上海市第五十四中学2025-2026学年高二第二学期期中能力诊断数学试卷

五十四中学2025学年度第二学期期中能力诊断高二数学试卷 2026年4月 （闭卷100分钟，满分100分） 一､填空题（本大题共有12题，满分36分） 1. 已知球的表面积为，则球的半径为__________. 2. 已知抛物线的方程为，则其准线方程为______． 3. 将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_____cm2． 4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为______． 5. 已知，则______． 6. 已知，则函数的最小值为______． 7. 若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 8. 已知函数在处有极值0，则__________. 9. 已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 10. 设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为______． 11. 已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的取值范围是________ 12. 设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______． 二､选择题（本大题共有4题，满分16） 13. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 14. “”是直线与直线平行的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 16. 设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 三､解答题（本大题共有5题，满分48分，8分+8分+10分+10分+12分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD＝2，BC＝1，AC与底面所成的角为，过点A作截面ABC、ACD，截去部分后的几何体如图． （1）求原来圆锥的侧面积； （2）求该几何体的体积． 18. 已知函数 （1）若函数在处的切线的斜率是2，求的值； （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围. 19. 已知抛物线，过点的直线交抛物线于. （1）求证：为定值； （2）求面积的最小值. 20. 定义：①若定义域为的函数满足其导函数在定义域内恒成立，则称是一个“严格增函数”；②若定义域为的函数满足其导函数是定义域为的严格增函数，则称是一个函数. （1）分别判断，是否为函数，并说明理由； （2）已知常数，若定义在上的函数是函数，判断和的大小关系，并证明. 21. 已知平面直角坐标系中，椭圆的方程为，若上存在三个不同点，满足. （1）若分别为的右顶点与上顶点，且，求的值； （2）当且不垂直轴时，设直线的方程为，求与之间的关系； （3）求实数的取值范围. 五十四中学2025学年度第二学期期中能力诊断高二数学试卷 2026年4月 （闭卷100分钟，满分100分） 一､填空题（本大题共有12题，满分36分） 【1题答案】 【答案】## 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】4π 【4题答案】 【答案】0## 【5题答案】 【答案】1 【6题答案】 【答案】1 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】4 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】或 二､选择题（本大题共有4题，满分16） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】C 三､解答题（本大题共有5题，满分48分，8分+8分+10分+10分+12分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）﹒ 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【20题答案】 【答案】（1）是函数，不是函数， 由题意可知，若是一个“严格增函数”， 等价于在定义域内单调递增，且， 对于，可知其定义域为，且， 可知是上的严格增函数， 又因为，可知是上的严格增函数，故是“函数”； 对于，可知其定义域为，且，其中， 因为不是上的严格增函数，故不是“函数”； （2）， 因为定义在上的函数是函数，则在上严格递增， 设，则， 故在上单调递增，故， 即，所以. 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $