专题04 导数与恒成立、能成立问题（含不等式证明、洛必达法则、端点效应与必要性探路）（7大题型）（期末复习专项训练）高二年级数学下学期人教A版

专题04 导数与恒成立、能成立问题 （含不等式证明、洛必达法则、端点效应与必要性探路） 题型1 恒成立问题（重点） 题型5 洛必达法则 题型2 能成立（有解）问题（重点） 题型6 端点效应与必要性探路（难点） 题型3 利用导数证明不等式（重点） 题型7 恒成立问题中的整数最值问题（难点） 题型4 参变分离 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 恒成立问题（共8小题） 1．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可得； （2）由题问题转化为在上恒成立，设，利用导数判断单调性求出最值得解. 【详解】（1）因为，，， 所以在处的切线方程为，即. （2）由可知，，， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 所以时，取得最小值，最小值为， 由题意知，即，故的取值范围为. 2．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)增区间是和，减区间是； (2) 【分析】（1）利用导数确定单调区间； （2）分离参数后，构造新函数，由导数求得新函数的最值后得结论. 【详解】（1）时，，， 或， 当或时，，当时，， 所以增区间是和，减区间是； （2）， 不等式为， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以，即取值范围是. 3．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 【答案】(1)极大值为：；无极小值. (2)2 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可得函数极值的情况. （2）先把不等式化为在上恒成立.在利用，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，可求的取值范围，进而确定的最小值. 【详解】（1）当时，，. 所以，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数有极大值，为；无极小值. （2）不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立. 设，则， 当时，，， 又在上是增函数，，， 所以存在，使得， 当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， ，， 则，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以的最小值为. 4．（24-25高二下·吉林·期末）已知函数，（）. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）讨论、，并应用导数研究不等式恒成立求参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 所以，，则的图象在处的切线方程为， 所以切线方程为； （2）对恒成立，， 设（），则， 当，即时，在上单调递增， 且，所以， 即，此时在上单调递增，且， 所以对恒成立. 当，即时，令，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，又，在上恒有，即， 函数在上单调递减，且，在上有，不符合题意. 综上，，即实数a的取值范围为. 5．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)若，求在区间上的最大值与最小值． (2)关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)最小值-1，最大值 (2). 【分析】（1）通过求导判断函数的单调性，然后求值即可； （2）求导，可知函数的最小值，得到，然后分，，计算即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以， . 令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得最小值. ，，而， 所以：此在处取得最大值 （2）. 因为，令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以， 所以：， 即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设， 则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 6．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)讨论函数的零点情况，只要求写出结论即可； (2)若对任意，有，求a的取值范围； (3)求证：对任意且，有． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数探讨函数性质确定零点情况. （2）构造函数，利用导数探讨恒成立问题求解. （3）法1：由（2）的结论，结合裂项相消法求和得证；法2：利用导数证明不等式，再赋值即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，由，得， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当或时，直线与函数的图象有一个公共点； 当时，直线与函数的图象有两个公共点； 当时，直线与函数的图象没有公共点， 所以当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数无零点. （2）对任意，不等式， 令函数，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，不合题意； 当时，，设其两个根，， 由，得，函数在单调递减，，不合题意； 当时，函数在上单调递增，，， 函数在上单调递增，对任意，符合题意， 所以a的取值范围是. （3）法1：由（2）知，当时，， 因此 所以 ． 法2：先证：对任意，有，令， 求导得，函数在上单调递增，， 因此对任意，有，即， 而， 所以. 7．（24-25高二下·河南安阳·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）由题意可进行分离参数，得在上恒成立，构造函数，利用导数求得其最值，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以函数在点处的切线方程为，即， 因为在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为， 所以，① 因为，所以，②， 联立①②解得； （2）因为，所以恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，由题意可知，故， 故的最小值为1. 8．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接利用函数的导数判断函数的单调区间； （2）将不等式转化为恒成立，进而再构造函数，故只需求出的最大值，即可得所求值的范围； （3）先证明不等式，再根据不等式进行放缩并累加求和即可证明不等式. 【详解】（1）因为函数，函数的定义域为，. 当时，，因为，所以，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数的递增区间为，递减区间为. （2）由，即，得在上恒成立； 令，. 由得，即，所以当，. 所以在上单调递增，在单调递减，所以. 所以，故a的取值范围为 （3）先证明不等式，令，. 所以在单调递减，所以，即不等式成立. 令，即，所以. 所以，，，. 上述n个式子相加得 . 故，成立. 题型二 能成立（有解）问题（共8小题） 9．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程的求解方式求切线方程即可； （2）根据题意，利用导数求函数在的最小值即可. 【详解】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又在上有解，所以. 10．（24-25高二下·安徽滁州·月考）已知函数. (1)当在处的切线是时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)减区间，增区间，极小值，无极大值. (2) 【分析】（1）根据切线求得，利用导数求得的单调区间与极值. （2）由不等式分离参数，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】（1）， 若在处的切线是， 则， 则， 令，得，令，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 且在处取得极小值，无极大值. （2）依题意，①在上有解， ①可化为， 设， ， 由（1）知，当且仅当时函数值为， 所以当单调递减； 单调递增； 所以， 所以的取值范围是. 11．（24-25高二下·河北邯郸·月考）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由在上恒成立，得到，即可求解； （2）参变分离得到，构造函数，求导确定最大值即可. 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由，可得． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． 12．（24-25高二下·天津·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）在上的最大值小于等于在的最大值，在（1）基础上得到的最大值，并求出，从而得到不等式，得到，令，，求导，得到其单调性，并结合特殊点函数值，得到答案. 【详解】（1）由，定义域为， 则， 当时，， 故函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令得，令得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，若对于任意，总存在，使得， 即在上的最大值小于等于在的最大值， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减； 故. 由，，则， 由于，故在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 所以，即. 令，， 则， 故在上单调递减， 又， 所以当时，， 故m的取值范围为. 13．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可； （3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证； （2）由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值为时，最大值为时； （3）由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以. 14．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，并因式分解，分、、讨论，并比较两根大小，根据的取值范围，求函数的单调区间； （2）根据题意得，根据函数性质分别求出两函数的最大值，比较大小得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， . ①当时，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为； ②当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为； ③当时，即当时，对任意的，恒成立且不恒为零， 此时，函数的单调递增区间为； ④当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为. （2）若，，使得，则， ，故在上单调递增， 当时，取得最大值1，即. 由（1）知，当时，， 令，得，故. 当时，无最大值，不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 15．（24-25高二下·上海·期末）已知函数. (1)求的导函数； (2)求在上的单调区间； (3)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)； (2)减区间，增区间； (3). 【分析】（1）利用商的导数法则求导即可； （2）利用导数的正负判断单调性即可； （3）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可. 【详解】（1）求导得： （2）当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （3）由，可得， 题意等价于在上有解. 设，求导得， 当时，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，在在递增，时，在递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，. 16．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)极大值是，极小值是； (2) 【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值； （2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围. 【详解】（1），由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是， 所以的极大值是，极小值是； （2）由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，， 若存在，使得不等式成立，则， 所以. 题型三 利用导数证明不等式（共10小题） 17．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知函数． (1)求曲线的斜率为1的切线方程； (2)当时，求证：； (3)设P是曲线上的动点，P在何处时，曲线在P处的切线斜率最小？（结论不要求证明） 【答案】(1)与． (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合导数的意义和点斜式可得； （2）设，求导分析单调性和最值可得； （3）求导后结合二次函数的性质可得. 【详解】（1）由得． 令，即，得或． 又， 所以曲线的斜率为1的切线方程是与， 即与． （2）设 因为， 令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时， 所以. （3）由（1）可得， 当时，最小， 代入可得， 所以当P的坐标为时，曲线在P处的切线斜率最小． 18．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调增区间； (3)若存在极大值点，求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出切线的方程；       （2）求导，分情况讨论函数的单调递增区间； （3）利用函数的单调性求出函数的极大值，根据的取值范围进而可证明. 【详解】（1）若，则，，， 曲线在处切线的斜率， 曲线在处的切线方程为； （2），定义域为， ，        当时，令，得或， 函数的单调增区间为和； 当时，，函数的单调增区间为； 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和． 综上，当时，函数的单调增区间为和； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和； （3）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为；             当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为， ，，，；        当时，在单调递增，此时无极值，不合题意； 综上，若存在极大值点，则． 19．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知函数在上有两个不同的极值点． (1)求m的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，问题化为在上有两个不同的零点，结合对勾函数的性质求左侧值域，即可得参数范围； （2）应用韦达定理得，结合（1）所得范围，应用导数证明不等式. 【详解】（1）因为，所以， 由题意，在上有两个不同的零点， 所以在上有两个不同的零点， 由在上单调递减，在上单调递增， 其中区间上的值域为，区间上的值域为， 所以，则. （2）由（1）知，， 所以 令，则，且，故， 所以在上单调递减，则，所以得证. 20．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数. (1)讨论的单调性： (2)若有两个极值点，，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性； （2）表示出，通过求导进行证明． 【详解】（1）由，， 则， 不妨设， 则关于的方程的判别式， 当时，，，故， 函数在上单调递增； 当时，，方程有两个不相等的正根，， 且，， 当时，， 当时，， 在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在，上单调递增， 在单调递减； 当时，在上单调递增. （2）由（1）知当且仅当时，有极大值和极小值， 且，是方程的两个正根，，， ， 令， 当时，， 则在内单调递减， 故，则． 21．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分解因式，进而分，可确定单调性； （2）由题意可求得，进而证明，令，利用导数可证结论. 【详解】（1）， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，令，得， 时，在单调递增； 时，在单调递减； 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）由（1）可得，当时，， 即证，即证， 令，则， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， ，即， . 22．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数为实常数，，其中. (1)时，讨论的单调性； (2)求的最值； (3)时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值是，无最大值 (3)证明见解析 【分析】（1）求得导函数，对进行分类讨论，根据导数的正负确定单调性即可； （2）求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出最值； （3）要证明，等价于．设，利用导数求的最大值，结合（2）知，证即可． 【详解】（1）时，，， 当时，，在上单调递减； 当时，由得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减；在上单调递增． （2）因为，所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故的最小值是，无最大值． （3）时，， 要证明，需要证明，等价于①， 设，可得， 由得， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 则的最大值是，即， 由（2）知， 又因为，即， 所以①式成立，所以． 23．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)0 (2)证明见详解 【分析】（1）由题，根据的解析式运算得解； （2）对求导，可得在上单调递增，分，，讨论结合（1）证明. 【详解】（1） ，因此. （2）， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，所以， 当时，，故， 当时，则，，由（1），， 所以，又此时，所以， 综上，. 24．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)已知在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：若，则. （参考数据：） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导并等价转化在恒成立，然后构建函数求导判断单调性可得； （2）代入，求导可得，然后构建函数求导判断函数的单调性，进一步得到函数的单调性，找到其中一个隐零点，然后代值计算即可. 【详解】（1）由题可知：在区间上单调递减， 则在恒成立， 即在恒成立. 令，在恒成立， 所以在单调递增， 所以. （2）当时，，， 令，， 若，；若，， 所以函数在单调递增，在单调递减. 又，， 所以存在，， 若，，即； 若，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 在，有最小值，在，有最大值， 因为，所以，则， 由，所以，又，所以 则， 即. 25．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上不单调． ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）当时，，求出函数定义域，利用导函数的符号确定函数的单调区间即可； （2）①由在区间上不单调，可得在上有正有负，即在内有解，即得参数的范围；②先求得，利用①的结论及可推得，计算证明，即得，再由即可证得. 【详解】（1）当时，，函数定义域为． 求导得．由，可得或；由，可得， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）①对求导得：，． 因为在区间上不单调，所以在上有正有负， 即在内有解．由于，所以，即a的取值范围是． ②由， 由①知，，， 则． 因为，故． 又，则，故得． 26．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，利用分类讨论即可求出函数的单调性； （2）根据有两个零点得出的范围和函数的单调性，求出最小值的表达式，构造函数并求导得出单调性，即可求出实数a的取值范围； （3）写出函数并求导，得出导函数的单调性，求出函数的单调性，利用零点存在性定理，借助放缩法即可证明结论. 【详解】（1）由题意，，， 在中，， ①当时，，函数在单调递减， ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意及（1）得，，， 在中，， ∵有两个零点， ∴，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为． ∵当时，；时，， ∴要函数有两个零点，当且仅当． 在中，， ∴函数在单调递增． ∵， ∴当时，， ∴a的取值范围是． （3）由题意，（1）及（2）证明如下，，， 在中，， 在中， ，， ∵为指数函数单调递增，为反比例函数单调递减， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在使得，即，即，即， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 因为对勾函数函数在上单调递增， 所以， 所以. 题型四 参变分离（共7小题） 27．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导数，分，讨论，利用导数判断单调性； （2）分离参数，令，利用导数求出最值可得答案. 【详解】（1）由题意可知，则， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减； （2），在上恒成立， 即在上恒成立，只需即可， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，即， 则的取值范围为． 28．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求a的取值范围.     【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数在处的切线方程. （2）先注意到恒成立，可把问题转化成时，恒成立，分离参数可得：，设函数，利用导数，分析函数的单调性，求函数的最大值即可. 【详解】（1）当时，， 又因为， 所以，切线方程为，即. （2）当时，， ①当时，因为恒成立，所以； ②当时，由恒成立，得 令，. 再令， 所以在上单调递增， 所以，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以. 即的取值范围为： 29．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求证：恒成立； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用导数判断的单调性，进而求出其最值，证明不等式即可. （2）利用分离参数法结合换元法得到，再构造，利用导数求解的最大值，再求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）当时，， 则，且的定义域为， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故， 得到恒成立. （2）若恒成立，则恒成立， 得到恒成立，易得， 故恒成立，令， 得到恒成立，令，则恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 则，即. 30．（24-25高二下·河南·期中）设. (1)求的最小值； (2)对于，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求出函数的定义域，并利用导数研究其在定义域上的单调性，找到最小值点即可求得最小值； （2）先化简设新函数，并用导数研究其单调性，在上单调递增，在上单调递减，分离参数即可求得参数的范围. 【详解】（1）的定义域为，， 令，可得，令，可得， 故在单调递减，单调递增. 即在处取得最小值. （2）由题可知，对恒成立. 设， 令在单调递减， 故，故在单调递减，而， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故.则.又因为 因此的取值范围为. 31．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)若既是曲线的切线，也是的切线，求实数a和m的值 (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义，先由的切线可得，则可得在上的切点为，所以，则可解； （2）根据题意可得恒成立，设，利用导数得函数单调性，则恒成立，令，再利用导数求最值. 【详解】（1）因为，则， 所以在上的切点为，即； 又因为，则， 所以在上的切点为； 所以，则. （2）因为， 即. 设，，故单调递增. 所以恒成立. 令，，则. 当，，单增； 当，，单减； 所以. 32．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数 (1)若在上不单调，求的取值范围； (2)当时，若对任意的， 恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，分类讨论的范围，即可求解； （2）将问题转化为，令，结合导数求出的单调性以及最值即可. 【详解】（1）由题可得：，可知恒成立， 当时，，函数在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，令，解得：， 要使函数在上不单调，则， 解得：或； 所以在上不单调，则的取值范围为 （2）当时，， 对任意的， 恒成立，即恒成立， 由于，则恒成立，即，所以 令，则， 所以在上单调递增，则，所以， 则当时，若对任意的， 恒成立，则实数a的取值范围 33．