第5章 分式 单元知识归纳讲义2025-2026学年浙教版数学七年级下册

第5章 分式 单元知识归纳讲义 一、本章学习目标 1.理解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，掌握分式有意义、无意义、值为 0 的条件。 2.掌握分式的基本性质，能进行分式的约分、通分，会判断最简分式。 3.熟练进行分式的加减乘除运算，掌握分式混合运算的顺序。 4.会解可化为一元一次方程的分式方程，理解增根的含义并会检验。 5.能运用分式方程解决实际应用问题（工程、行程、费用等）。 6.理解 “真分式、假分式、和约分式、和整分式” 等新定义题型的解题思路。 二、基础知识梳理（含典例加以理解） 1. 分式的定义 核心：形如（、是整式，中含有字母，且）的式子叫分式。 判断关键：分母必须含字母，整式与分式的区别看分母。 典例下列代数式中，属于分式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式、整式的定义判断即可． 【解答】解：、是分式，故此选项符合题意； 、是整式，故此选项不符合题意； 、是整式，故此选项不符合题意； 、是整式，故此选项不符合题意； 故选：． 2. 分式有意义 / 无意义 / 值为 0 的条件 有意义：分母 无意义：分母 值为 0：分子 且 分母（两个条件同时满足） 典例 1若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 【解答】解：若式子在实数范围内有意义， 则， 解得， 故选：． 典例 2（2025•浙江模拟）当　 　 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 【解答】解：分式值为0， 且， 解得． 故答案为：． 3. 分式的基本性质 公式：（，是整式） 用途：约分、通分、系数化整。 典例（2025春•越城区期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为　　 ． 【答案】． 【分析】利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【解答】解：不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数为， 故答案为：． 4. 分式的约分与最简分式 约分：把分子分母的公因式约去。 最简分式：分子分母没有公因式的分式。 典例 1下列分式约分正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质分别进行化简，即可得出答案． 【解答】解：、是最简分式，不能约分，故本选项错误； 、是最简分式，不能约分，故本选项错误； 、是最简分式，不能约分，故本选项错误； 、，故本选项正确； 故选：． 典例 2下列分式，，，中，最简分式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据最简分式的定义对各分式进行判断． 【解答】解：，， ，，，中，最简分式有，，一共2个． 故选：． 5. 分式的通分与最简公分母 通分：把异分母分式化为同分母分式。 最简公分母：取各分母系数最小公倍数，相同因式取最高次幂。 典例下列各选项中，所求的最简公分母错误的是　　 A．与的最简公分母是 B．与最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 【答案】C 【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此可得． 【解答】解：、与的最简公分母是，此选项正确； 、与最简公分母是，此选项正确； 、与的最简公分母是或，此选项错误； 、与的最简公分母是，此选项正确； 故选：． 6. 分式的运算 乘法： 除法： 加减：同分母；异分母先通分再计算。 混合运算：先乘除，后加减，有括号先算括号内。 典例 计算：（1）；（2）． 【分析】（1）将原式直接约分即可； （2）将除法化为乘法，然后约分即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 7. 分式方程 定义：分母中含未知数的方程。 解法：去分母→解整式方程→检验（必写）。 增根：使最简公分母为 0 的根，分式方程无解。 典例 1解方程：（1）；（2）． 【分析】（1）先变形，再方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先变形，再方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【解答】解：（1）， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，，所以不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 典例 2（2025春•景德镇期末）已知关于的分式方程无解，则的值为　 　 ． 【答案】或或． 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤得到，当，即时，此时方程无解；当，则原方程有增根，即或，进而可得或，解方程即可得到答案． 【解答】解：原分式方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，方程的左边等于0，右边不等于0，此时方程无解； 当时， 原方程无解， 原方程有增根， 或， 或， 或， 解得或； 故答案为：或或． 8. 分式方程的实际应用 常见类型：工程问题、行程问题、费用问题。 步骤：审→设→列→解→验→答。 典例（2025•东莞市校级模拟）甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 方案：计划18千米按每天施工千米完成，剩下的18千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的，地为正整数，且． （1）问甲工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 【分析】（1）利用工作时间工作总量工作效率，结合提前3天完成施工任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）利用工作时间工作总量工作效率，可用含，的代数式表示出，，作差后，可得出，结合，可得出，可得出，即，进而可得出 工程队应采取乙方案； （3）根据工程队采用甲方案完成施工时间与工程队完成时间相同，可列出关于，的方程，结合，均为正整数且，求出，的值，检验后即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队完成施工任务需要5天； （2）乙工程队应采取乙方案，理由如下： 根据题意得：； ． ． ， ，， ， 即， ， 乙工程队应采取乙方案． 9. 新定义题型 典例1（2025春•德化县期末）我们定义：若两个分式M与N的和为常数a，且a＞0，则称M是N的“和约分式”，a称为M关于N的“和约分式值”．如分式M＝，N＝，M+N＝＝2，则M是N的“和约分式”，a＝2．已知分式P＝，Q＝，且P是为Q的“和约分式”，则P关于Q的“和约分式值”是（　　） A．6 B．5 C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据题意列式为+，将其计算后即可求得答案． 【解答】解：+ ＝ ＝ ＝ ＝6， 即P关于Q的“和约分式值”是6， 故选：A． 典例2如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值” ． （1）已知分式，互为“和整分式”，则其“和整值” 的值为 　　． （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值” ，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． （3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式的值为正整数且为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【解答】解：（1）分式，互为“和整分式”， ， 其“和整值” 的值为2； （2）①，， ， 与互为“和整分式”，且“和整值” ， ， ； ②，且分式的值为正整数且为正整数， 或， 或， 为正整数， （舍去），则的值为1； （3）由题意可得：， ， ， ，整理得：， 当，解得：，方程无解， 当，方程无解，则有增根， 将代入得，，解得：， 综上：的值为：1或． 三、解题技巧与易错点归纳 易错点 1：分式值为 0，只看分子不看分母 错误： 正确：且 原因：必须同时满足分子为 0、分母不为 0。 易错点 2：分式基本性质应用错误（漏乘、漏除） 错误： 正确： 示例：（2025春•越城区期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为　　 ． 【答案】． 【分析】利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【解答】解：不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数为， 故答案为：． 原因：系数化整要给分子分母每一项同乘。 易错点 3：约分错误（整体与局部混淆） 错误： 正确：无法约分，是最简分式。 原因：只能约去公因式，不能拆项约分。 易错点 4：分式方程忘记检验（增根问题） 错误：解完直接写答案，不检验。 正确：代入最简公分母，不为 0 才是解。 原因：无解即方程有增根。 易错点 5：分子分母同扩倍，分式值判断错误 技巧：分子分母同扩倍：分子分母都是一次式→值不变；分子 / 分母是二次式→值改变 示例：（2025春•诸暨市期末）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值　　 A．扩大6倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大3倍 【答案】 【分析】根据题意得出，再根据分式的基本性质进行化简即可． 【解答】解：， 所以如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值不变， 故选：． 易错点 6：最简公分母找错 技巧：先因式分解，再找公分母。 解题技巧 1：分式化简求值 —— 先化简再代入 步骤：约分 / 通分→化简→选使分母不为 0的数代入。 示例：不能选使分母为 0 的值。 （2025春•深圳期末）已知．先在，，中任选2个分式用除号“”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【分析】从、、中选两个分式用“”连接，先将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），再对分子分母因式分解，约分化简，最后选使原分式有意义（分母不为的值代入计算． 【解答】解：选 ， ， 原式， 不能取1（使原分式分母为，当时，；当时，． 解题技巧 2：分式方程无解→增根法 去分母化为整式方程。求增根（最简公分母 = 0）。增根代入整式方程求参数。 示例：方程无解求值。 （2025春•寿县期末）已知关于的分式方程． （1）若分式方程无解，求的值； （2）若分式方程的解是非负数，求的值． 【分析】（1）先化成整式方程并求得，再根据分式方程无解可得，再解一元一次方程即可； （2）由（1）可得，再根据分式方程的解是非负数可得，再求解即可． 【解答】解：（1）化成整式方程得：， 解得：， 分式方程无解， ， 解得； （2）由（1）可得，， 分式方程的解是非负数时，且， ， 解得：且． 解题技巧 3：假分式化带分式 方法：多项式除法，拆成 “整式 + 真分式”。 示例：阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： （1）分式是 　 　（填“真分式”或“假分式” ；假分式可化为带分式 　　形式； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； （3）若分式的值为，的取值范围是 　　（直接写出结果）． 【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得为真分式，依据假分数化为带分数的特点，第二个空即可得答案． （2）先化简原分式，化成分子为常数，分母带字母的分式，根据整体为整数，并且为整数，即可求得． （3）先化简原分式，化为带分式的形式，再结合，从而可得答案． 【解答】解：（1）根据新定义可得：为分子次数为0，分母次数为1，故为真分式， ， 故答案为：真分式；． （2），且为正数，且为正数 或或或， 解得或或或， 故满足条件的整数的值为1，2，4，5． （3）， 而， ， ， ， ， ． 故答案为：． 四、本章常考点速记（熟记） 1.分式三条件：有意义（分母≠0）、无意义（分母 = 0）、值为 0（分子 = 0 且分母≠0）。 2.分式运算：先约分再计算，结果化为最简分式。 3.分式方程：必须检验，无解即有增根。 4.实际问题：找准等量关系，单位统一，双检验（方程 + 实际）。 5.新定义：照定义列等式，常规方法求解。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 分式 单元知识归纳讲义 一、本章学习目标 1.理解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，掌握分式有意义、无意义、值为 0 的条件。 2.掌握分式的基本性质，能进行分式的约分、通分，会判断最简分式。 3.熟练进行分式的加减乘除运算，掌握分式混合运算的顺序。 4.会解可化为一元一次方程的分式方程，理解增根的含义并会检验。 5.能运用分式方程解决实际应用问题（工程、行程、费用等）。 6.理解 “真分式、假分式、和约分式、和整分式” 等新定义题型的解题思路。 二、基础知识梳理（含典例加以理解） 1. 分式的定义 核心：形如（、是整式，中含有字母，且）的式子叫分式。 判断关键：分母必须含字母，整式与分式的区别看分母。 典例下列代数式中，属于分式的是　　 A． B． C． D． 2. 分式有意义 / 无意义 / 值为 0 的条件 有意义：分母 无意义：分母 值为 0：分子 且 分母（两个条件同时满足） 典例 1若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 典例 2（2025•浙江模拟）当　 　 时，分式的值为0． 3. 分式的基本性质 公式：（，是整式） 用途：约分、通分、系数化整。 典例（2025春•越城区期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为　　 ． 4. 分式的约分与最简分式 约分：把分子分母的公因式约去。 最简分式：分子分母没有公因式的分式。 典例 1下列分式约分正确的是　　 A． B． C． D． 典例 2下列分式，，，中，最简分式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5. 分式的通分与最简公分母 通分：把异分母分式化为同分母分式。 最简公分母：取各分母系数最小公倍数，相同因式取最高次幂。 典例下列各选项中，所求的最简公分母错误的是　　 A．与的最简公分母是 B．与最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 6. 分式的运算 乘法： 除法： 加减：同分母；异分母先通分再计算。 混合运算：先乘除，后加减，有括号先算括号内。 典例 计算：（1）；（2）． 7. 分式方程 定义：分母中含未知数的方程。 解法：去分母→解整式方程→检验（必写）。 增根：使最简公分母为 0 的根，分式方程无解。 典例 1解方程：（1）；（2）． 典例 2（2025春•景德镇期末）已知关于的分式方程无解，则的值为　 　 ． 8. 分式方程的实际应用 常见类型：工程问题、行程问题、费用问题。 步骤：审→设→列→解→验→答。 典例（2025•东莞市校级模拟）甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 方案：计划18千米按每天施工千米完成，剩下的18千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的，地为正整数，且． （1）问甲工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 9. 新定义题型 典例1（2025春•德化县期末）我们定义：若两个分式M与N的和为常数a，且a＞0，则称M是N的“和约分式”，a称为M关于N的“和约分式值”．如分式M＝，N＝，M+N＝＝2，则M是N的“和约分式”，a＝2．已知分式P＝，Q＝，且P是为Q的“和约分式”，则P关于Q的“和约分式值”是（　　） A．6 B．5 C．3 D．1 典例2如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值” ． （1）已知分式，互为“和整分式”，则其“和整值” 的值为 　　． （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值” ，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． （3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 三、解题技巧与易错点归纳 易错点 1：分式值为 0，只看分子不看分母 错误： 正确：且 原因：必须同时满足分子为 0、分母不为 0。 易错点 2：分式基本性质应用错误（漏乘、漏除） 错误： 正确： 示例：（2025春•越城区期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为　　 ． 原因：系数化整要给分子分母每一项同乘。 易错点 3：约分错误（整体与局部混淆） 错误： 正确：无法约分，是最简分式。 原因：只能约去公因式，不能拆项约分。 易错点 4：分式方程忘记检验（增根问题） 错误：解完直接写答案，不检验。 正确：代入最简公分母，不为 0 才是解。 原因：无解即方程有增根。 易错点 5：分子分母同扩倍，分式值判断错误 技巧：分子分母同扩倍：分子分母都是一次式→值不变；分子 / 分母是二次式→值改变 示例：（2025春•诸暨市期末）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值　　 A．扩大6倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大3倍 易错点 6：最简公分母找错 技巧：先因式分解，再找公分母。 解题技巧 1：分式化简求值 —— 先化简再代入 步骤：约分 / 通分→化简→选使分母不为 0的数代入。 示例：不能选使分母为 0 的值。 （2025春•深圳期末）已知．先在，，中任选2个分式用除号“”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值． 解题技巧 2：分式方程无解→增根法 去分母化为整式方程。求增根（最简公分母 = 0）。增根代入整式方程求参数。 示例：方程无解求值。 （2025春•寿县期末）已知关于的分式方程． （1）若分式方程无解，求的值； （2）若分式方程的解是非负数，求的值． 解题技巧 3：假分式化带分式 方法：多项式除法，拆成 “整式 + 真分式”。 示例：阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： （1）分式是 　 　（填“真分式”或“假分式” ；假分式可化为带分式 　　形式； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； （3）若分式的值为，的取值范围是 　　（直接写出结果）． 四、本章常考点速记（熟记） 1.分式三条件：有意义（分母≠0）、无意义（分母 = 0）、值为 0（分子 = 0 且分母≠0）。 2.分式运算：先约分再计算，结果化为最简分式。 3.分式方程：必须检验，无解即有增根。 4.实际问题：找准等量关系，单位统一，双检验（方程 + 实际）。 5.新定义：照定义列等式，常规方法求解。 学科网（北京）股份有限公司 $