第5章 分式（高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级下册

该初中数学分式单元复习讲义通过表格系统梳理教学目标与重难点，以考点为框架分模块呈现知识，用步骤分解图展示分式方程解法，结合对比表格区分分式有意义、值为0的条件，清晰呈现概念、性质、运算及应用的内在逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题如分式概念辨析（题型1）、提升题如异分母分式加减（题型5）、综合题如工程问题应用（题型1），培养抽象能力、运算能力和模型意识。每个考点配方法指导，基础学生可掌握通分约分步骤，优秀学生能通过综合题提升建模能力，教师可依托重难点分布实施精准复习教学。

第5章 分式 教学目标 1.理解分式的概念，能准确区分整式与分式，掌握分式有意义、无意义、分式值为0的条件。 2.掌握分式的基本性质，能熟练进行分式的约分、通分，会将分式化为最简分式。 3.掌握分式的乘、除、加、减运算法则，能正确进行分式的四则运算及混合运算。 4.理解零指数幂、负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质，会用科学记数法表示较小的数。 5.理解分式方程的定义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，理解增根产生的原因，掌握验根方法。 6.能利用分式方程解决简单的实际问题（工程、行程、销售等问题），提升建模能力 教学重难点 1.重点 (1)分式的概念及分式有意义、值为0的条件。 (2)分式的基本性质，分式的约分与通分。 (3)分式的四则运算与混合运算。 (4)整数指数幂的运算及科学记数法。 (5）分式方程的解法及分式方程的实际应用。 2. 难点 （1）准确辨析分式概念，区分分式值为0、分式无意义、分式有意义的不同条件，容易混淆条件。 （2）异分母分式的加减运算，通分找最简公分母、化简过程易出错。 （3）分式混合运算的顺序、符号处理、因式分解与分式化简的综合运用。 （4）分式方程增根的理解，理解去分母变形不是等价变形，掌握必须验根的原因。 （5）根据实际问题列分式方程，找准等量关系，建模解题。 考点01 分式的相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式。其中A叫作分子，B叫作分母。 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 4.最简公分母 定义：几个分式通分时，取所有分母的最简公共分母，叫作最简公分母。简单说：最小、最简单，能被所有分母整除的整式 找最简公分母两大类型方法： （1）分母是单项式 系数部分：取所有系数的最小公倍数 字母部分：取所有出现的字母，每个字母取最高次数 （2）分母是多项式（重点必考） 第一步：先因式分解，把分母全部化成乘积形式第二步：找所有不同因式，相同因式取最高次第三步：相乘在一起，就是最简公分母 5.通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫作分式的通分 【题型1】在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】依据分母中含有字母的代数式是分式，分母不含字母的不是分式. 【详解】解：∵ 分式的定义为：若是整式，且中含有字母（），则是分式. ：分母含字母，是分式； ：分母含字母，是分式； ：分母是常数，不含字母，不是分式； ：分母含字母，是分式； ：分母含字母，是分式； ∴ 分式的个数为. 【题型2】要使分式有意义，则的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式有意义时，分母不等于0，据此列不等式计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 【题型3】分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解，得或， 由，得， ∴． 【题型4】若分式无意义，则__________． 【答案】2 【详解】解：根据分式无意义，则分母为0，可得， 解得． 【题型5】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式的分子与分母没有公因式的分式，对各选项分式的分子分母因式分解，判断是否存在公因式即可得到答案． 【详解】解：A、的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式，故不符合题意； B、，，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式，故不符合题意； C、的分子分母没有公因式，是最简分式，故符合题意； D、，，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式，故不符合题意． 【题型6】分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定最简公分母的步骤为：1，取各分母系数的最小公倍数；2，单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；3，同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 【题型7】对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分运算，平方差公式在确定最简公分母中的应用，掌握先通过因式分解确定最简公分母，再将各分式变形为同分母分式的方法是解题的关键． 通分的关键是确定最简公分母，观察各分式的分母，发现是和的乘积，因此最简公分母为，再将每个分式化为以为分母的形式． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，其中=，因此最简公分母为. 