专题07 （优质好题速递）马尔科夫链专项必刷题型（5大题型19题）（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修三

**基本信息** 马尔科夫链专项训练涵盖5大题型19题，以实际问题为载体，系统构建状态转移模型，培养概率递推思维与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |经典传球模型|5题|多人传球概率递推|基于等可能转移构建状态方程，推导n次传球后概率通项| |摸球模型|5题|球色/位置状态转换|通过交换/摸取操作定义状态空间，建立转移概率矩阵| |游走模型|5题|质点/动物空间移动|结合几何图形（正四面体/数轴）分析状态转移路径| |赌徒模型|3题|财富输赢终止问题|利用吸收态马尔科夫链求解停时概率，体现无记忆性| |其他类型|6题|电商推送/布朗运动等|拓展至非传统场景，强化模型抽象与实际应用能力|

专题07 马尔科夫链专项必刷题型 （5大题型19题） 题型01 经典传球模型 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在甲手中的概率为，则_______，_______. 2．（25-26高二下·浙江宁波·期中）甲、乙、丙、丁4名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.则第3次传球之后球在乙手中的概率为________. 3．（24-25高二下·河北衡水·阶段检测）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙、丙的概率均为，乙传给甲、丙的概率分别为、；丙传给甲、乙的概率分别为、．则次传球后球在甲手中的概率______． 4．（25-26高二下·湖北武汉·期中）有5个不同的人进行传球游戏，一开始球在甲的手中，球从某人传给另外一个人记为一次传球，每次传给不同的人是不同的传球过程，若经过n次传球之后球回到甲的手中（），则有______种传球过程（用n表示） 5．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，甲有的概率不传，有的概率传给乙；乙有的概率传给甲，有的概率传给丙；丙有的概率传给甲，有的概率传给乙，每次传球相互独立，则两次传球后球在乙处的概率为________，n次传球后，球在乙处的概率________． 题型02 摸球模型 1．甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为______． 2．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止.记n次操作后游戏终止的概率为.求关于n的表达式________. 3．（25-26高二下·湖南长沙·期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为__________、该顾客第__________次摸球抽中奖品的概率最大． 4．（25-26高二下·吉林长春·月考）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______. 5．甲进行摸球跳格游戏，图上标有第1格，第2格，，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第格的概率为． (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为，求的分布列和期望； (2)求的通项公式． 题型03 游走模型 1．一只蚂蚁在正四面体的表面爬行，每秒从某一个顶点等可能地爬往三个相邻顶点之一，小蚂蚁在第秒爬回初始位置的概率为，其中． (1)解释的实际意义，并求的值； (2)写出和满足的关系式，并求数列的通项公式． 2．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，质点每次移动向左或向右是等可能的． (1)求质点移动次后回到原点的概率； (2)若将质点未连续出现次向右移动的概率记为， ①求之间的递推关系； ②若满足关系式：，求的值． 3．（24-25高二下·云南丽江·期末）一个掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳1站；若掷出偶数点，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束．（骰子是一种由均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6） (1)求的值，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示（直接写出结论，不用证明）； (2)证明：为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率． 4．在正三角形的顶点上有一只机器蛙每隔一分钟跳一次（跳动的时间忽略不计），每次跳动，原地跳动的概率为，跳向另外两点的概率均为.假设开始时，机器蛙在正三角形的顶点处做第一次跳动. (1)求经过2次跳动后，机器蛙在顶点处的概率； (2)求经过次跳动后机器蛙在顶点处的概率； (3)记由前次跳动导致机器蛙在顶点处停留的总时间为随机变量（分钟），求. 5．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：为等比数列，并求表达式； (3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 题型04 赌徒模型 1．（25-26高二下·福建泉州·期中）假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率___________. 2．为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立. (1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率； (2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值. ①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式. ②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，） ③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同. 3．随着互联网高速发展，传统的线下赌博也呈现出逐渐发展到线上的趋势，搭上互联网便车的新型赌博模式，其危害性和隐蔽性比起传统赌博模式有过之而无不及，其迷惑性更大，传播范围更广，线上赌博的特点往往是披着“公平游戏”的外衣，利用人性的贪婪最终赌徒输光了一切，如何认识“久赌无赢，赌徒输光”的现象？概率知识给你一双慧眼！有一种掷骰子走跳棋的线上“游戏”：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…第站……，规定玩家本金为元时，棋子的初始位置在第站，且掷骰子每局赢的概率为，输的概率也；玩家赢一局，棋子向前跳一站，输了则向后跳一站.若棋子在第0站则游戏结束：若棋子不在第0站而玩家要终止游戏，则棋子在第站，玩家可得到元.现有某玩家想要赢得含本金的元（且）时停止游戏，设此玩家手头拥有（，且）元时，输光的概率为. （1）求，； （2）证明：为等差数列； （3）求此玩家本金为100元时，想要赢得含本金的1000元的概率？并试用概率知识来解释“即使是公平的游戏，赌徒最终会输光本金”. 题型05 其他类型马尔科夫链 1．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓，则（    ）．    A． B． C． D． 3．随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种流行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依赖，甚至对心理健康产生了不可忽视的影响.“预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解的现实问题.”某款网络游戏的规则如下：参与者每一局需投一枚游戏币，每局通关的概率为50%，若该局通关，参与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：一种是手中没有游戏币；一种是手中游戏币到预期的个.设当参与者手中有个（）游戏币时，最终手中没有游戏币的概率为，下列说法错误的是（    ） A．， B．记参与者通关的局数，在前13局中，， C． D．若参与者最初手中有20个游戏币，他希望赢到100个，则他输光的概率为 4．（多选题）（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（    ） A． B．若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C．数列是等比数列 D．数列的前n项和为 5．（24-25高二下·广东清远·期末）甲､乙两名操作员对三种电子信息传递元件进行随机连接检测，并制定如下标准：第一次由元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，若第三次传递后，信息在元件中，则该组检测成功，否则该组检测失败.若该组检测成功，则由原操作员继续操作下一组检测；反之，则由另一操作员按上述规则继续操作下一组检测. (1)求一组随机连接检测成功的概率； (2)若第1次从甲开始进行随机连接检测，记在前4次检测中，乙操作的次数为，求随机变量的分布列与期望； (3)若第1次从乙开始进行连接检测，求第次由乙操作的概率. 6．大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大学有，，三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天等可能性的随机在某个餐厅就餐，若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则他下一天到，，三个餐厅就餐的概率分别为，，. (1)求小丁同学第2天在餐厅就餐的概率； (2)求小丁同学第天在餐厅就餐的概率； (3)若小丁同学前天到餐厅就餐的天数为，求数学期望. （若小丁第天到餐厅就餐的天数为，则 ） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 马尔科夫链专项必刷题型 （5大题型19题） 题型01 经典传球模型 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在甲手中的概率为，则_______，_______. 【答案】 /0.5 /0.3125 【分析】得到的关系式，结合数列知识进行求解 【详解】由题意得，时，，即， 设，故， 所以，其中， 即是首项为，公比为的等比数列， 故，， ，. 2．（25-26高二下·浙江宁波·期中）甲、乙、丙、丁4名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.则第3次传球之后球在乙手中的概率为________. 【答案】 【分析】根据给定条件，结合对立事件、相互独立事件的概率公式列出递推公式，再逐项判断作答. 【详解】第次传球之后球在乙手中，则当时，第次传球之后球不在乙手中，其概率为， 第次传球有三分之一的可能传给乙，因此， 于是，而， 则是公比为的等比数列， 即，当时，. 3．（24-25高二下·河北衡水·阶段检测）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙、丙的概率均为，乙传给甲、丙的概率分别为、；丙传给甲、乙的概率分别为、．则次传球后球在甲手中的概率______． 【答案】 【分析】记事件次传球后球在甲手中，设，利用全概率公式可得出，分析可知，数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式. 【详解】记事件次传球后球在甲手中，设， 由题意可得，， 由全概率公式可得， 即，所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，故. 故答案为：. 4．（25-26高二下·湖北武汉·期中）有5个不同的人进行传球游戏，一开始球在甲的手中，球从某人传给另外一个人记为一次传球，每次传给不同的人是不同的传球过程，若经过n次传球之后球回到甲的手中（），则有______种传球过程（用n表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排除法列式，再利用构造法求出数列通项即可. 【详解】令经过n次传球之后球回到甲手中的传球过程为种，， 而每次传球有4种方法，则经过n次传球的传球过程有种， 因此经过n次传球之后球不在甲手中的传球过程有种， 由经过n次传球之后球回到甲手中，得第次传球之后球不在甲手中，持球者传给甲， 则，即，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列，，即， 所以不同传球过程种数为. 5．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，甲有的概率不传，有的概率传给乙；乙有的概率传给甲，有的概率传给丙；丙有的概率传给甲，有的概率传给乙，每次传球相互独立，则两次传球后球在乙处的概率为________，n次传球后，球在乙处的概率________． 【答案】 /0.1875 【分析】设次传球后，球在甲处的概率为，则球在丙处的概率为，分析第二次传球后球在乙处的可能，结合概率的乘法公式可得出的值；推导出次传球后，球在乙处的两种可能，结合全概率公式可得出关于的递推公式，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得的表达式. 【详解】设次传球后，球在甲处的概率为，则球在丙处的概率为， 由题意可知，， 第二次传球后，球在乙处，只有一种可能，即前一次在甲处，然后传给乙， 所以； 次传球后，球在乙处，有两种可能：前一次在甲处，由甲传给乙或前一次在丙处，由丙传给乙， 所以， 设，即，所以，解得， 故，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，故. 故答案为：；. 题型02 摸球模型 1．甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为______． 【答案】 【分析】记次交换后黑球仍在甲手中的概率为，根据全概率公式写出与的递推关系，然后利用构造法求出数列的通项公式，将代入通项公式即可求解. 【详解】记次交换后黑球仍在甲手中的概率为，则， 若次交换后黑球已经在甲手中：交换时甲不拿出黑球，才能让黑球留在甲手中， 概率为（甲共3个球，拿白球不换出黑球的概率为）； 次交换后黑球在乙手中：交换时乙拿出黑球，才能把黑球换回到甲手中， 概率为（乙共3个球，拿出黑球的概率为）； 所以， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故． 2．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止.记n次操作后游戏终止的概率为.求关于n的表达式________. 【答案】 【分析】先求出初始项，再分两种情形推导时的递推关系，通过构造等比数列即可求出； 【详解】由题意知：， 当时，第次操作后游戏终止分两种情形： 第1次摸出的是黑球，此情形的概率为； 第1次摸出的是红球，此情形的概率为， 是这两种情形概率之和，所以， 即当时，. 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 3．（25-26高二下·湖南长沙·期末）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为__________、该顾客第__________次摸球抽中奖品的概率最大． 【答案】 2 【分析】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，易得，利用全概率公式求出，依题意推出，记，可得递推关系，构造等比数列，求出通项，再分奇偶讨论的增减性求出其最大值即得答案. 【详解】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，， . 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故. 当为奇数时，， 当为偶数时，，则随着的增大而减小，所以. 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大． 故答案为：①；② 2. 4．（25-26高二下·吉林长春·月考）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______. 【答案】 【分析】先求出，找到与之间的关系式，从而求出通项公式 【详解】甲乙口袋均取到黑球，或均取到白球，所以， 当（）时， ， 整理得，其中， 故是公比为的等比数列，所以， 故； 5．甲进行摸球跳格游戏，图上标有第1格，第2格，，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第格的概率为． (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为，求的分布列和期望； (2)求的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据超几何分布求出概率，写出分布列，根据期望计算公式求出期望即可； （2）当时，棋子跳到第格有两种可能：第一种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色不同；第二种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色相同；结合概率求得，变形为，利用等比数列定义证明，并结合等比数列前n项和公式，利用累加法求得的通项公式. 【详解】（1）根据题意可知，的所有可能取值为0，1，2， 则，， ， 可得的分布列如下： 0 1 2 期望值为； （2）依题意，当时，棋子跳到第格有两种可能： 第一种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色不同， 第二种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色相同， 又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为， 摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为， 因此可得，， 所以， 因此可得，且，，， 即数列是首项为，公比为的等比数列， 即， 所以 ， 由题意， 综上，. 题型03 游走模型 1．一只蚂蚁在正四面体的表面爬行，每秒从某一个顶点等可能地爬往三个相邻顶点之一，小蚂蚁在第秒爬回初始位置的概率为，其中． (1)解释的实际意义，并求的值； (2)写出和满足的关系式，并求数列的通项公式． 【答案】(1)为蚂蚁第1秒爬回初始位置的概率，， (2)， 【分析】（1）根据题意可知的意义，结合概率的意义求的值； （2）根据题意分析可知，且，利用构造法结合等比数列分析求解. 【详解】（1）为蚂蚁第1秒爬回初始位置的概率． 因为一秒钟后小蚂蚁已离开出发点到达四面体另外一个顶点，所以； 因为两秒内蚂蚁爬行的路径有9种，其中能回到初始位置的路径有3种，所以． （2）因为小蚂蚁在第秒爬回初始位置的概率为，其中， 所以第秒时位于非初始位置的三个顶点之一的概率为， 所以，且， 整理得，且， 可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以． 2．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，质点每次移动向左或向右是等可能的． (1)求质点移动次后回到原点的概率； (2)若将质点未连续出现次向右移动的概率记为， ①求之间的递推关系； ②若满足关系式：，求的值． 【答案】(1) (2)①；②，或． 【分析】（1）这是典型的独立重复试验概率问题，质点回到原点，意味着次移动中，向右和向左的次数必须相等，各为次； （2）① 这是递推关系建模问题，按第次移动的方向分类讨论：若第次向左，则前次只需满足条件；若第次向右，则第次必须向左，前次满足条件，由此推导与，​的线性递推关系； ② 这是递推数列的待定系数法问题，先将给定的展开，与（2）①中得到的递推式对比系数，建立关于的方程组，解方程组即可得到参数值． 【详解】（1）质点每次移动向左或向右的概率均为​，移动次后回到原点，说明向右移动次数向左移动次数次， 所以质点移动次后回到原点的概率． （2）①移动次时，所有情况均无连续次向右，所以， 移动2次总情况数为，排除连续次向右的情况（右右），符合条件的有种，， 移动次总情况数为，符合条件的情况有左左左，左左右，左右左，右左左，右左右，共种，， 当时，第次向左时，概率为，第次向右时，第次必向左，概率为， 所以． ②由，得， 所以， 解方程组得，或． 3．（24-25高二下·云南丽江·期末）一个掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳1站；若掷出偶数点，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束．（骰子是一种由均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6） (1)求的值，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示（直接写出结论，不用证明）； (2)证明：为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意及相互独立事件的概率公式可求解. （2）先由（1），构造出；再根据等比数列的定义即可证明. （3）玩该游戏获胜即为跳到第99站，先根据（2）中结论及等比数列的通项公式得出；再利用叠加法及等比数列的前项和公式可求解. 【详解】（1）根据题意可知：每次骰子之间是相互独立的； 棋子开始在第0站是必然事件，所以. 棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以. 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为； ②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，所以. 棋子跳到第n（）站，包括两种情形， ①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为； ②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为. 故； （2）由（1）知：，所以. 又因为， 所以（1，2，…，99）是首项为，公比为的等比数列. （3）由（2）得：. 所以 ， 所以玩该游戏获胜的概率为. 4．在正三角形的顶点上有一只机器蛙每隔一分钟跳一次（跳动的时间忽略不计），每次跳动，原地跳动的概率为，跳向另外两点的概率均为.假设开始时，机器蛙在正三角形的顶点处做第一次跳动. (1)求经过2次跳动后，机器蛙在顶点处的概率； (2)求经过次跳动后机器蛙在顶点处的概率； (3)记由前次跳动导致机器蛙在顶点处停留的总时间为随机变量（分钟），求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出第1次跳动后机器蛙在，，处的概率，再以第1次跳动的结果为基础，分类计算第2次跳到处的所有路径，计算出每种路径的概率相加即可. （2）由跳动规则的对称性得到，，分析出第次跳动后在出的概率，经变量代换后结合等比数列求解即可. （3）计算出，将总停留时间拆分为个独立事件，根据结合等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）记第次跳动后机器蛙在，，处的概率分别为，，. 第1次跳动后的概率为：，，. 经过2次跳动后，机器蛙在顶点处有三种路径： 第1次在，第2次从跳到； 第1次在，第2次在原地跳；第1次在，第2次从跳到； 所以. （2）因为机器蛙从出发，且在任意定点的跳动规则是统一的， 所以跳到的路径与跳到的路径在概率计算上是完全镜像的，即，且. 经过次跳动后机器蛙在顶点有三种路径：第次在，第次从跳到； 第次在，第次从跳到； 第次在，第次在原地跳； 则 . 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （3）由（2）可知. 由题意可知，当第次跳动后在A处时，，其他情况， 所以停留的总时间， 所以. 而， 所以 . 故. 5．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：为等比数列，并求表达式； (3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)第2分钟 【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解. （2）根据给定条件，求出的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证.再根据等比数列定义即可求得结果. （3）由（2）的通项公式，按取奇数和偶数分类求出最大值. 【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，设为第1分钟时， 猫在i号房间，老鼠在j号房间，则 ， 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为X，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. （2）依题意， 当时，猫在第n分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为； 由全概率公式，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 满足上式，则， 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为， 由全概率公式，得， 即，则， 即，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，而也满足上式， 则， 又， 所以以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）知，显然不是其最大值， 设，当n为奇数时，， 当且仅当时取等号，最大值为0；当n为偶数且时，， 当时，，最大值为， 则的最大值为,所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大. 题型04 赌徒模型 1．（25-26高二下·福建泉州·期中）假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率___________. 【答案】/ 【分析】建立概率的递推关系式，结合等差数列可求通项公式，进而可得答案. 【详解】设当赌徒手中有金币时，最终输光的概率为， 当时，赌徒已经输光了，所以，当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率为， 记：赌徒有金币最后输光的事件，：赌徒有金币下一次赢的事件， 所以， 可得，所以， 所以为等差数列，设， 由于，所以， 所以，故. 2．为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立. (1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率； (2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值. ①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式. ②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，） ③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于求比赛中得10分的概率，列举出情况，计算求解再求和即可. （2）求投篮次数的均值，有三种方法: 马尔科夫链方法:根据当前连续命中球数的不同状态，建立关于达到连续命中3球所需平均投篮次数的递推关系，联立方程求解，概率母函数方法:根据投篮的不同情况确定概率，构建率母函数，通过求函数在特定点的导数值得到投篮次数的均值，鞅的停时定理方法:利用游戏“公平性”，根据不同资本状态下投篮的结果建立关于投篮次数期望的方程，联立求解. 【详解】（1）根据题中的连续投中得分公式，得. 总得分为10，只能从连续投中4次、3次、2次、1次中选择组合.将总得分10的可能情况分类求解如下； ①连续投中4次得分，其余6次均不中，并且这样的选择有7种．其发生的概率为. ②连续投中1个3次得分分. 要总得分为10分，在10次投篮中出现一个连续投中3次、一个连续投中2次，一个投中1次， 它的得分为6分+3分+1分分.用捆绑法和插空法：， 可得这样的不同投法有种，该情况下发生的概率为． ③连续投中一个2次得分分，要总得分为10分，可以3个连续2次投中，1个1次投中，总得分为分+1分分， 用捆绑法和插空法：，选择投中1次的位置有种. 该情况下发生的概率为， 另外，如果由2个连续投中2次，4个投中1次，可得总分分+4分分， 但是2个连续2次中间至少要有一次不中，这需要至少5次，4个1次要间隔， 中间至少有3次失败，一共至少需要次，所以该情况不满足题意，其它亦如此. 根据概率加法公式，总得分为10分的概率为， 所以总概率为． （2）①马尔科夫链法：已知， 化简可得， 同理，当已经连续命中1球时候，若下一次命中， 只需要再投个球回家，若未命中，则需要投个球回家， 则. 当已经连续命中2球时候，若下一次命中就能回家（投篮次数为0）， 若未命中，则需要再投个球回家， 则. 联立求解可得，即小宇投篮次数的均值是14. 3．随着互联网高速发展，传统的线下赌博也呈现出逐渐发展到线上的趋势，搭上互联网便车的新型赌博模式，其危害性和隐蔽性比起传统赌博模式有过之而无不及，其迷惑性更大，传播范围更广，线上赌博的特点往往是披着“公平游戏”的外衣，利用人性的贪婪最终赌徒输光了一切，如何认识“久赌无赢，赌徒输光”的现象？概率知识给你一双慧眼！有一种掷骰子走跳棋的线上“游戏”：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…第站……，规定玩家本金为元时，棋子的初始位置在第站，且掷骰子每局赢的概率为，输的概率也；玩家赢一局，棋子向前跳一站，输了则向后跳一站.若棋子在第0站则游戏结束：若棋子不在第0站而玩家要终止游戏，则棋子在第站，玩家可得到元.现有某玩家想要赢得含本金的元（且）时停止游戏，设此玩家手头拥有（，且）元时，输光的概率为. （1）求，； （2）证明：为等差数列； （3）求此玩家本金为100元时，想要赢得含本金的1000元的概率？并试用概率知识来解释“即使是公平的游戏，赌徒最终会输光本金”. 【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）答案见解析. 【解析】（1）由必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，直接求解即可； （2）设有本金元，由于掷骰子每局赢的概率为，输的概率也，所以一局游戏结束后，可能会剩元和元，所以，进而得，从而可证得为等差数列； （3）由（2）可得，可求得玩家本金为100元时，想参与该游戏获得1000元的概率为，而当，，由此可知即使是公平的游戏，赌徒最终会输光本金 【详解】解：（1）玩家手头有0元表示输光了，这是必然事件，所以， 玩家通过游戏获得元停止游戏，输光是不可能事件，所以 （2）玩家下一局手头获得元，可由上一局手头元得到，或者手头元得到 ， 所以数列（）首项为，公差为的等差数列 (3)玩家手头拥有元时，输光的概率为 所以玩家本金为100元时，想参与该游戏获得1000元的输光的概率， 故玩家本金为100元时，想参与该游戏获得1000元的概率为 当赌徒无限贪婪时，即，， 所以即使是公平的游戏，赌徒最终会全部输光本金 【点睛】关键点点睛：此题考查概率的应用，考查分析问题的能力，解题的关键是由题意得，从而可得数列（）首项为，公差为的等差数列，进而有，属于中档题 题型05 其他类型马尔科夫链 1．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出第n次推送时不购买此商品的概率，构造得，从而利用等比数列通项得到，根据函数单调性即可得到答案. 【详解】由题意得，第n次推送时不购买此商品的概率， 所以， 由题意知，则， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，显然数列递减， 所以当时，， 所以M的最小值为． 故选：A. 2．“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为，粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为，分析可得，整理得，，利用构造法推得为等比数列，即可求得通项，即得. 【详解】记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为， 粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为， 则有，消去可得，， 则，即，因, 则数列组成一个首项为，公比为的等比数列， 故，即， 故. 故选：A. 3．随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种流行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依赖，甚至对心理健康产生了不可忽视的影响.“预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解的现实问题.”某款网络游戏的规则如下：参与者每一局需投一枚游戏币，每局通关的概率为50%，若该局通关，参与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：一种是手中没有游戏币；一种是手中游戏币到预期的个.设当参与者手中有个（）游戏币时，最终手中没有游戏币的概率为，下列说法错误的是（    ） A．， B．记参与者通关的局数，在前13局中，， C． D．若参与者最初手中有20个游戏币，他希望赢到100个，则他输光的概率为 【答案】C 【分析】根据游戏规则可直接判定A；根据，可计算，，判断B；由全概率公式判断C；由选项C可得为等差数列，结合1数列通项公式可判断D. 【详解】对于A，当时，游戏币已经输光了，因此， 当时，参与者已经到了终止游戏的条件，因此输光的概率，故A正确； 对于B，由题意可得，， 所以，故B正确； 对于C，参与者有n个游戏币的状态，可能来源于有个游戏币再赢一局， 也可能来源于有个游戏币再输一局， 由全概率公式，，故C错误； 对于D，由C得， 所以为等差数列，其中首项， 设公差为，则，即，， 所以，当时，，故D正确. 故选：C． 4．（多选题）（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（    ） A． B．若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C．数列是等比数列 D．数列的前n项和为 【答案】ABD 【分析】根据题意可得，直接求出即可判断A；利用条件概率求出即可判断B；对于C，利用构造法即可判断C；对于D，结合C的结论即可得到，再利用等比数列前项和公式求解即可． 【详解】由已知得第次分类正确的概率为 对于A，，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，由，得， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 则不是等比数列，C错误； 对于D，由C项知，，， 所以数列的前n项和为，D正确． 5．（24-25高二下·广东清远·期末）甲､乙两名操作员对三种电子信息传递元件进行随机连接检测，并制定如下标准：第一次由元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，若第三次传递后，信息在元件中，则该组检测成功，否则该组检测失败.若该组检测成功，则由原操作员继续操作下一组检测；反之，则由另一操作员按上述规则继续操作下一组检测. (1)求一组随机连接检测成功的概率； (2)若第1次从甲开始进行随机连接检测，记在前4次检测中，乙操作的次数为，求随机变量的分布列与期望； (3)若第1次从乙开始进行连接检测，求第次由乙操作的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用列举法求出所有的传递方法共有多少种，找出第三次传递后，信息在元件中的情况，再由古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意写出的所有可能取值，分别计算其概率，列出分布列求解期望； （3）分第次由乙操作，第次继续由乙操作和第次由甲操作，第次由乙操作两种情况，得到与的关系，通过构造数列可得是等比数列，即可求解. 【详解】（1）由题知，三次传递所有的传递方法有： ， 则共有8种传递方法， 第三次传递后，信息在元件中的有两种情况， 所以第三次传递后，信息在元件中的概率为， 即一组随机连接检测成功的概率为； （2）设在前4次检测中，乙操作的次数为， 依题意，可取， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以； （3）若第1次从乙开始进行连接检测，则第次由乙操作有两种情况： （1）第次由乙操作，第次继续由乙操作，其概率为； （2）第次由甲操作，第次由乙操作， 其概率为， 所以， 所以， 因为时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 6．大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大学有，，三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天等可能性的随机在某个餐厅就餐，若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则他下一天到，，三个餐厅就餐的概率分别为，，. (1)求小丁同学第2天在餐厅就餐的概率； (2)求小丁同学第天在餐厅就餐的概率； (3)若小丁同学前天到餐厅就餐的天数为，求数学期望. （若小丁第天到餐厅就餐的天数为，则 ） 【答案】(1) (2)，； (3)，. 【分析】（1）由题可得第一天在任意餐厅就餐的概率均为，利用全概率公式可得第二天在B餐厅就餐的概率； （2）设小丁第天在餐厅就餐的概率为，第天在餐厅就餐的概率为，利用全概率公式可得，由此可得数列的递推公式，构造等比数列 ，可得的表达式. （3）利用分组求和法求即可. 【详解】（1）（1）依题意，第一天在任意餐厅就餐的概率均为，设第二天在B餐厅就餐的概率为 于是：； （2）设小丁第天在餐厅就餐的概率为,，第天在餐厅就餐的概率为则： 当时， 即，即， 所以 是以为公比，为首项的等比数列； 所以，于是，； （3）依题意： ， . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $