说法错误； C、当时，异号，即；正确； D、当时，，当时，，故不存在一个实数m，使得该方程和谐系数和同时满足，原说法错误； E、解：∵， ∴， ∴方程始终有2个实数根， ∴当时，， 当时，∵， ∴， 故对于任意实数m，总存在正实数k，使方程是“和谐方程”．正确； 综上，正确的是ACE； （2）解：，证明如下： 是“和谐方程”，设方程的两个根为， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否为“邻根方程”． (2)已知关于的方程是“邻根方程”，求的值． (3)若关于的方程是“邻根方程”，令，试求的最大值． 【答案】(1)是“邻根方程” (2)或 (3) 【分析】（1）先解一元二次方程得到两个根，结合“邻根方程”的定义进行判断； （2）先解一元二次方程得到两个根，根据定义列方程求解； （3）根据“邻根方程”定义得到两根差为，利用完全平方公式变形结合根的和与积推导得到与的关系，代入后配方求最大值. 【详解】（1）解方程， 因式分解得， 解得，， ，符合“邻根方程”的定义 ， 是“邻根方程”； （2）解方程， 因式分解得， 解得，， 方程是“邻根方程” ， ， 当时，得； 当时，得， 的值为或； （3）设方程的两根为，， 方程是“邻根方程” ， ，两边平方得，变形得， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 代入得， 整理得， 代入， 得 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 5．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如果关于的一元二次方程（不为0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程． (1)判断关于的方程是不是倍根方程___________（是或不是） (2)若关于的方程是倍根方程，则___________． (3)关于的一元二次方程（不为0）是倍根方程，且，请求出此方程的两个根． 【答案】(1)是 (2)或 (3)和 【分析】（1）利用因式分解法求得方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （2）利用因式分解法解方程，再利用“倍根方程”的定义得到或，即可得到结果； （3）利用“倍根方程”的定义设，根据，利用根与系数的关系得到，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴方程是倍根方程； （2）解：∵， ∴，， 当时，； 当时，； （3）解：∵方程是倍根方程， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程． (1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）； ①；②；③；④ (2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根； (3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据定义代入解题即可求解； （2）先把代入原方程得：，再由得，联立两个式子消掉，得，再根据韦达定理，即可求解； （3）先根据韦达定理得，，再由得，通过变形得，再将代入即可求解． 【详解】（1）①，，，，，，，故①是“等差”二次方程； ②，，，，，，，故②不是“等差”二次方程； ③，，，，，，，故③是“等差”二次方程； ④，a，b，c，，，，故④不是“等差”二次方程． 综上，符合条件的有①③； （2）当时，代入原方程得：， ∵由得， ∴将代入得：， ∴， ∵根据韦达定理，， ∴， ∴； （3）∵，是“等差”二次方程的两个根， ∴根据韦达定理，，， ∵由得，即， ∴， ∴，即， 整理得， ∴． 7．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则这个方程就是“二倍根方程”． (1)若一元二次方程是“二倍根方程”，则______． (2)若是“二倍根方程”，求的值． (3)若方程是“二倍根方程”，求b与c之间的关系． 【答案】(1)18 (2)或 (3) 【分析】（1）设方程的其中一根为，则另一根为，利用一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解； （2）求出原方程的解为，再由“二倍根方程”的定义解答即可； （3）设与是方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【详解】（1）解：设方程的其中一根为，则另一根为， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， 解得：， ∵是“二倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时， 综上所述，的值为或； （3）解：设与是方程的解， ，， 即，， ∴，即． 地 城 考点10 根与系数的关系中阅读问题 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）直接根据材料给出的一元二次方程根与系数的关系计算即可； （2）由条件可知是方程的两个不相等实根，利用根与系数关系得到和的值，对所求式子因式分解后代入计算即可； （3）将第二个方程变形为，分和两种情况，分别计算所求式子的值即可． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 其中，， 根据根与系数的关系，可得， （2）解：由题意得，实数满足，，且 因此是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得， 所以 （3）解：将方程变形可得， 又， 分两种情况讨论：①当时， ②当时，和是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得 由，得， ∴ ， 综上，的值为或． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 【答案】问题1：，．问题2：．问题3： 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系、多项式乘多项式是解决本题的关键． 问题1．利用根与系数的关系直接可得结论； 问题2．利用根的判别式和根与系数的关系得关于m的不等式，求解即可． 问题3．先把解代入方程，变形后用含m、n的代数式表述出要求的两个代数式、，再利用根与系数的关系计算得结论． 【详解】解：问题1．∵的两个实数根为， ∴，． 故答案为：，． 问题2．∵关于x的一元二次方程有两个实数根为， ∴， 解得： 又． ∵， ∴． ∴． ∴； 问题3．∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴，，，． ∴． ∴ ． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：已知一元二次方程两个实数根分别为，，求的值．小明给出了一部分解题思路： 解：（1）一元二次方程的两个实数根分别为，， _____， _____， _____，请填空； （2）一元二次方程的一个根为，则_____，另一个根为_____； （3）关于的一元二次方程：有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求的值． 【答案】（1）3，，；（2），；（3）2 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程． （1）利用根与系数的关系可得，，再把分解因式，再代入求值即可； （2）利用根与系数的关系可得，，从而可得答案； （3）利用根与系数的关系可得，结合，可得，再解方程，结合，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3，，； （2）∵一元二次方程的一个根为， ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （3）设关于x的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵这两个实数根的平方和是21， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴不符合题意， ∴． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03一元二次方程根与系数的关系 ☆10大高频考点概览 考点01直接利用根与系数的关系求值（甚础题型） 考点06利用根与系数的关系求参数（重点题型） 考点02已知防程的一个根求另一个根 考点07根与系数的关系综合解答（重点题型） 考点03利用根与系数的关系求分式的值（重点题型） 考点08根与系数的关系与几何综合（常考题型） 考点04“构建方程”求代数式的值（难点题型 考点09根与系数的关系中新定义问题 考点05“降次法”求代数式的值（常考题型） 考点10根与系数的关系中阅读问题（常考题型） 目目 考点01 直接利用根与系数的关系求值 1.（(24-25八年级下·浙江台州期末)己知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-x-5=0的两个根，则 X1十X2的值为() A.1 B.-1 C.5 D.-5 2.（24-25八年级下·浙江绍兴期末)设x1,X2是关于x的一元二次方程x2-7x-4m2=0的两个不同实数 根，则x1+x的值是() A.-4 B.4 C.7 D.-7 3.(24-25八年级下·浙江台州期末)已知m,n是一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根，则mn=() A.-4 B.-2 C.2 D.4 4.（24-25八年级下·浙江金华期末)已知一元二次方程2x2+3x一1=0的两根分别为x1,X2,则x1十X2 的值为() A. B.- c. D.- 5.(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)设方程x2-3x+2=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值是() A.-3 B.3 C.-6 D.6 6.(24-25八年级下浙江宁波期末)已知m,n是方程x2+3x-6=0的两根，则(m-2(n-2的值为 7.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)设x1,X2是方程2x2+6x一1=0的两根，则x1十x2十X1X2的值是 目目 考点02 己知方程的一个根求另一个根 1/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25八年级下·浙江杭州期末)己知一元二次方程2x2一mx-m=0的一个根是x=一，则方程 的另一个根为 2.(24-25八年级下浙江宁波期末)若x=1是一元二次方程x2-6x+m=0的根，则方程的另一个根 为 3.(24-25八年级下·浙江杭州期末)己知方程3x2+kx-2=0的一个根为2，则另一个根为 4.(24-25八年级下浙江衢州期末)若方程x2-x+c=0(c为常数)的一个解是x1=1,则另一个解 X2= 5.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)已知x=2是方程x2-6x+m=0的根，则该方程的另一根为 6.(24-25八年级下浙江温州期末)已知关于x的一元二次方程x2-x+m=0的一个根是-4，则该方 程的另外一个根是 7.(24-25八年级下·浙江杭州期末)若方程x2-ax+b=0(a,b为常数，且a≠0)的一个解是x=a, 则另一个解是 目目 考点03 利用根与系数的关系求分式的值 1,(24-25八年级下浙江金华期末)已知一元二次方程：x2-2x一5=0的两根为x1,x2,则京+的 值为 2.(24-25八年级下·浙江宁波期末)已知一元二次方程2x2-3x一1=0的两根分别为m、n,则品+晋的 值为一 3.(24-25八年级下浙江杭州期末)己知a,b是一元二次方程x2+2025x+1=0的两个实数根，求 停+V层的值() A.-2025 B.2025 C.2025 D.±2025 4.(24-25八年级下·浙江杭州期末)己知关于x的一元二次方程x2-5x-6=0的两根分别为a,b,则 吉+的值为（) A.-8 B.8 c.- D. 5.(24-25八年级下浙江杭州期末)若x2是方程x2-bx十4=0的两个根，已知安+定：=3，则 b= 2/10 厨学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 6.（24-25八年级下浙江杭州期末)若一元二次方程5x2+10x-1=0的两个根为x1,x2,则 安十定= 7.(24-25八年级下浙江杭州期末)思维拓展：已知实数s,t分别满足19s2+99s+1=0, t2+99t+19=0,(st≠0)则+4s+ 目目 考点04 “构建方程”求代数式的值 1.(2024浙江杭州三模)己知a、b为实数，且满足ab+a+b-8=0,a2b十ab2-15=0,则 (a-b)2= 【4x2+9x+3=0 2.(2425八年级下浙江宁波期末)若xy≠-1，且3y2-9y+4=0，则等= 3.(2025浙江宁波模拟预测)己知实数m,n满足3m2+5m-3=0,3n2-5n-3=0.且mn≠1， 则点+罗-m的值为 4.(24-25八年级下浙江宁波期末)设实数a,b满足3a2+1=5a,b2+3=5b且ab≠1，则代数式 芒的值是 5.(24-25八年级下·浙江金华期末)如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1,n2-2n=1 ,则2m2+4n2-4n+2026= 6.(24-25八年级下浙江杭州·期末)已知关于x的一元二次方程x2-3x+2k=0 (1)若方程有一个根为2，则k的值为 (2)若方程有两个实数根.k为符合条件的最大整数，实数m,n满足m2=3m-2k,9n2=9n-2k, 且m≠3n,则mn的值为 目目 考点05 “降次法”求代数式的值 1.(24-25八年级下浙江嘉兴期末)若a,b是一元二次方程x2=x+2W3的两个实数根，则a2+b2= 2.(24-25八年级下浙江绍兴期末)已知m、n是方程x2+4x+3=0,的两个实数根，则 m2+4m+mn的值为 3.(24-25八年级下·浙江湖州期末)己知，B是一元二次方程x2-2024x-2025=0的两个根，则 c2-2025-B的值等于 3/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25八年级下浙江杭州期末)若，阝是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则代数式 2a2+6a+2B+5的值为 5.(24-25八年级下江苏盐城期末)已知m,n是方程x2+3x-3=0的两根，则m2+4m+n的值为 6.(24-25八年级下·浙江·期末)己知m,n是一元二次方程2x2-6x-2023=0的两个实数根，则代数 式2m2-5m+n的值等于 7.(24-25八年级下浙江杭州期末)己知a,b是方程x2+x一2026=0的两个实数根(a≠b),则 a2+2a+b的值是 目目 考点06 利用根与系数的关系求参数 1.(24-25八年级下浙江温州期末)已知一元二次方程ax2+bx-2=0的根为x2,若安+定=2， 则b的值为 2.(24-25八年级下浙江温州期末)已知x1,x2是一元二次方程x2-3x+m=0的两个根，若 2x好-5x1=5-x2,则m的值为 3.(24-25八年级下浙江金华期末)已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m一1=0有两个实数根X1, 2.实数m满足(X1-1)(x2-1)=,则实数m的值为 4.(24-25八年级下·浙江杭州期末)已知x、B是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两 个不相等的实数根 (1)m的取值范围是 (2)若满足+青=一1，则m的值为 目目 考点07 根与系数的关系综合解答 1.(24-25八年级下·浙江温州·期末)己知关于x的一元二次方程2x2-x+专m一1=0有两个不相等实数 根. (1)求m的取值范围. (2)若该方程的两根异号，设其中一个实数根为a,记y=4a2-2a+3m-7,求证：y<-1. 2.(24-25八年级下浙江金华期末)已知关于x的方程x2-(k+4)x+2k+4=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： 4/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)记该方程的两个实数根为x1,x2,求代数式(x1一2)(x2-2) 3.(24-25八年级下浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2-3=0. (1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围； (2)若该方程的两个实数根x1,x2满足(X1一1)(X2-1)=15,求k的值. 4.(24-25八年级下·浙江温州期末)己知关于x的一元二次方程x2-4x十m-1=0. (1)若该方程有两个实数根，求m的取值范围. (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且x1十x2=x12,求m的值. 5.(24-25八年级下浙江绍兴期末)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0. (1)若x1,X2是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是一3，求x1十x2十X1X2的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 6.(24-25八年级下·浙江温州期末)已知一元二次方程x2-2x+十k十1=0有两个实数根为x1,X2: (1)求k的取值范围： (2)是否存在实数k,使得等式定+：=k-1成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由. 7.(24-25八年级下·浙江杭州期末)已知实数x1X2满足X1十X2=一3，X1X2=一4， (1)求作以x1,X2为根的二次项系数为1的一元二次方程： (2)若a2+a-1=0,b2+b-1=0(a≠b),求a十b的值， 8.(24-25八年级下.