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分母已是，保持不变，为. 故答案为：，，. 考点02 分式的基本性质 1.分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫作分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）。 【题型1】把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】将扩大后的x，y代入原分式化简，和原分式比较即可得到结论． 【详解】解：∵x，y都扩大3倍，分式为， ∴分式的值不变． 【题型2】如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【答案】A 【分析】将、扩大后的结果代入原分式，化简后和原分式比较即可得到结论． 【详解】将、扩大为原来的倍后， 新分式为， 新分式的值是原分式的值的倍． 【题型3】在等式中，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质，给等式右边的分子分母同乘，即可求出被遮挡部分的式子. 【详解】解：设*部分的式子为，，且， 根据分式的基本性质， 给等式的分子分母同乘得：， ， 即*部分的式子为， 故选B. 考点03 分式的乘除法运算及乘方运算 1.分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 2.分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）。 ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹（，n是正整数） 【题型1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先约分，再利用分式的乘方法则，结合积的乘方法则化简即可得到结果． 【详解】解：． 【题型2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除运算．首先把除法运算转化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解： ． 【题型3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 考点04 分式加减运算 1.同分母分式相加 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表示： . 2.异分母分式相加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 上述法则可用式子表示： . 【题型1】计算：___________． 【答案】1 【分析】先根据同分母分式加法法则将分子相加，再合并同类项化简分子，最后约分得到结果． 【详解】解：． 【题型2】化简： ______ 【答案】 【分析】先对第一个分式的分母因式分解，再确定最简公分母通分，合并分子后约分即可得到化简结果． 【详解】解： ． 【题型3】计算等于______． 【答案】 【分析】先化为同分母分式的减法计算求解． 【详解】解： ． 【题型4】已知，则的值为________． 【答案】2 【分析】先对所求分式进行通分变形，再将已知等式整体代入化简求值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 【题型5】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据异分母分式的加减法法则计算即可． （2）根据分式的混合运算法则化简原式即可． 【详解】（1）解：（1）原式      ； （2）解：原式 ． 【题型6】化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】先根据分式的运算法则化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【题型7】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： 当时，原式． 考点04 解分式方程 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 【题型1】如果是关于的分式方程的解，则的值是___． 【答案】 【分析】将代入分式方程，即可求解的值． 【详解】解： 是关于的分式方程的解， 代入方程得：，化简得：， 解得：． 【题型2】若关于x的方程有增根，则a的值是______． 【答案】4 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根的值，再代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：将方程两边同乘以得：， ∵分式方程有增根． ∴最简公分母， 解得， 将代入得：． 【题型3】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据解是正数且分母建立不等式求的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘得， ， ， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且，解得：且． 【题型4】已知关于x的分式方程无解，则实数m的值为______． 【答案】 【分析】先转化成整式方程，分式方程无解，根据增根即可求解． 【详解】解：， 方程两边都乘以，得， 解得：， ∵分式方程无解， ∴是方程的增根， 则， 解得：． 【题型5】解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方程两边都乘以，去分母得：， 解这个整式方程，得． 检验：把代入，得． 所以，是原方程的解． （2）解：方程两边都乘以，去分母，得：． 解这个整式方程，得． 检验，把代入，得． 所以，是原方程的解． 考点05 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义；+ 1）检验所求的解是不是所列分式方程的解。 2）检验所求的解是否符合实际意义。 答：实际问题的答案。 与分式方程有关应用题的常见类型： 【题型1】近年来，国家大力推进算力基础设施建设，加快构建全国一体化算力网络，赋能数字经济高质量发展．AI大模型、云计算、数据处理等应用，都离不开算力这一核心支撑．算力越强，计算机完成数据处理任务的速度就越快． 某数据中心承接一批智能计算任务．已知国产智能服务器每天的算力是普通服务器每天算力的20倍，用普通服务器处理2000单位计算任务的时间，比用国产智能服务器处理同样任务的时间多95天．求国产智能服务器和普通服务器每天的算力各是多少单位？ 【答案】国产普通服务器每天的算力是20单位，智能服务器每天的算力是400单位 【分析】设国产普通服务器每天的算力是x单位，则智能服务器每天的算力是单位，根据：用普通服务器处理2000单位计算任务的时间，比用国产智能服务器处理同样任务的时间多95天列出方程求解即可． 【详解】解：设国产普通服务器每天的算力是x单位，则智能服务器每天的算力是单位， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是方程的解，， 答：国产普通服务器每天的算力是20单位，智能服务器每天的算力是400单位． 【题型2】某校举办阳光体育运动会，为表彰运动会获奖的优秀学生，学校拟采购A、B两种奖品，若购买50件A奖品，40件B奖品共需1100元；若购买40件A奖品，30件B奖品共需850元． (1)求A、B两种奖品的单价分别是多少元？ (2)恰逢商店打折促销，学校购买A、B两种奖品，各花了810元．A奖品每件降价元，B奖品每件降价元，结果购买A奖品的数量比B奖品的数量多30件，求m的值． 【答案】(1)A奖品单价10元，B奖品单价15元 (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组、分式方程的应用． （1）通过设未知数，根据两种购买方案的总费用建立二元一次方程组，求解得到两种奖品的单价； （2）结合第一问结果，根据打折后的单价、总花费和数量关系建立分式方程，检验后得到m的值，考查二元一次方程组和分式方程的实际应用． 【详解】（1）解：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元， 根据题意可得 ， 解这个方程组得， 答：A奖品单价为10元，B奖品单价为15元； （2）解：由（1）可知A原价10元，B原价15元，打折后A单价为元，B单价为元， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时， ， 即是原方程的解， 答：m的值为． 【题型3】《百骏图》是清代绘画珍品，被汴绣艺人以精湛技艺绣制于锦缎之上，生动再现了百匹骏马的形态与神韵，栩栩如生，令人赞叹不已．如图，汴绣作品绣面的主体部分是一个长为，宽为的矩形，经过装裱处理后的长与宽的比是，且四周边框的宽度相等，求边框的宽度．设边框的宽度为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据装裱后的长与宽的比是，且四周边框的宽度相等，列出方程即可． 【详解】解：设边框的宽度为，根据题意可列方程为． 【题型4】小明坐滴滴前去火车高铁站，可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟．若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据走路线B的全程能比走路线A少用15分钟列出分式方程即可． 【详解】解：设走路线A时的平均速度为千米/小时， ∵路线B全程比路线A多7千米，车速比路线A提高， ∴路线B的路程为千米，路线B的平均速度为千米/小时， ∵题目中速度单位是千米/小时，需要将15分钟转换为小时，即15分钟小时， 又∵走路线B比走路线A少用15分钟， ∴路线A的用时减去路线B的用时等于，根据时间路程速度，可得方程： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 分式 教学目标 1.理解分式的概念，能准确区分整式与分式，掌握分式有意义、无意义、分式值为0的条件。 2.掌握分式的基本性质，能熟练进行分式的约分、通分，会将分式化为最简分式。 3.掌握分式的乘、除、加、减运算法则，能正确进行分式的四则运算及混合运算。 4.理解零指数幂、负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质，会用科学记数法表示较小的数。 5.理解分式方程的定义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，理解增根产生的原因，掌握验根方法。 6.能利用分式方程解决简单的实际问题（工程、行程、销售等问题），提升建模能力 教学重难点 1.重点 (1)分式的概念及分式有意义、值为0的条件。 (2)分式的基本性质，分式的约分与通分。 (3)分式的四则运算与混合运算。 (4)整数指数幂的运算及科学记数法。 (5）分式方程的解法及分式方程的实际应用。 2. 难点 （1）准确辨析分式概念，区分分式值为0、分式无意义、分式有意义的不同条件，容易混淆条件。 （2）异分母分式的加减运算，通分找最简公分母、化简过程易出错。 （3）分式混合运算的顺序、符号处理、因式分解与分式化简的综合运用。 （4）分式方程增根的理解，理解去分母变形不是等价变形，掌握必须验根的原因。 （5）根据实际问题列分式方程，找准等量关系，建模解题。 考点01 分式的相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式。其中A叫作分子，B叫作分母。 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 4.最简公分母 定义：几个分式通分时，取所有分母的最简公共分母，叫作最简公分母。简单说：最小、最简单，能被所有分母整除的整式 找最简公分母两大类型方法： （1）分母是单项式 系数部分：取所有系数的最小公倍数 字母部分：取所有出现的字母，每个字母取最高次数 （2）分母是多项式（重点必考） 第一步：先因式分解，把分母全部化成乘积形式第二步：找所有不同因式，相同因式取最高次第三步：相乘在一起，就是最简公分母 5.通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫作分式的通分 【题型1】在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2】要使分式有意义，则的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【题型3】分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．0 C．2 D．2或 【题型4】若分式无意义，则__________． 【题型5】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【题型6】分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【题型7】对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 考点02 分式的基本性质 1.分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫作分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）。 【题型1】把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 【题型2】如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【题型3】在等式中，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 考点03 分式的乘除法运算及乘方运算 1.分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 2.分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）。 ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹（，n是正整数） 【题型1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型3】计算： (1)； (2)； (3)． 考点04 分式加减运算 1.同分母分式相加 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表示： . 2.异分母分式相加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 上述法则可用式子表示： . 【题型1】计算：___________． 【题型2】化简： ______ 【题型3】计算等于______． 【题型4】已知，则的值为________． 【题型5】计算： (1)； (2)． 【题型6】化简，再求值：，其中． 【题型7】先化简，再求值：，其中． 考点04 解分式方程 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 【题型1】如果是关于的分式方程的解，则的值是___． 【题型2】若关于x的方程有增根，则a的值是______． 【题型3】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是________． 【题型4】已知关于x的分式方程无解，则实数m的值为______． 【题型5】解分式方程： (1)． (2)． 考点05 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义；+ 1）检验所求的解是不是所列分式方程的解。 2）检验所求的解是否符合实际意义。 答：实际问题的答案。 与分式方程有关应用题的常见类型： 【题型1】近年来，国家大力推进算力基础设施建设，加快构建全国一体化算力网络，赋能数字经济高质量发展．AI大模型、云计算、数据处理等应用，都离不开算力这一核心支撑．算力越强，计算机完成数据处理任务的速度就越快． 某数据中心承接一批智能计算任务．已知国产智能服务器每天的算力是普通服务器每天算力的20倍，用普通服务器处理2000单位计算任务的时间，比用国产智能服务器处理同样任务的时间多95天．求国产智能服务器和普通服务器每天的算力各是多少单位？ 【题型2】某校举办阳光体育运动会，为表彰运动会获奖的优秀学生，学校拟采购A、B两种奖品，若购买50件A奖品，40件B奖品共需1100元；若购买40件A奖品，30件B奖品共需850元． (1)求A、B两种奖品的单价分别是多少元？ (2)恰逢商店打折促销，学校购买A、B两种奖品，各花了810元．A奖品每件降价元，B奖品每件降价元，结果购买A奖品的数量比B奖品的数量多30件，求m的值． 【题型3】《百骏图》是清代绘画珍品，被汴绣艺人以精湛技艺绣制于锦缎之上，生动再现了百匹骏马的形态与神韵，栩栩如生，令人赞叹不已．如图，汴绣作品绣面的主体部分是一个长为，宽为的矩形，经过装裱处理后的长与宽的比是，且四周边框的宽度相等，求边框的宽度．设边框的宽度为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【题型4】小明坐滴滴前去火车高铁站，可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟．若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $