第4章 因式分解（高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级下册

该初中数学讲义以“概念-方法-应用”为主线构建因式分解单元知识体系，通过知识框架图系统梳理定义、公因式、提公因式法、公式法及综合运用五大考点，用对比表格呈现教学目标与重难点，清晰展现知识内在逻辑与核心要点。 讲义亮点在于分层题型设计与跨情境应用，如通过“判断因式分解变形”培养抽象能力，“利用公式法解决整除问题”发展运算能力与推理意识。设置阅读材料题引导学生用配方法分解因式，基础题巩固步骤，综合题提升灵活运用能力，助力教师实施精准教学，学生自主复习时明确方向。

第4章 因式分解 教学目标 1.理解因式分解的概念，明确与整式乘法的互逆关系。 2.掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方）的基本步骤。 3.能正确、规范地对多项式进行因式分解，培养运算能力。 教学重难点 1.重点 掌握提公因式法和公式法进行因式分解。 2. 难点 准确判断公因式、灵活选用公式，分解彻底且规范。 考点01 因式分解的定义 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式因式分解。 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。 3.弄清因式分解与整式乘法的内在关系。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。 【题型1】下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 考点02 公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫作这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【题型1】多项式各项的最大公因式是__________． 【题型2】多项式的公因式是___________． 考点03 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 【题型1】分解因式：________． 【题型2】因式分解：____． 【题型3】分解因式：______________． 【题型4】若，则代数式的值为___________． 【题型5】若代数式的值是5，则多项式的值是________． 考点04 公式法分解 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【题型1】下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 【题型3】利用因式分解可以知道能够被某个数整除，这个数是（   ） A．18 B．28 C．36 D．64 【题型4】下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 【题型6】把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 考点05 提公因式与公式法结合 （1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 （2）公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 【题型1】因式分解：___． 【题型2】因式分解：______． 【题型3】分解因式：________． 【题型4】分解因式：______． 【题型5】因式分解： (1)； (2)； (3) (4)． 【题型6】因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【题型7】阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 (1)①中第四步变形依据是__________； (2)把多项式分解因式并求出最小值； (3)已知，求代数式的最大值． 【题型8】问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算． 解：     ①     ② (1)例题求解过程中，第②步变形是利用_________（填乘法公式的名称）． 问题2：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (2)利用“配方法”分解因式：． (3)若，，求： ①； ②的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 因式分解 教学目标 1.理解因式分解的概念，明确与整式乘法的互逆关系。 2.掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方）的基本步骤。 3.能正确、规范地对多项式进行因式分解，培养运算能力。 教学重难点 1.重点 掌握提公因式法和公式法进行因式分解。 2. 难点 准确判断公因式、灵活选用公式，分解彻底且规范。 考点01 因式分解的定义 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式因式分解。 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。 3.弄清因式分解与整式乘法的内在关系。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。 【题型1】下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A，右边不是整式，不符合要求，∴A错误； 对选项B，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，∴B错误； 对选项C，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，∴C正确； 对选项D，变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，不是因式分解，∴D错误． 【题型2】已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 【答案】6 【分析】先设另一个因式为，根据多项式乘法展开后与二次三项式对应系数相等，从而求解出n的值． 【详解】解：设二次三项式 的另一个因式为， ， 所以有，，， 解得，． 考点02 公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫作这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【题型1】多项式各项的最大公因式是__________． 【答案】 【详解】解：多项式各项的最大公因式是． 【题型2】多项式的公因式是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查公因式的定义：一个多项式的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，注意不要忘记数字的最大公约数，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题可得：多项式各项的公因式是：； 故答案为：． 考点03 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 【题型1】分解因式：________． 【答案】 【分析】直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 【题型2】因式分解：____． 【答案】 【分析】找出原式的公因式，提取公因式即可完成因式分解 【详解】解： 【题型3】分解因式：______________． 【答案】 【详解】解：． 【题型4】若，则代数式的值为___________． 【答案】 2026 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体代入思想的应用．将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：2026． 【题型5】若代数式的值是5，则多项式的值是________． 【答案】7 【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号和去括号，根据题意可得，将多项式 变形为，然后整体代入计算． 【详解】解：∵代数式的值是5， ∴， ∴ ， 故答案为：7 考点04 公式法分解 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【题型1】下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式分解因式要求多项式可化为两个平方项作差，即形如，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意； B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 【题型2】如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用平方差公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【题型3】利用因式分解可以知道能够被某个数整除，这个数是（   ） A．18 B．28 C．36 D．64 【答案】D 【分析】使用平方差公式对 进行因式分解，找出其因子． 本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵ 又 ∵ ∴ ∴ 能够被 64 整除． 故选：D． 【题型4】下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的结构，对各选项逐一判断即可． 【详解】A、，可用平方差公式分解，不符合完全平方公式； B、，符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解； C、无法化为的形式，不能用完全平方公式分解； D、的常数项为负，无法化为的形式，不能用完全平方公式分解； 故选：B． 【题型5】若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．1或 D．3或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或． 【题型6】把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．将视为整体，应用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故选：D． 考点05 提公因式与公式法结合 （1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 （2）公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 【题型1】因式分解：___． 【答案】 【分析】先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【题型2】因式分解：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式解题即可． 【详解】解：原式． 【题型3】分解因式：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再由完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 【题型4】分解因式：______． 【答案】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解： ． 【题型5】因式分解： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）利用完全平方公式分解即可； （4）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 【题型6】因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 【题型7】阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 (1)①中第四步变形依据是__________； (2)把多项式分解因式并求出最小值； (3)已知，求代数式的最大值． 【答案】(1)平方差公式 (2)因式分解为；最小值为 (3) 【分析】（1）观察式子结构即可解答； （2）根据材料，结合完全平方和平方差公式即可求解； （3）由已知得到，代入中，再利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：①中第四步变形依据是平方差公式； （2）解：将多项式因式分解： ； 求多项式的最小值： ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最小，且最小值为． （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最大，且最大值为． 【题型8】问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算． 解：     ①     ② (1)例题求解过程中，第②步变形是利用_________（填乘法公式的名称）． 问题2：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (2)利用“配方法”分解因式：． (3)若，，求： ①； ②的值． 【答案】(1)平方差公式 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据平方差公式解答即可； （2）仿照题干所给例子，计算即可得出结果； （3）①利用完全平方公式计算即可得出结果；②利用完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式； （2）解： ； （3）解：①      ； ②      ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $