精品解析：河北省保定市清苑县张村中学2026年中考数学预测一

2026年初中学业水平模拟考试（九年级） 数学（预测一） （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将姓名，准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答单选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 卷Ⅰ（选择题、共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是正数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线l被直尺覆盖一部分，下面选项中哪条射线是直线l的一部分（ ） A. a B. b C. c D. d 3. 若与是同类项，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 小邱同学做这样一道题“计算”，其中“”是被墨水污染看不清的一个数，他翻看了后面的答案，得知该题的答案是15，那么“”表示的数是（ ） A. 9 B. 9或 C. D. 或21 5. 如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，有关它的三视图下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 左视图与俯视图相同 C. 主视图与左视图相同 D. 三视图都不相同 6. 如图，直线与相交于点，，若，则为（ ） A. B. C. D. 7. 2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，正面印有吉祥物形象的四张卡片如图4所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回，洗匀再抽取一张，则恰巧抽到“驰驰”和“骋骋”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将绕点O顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点B，过A作交反比例函数的图象于点C，连接，若的面积为5，则k的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景，如图，一束光从天花板点P射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑，第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为α，β已知天花板与地板是平行的，且它们的高度为，当，时，则第一小组和第二小组的光斑距离为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知抛物线线经过点，，与y轴交于点，P为上的一个动点，连接，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. y的最大值为 C. D. 的最小值时，点P的坐标为 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 14. 若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的______段．（填序号） 15. 如图，已知△ABC是面积为4的等边三角形，△ABC∽△ADE， AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积 等于___（结果保留根号）． 16. 如图，在正六边形中，，将一个含的直角三角板的直角放入正六边形内，保证点B，D同时在三角板的边，上，转动三角板，连接FH，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知点A，B，C，D在数轴上，其中A，B分别表示数和3，点C向右平移5个单位长度后与点B重合． （1）求线段的长； （2）求点C表示的数； （3）对于数轴上三点，点A，点B关于点D对称，求点D对应的实数． 18. 阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： ；；；……． 如果将中间的数记为，为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，，，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积： 第一步 第二步 第三步 ． 第四步 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即为整数且）． 任务： （1）“规律探究”中，第二步到第三步运用了________公式． （2）利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． （3）请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为，且）的乘积的规律． 19. “一分钟跳绳”是H市中考体育考试选考项目，某校为了解九年级男生“一分钟跳绳”训练状况，随机抽取了60名九年级男生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下： ．成绩频数分布表： 成绩（个） 频数 8 17 12 3 ．成绩在这组的数据是（单位：个）： 170 170 170 170 171 172 172 173 173 174 174 174 根据以上信息，回答下列问题： （1）___________，这次测试成绩的中位数是___________个； （2）小明的“一分钟跳绳”测试成绩为172个，这60名九年级男生的平均成绩为个．所以小强评价说：“小明的成绩低于平均成绩，在抽取的60名男生的测试成绩中，至少有一半九年级男生成绩比小明高．”你认同小强的说法吗？请说明理由． 20. 如图，在中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点F． （1）求证：； （2）连接AF，若，求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求，的值； （2）根据图象，则不等式的解集为________； （3）为直线上一点，过点作轴的平行线，交于点，当时，求点的坐标． 22. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的信号塔．在处测得信号塔顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度，，．（点在同一竖直平面内） （1）求平台的高度； （2）求信号塔的高度.（结果精确到1米，参考数据：） 23. 图1为一种半圆形摇椅，如图2，未乘坐时，其截面是以为直径的半圆O，，及是支撑杆，点C在半圆上，，，，平行于地面，的延长线交于点P．如图3，乘坐时，半圆沿地面向后做无滑动滚动，平行于地面，半圆与地面相切于点Q，的延长线交半圆O于点． （1）求半径的长． （2）乘坐时，点D到地面的高度为多少？ （3）请直接写出乘坐时，地面上点P与点Q之间的距离． 24. 某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图1），喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内，以水池中心O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）．经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为，之后落回水面上的C点． （1）求该抛物线的表达式； （2）求音乐喷泉水池的半径的长； （3）公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为时，视觉效果最好． ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标为，请求出n与m的函数关系式； ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比．原方案的最高点高度为，新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同．请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试（九年级） 数学（预测一） （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将姓名，准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答单选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 卷Ⅰ（选择题、共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据正数的定义，大于0的数为正数，其中，为正数，其余选项中的数，都带有负号，为负数． 2. 如图，直线l被直尺覆盖一部分，下面选项中哪条射线是直线l的一部分（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了射线与直线的关系，掌握射线是直线的一部分成为解题的关键． 根据射线和直线的关系即可解答． 【详解】解：由图可知：射线c在直线l有重合部分，则射线c是直线l的一部． 故选C． 3. 若与是同类项，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项， ∵ 与 是同类项， ∴ 相同字母的指数相等，得 ，相同字母的指数相等，得， ∴ ． 4. 小邱同学做这样一道题“计算”，其中“”是被墨水污染看不清的一个数，他翻看了后面的答案，得知该题的答案是15，那么“”表示的数是（ ） A. 9 B. 9或 C. D. 或21 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，一元一次方程的应用，掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义，可得绝对值里面式子等于，继而根据有理数的减法进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 故选：D． 5. 如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，有关它的三视图下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 左视图与俯视图相同 C. 主视图与左视图相同 D. 三视图都不相同 【答案】C 【解析】 【详解】解：题图中的空心卷纸为圆柱体内挖去一个圆柱体， 其主视图与左视图相同，均为长方形内有一个长方形，俯视图为两个同心圆． 只有C选项正确． 6. 如图，直线与相交于点，，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直的意义和平角，解题的关键是掌握垂线的性质，根据垂线的性质以及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 7. 2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，正面印有吉祥物形象的四张卡片如图4所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回，洗匀再抽取一张，则恰巧抽到“驰驰”和“骋骋”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用列表法或画树状图法，求概率即可． 【详解】解：用字母A，B，C，D分别代指抽到“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，列表如下： 第一次抽取 第二次抽取 A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 由表1可知，共有16种等可能的情况，其中恰巧抽到“驰驰”和“骋骋”的情况有2种， 故概率为． 8. 设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对所求代数式因式分解，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 对所求代数式因式分解得： ， 将，代入得： 原式． 9. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将绕点O顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点B，过A作交反比例函数的图象于点C，连接，若的面积为5，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数k的几何意义，利用平行线间距离处处相等，得到，再通过代换求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，作， 由旋转的性质，得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由图可知，， ∴． 10. 如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 11. 物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景，如图，一束光从天花板点P射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑，第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为α，β已知天花板与地板是平行的，且它们的高度为，当，时，则第一小组和第二小组的光斑距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别过点P，A，B作的垂线，利用入射角等于反射角和平行线间的距离相等，证明全等三角形，借助特殊角的锐角三角函数值求出和，再作差即可． 【详解】解：如图，设第一小组和第二小组的入射光线与地板的交点分别为C，D，作，，，则， 又， ∴，四边形和四边形都为矩形， 在中，； 在中，， ∵，，， ∴， ∴， 同理，， ∴，， ∴． 12. 如图，已知抛物线线经过点，，与y轴交于点，P为上的一个动点，连接，则下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. y的最大值为 C. D. 的最小值时，点P的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线与轴两个交点坐标可求对称轴；用待定系数法求出抛物线的函数关系式，可求其最大值；由抛物线求得A、B、C的坐标，再求出，和，由勾股逆定理即可得到∠ACB是直角，根据直线的解析式为，可设点坐标为，再根据坐标系中两点距离公式得出，根据二次函数的最小值，OP取最小值时，可得P点横坐标为． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项A说法正确； 设抛物线关系式为：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线关系式为：， ∴当时，y有最大值，故选项B说法正确； ∴点B坐标为，点A坐标为， ∴． 当时，， ∴点坐标为， ∴，， ∵， ∴△ABC是直角三角形，且，故选项C说法正确； ∵点、点， ∴直线的解析式为， 设点坐标为， ∴， ∴当时，，此时取最小值为． 的最小值时，点P的坐标为，故选项D说法错误 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据单项式乘多项式法则和平方差公式展开原式，再去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 14. 若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的______段．（填序号） 【答案】① 【解析】 【分析】先进行二次根式的乘法运算，再估计二次根式的整数部分的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴数a落在了如图所示数轴上的①段． 15. 如图，已知△ABC是面积为4的等边三角形，△ABC∽△ADE， AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积 等于___（结果保留根号）． 【答案】3- 【解析】 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后求出其边长，过点F作FH⊥AE，过C作CM⊥AB，利用三角函数求出HF的值，即可得出三角形AFE的面积. 【详解】解：作CM⊥AB于M， ∵等边△ABC的面积是4， ∴设BM=x，∴tan∠BCM=， ∴BM=CM， ∴×CM×AB=×2×CM2=4， ∴CM=2，BM=2， ∴AB=4，AD=AB=2， 在△EAD中，作HF⊥AE交AE于H， 则∠AFH=45°，∠EFH=30°， ∴AH=HF， 设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x． 又∵AH+EH=AE=AD=2， ∴x+x=2， 解得x=3-． ∴S△AEF=×2×（3-）=3-． 故答案为3- 16. 如图，在正六边形中，，将一个含的直角三角板的直角放入正六边形内，保证点B，D同时在三角板的边，上，转动三角板，连接FH，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正六边形性质，得出对顶连线为外接圆直径，求出；作，由等腰三角形三线合一得是中点，结合轴对称确定在上；由，判定点在以为直径的圆弧上，为圆心；借助角度关系和勾股定理，求出、圆半径及线段的长；根据共线时线段最短，算出的最小值． 【详解】解：六边形是正六边形，边长为， ，正六边形外接圆半径等于边长， 是正六边形一组对顶点， 为外接圆直径， ， 过点作，垂足为， ， 是中点， 正六边形关于直线对称， 点在上， ， 点在以为直径的圆弧上， 点为该圆弧所在圆的圆心， ，， 平分， ，， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， 点在圆弧上， 当F、H、O三点共线时，最短， ∴线段的最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知点A，B，C，D在数轴上，其中A，B分别表示数和3，点C向右平移5个单位长度后与点B重合． （1）求线段的长； （2）求点C表示的数； （3）对于数轴上三点，点A，点B关于点D对称，求点D对应的实数． 【答案】（1）4 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）直接根据数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）根据点的平移规律计算即可； （3）设点D对应的实数为x，根据点A，点B关于点D对称可知，进而求解即可. 【小问1详解】 解：∵点A表示，点B表示3， ∴线段的长为； 【小问2详解】 解：由题意可得点C表示的数为； 【小问3详解】 解：设点D对应的实数为x， ∵点A，点B关于点D对称， ∴，即， 解得， 即点D对应的实数为1． 18. 阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——“连续自然数乘积”的规律与应用 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积： ；；；……． 如果将中间的数记为，为整数且，那么三个连续自然数可以表示为，，，它们的乘积可记为． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积： 第一步 第二步 第三步 ． 第四步 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即为整数且）． 任务： （1）“规律探究”中，第二步到第三步运用了________公式． （2）利用材料中发现的规律计算的值（写出必要的过程）． （3）请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为，且）的乘积的规律． 【答案】（1）平方差 （2）7980 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，平方差公式，熟练掌握整式乘法的运算法则和平方差公式是解题的关键． （1）根据第二步到第三步变化过程判断即可； （2）利用材料中发现的规律计算即可； （3）仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数的乘积的规律即可． 【小问1详解】 解：由计算过程可得运用了平方差公式． 故答案为：平方差． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：设三个连续偶数分别为， 则三个连续偶数的乘积 ． 19. “一分钟跳绳”是H市中考体育考试选考项目，某校为了解九年级男生“一分钟跳绳”训练状况，随机抽取了60名九年级男生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下： ．成绩频数分布表： 成绩（个） 频数 8 17 12 3 ．成绩在这组的数据是（单位：个）： 170 170 170 170 171 172 172 173 173 174 174 174 根据以上信息，回答下列问题： （1）___________，这次测试成绩的中位数是___________个； （2）小明的“一分钟跳绳”测试成绩为172个，这60名九年级男生的平均成绩为个．所以小强评价说：“小明的成绩低于平均成绩，在抽取的60名男生的测试成绩中，至少有一半九年级男生成绩比小明高．”你认同小强的说法吗？请说明理由． 【答案】（1）20； （2）不认同， 理由如下： ∵， ∴小明的测试成绩高于中位数，说明他比一半九年级所测男生成绩好． 【解析】 【分析】（1）用总人数减去已知频数即可求解；这次测试成绩的中位数是60名九年级男生的成绩从小到大排列后的中间两人的平均数； （2）根据小明的测试成绩与这次测试成绩的中位数比较即可解答． 【小问1详解】 解：； ∵这次测试随机抽取了60名九年级男生成绩，且， ∴这次测试成绩的中位数是成绩从小到大排列后第30名和第31名的平均数， 即; 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点F． （1）求证：； （2）连接AF，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）27° 【解析】 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明，得到，进行求解即可. 【小问1详解】 证明：在中，，又于点E， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求，的值； （2）根据图象，则不等式的解集为________； （3）为直线上一点，过点作轴的平行线，交于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，点的坐标与函数的特征等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由直线过点，且点的横坐标为，可求得点的坐标，由直线经过、两点坐标，用待定系数法即可求得，的值即可； （2）观察图象，函数图象都位于轴上方且函数的图象位于函数的图象上方时，自变量的取值即为不等式的解集； （3）由直线的解析式可求得点的坐标，从而得的长，设点的横坐标为，则可表示点、的坐标，从而表示，由列方程即可求得的值，则可得点的坐标． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， 把，代入得：， 解得：， ∴的值是，的值是． 【小问2详解】 解：由知， 观察图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方， 故不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由（1）知，直线的解析式为， 上式中，当时，， ∴点坐标为， ∴． 设点的横坐标为，则，， ∵， ∴， 解得：或， 即点坐标为或． 22. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的信号塔．在处测得信号塔顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度，，．（点在同一竖直平面内） （1）求平台的高度； （2）求信号塔的高度.（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于，根据坡度的概念得到，再根据勾股定理求出； （2）延长交于，设，根据正切的定义用表示出，根据题意列式即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， ∵斜坡的坡度为， ∴． ∴． 在中，，即． 解得（负值已舍去）， 故平台的高度为． 【小问2详解】 解：如图，延长交于，则，四边形为矩形， ∴，， 设，则． 在中，， ∴， 在中，，则， 由（1）可知，， ∴，解得 ， 故信号塔的高度约为． 23. 图1为一种半圆形摇椅，如图2，未乘坐时，其截面是以为直径的半圆O，，及是支撑杆，点C在半圆上，，，，平行于地面，的延长线交于点P．如图3，乘坐时，半圆沿地面向后做无滑动滚动，平行于地面，半圆与地面相切于点Q，的延长线交半圆O于点． （1）求半径的长． （2）乘坐时，点D到地面的高度为多少？ （3）请直接写出乘坐时，地面上点P与点Q之间的距离． 【答案】（1） （2）点D到地面的高度为 （3） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解； （2）作于，于，证明四边形为矩形，得出，证明，由（1）可得：，，求出，进而得出，即可得解； （3）由（2）可得：，四边形为矩形，由勾股定理可得，证明，由相似三角形的性质计算可得，即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：； 【小问2详解】 解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D到地面的高度为； 【小问3详解】 解：如图： ， 由（2）可得：，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴地面上点P与点Q之间的距离为． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24. 某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图1），喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内，以水池中心O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）．经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为，之后落回水面上的C点． （1）求该抛物线的表达式； （2）求音乐喷泉水池的半径的长； （3）公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为时，视觉效果最好． ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标为，请求出n与m的函数关系式； ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比．原方案的最高点高度为，新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同．请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？ 【答案】（1） （2） （3）①（且）；②倍 【解析】 【分析】（1）由题意，抛物线的顶点坐标为，且过点，运用待定系数法求解即可； （2）令，代入解析式求一元二次方程即可； （3）①设新抛物线的表达式为，运用待定系数法即可求解； ②由题意得，代入计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的表达式为， 将代入表达式，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：令，则， 解得，（舍）， 故音乐喷泉的水池半径的长为． 【小问3详解】 解：①设新抛物线的表达式为， 将，代入得 解得（且）． ②由题意得， ∴， ∵喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比， ∴功率比为， 故新方案功率是原方案的倍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $