精品解析：上海市第五十四中学2025-2026学年高二第二学期期中能力诊断数学试卷

五十四中学2025学年度第二学期期中能力诊断高二数学试卷 2026年4月 （闭卷100分钟，满分100分） 一､填空题（本大题共有12题，满分36分） 1. 已知球的表面积为，则球的半径为__________. 2. 已知抛物线的方程为，则其准线方程为______． 3. 将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_____cm2． 4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为______． 5. 已知，则______． 6. 已知，则函数的最小值为______． 7. 若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 8. 已知函数在处有极值0，则__________. 9. 已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 10. 设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为______． 11. 已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的取值范围是________ 12. 设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______． 二､选择题（本大题共有4题，满分16） 13. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 14. “”是直线与直线平行的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 16. 设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 三､解答题（本大题共有5题，满分48分，8分+8分+10分+10分+12分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD＝2，BC＝1，AC与底面所成的角为，过点A作截面ABC、ACD，截去部分后的几何体如图． （1）求原来圆锥的侧面积； （2）求该几何体的体积． 18. 已知函数 （1）若函数在处的切线的斜率是2，求的值； （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围. 19. 已知抛物线，过点的直线交抛物线于. （1）求证：为定值； （2）求面积的最小值. 20. 定义：①若定义域为的函数满足其导函数在定义域内恒成立，则称是一个“严格增函数”；②若定义域为的函数满足其导函数是定义域为的严格增函数，则称是一个函数. （1）分别判断，是否为函数，并说明理由； （2）已知常数，若定义在上的函数是函数，判断和的大小关系，并证明. 21. 已知平面直角坐标系中，椭圆的方程为，若上存在三个不同点，满足. （1）若分别为的右顶点与上顶点，且，求的值； （2）当且不垂直轴时，设直线的方程为，求与之间的关系； （3）求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五十四中学2025学年度第二学期期中能力诊断高二数学试卷 2026年4月 （闭卷100分钟，满分100分） 一､填空题（本大题共有12题，满分36分） 1. 已知球的表面积为，则球的半径为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用球体的表面积公式可求得球的半径. 【详解】设球的半径为，则，解得. 故答案为：. 2. 已知抛物线的方程为，则其准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上，即可得准线方程. 【详解】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上， 所以其准线方程为. 故答案为：. 3. 将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_____cm2． 【答案】4π 【解析】 【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得. 【详解】依题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，所以该圆柱的侧面积为S＝2×2＝4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查圆柱侧面积的求解，圆柱侧面积的求解关键是确定半径和母线长，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为______． 【答案】0## 【解析】 【分析】根据题意可得，可知∥平面或平面，即可得结果. 【详解】由题意可得：，即， 可知∥平面或平面， 所以直线与平面所成的角为0. 故答案为：0. 5. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接求导，再根据导数含义即可得到答案. 【详解】,，则 . 故答案为：1. 6. 已知，则函数的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得最值. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的最小值为. 故答案为：1. 7. 若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，利用导函数值为求解切点坐标，再把切点坐标代入切线方程即可求解值． 【详解】由，得， 直线与曲线相切，，解得，则， 可得切点为，代入，得． 故答案为： 8. 已知函数在处有极值0，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，即可得答案. 【详解】因为，所以，依题意可得 .解得， 经检验适合题意，所以. 故答案为： 9. 已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由，，得. 周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点. 设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，， ，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故. 顶点的轨迹方程为. 10. 设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和圆的性质转化为三点一线即可求出最值. 【详解】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 11. 已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】设点，可得出，分析得出，即可解得的取值范围. 