浙江台州·期末)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若x1X2是该方程的两个实数根，且x12十x22=5,求m的值 9.(24-25八年级下·浙江舟山期末)设x1,x2是关于x的一元二次方程x2-3x+2-m2=0的两根. (1)当x1=-1时，求x2及m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有2个实数根. (3)求证：(x1-1)(82-1)≤0. 目目 考点08 根与系数的关系与几何综合 1.(24-25八年级下·浙江杭州期末)己知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的 一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根 (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)当k为何值时，△ABC为直角三角形，并求出△ABC的周长. 2.(24-25八年级下浙江杭州·期末)已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. 5/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根： (2)若Rt△ABC斜边长a=3,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长， (3)已知三个不同的实数a,b,c满足a-b十c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx十c=0有一个相同的 实根，方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实根.求a,b,c的值. 3.(24-25八年级下浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程x2-mx+寺m2-1=0. (1)证明：该方程一定有两个不相等的实数根， (2)已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为√10时， 求m的值. 目目 考点09 根与系数的关系中新定义问题 1.(24-25八年级下·浙江期末)我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”.对于“全整根方程” ax2+bx+c=0(a≠0)，设其两根为x1、x2(x1≥x2),定义有序数对M(S,p)为该方程的特征数对 (其中s=x1+x2,p=x这2).若两个“全整根方程的特征数对分别为M1(sP),M2(s2P2),， s1+s2=|P1一P,则称这两个方程互为“关联全整根方程”， 举例说明：方程①：x2-9x+20=0(81=4,X2=5),特征数对M1(9,20); 方程②：x2+6x+5=0(x1=-1,X2=-5),特征数对M2(6,5); 验证：因为9+6=20一5引，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”. 解答下列问题： (1)【概念辨析与计算】己知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0(k为整数)是“全整根方程”. ①则该方程的两根分别为-，一： ②若其特征数对为M(3,2),求k的值。 (2)【关联探究与推理】若方程x2+ax+b=0和x2+px+q=0都是全整根方程，且它们的两根分别为a ,B和a+1,B+1.请用含a,b的代数式表示p,9 (3)【Ar验证与拓展】某同学利用AI工具生成了“全整根方程”A:x2+mx十n=0(m>0,0<n<25) 与全整根方程”B:x2+10x+25=0,且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值 2.(24-25八年级下浙江杭州期末)己知ax3+bx2+cx+d是关于x的多项式，记为P(x).我们规定： P(x)的导出多项式为3ax2+2bx+c,记为Q(x).例如：若P(x)=4x3+3x2-5x-1,则P(x)的 导出多项式Q(x)=3×4x2+2×3x-5=12x2+6x-5 根据以上信息，回答问题： 6/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若P(x)=3x2+7x,则它的导出多项式Q(x)=; (2)设Q(x)是P(x)的导出多项式. ①若P(x)=x3-（(x+1)(x-2),求关于x的方程Q(x)=2的解： ②已知P(x)=(a+1)x2+4x-3是关于x的二次多项式，x1,x2是关于x的方程Q(x)=x2+8的两 根，且定+定=2，试求a的值. 3.(24-25八年级下.浙江台州·期末)定义：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，设其两个实数 根为x1,x2.若存在正实数k,使得X1十|X2=kX1十X2,则称该方程为“和谐方程”，k称为“和谐系 数” (1)已知关于x的方程x2-(m2+1)x+(m2-1)=0是“和谐方程”，其中m为实数，设两个实数根为 X1,X2 ①当m=2时，则k=; ②若k=1,记S=Vx经+号+1，求S的最小值，并求此时m的值. ③以下是对该和谐方程的判断，其中正确的有·（多选题) A.若k=V5,则m=0 B.当k=1时，则x1·X2>0 C.当k>1时，则x1·X2<0 D.存在一个实数m,使得该方程和谐系数k=1和k=V3同时满足。 E.对于任意实数m,总存在正实数k,使方程是“和谐方程” (2)设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“和谐方程”，k为“和谐系数”，且k>1.试探究a ,b,c,k之间的关系式，并予以证明. 4.(24-25八年级下.浙江杭州·期末)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根， 且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程x2+x=0的两个根 是X1=0,X2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程. (1)通过计算，判断方程x2+3x+2=0是否为“邻根方程”. (2)已知关于x的方程x2-(m+2)x+2m=0是“邻根方程”，求m的值. (3)若关于x的方程ax2+bx+2=0(a>0)是“邻根方程”，令t=12a-b2,试求t的最大值. 5.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a不为0)有两个实数 根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程 7110 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)判断关于x的方程x2-6x+8=0是不是倍根方程 (是或不是) (2)若关于x的方程(x-2)(x+n)=0是倍根方程，则品= (3)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a不为0)是倍根方程，且5a+b=0,请求出此方程的两个 根。 6.(24-25八年级下·浙江宁波·期末)规定：如果实数a,b,c满足a一b=b-c,那么称一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)为“等差”二次方程. (1)下列方程是“等差”二次方程的有 (填序号)： ①3x2+4x+5=0:②x2+2x-3=0;③x2-1=0;④3x2+1x+青=0 (2)若“等差”二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的一个根为2，求这个方程的另一个根； (3)若m,n是“等差”二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，请写出m,n的数量关系，并说明理由. 7.(24-25八年级下·浙江金华期末)如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根， 且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”.例如，一元二次方程x2一3x十2=0 的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”， (I)若一元二次方程x2-9x十c=0是“二倍根方程”，则c= ab (2)若(x-2)(ax-b)=0(a≠0)是“二倍根方程”，求+b的值. (3)若方程x2+bx+c=0是“二倍根方程”，求b与c之间的关系 目目 考点10 根与系数的关系中阅读问题 1.(24-25八年级下·浙江绍兴·期末)阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两 个根为x1X2,则x1十X2=-台，X1X2=音. 材料2：已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的 两个不相等的实数根。 (1)材料理解：一元二次方程3x2-6x+1=0的两个根为X1X2,则x1十x2=,X1X2=; (2)应用探究：已知实数a,b满足：a2-5a+1=0,b2-5b+1=0且a≠b,求a2b+ab2的值： (③)思维拓展：已知实数mn满足：m2+5m-3=0,4n2+10n-3=0,求器+器的值. 2.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)根据以下素材，解决问题. 8/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关 系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理. 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1,x2和系数a,b,c, 素材1 有如下关系：X1+x2=一贵，x1X2=旨. 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值. 解：m,n是一元二次方程x2一x一1=0的两个实数根， 素材2 ∴m+n=1,mn=-1 则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1. 问题解决 若一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1,x2,则X1十X2=一 问题1 X1X2= 已知关于x的一元二次方程x2-6x+(2m+1)=0有两个实数根为x1,x2,且 问题2 2x1X2+X1+X2≥20，求m的取值范围； 己知一元二次方程2x2+2025x-3=0的两个实数根为m,n,求 问题3 (2m2+2024m-7)(2n2+2026n+1)的值. 3.(24-25八年级下浙江宁波期末)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数 根为x1,x2,那么X1十x2=-贵X1X2=司；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家 韦达(1540-1603)发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为 简单.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：己知一元二次方程x2-3x-2=0两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.小明给 出了一部分解题思路： 解：(1)：一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根分别为m,n, 4m十n=_, 4mn=_’ ·m2知+mn2=,请填空； 9/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)一元二次方程-2+mx+1=0的一个根为x=2,则m=,另一个根为x= ； (3)关于x的一元二次方程：x2+(2m+1)x+m2-2=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和是 21,求m的值 10/10