（25-26高二下·浙江金华·月考）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）通过求导判断符号，确定函数单调区间； （2）分离参数转化为函数最值问题，求得参数范围为 【详解】（1）当时，，定义域为. . 令，即，解得. 当时，，即，故在上单调递减； 当时，，即，故在上单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）对，恒成立. 因为，所以分离参数可得恒成立. 则题干问题等价于，令. 求导得. 令，即，解得. 当时，，故，在上单调递减； 当时，，故，在上单调递增. 因此在处取极小值同时也为最小值，. 所以，即的取值范围是. 题型五 洛必达法则（共7小题） 34．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】按分段讨论，在时分离参数构造函数，利用导数探讨单调性，再利用洛必达法则求解即得. 【详解】当时，，不等式成立； 当时，，令，依题意，， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 函数在上单调递增，由洛必达法则知， 因此恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 35．______． 【答案】1 【分析】根据极限定义化简代入计算求值. 【详解】． 故答案为：1. 36．，恒成立，求的取值范围 【答案】 【分析】根据题意，先讨论的情况，然后讨论的情况，分离参数，利用导数求其最值，即可得到结果. 【详解】当时，; 当时，不等式可化为. 记， 则， 记，则， 当时，则; 当时，则. 因为，并且，所以. 这时符合题意. 综上可知，的取值范围是. 37．恒成立,求的取值范围 【答案】 【分析】常数分离得，判断的单调性并用罗比塔法则求其最小值. 【详解】， 记，， 则， 记， 则， 而， 所以,在单调递增,所以， 所以,在单调递增,所以， 即在上,所以在上单调递增， 所以， 所以. 38．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，分、、三种情况，结合洛必达法则求解即可. 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， ①当时，，不等式成立； ②当时，，不等式成立； ③当时，即， 令， 则 ， 所以在内单调递增， 由洛必达法则得， 所以，故的取值范围是. 39．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题意转化为，令，利用洛必达法则求出，即可得出答案. 【详解】根据题目的条件，当且时， 得，等价于． 设，， 因为，设， 则， 所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 即在上单调递减，当在上单调递增． 当趋近时，趋近，当趋近时，趋近， 所以符合洛必达法则的条件， 即， 所以当时， 所以的取值范围是． 40．已知函数．当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可. 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 题型六 端点效应与必要性探路（共6小题） 41．求k的最大整数值. 【答案】 【分析】根据题意，利用求导求出的取值范围便可求得k的最大整数值. 【详解】解: 令 可知，令，则 当时， 即在上单调递增 ,使得 在上单调递减，在上单调递增 故在有，且 ，且取最大整数 故的最大整数值为. 42．是否存在正整数，使得对一切恒成立，试求出的最大值. 【答案】存在，2. 【分析】由对一切恒成立，则当可得，可知仅可取1，2，证明当时，将不等式转化为对一切恒成立，设，求导并利用导数研究函数的单调和最值，从而得出，即可得出当时，不等式恒成立，从而可知的最大值为2. 【详解】解：易知对一切恒成立， 当可得，而为正整数，则仅可取1，2， 当时，，即， 下面证明当时不等式对一切恒成立， 设，则， 对于函数，则，当时，， 所以在单调递增，故，则， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 当时，不等式恒成立，所以最大值为2. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，从而求出参数值，解题的关键在于将代入不等式后可知仅可取1，2，进而将不等式恒成立问题转化为不等式证明问题，再通过构造新函数和利用导数研究函数的单调性和最值，从而解决不等式恒成立问题，考查学生转化和化归思想. 43．已知函数 （1）若函数与有公共点，求的取值范围； （2）若不等式恒成立，求整数的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【分析】（1）由，可得，函数与有公共点，即有解，设，求导数，求出函数的值域即可. （2）不等式恒成立,即恒成立,当时，成立，解得，故再验证时，不等式成立即可得出答案. 【详解】解：（1）令，即，则， 函数与有公共点，即有解. 令，则. 令， 当时，，所以，当时，，所以 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以且当时， 所以. （2）不等式恒成立,即恒成立. 则时，成立，解得， 由题意求满足条件的整数最小值,下面验证是否满足题意. 当时，令，且在上单调递增. 又，可知存在唯一的正数，使得， 即， 则在上单调递减，在上单调递增.所以， 即当时，不等式成立. 故整数的最小值为 【点睛】关键点睛：本题考查根据两函数图像有公共点求参数范围和不等式恒成立求参数范围，解答本题的关键是先根据时，不等式成立，求处一个参数的范围，然后根据题目要求再验证满足条件，从而得出答案. 属于中档题. 44．已知函数(其中为自然对数的底数). （1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可； （2）求出，，，得到，得到，再根据得到结论成立即可确定的取值范围． 【详解】解：（1）证明：时，，， 设，则，令，解得：， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 故的最小值是，即对任意恒成立， 故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）先证对任意，，， 令，，令，解得：， 故在区间递增，在递减， 故，故， 令，，， 令，解得：， 故在区间递减，在区间递增， 故，故，递增， 故，故，，， 对于任意，恒成立， ，故， 当时， ， 即对于任意的，恒成立， 综上：的取值范围是. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 45．已知，，． （1）若，证明：； （2）对任意都有，求整数的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【分析】（1）利用二次求导求得存在唯一零点，使得，在上恒成立上可以证明在定义域上的单调性，可知，便可证明结论. （2）先判断整数可知，接着证明 在区间上恒成立即可可出结论. 【详解】解： （1）证明：设，，则． 因为，且 则在，单调递减，， 所以存在唯一零点，使得 则在时单调递增，在上单调递减 又， 所以在上恒成立上，所以在单调递增 则，即， 所以． （2）因为对任意的， 即恒成立 令，则 由（1）知，所以 由于为整数，则 因此 下面证明，在区间上恒成立即可. 由（1）知，则 故 设，，则， 所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立. 综上所述, 的最大值为2． 46．已知函数，为的导函数． (1)讨论在区间内极值点的个数； (2)若，时，恒成立，求整数的最小值． 【答案】(1)答案见解析； (2)1. 【分析】（1）对函数进行求导得出，令，求导得，对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性和极值，从而求得在区间内极值点的个数； （2）由，时，恒成立，求得，进而证明时，在，恒成立，利用放缩法得到，设，，，从而得出，利用导数研究函数的单调性和最值，从而证得，即恒成立，由此确定整数的最小值. 【详解】（1）解：由，得， 令，则， ，，， 当时，，单调递增，即在区间内无极值点， 当时，，，故， 故在单调递增，又，， 故存在，使得，且时，，递减， ，时，，单调递增，故为的极小值点， 此时在区间内存在1个极小值点，无极大值点； 综上：当时，在区间内无极值点， 当时，在区间内存在1个极小值点，无极大值点． （2）解：若，时，恒成立，则，故， 下面证明时，在，恒成立， ，时，，故时，， 令，，，故， 令，则，在区间，单调递增， 因为，， 所以在上存在零点， 且时，；时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 又，，， 故存在，，使得，且，时，，递增， ，时，，单调递减，故时，取得最大值，且， ，，，故单调递减， 故，时，即成立， 综上，若，时，恒成立，则整数的最小值1． 【点睛】思路点睛：本题考查导数与函数极值的关系，利用导数研究函数的单调性和最值，以及利用导数解决不等式恒成立的综合问题： （1）利用导数解决含有参数的单调性或极值问题，要注意分类讨论和化归思想的应用； （2）利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造新函数，利用导数研究的单调性和最值，再进行相应证明. 题型七 恒成立问题中的整数最值问题（共7小题） 47．（24-25高三上·江苏苏州·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，求k的值； (3)设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标，写出切线方程即可； （2）利用导数研究的最值，由最小值为0，进一步利用导数研究方程的根即可； （3）应用（2）的结论，结合数列求和知识研究m的取值范围，进而求得最小值. 【详解】（1）当时，，， 所以，所以切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）因为， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，与不符； 当时，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以， 设， 则， 由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以有唯一解，且. （3）由（2）知当时，， 当且仅当时，. 所以当且时，， 则. 取（），所以， 所以，，， 所以. 所以 所以 于是对于任意正整数n，， 只需，又因为，所以， 则m的最小值为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 48．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求函数的极值； (3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)； (2)当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. (3)4. 【分析】（1）当时，，求出其导函数，通过判断导函数的正负区间，得到函数的单调性，进而可求得其最小值； （2）将函数代入，得的解析式，求出其导函数，通过讨论得范围，求出函数的单调区间，进而可得其极值； （3）代入得值，将问题转化为对任意恒成立，令，即恒成立，通过求导，判断其单调性，求得得最小值即可. 【详解】（1）当时，，其定义域为， 则， 令，即，解得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，即， 所以当时，的最小值为，此时. （2）由题意得，，其定义域为， 则， ①当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 所以不存在极值； ②当时，令，解得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当时，存在极大值，无极小值； 综上所述，当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. （3）由题意知，当时，不等式在上恒成立， 即，等价于在上恒成立， 设，即 则， 令，则， 当时，恒成立，则在上单调递增， 又，， 所以，使，即， 当，，即， 当，，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 当，存在最小值，即， 由，得， ， 所以， 又，所以的最大值为4. 49．（24-25高二下·河南·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若恰有3个零点，求的取值范围； (3)若在定义域上单调，求整数的最大值． 【答案】(1) 的极小值为，无极大值 (2)且 (3)1 【分析】直接对 求导，分析导数的符号变化即可确定极值点及极值. 分析 的单调性和极值，结合图像判断参数 的范围. 函数 在定义域上单调，需要求导并保证导数恒正或恒负，分离参数，利用隐零点的方法可以确定函数最值的取值范围，从而得到整数 的最大值. 【详解】（1）函数 的定义域为 , ， ， 又因为在上单调递增，所以在小于0，在大于0； 所以在单调递减，在单调递增； 所以 的极小值为；无极大值. （2）函数 可因式分解为： 显然， 是一个零点. 零点由 和方程 的解组成. 令，求导：， 令导数为零：； 又因为在R上单调递增， 所以在小于0，在大于0， 所以在单调递减，在单调递增， 所以. 又，，; 当 ，； 的解的个数： 当 ，有两个解： 和一个在 ； 当 且，有两个解：一个在 ，一个在 ； 当 ，有一个解（)； 当 ，无解. 讨论的零点个数： 总是零点； 分析：当 ，是二重根（但仍是同一个点）和一个在 ，共两个零点； 当 且，一个在 ，一个在 ，再加上,一共三个零点； 当 ，有与两个零点； 当 ，只有一个零点. 因此， 恰有三个零点（不同的实根）当且仅当且. （3）函数 ，定义域为 . 求导：， 化简得：， 在定义域上单调，有两种情况单调递减与单调递增； 当在定义域上单调递减时，在定义域上恒小于等于0， 而时，，所以这种情况不成立； 所以只可能在定义域上单调递增； 所以对恒成立， 即恒成立， 令 ，则只需 求导：， 易知在上单调递增，且, ,所以存在,使， 所以在上小于0，在大于0； 所以在上单调递减，在单调递增； 所以,又代入得 , 又，所以, 又且， 所以. 故整数的最大值为1. 50．（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出导数并赋值求出，进而求出解析式. （2）求出及其导数，利用导数研究在上的单调性和最值，列出关于m的不等式组，即可得出答案. （3）利用分离变量法，分类讨论，构造函数，利用导数研究分别在x＜0，x＞0的单调性和最值，即可得出答案. 【详解】（1）函数，求导得， 则， 解得，所以的解析式为. （2）由（1）得，则， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当，即， 解得， 所以实数的取值范围为. （3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立， ①当时，，显然成立，此时； ②当时，恒成立，令， 求导得，而当时，恒成立， 由得；由得，在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取得最小值，则； ③当时， 恒成立，令，此时， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，又， 由零点存在定理得存在，使得，即， 由，得，由，得，在上递增，在上递减， 当时，取得最大值，且，则， 于是实数k的取值范围为，所以整数k的值组成的集合为. 51．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：； (3)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）通过对函数求导，根据导函数的符号即可判断函数的单调性； （2）设函数，利用求导判断得到，设，求导判断函数单调性得到，故可得，从而得证； （3）先就恒成立，取，结合条件推出，在时，设，通过求导推得，即得在上恒成立，再证当时，，可得不等式恒成立，从而确定整数a的最小值. 【详解】（1）当时， ，其定义域为，且， 由可得，由可得， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）设，函数的定义域为， 且， 因，由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 设，则， 由可得，由可得， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 即当时，，则，故有. （3）不等式恒成立等价于恒成立， 则，即，又因是整数，则. 当时，设，则， 由可得，由可得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故， 即在上恒成立， 下证当时，. 证明：设，则，故函数在上单调递增， 则，即. 故当时，在上恒成立，即不等式恒成立，符合题意. 故整数a的最小值为1. 52．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值； （2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值. 【详解】（1）当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知的单调递减区间是，单调递增区间是； 所以函数的最小值为. （2）由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，令解得， 令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. （3）当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是. 53．（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）先求出，再对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； （2）先将不等式转化为恒成立，再令，由求出的最小值，即可得出的最大值． 【详解】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． （2）当时，，代入，得， 因为，所以，所以，即 令，则， 整理：所以 由（1）知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以在上存在唯一零点，且， 故在上也存在唯一零点且为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上，， 且，代入，得： ， 因为，所以， 因为且为整数， 所以的最大值为2． $专题04 导数与恒成立、能成立问题 （含不等式证明、洛必达法则、端点效应与必要性探路） 题型1 恒成立问题（重点） 题型5 洛必达法则 题型2 能成立（有解）问题（重点） 题型6 端点效应与必要性探路（难点） 题型3 利用导数证明不等式（重点） 题型7 恒成立问题中的整数最值问题（难点） 题型4 参变分离 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 恒成立问题（共8小题） 1．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； 2．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 3．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 4．（24-25高二下·吉林·期末）已知函数，（）. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围； 5．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)若，求在区间上的最大值与最小值． (2)关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 6．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)讨论函数的零点情况，只要求写出结论即可； (2)若对任意，有，求a的取值范围； (3)求证：对任意且，有． 7．（24-25高二下·河南安阳·期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (2)若，求的最小值. 8．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 题型二 能成立（有解）问题（共8小题） 9．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 10．（24-25高二下·安徽滁州·月考）已知函数. (1)当在处的切线是时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围. 11．（24-25高二下·河北邯郸·月考）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 12．（24-25高二下·天津·月考）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 13．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 14．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 15．（24-25高二下·上海·期末）已知函数. (1)求的导函数； (2)求在上的单调区间； (3)存在，使得成立，求实数的取值范围； 16．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 题型三 利用导数证明不等式（共10小题） 17．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知函数． (1)求曲线的斜率为1的切线方程； (2)当时，求证：； (3)设P是曲线上的动点，P在何处时，曲线在P处的切线斜率最小？（结论不要求证明） 18．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调增区间； (3)若存在极大值点，求证：． 19．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知函数在上有两个不同的极值点． (1)求m的取值范围； (2)求证：． 20．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数. (1)讨论的单调性： (2)若有两个极值点，，求证：. 21．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 22．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数为实常数，，其中. (1)时，讨论的单调性； (2)求的最值； (3)时，证明：. 23．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 24．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)已知在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：若，则. （参考数据：） 25．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上不单调． ①求a的取值范围； ②证明：． 26．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 题型四 参变分离（共7小题） 27．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 28．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求a的取值范围.     29．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求证：恒成立； (2)若恒成立，求的取值范围． 30．（24-25高二下·河南·期中）设. (1)求的最小值； (2)对于，有恒成立，求实数的取值范围. 31．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)若既是曲线的切线，也是的切线，求实数a和m的值 (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 32．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数 (1)若在上不单调，求的取值范围； (2)当时，若对任意的， 恒成立，求实数a的取值范围. 33．（25-26高二下·浙江金华·月考）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 题型五 洛必达法则（共7小题） 34．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 35．______． 36．，恒成立，求的取值范围 37．恒成立,求的取值范围 38．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 39．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 40．已知函数．当时，求的取值范围． 题型六 端点效应与必要性探路（共6小题） 41．求k的最大整数值. 42．是否存在正整数，使得对一切恒成立，试求出的最大值. 43．已知函数 （1）若函数与有公共点，求的取值范围； （2）若不等式恒成立，求整数的最小值. 44．已知函数(其中为自然对数的底数). （1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 45．已知，，． （1）若，证明：； （2）对任意都有，求整数的最大值． 46．已知函数，为的导函数． (1)讨论在区间内极值点的个数； (2)若，时，恒成立，求整数的最小值． 题型七 恒成立问题中的整数最值问题（共7小题） 47．（24-25高三上·江苏苏州·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，求k的值； (3)设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 48．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求函数的极值； (3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 49．（24-25高二下·河南·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若恰有3个零点，求的取值范围； (3)若在定义域上单调，求整数的最大值． 50．（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 51．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：； (3)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值． 52．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 53．（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． $