【详解】设点，则，则或为锐角， 如下图所示： 设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点， 设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点， 由题意可知，，则，解得. 故答案为：. 12. 设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况，结合双曲线的定义以及通径分析求解即可. 【详解】因为为等腰直角三角形，则或或， 结合对称性可知：，结果是相同的， 所以只需讨论或即可，则有： 若，可知直线与轴垂直，则，即， 整理得，解得或（舍去）； 若，设，则， 因为，即，可得， 且，即，解得， 又因为，则， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率为； 综上所述：双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 二､选择题（本大题共有4题，满分16） 13. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则逐项计算即可. 【详解】因为是常数，所以，所以A错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D错误. 14. “”是直线与直线平行的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行的充要条件求解即可； 【详解】由直线与直线平行的充要条件是 ，即，即解得. 所以“”是直线与直线平行的充要条件. 15. 若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由体积求出圆锥的底面圆半径和高，母线长，即可计算圆锥的侧面积． 【详解】设圆锥的底面圆半径为，高为，由轴截面三角形的顶角为，得， 所以圆锥的体积为，解得， 所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为． 故选：C． 16. 设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【详解】易知，有三个零点 因为为二次函数，所以，它有两个零点 由图像易知，当时，； 当时，，故是极小值 类似地可知，是极大值. 故答案为C 三､解答题（本大题共有5题，满分48分，8分+8分+10分+10分+12分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD＝2，BC＝1，AC与底面所成的角为，过点A作截面ABC、ACD，截去部分后的几何体如图． （1）求原来圆锥的侧面积； （2）求该几何体的体积． 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)设的中点为，连结，，则平面，求出圆锥母线长度即能求出圆锥侧面积． (2)该几何体的体积，由此能求出结果． 【小问1详解】 如图，设BD的中点为，连接， 是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径， 平面． ，，与底面所成角的大小为， ∴在中，，，，， ∴圆锥侧面积为：； 【小问2详解】 该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ，， ， 该几何体的体积． 18. 已知函数 （1）若函数在处的切线的斜率是2，求的值； （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导后由即可得解； （2）根据导数与极值点关系计算可求出，得到，利用导数得到函数单调性后即可得有3个不同的实根时，的取值范围. 【小问1详解】 ，则，解得； 【小问2详解】 ，， 由在处有极值，故，解得； 则，此时，， 当或时，，当， 故在、上单调递增，在上单调递减， 因此是极值点，故符合要求， 因为关于的方程有3个不同的实根， 则有，由， ， 故. 19. 已知抛物线，过点的直线交抛物线于. （1）求证：为定值； （2）求面积的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）设过点的直线方程，与抛物线联立后由韦达定理得到交点横纵坐标的关系，将坐标化后代入该关系，即可证明其为定值； （2）利用原点到直线的距离和弦长公式得到面积关于直线斜率的表达式，再通过均值不等式求最值即可得到面积的最小值. 【小问1详解】 设过点的直线方程为，设， 联立直线与抛物线方程： 消去得一元二次方程：， 由韦达定理得： ， 所以， 因此， 故为定值，得证. 【小问2详解】 因为，，，故， 所以， 由韦达定理， ，当（即）时，取得最小值， 即面积的最小值是. 20. 定义：①若定义域为的函数满足其导函数在定义域内恒成立，则称是一个“严格增函数”；②若定义域为的函数满足其导函数是定义域为的严格增函数，则称是一个函数. （1）分别判断，是否为函数，并说明理由； （2）已知常数，若定义在上的函数是函数，判断和的大小关系，并证明. 【答案】（1）是函数，不是函数， 由题意可知，若是一个“严格增函数”， 等价于在定义域内单调递增，且， 对于，可知其定义域为，且， 可知是上的严格增函数， 又因为，可知是上的严格增函数，故是“函数”； 对于，可知其定义域为，且，其中， 因为不是上的严格增函数，故不是“函数”； （2）， 因为定义在上的函数是函数，则在上严格递增， 设，则， 故在上单调递增，故， 即，所以. 【解析】 【分析】（1）求导，根据函数的定义得到答案； （2）构造函数，确定函数单调递增，根据得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知平面直角坐标系中，椭圆的方程为，若上存在三个不同点，满足. （1）若分别为的右顶点与上顶点，且，求的值； （2）当且不垂直轴时，设直线的方程为，求与之间的关系； （3）求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程求出点的坐标，由向量关系求点的坐标，代入椭圆方程可求； （2）利用设而不求法求出点的坐标关系，由向量关系求点的坐标，代入椭圆方程可得； （3）当直线的斜率不存在时，设其方程为，由向量关系求点的坐标，代入椭圆方程可得的关系，由此求的取值范围，当直线的斜率存在时，由(2)求点的坐标，代入椭圆方程可得，结合判别式求的取值范围. 【小问1详解】 因为分别为椭圆的右顶点与上顶点， 所以，则， 因此，则， 代入的方程可得，又， 解得； 【小问2详解】 由得， 由已知方程的判别式， 所以， 设，则， ， 由得， 代入的方程可得， 化简得； 【小问3详解】 当直线的斜率不存在时，设其方程为， 则，故， 从而，即， 代入的方程可得，化简得，从而； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 由（2）得， 即，代入的方程，化简得. 因为，从而， 即，故. 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系； （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $