学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷01（人教A版，范围：选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册）

**基本信息** 以矿物宝石博览会志愿者分配、药物实验等真实情境为载体，覆盖导数、概率统计、计数原理等核心知识，通过基础题（如正态分布计算）与综合题（如函数零点证明）的分层设计，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|导数、正态分布、事件概率|结合社会热点（题4志愿者分配），考查抽象能力与运算能力| |填空题|3题15分|二项式系数、切线方程、数学期望|融入生活情境（题14信鸽分数期望），培养数据意识| |解答题|5题77分|回归分析、二项式定理、概率分布、函数零点|注重综合应用（题15研发投入回归、题19零点证明），发展逻辑推理与模型观念|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 1．【答案】A 【解析】由在某点处导数的定义可知， 所以. 故选：A. 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.3 B．0.2 C．0.4 D．0.5 2．【答案】A 【解析】因为，所以， 所以. 故选：A. 3．已知事件，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 3．【答案】B 【解析】由题意得，故， ， 又，故，解得， 所以， 故， 由条件概率公式得. 故选：B. 4．2025年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5月16日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（   ） A．120 B．150 C．180 D．300 4．【答案】B 【解析】由题意，按分配，方案的种数为, 按分配，方案的种数为, 所以不同的志愿者分配方案的种数是. 故选：B. 5．某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 5．【答案】D 【解析】对于A，因回归方程斜率为负值，则变量y与x负相关，故A正确； 对于B，，， 因回归方程过，则，故B正确； 对于C，当时，由B分析，，则残差为： 故C正确； 对于D，当，由B分析，，故D错误. 故选：D. 6．已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 6．【答案】A 【解析】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A. 7．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．【答案】D 【解析】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 8．若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．【答案】A 【解析】由已知有两个解， 即有两个解， 设， 则直线与函数有两个公共点， 又， 可知当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，， 作出函数图象如图所示， 所以当直线与函数有两个公共点， 则， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．【答案】ACD 【解析】由，所以，故A正确； 令得：， 令得：， 所以，故B错误； 再令得：， 与相加得：，故C正确； 由，两边同乘可得; , 两边求导得：， 再令得：，故D正确； 故选：ACD. 10．甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．【答案】BC 【解析】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D错误. 故选：BC. 11．已知函数，其中，则下列正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 11．【答案】BCD 【解析】当时，，则， 由，因为定义域， 所以的单调减区间为和，故A错误； 由，可得， 由于，则可解得， 所以在上单调递增，同上可得：在和上单调递减， 则的极小值为，无极大值，故B正确； 当时，，此时函数无零点， 当时，由上可得， 因为，所以，即， 则此时函数也无零点，故C正确； 由方程可得：， 令，则， 由，可得，由，可得， 则在时单调递减，在时单调递增， 又因为，当时，，当时，， 所以要使得方程有两个实数解，则只需要，故D正确； 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为_________. 12．【答案】12 【解析】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为12. 故答案为：12. 13．曲线在点处的切线方程是_________. 13．【答案】 【解析】已知，所以，得切点为. 又， 则切线斜率， 由此可得切线方程为，即：. 故答案为：. 14．小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有且只，其余的为蓝鸽，且随机取出2只信鸽，其品种不相同的概率是.现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用表示取出的2只信鸽的分数之和，则的数学期望为__________. 14．【答案】38 【解析】设“任意取出2只信鸽，这两只信鸽的品种相同”为事件， 则， 整理得，解得或（舍去）， 所以李种鸽有3只，蓝鸽有4只， 所以的所有取值为， 且 ， 所以. 故答案为：38. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某企业调研后，得到研发投入（万元）与产品收益（万元）的数据如下： 1 2 3 4 5 9 12 17 21 26 (1)若与线性相关，请根据样本相关系数推断它们的相关程度；（若，则相关程度一般；若，则相关程度很强） (2)求出关于的经验回归方程，并预测当研发投入6万元时的产品收益. 参考数据： 参考公式：，，. 15．（13分） 【解析】（1）由表格数据可得，， 所以， ， 所以， 可知变量与的相关程度很强. （2）由（1）可知，， ， 所以， 则， 可得关于的经验回归方程为， 令，可得， 即预测研发投入6万元时，产品收益约为万元. 16．（15分） 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 16．（15分） 【解析】（1）由题，可得，即， 得，又，所以， 因为展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. （2）因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 17．（15分） 某药物研究机构为考察药物A对疾病S的效果，随机抽取了600只动物进行实验，得到如下列联表： 药物（疾病） 未患病 患病 未服药 150 150 服药 200 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对疾病S有效？ (2)现从参与试验服药的300只动物中，按是否患疾病S采用分层抽样的方法抽取6只动物；再从这6只动物中随机抽取3只动物进一步试验，记抽取的3只动物中患病的只数为X，求X的分布列以及数学期望. 附：（其中） 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．（15分） 【解析】（1）零假设：患病与服用药物无关，即药物无效． 根据列联表可得． 因为当假设成立时，， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该药物A对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001． （2）从参与试验服药的300只动物中，按是否患病S通过分层抽样方法随机取出6只， 其中未患病的只数为，患病的只数为， 则的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 故随机变量的数学期望为． 18．（17分） 一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. (1)求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； (2)停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； (3)若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 18．（17分） 【解析】（1）依题意停止时恰好取了4次，前3次为2个黑球1个红球，第4次为红球， 其概率为. （2）依题意. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 故分布列为： X 2 3 4 5 6 7 P 期望. （3）依题意有甲袋始终有4个小球，重复次这样操作后，记甲袋子中恰有2个红球的概率为，恰有0个红球的概率为，则. ， 令， 即数列是以为首项，公比为的等比数列，（15分） .当时满足等式. .（17分） 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 19．（17分） 【解析】（1）当时，， ， 则在恒成立， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）（ⅰ）， ，，则除1外还有两个零点. ， 令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去； 当时，要是除1外还有两个零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为，则， ，所以. 当时，，，则单调递增； 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增； 又，所以，， 而，且， ，且， 所以存在，，使得， 即有3个零点，，. 综上，实数的取值范围为. （ⅱ）因为， 所以若，则，所以. 当时，先证明不等式恒成立，设， 则， 所以函数在上单调递增，于是， 即当时，不等式恒成立. 由，可得， 因为，所以， 即， 两边同除以， 得， 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B B D A D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．12 13． 14．38 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由表格数据可得，， 所以，（2分） ， 所以， 可知变量与的相关程度很强.（5分） （2）由（1）可知，， ， 所以，（8分） 则， 可得关于的经验回归方程为， 令，可得， 即预测研发投入6万元时，产品收益约为万元.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题，可得，即， 得，又，所以， 因为展开式的通项公式为，，（2分） 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为.（5分） （2）因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则，（8分） 即，解得， 故展开式的第4项和第5项的系数最大，（13分） 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）零假设：患病与服用药物无关，即药物无效． 根据列联表可得．（2分） 因为当假设成立时，， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该药物A对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001．（5分） （2）从参与试验服药的300只动物中，按是否患病S通过分层抽样方法随机取出6只， 其中未患病的只数为，患病的只数为， 则的所有可能取值为0，1，2，（8分） ， 所以的分布列为 0 1 2 故随机变量的数学期望为．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）依题意停止时恰好取了4次，前3次为2个黑球1个红球，第4次为红球， 其概率为.（3分） （2）依题意. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，；（5分） 故分布列为： X 2 3 4 5 6 7 P 期望.（8分） （3）依题意有甲袋始终有4个小球，重复次这样操作后，记甲袋子中恰有2个红球的概率为，恰有0个红球的概率为，则. ， 令，（13分） 即数列是以为首项，公比为的等比数列， .当时满足等式. .（17分） 19．（17分） 【解析】（1）当时，， ， 则在恒成立，（2分） 故的单调递增区间为，无单调递减区间.（3分） （2）（ⅰ）， ，，则除1外还有两个零点. ， 令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去； 当时，要是除1外还有两个零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为，则， ，所以.（5分） 当时，，，则单调递增； 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增； 又，所以，， 而，且， ，且， 所以存在，，使得， 即有3个零点，，. 综上，实数的取值范围为.（8分） （ⅱ）因为， 所以若，则，所以. 当时，先证明不等式恒成立，设， 则， 所以函数在上单调递增，于是， 即当时，不等式恒成立. 由，可得，（13分） 因为，所以， 即，（15分） 两边同除以， 得， 所以.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.3 B．0.2 C．0.4 D．0.5 3．已知事件，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 4．2025年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5月16日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（   ） A．120 B．150 C．180 D．300 5．某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 6．已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 7．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，其中，则下列正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为_________. 13．曲线在点处的切线方程是_________. 14．小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有且只，其余的为蓝鸽，且随机取出2只信鸽，其品种不相同的概率是.现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用表示取出的2只信鸽的分数之和，则的数学期望为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某企业调研后，得到研发投入（万元）与产品收益（万元）的数据如下： 1 2 3 4 5 9 12 17 21 26 (1)若与线性相关，请根据样本相关系数推断它们的相关程度；（若，则相关程度一般；若，则相关程度很强） (2)求出关于的经验回归方程，并预测当研发投入6万元时的产品收益. 参考数据： 参考公式：，，. 16．（15分） 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 17．（15分） 某药物研究机构为考察药物A对疾病S的效果，随机抽取了600只动物进行实验，得到如下列联表： 药物（疾病） 未患病 患病 未服药 150 150 服药 200 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对疾病S有效？ (2)现从参与试验服药的300只动物中，按是否患疾病S采用分层抽样的方法抽取6只动物；再从这6只动物中随机抽取3只动物进一步试验，记抽取的3只动物中患病的只数为X，求X的分布列以及数学期望. 附：（其中） 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．（17分） 一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. (1)求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； (2)停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； (3)若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.3 B．0.2 C．0.4 D．0.5 3．已知事件，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 4．2025年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5月16日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（   ） A．120 B．150 C．180 D．300 5．某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 6．已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 7．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，其中，则下列正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为_________. 13．曲线在点处的切线方程是_________. 14．小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有且只，其余的为蓝鸽，且随机取出2只信鸽，其品种不相同的概率是.现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用表示取出的2只信鸽的分数之和，则的数学期望为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某企业调研后，得到研发投入（万元）与产品收益（万元）的数据如下： 1 2 3 4 5 9 12 17 21 26 (1)若与线性相关，请根据样本相关系数推断它们的相关程度；（若，则相关程度一般；若，则相关程度很强） (2)求出关于的经验回归方程，并预测当研发投入6万元时的产品收益. 参考数据： 参考公式：，，. 16．（15分） 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 17．（15分） 某药物研究机构为考察药物A对疾病S的效果，随机抽取了600只动物进行实验，得到如下列联表： 药物（疾病） 未患病 患病 未服药 150 150 服药 200 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对疾病S有效？ (2)现从参与试验服药的300只动物中，按是否患疾病S采用分层抽样的方法抽取6只动物；再从这6只动物中随机抽取3只动物进一步试验，记抽取的3只动物中患病的只数为X，求X的分布列以及数学期望. 附：（其中） 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．（17分） 一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. (1)求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； (2)停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； (3)若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. / 学科网（北京）股份有限公司 $