北京市顺义区第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 以庑殿式屋顶、乾坤八卦等文化情境为载体，融合向量、立体几何等知识，考查空间观念与数学应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|向量运算、复数几何意义、空间线面关系|第7题结合庑殿式屋顶模型计算表面积，体现文化传承与几何直观| |填空题|5/25|球体体积与表面积、直观图、二面角|第15题以正八边形八卦模型考查向量投影，发展数学眼光| |解答题|6/85|解三角形、立体几何证明与体积、正交数表探究|第19题四棱锥中面面垂直证明及点存在性探究，培养逻辑推理与创新意识|

顺义一中2025-2026 学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知点A(1,-2),B(2,3),则向量 ( ) A. B. (3,1) C (1,5) D. (-1,-5) 2. 在复平面内,复数z=(3+4i)i对应的点位于( ) A.第一象限 B 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在直角△ABC中，斜边AC=3，直角边BC=1.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为 ( ) A. B. C. D. 4.已知向量 则下列向量与 平行的是( ) A. (0,2) B. (-1,3) C. D (6,2) 5.已知两条不同直线，与两个不同平面，，下列命题正确的是( ) A. 若⊥, ∥, 则⊥ B. 若∥,⊥, 则⊥ C. 若∥,∥, 则∥ D. 若∥,∥, 则∥ 6. 在△ABC中, 则∠B= ( ) A. B. C. D. 7.庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶.单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡 (如图①)(如图②),若四边形ABCD是矩形, AB∥EF,且AB=CD=2EF=2BC=8, EA=ED=FB=FC=3,则五面体FE-ABCD 的表面积为( ) A. 64 B. C. D. 8. 设, 为两个非零向量,则“·>0”是“存在实数λ>0，使得 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.如图，在正方体 中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，平面 DEC₁交棱BB于点G，则下列结论中正确的是 ( ) A. 直线A₁F 与直线C₁E 异面 B. 平面AB₁D₁//平面DEC₁ C. 截面DEGC₁是梯形 D. 直线C₁F⊥平面DEC₁ 10.在Rt△ABC中,∠A=90,AB=2,AC=4,D为BC的中点,点P在△ABC斜边BC的中线AD上,则 的取值范围为( ) A. [-5,0] B. [-3,0] C. [0,3] D. [0,5] 二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知 则 = 12. 如图, △O'AB'是水平放置的△OAB的直观图, 且O'A'=2, O'B'=3, 则△OAB的周长为 13.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 . 14. 如图,长方体中, ABCD是边长为1的正方形, 与平面 所成的角为45°，则棱的长为 ：二面角的大小为 . 15.乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA=2，则下列命题： ③OA在 上的投影向量为 ④若点P为正八边形边上的一个动点，则 的最大值为4. 其中正确命题的序号是 三、解答题，共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知 求： 与的夹角θ的余弦值. 17.如图，已知正方体 边长为2. (1)证明: B₁C ∥平面ABD; (2)证明: BD⊥AC; (3)求三棱锥B-A₁B₁C的体积. 18. 在△ABC中, 角A,B,C的对边分别为,,c,若 (1)求cosA的值; (2)求c边及△ABC的面积. 19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=,AC∩BD=O,PA⊥底面ABCD. (1)证明: 平面PBD⊥平面PAC; (2)设平面PBC∩平面PAD于直线,证明: BC∥; (3)若在线段BC上是否存在点 F，使得EF//平面PAB，若存在点 F，则为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为45°. 20.已知在 中，内角A，B，C所对边分别为,b,c, (1)求A的大小; (2)若c=8,判断下列三个条件是否能使△ABC存在且唯一，并对满足条件的求出△ABC的周长. ①AB边上的高线CD长为 ②=8 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 21.如图，设A是由 个实数组成的n行n列的数表，其中 表示位于第i行第j列的实数，且 记向量 若 则称 与 为正交向量. 若对任意不同的,∈{1,2,…,n}, 都有 与 为正交向量，则称A为正交数表. (1)直接判断是否为正交数表(不需要说明理由)； (2)当n=6时, 设 且 与 为正交向量， 与 为正交向量，求证： 与 不是正交向量： (3)求证: 对任意k∈,当n=4k+2时, A不是正交数表. 学科网（北京）股份有限公司 $