专题02 圆锥曲线压轴题综合（4大考点20题）（期末真题汇编，上海专用）高二数学下学期

**基本信息** 上海多区县及重点中学高二下期末圆锥曲线压轴题汇编，20题覆盖椭圆、双曲线、抛物线、曲线与方程四大考点，注重综合应用与创新探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|20题|椭圆7题、双曲线7题、抛物线4题、曲线与方程2题，含离心率、直线与曲线位置关系等核心内容|以“果圆”“好三角形”等创新情境设题，多问设计（如3问）体现基础到探究梯度，贴合上海期末真题趋势，突出几何直观与逻辑推理能力考查|

学科网 www.zxxk.com 考点02圆锥曲线压轴题综合(4 目目 考点01 椭圆 1.0we-号s=s5 (2y=V5r-65 存在，心为0，径为月 2.①a2=3+5,g,,l: 2 (2)9; (3)不存在，理由见解析 3.(1) 3+2=1 (②)m=tv6 ,4 (③)m=t6 4.(1)6: (2)V5x-2y-√5=0或V5x+2y-√5=0； 同存在电时=1，如号0 5.号+y (26-v2 2 (3)是，定值9V5 4 6.(a)e=2, 2 国m, (3)证明见解析 70皆*r-1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 1/3 让教与学更高效 大考点20题) 丽学科网 www zxxk com 目目 考点02 双曲线 8.(1)x2-y =1 s-6+3,[g+n） (3)0<m<√2且m≠1，-0，-8)U(8,+0） =1 516 3,:y=5 5 +5::y=-45x+8v5., 5；:y-6 -x+ 5 x+2W5; 5 a:y=1+5 x+V5+1: (5 =1 42 (2)证明见解析 (3)存在，1=3 4 1.0-=1 88 (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 12.(①0x2-y =1: 3 (2)证明见解析； (3)2=2,证明见解析 13.(1)2x2-y2=1 (MON- (3)证明见解析 14.(1)x±y=0; (2)4(6+V2); (3)证明见解析 让教与学更高效 :-1- 5 x+5-1: 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 抛物线 15.(1)y2=4x (2)64π (3)最小值1+ ,G2,0 60-号- (2)10 (3)不存在；理由见解析 17.(1)4 (2[2V5,22i (3)证明见解析 18.(1)2x2-2y2=1 (2)x-y+1=0 (3)过定点(1,0)，-3,0) 目目 考点04 曲线与方程 19.(1)V2 (2)2,1 (3)点N在直线c-y+1=0时，不存在定直线，使点N在定直线上： 当点N不在直线a-y+1=0上时，点N在定直线y=n上 20.(1)(x+1)2+(y+1)2=3,轨迹是以A(-1,-1)为圆心、√5为半径的圆 (2)(i)x+y=0;(ii)存在，点W(0,3) 3/3 考点02 圆锥曲线压轴题综合（4大考点20题） 4大高频考点概览 考点01椭圆 考点02双曲线 考点03抛物线 考点04 曲线与方程 地 城 考点01 椭圆 1．(24-25高二下·上海徐汇区·期末)如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．    (1)写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； (2)设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； (3)若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，圆心为，半径为 【分析】（1）根据椭圆方程和性质求解即可. （2）首先设出直线方程，然后与半椭圆联立方程组，结合韦达定理和线段长度，求出的值，进而得到直线的方程. （3）先设出圆的方程，确定半径的范围，并讨论的范围，最后确定的值并比较圆的面积和四边形的面积，从而得出结果. 【详解】（1）根据题意可知， 所以半椭圆的离心率为. 四边形的面积为. （2）由的斜率，可设的方程为， 将它与的方程联立，消整理得， 设，则有 ,解得, 又因为化简可得，结合 解得，故直线的方程为 （3）依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最大值与四边形面积即可. 设圆的圆心，半径为，则圆的方程为， 易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部，故应该有 设上有任意一点，则， 当时，时，；当时，时 同理，设上有任意一点，可有 记， 易有，当时，，此时圆面积. 故圆心为，半径为的圆，符合题意. 2．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)如下图所示：曲线是与组成的，与其中的两个交点分别记作、，点在第一象限，点在第三象限. (1)如图1，设，，，求点的坐标和； (2)如图2，设四边形的四条边都与曲线相切，时，求四边形的面积； (3)如图3，在轴右侧的曲线上有两点、，直线经过点（点在上）.当时，是否存在直线，使得所在直线与所在直线关于直线对称？若存在，求直线的方程，若不存在请说明理由. 【答案】(1)，； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）由题可得、为与公共点，将两椭圆方程联立，结合题意，可得；由，结合，可得，再将代入椭圆方程可得，据此可得答案； （2）由（1）分析结合，可得椭圆方程，由对称性可设直线方程为：，由直线与椭圆相切，结合联立方程判别式为0，可得，从而可得四点坐标，据此可得面积； （3）由（1）分析结合，可得椭圆方程，设直线，将直线与两椭圆方程联立，设，结合韦达定理，可得关于k的表达式，由、在y轴右侧，点在上），可得.假设相关直线存在，则，据此可得关于的方程，通过判断方程有无解，可判断相关直线是否存在. 【详解】（1）令，由题可得，、为与公共点. 将与联立，可得， 解得：，则， 由题可得， 则，又，则，从而. 将代入，得. 解得或（小于0，舍去）. 故； （2）由（1）分析可知，又，则. 则两椭圆方程为：.设， 由对称性可得，则直线方程为：. 将直线方程与联立，化简后可得， 因直线与椭圆相切，则判别式. 此时，将与联立，化简后可得：， 其判别式也为0，则直线也与椭圆 相切. 则，由对称性可得， 则四边形的面积为：； （3）由（1）分析可得，又，则. 则两椭圆方程为：. 从而曲线与y轴正半轴，x轴正半轴交点为：. 设直线，将直线分别与两椭圆方程联立， 则，化简后可得： ， ； ， . 设，由韦达定理， ，. 因、在y轴右侧，点在上）， 则. 则，.因， 则，. 若所在直线与所在直线关于直线对称，则. 因，由对称性可得，则.若， 则， 化简可得， 因，则不存在使得. 即不存在直线，使得所在直线与所在直线关于直线对称. 【点睛】关键点睛：对于存在性问题，常先假设相关研究对象存在，据此得到关于某参数的不等式或方程，通过判断相关不等式或方程有无解，可完成结论判断. 3．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，请求出与的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据椭圆的长轴与离心率直接可得解； （2）联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系表示向量数量积，即可得解； （3）设直线方程，联立直线与椭圆，结合根与系数关系表示，化简即可得解. 【详解】（1）由已知椭圆的长轴长为，即， 又椭圆的离心率，则， 所以， 故椭圆方程为； （2）由已知直线的斜率为，且过点，则直线的方程为， 设，， 联立直线与椭圆，得， 则，即， 且，， 则， 则， 解得； （3）当直线斜率存在时，设直线，即， 联立直线与椭圆，得， 则， 且，， 则，， 则， 又恒为定值， 则，解得，即， 且； 当直线斜率不存在时，直线， 则，则，， 此时， 则， 易知当时，.    【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 4．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期末)已知椭圆：的左、右焦点为、. (1)已知为的上顶点，求的周长； (2)已知直线交于，两点，若，求直线的方程； (3)已知，，直线：与有两个不同的交点，.设为轴上一点，是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)或； (3)存在. 此时，. 【分析】（1）先根据椭圆的方程写出点，，的坐标；再根据两点间距离公式得出，，，从而可求出的周长. （2）先根据得出 ，，三点共线；再设出直线方程为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出，，结合即可求出，从而得出直线的方程. （3）联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出，，进而得出，及线段的中点坐标；再求出线段的垂直平分线方程，得出点的坐标；最后根据，列出关于的方程求解即可做出结论. 【详解】（1）由椭圆方程可得：，， 则. 所以有，，. 由两点间距离公式可得：，，， 所以的周长为. （2）设点，. 由可得： ，，三点共线且，即， 当直线过点，且斜率为时，则，点，不满足； 所以直线过点，且斜率不为， 设直线方程为. 联立方程组，整理得：， 则，由韦达定理可得，结合可得：或， 则直线的方程为或， 即或. （3）设点，. 联立直线与椭圆的方程，整理得：， 则，解得， 由韦达定理可得， 则， ； 线段的中点坐标为. 所以线段的垂直平分线方程为：， 令，得. 设为轴上一点，假设存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形 则，. 又因为，， 所以 即，整理得：， 因为,所以. 综上，存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，此时，. 5．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知椭圆的图像经过点    (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； (3)若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)； (3)是，定值. 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）首先得到点的坐标，根据坐标表示直线和的斜率，得到，并利用倾斜角表示的正切值，即，转化后利用基本不等式求最值，根据最值成立的条件求离心率； （3）首先根据条件确定椭圆方程，当直线斜率存在时，设出直线得到方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，根据向量关系转化为，利用韦达定理表示点的坐标，结合点在椭圆上，得到，并求解点到直线的距离，结合面积公式求定值，当直线得到斜率不存在时，求定值. 【详解】（1）由已知条件可知， 从而， 所以椭圆的方程； （2）设，则， 则， 从而. 设直线的倾斜角分别为则 ， 当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以， 从而，解得（舍负）， 所以当取得最大值时，椭圆的离心率为； （3）由已知椭圆经过点可得， 从而椭圆的方程； ①当直线与轴不垂直时，设， 联立方程组， 得. 由题意可知. 设，则，所以 ， 由可知， 设，则有， ， 因为点，在椭圆上， 所以， 整理得， 此时，， 点到直线的距离， 所以的面积 ， ②当直线与轴垂直时，，， ， ， . 综上可和，的面积为定值.    6．(24-25高二下·上海杨浦区·期末)如图，已知椭圆的焦距为2.若是椭圆的内接三角形，点在轴上方，PQ,PR分别经过椭圆的左右焦点，则称为“好三角形”. (1)求椭圆的离心率； (2)若“好三角形”满足：，求点的坐标； (3)证明：当点是椭圆的上顶点时，“好三角形”的面积最大. 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）求出，进而求出离心率. （2）设出点的坐标，表示出点的坐标，代入椭圆方程求解方程组即得. （3）设出直线的方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理求出，纵坐标的比，再利用三角形面积公式求出，并用的纵坐标表示，同证明即可. 【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，则，椭圆：的离心率. （2）设，而，由，得， 因此，消去得，解得，， 所以点. （3）设， 由点在轴上方，得均不与轴重直，设， ， 由得， 则，即， 而，于是，即， 同理，因此，又， 则，而， 从而，记， 下面证明不等式对任意恒成立， 即证对任意恒成立， 即证对任意恒成立， 而，因此对任意恒成立， 所以当时，取得最大值，即当点是椭圆的上顶点时，“好三角形”的面积最大. 7．(24-25高二下·上海虹口区·期末)在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点． (1)若的离心率为，且，求的方程； (2)若过原点的直线，与相交于两点，是上异于的任意一点，求证：直线的斜率之积是定值； (3)设直线的一个法向量为是上任意一点，对于平面内的一定点，定义．证明：若，则直线与椭圆相切． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题可得，据此可得椭圆方程； （2）由题意得关于原点对称，设，，根据在椭圆上化简可证明结论； （3）当直线的斜率不存在时，设其方程为，由可得，据此可完成证明；当直线的斜率存在，设其方程为，由，可得与椭圆联立方程判别式为0，据此可证明结论. 【详解】（1）由题意得，所以的方程为. （2） 由题意得关于原点对称，设，， 因为在椭圆上，所以， 所以，即， 所以，即直线的斜率之积是定值. （3）①当直线的斜率不存在时， 设其方程为，则它的一个法向量为． 设的坐标分别为， 所以， 所以 所以. 因为，所以，故直线与椭圆相切． ②若直线的斜率存在，设其方程为，则它的一个法向量为． 设，则， 所以， 所以. 由得， ， 因为， 所以， 所以直线与椭圆只有一个交点，故直线与椭圆相切． 综上，当时，直线与椭圆相切. 地 城 考点02 双曲线 8．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期末)已知双曲线的离心率为，实轴长为2． (1)求的方程； (2)设点在双曲线的左支上，过点分别作斜率为1与-1的直线、与双曲线交于、两点，求的面积关于的函数表达式，并求的取值范围； (3)过点作的两条切线、，设直线、的斜率分别为、．若，求点的取值范围及的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)且， 【分析】（1）根据离心率实轴长联立方程即可； （2）设，，直线与双曲线联立后解得，同理解得，求出和，根据求出即可求解； （3）设切线方程为，与双曲线联立和化简得关于的方程，据此即可求解. 【详解】（1）由题意：，， 解得，， 于是； （2）设，，则直线与双曲线联立后解得，同理解得， 故， 同理， 又由于，所以， 的取值范围为； （3）设切线方程为， 与双曲线联立后得， 由得 化简得关于的方程， 该方程也要有两个不同的实根， 于是根据我们得到且，故且， 根据韦达定理我们知道， 计算得的取值范围为． 9．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)如图，为坐标原点，椭圆的左焦点为，双曲线：的一条渐近线方程为．    (1)求椭圆和双曲线的方程． (2)过点作直线与椭圆在第一象限交于点，与双曲线在第一象限交于点．已知为线段的中点，求点的坐标． (3)由（2）中过点作直线，已知与、共有3个不同的交点，求出所有可能的方程． 【答案】(1)；：； (2)； (3)；；；；； 【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解； （2）首先设点，并表示点的坐标，分别代入椭圆和双曲线方程，联立方程，即可求解； （3）由直线和椭圆，双曲线的交点个数，转化为直线与椭圆，双曲线的位置关系，通过联立方程，分情况求解. 【详解】（1）由题意得：，解得：， 因此可得：；. （2）设点的坐标．由点是线段的中点，可知点的坐标为． 将点、点的坐标分别代入椭圆和双曲线的方程： 由（1）得 （3），将（3）代入（2）得， 化简得，，由，得（4）， 将（4）代入（3）得，由，计算得， 因此点的坐标为． （3）设直线的斜率为． ①直线与椭圆有一个交点，与双曲线有两个交点． 此时是椭圆的切线，设，联立椭圆， 得， ，得， 所以椭圆在点的切线方程为． 联立得，，，与双曲线有2个交点，满足条件； ②直线与椭圆有两个交点，与双曲线有一个交点． 将代入双曲线得，， 化简得， 若，若，则等式变为，矛盾． 若，则等式为一元一次方程，此时直线与双曲线有一个交点． 直线的方程为，且与椭圆有2个交点，满足条件； 若，令得，， 可知其中的一个解为（舍）；由韦达定理，另一个解为． 此时直线与双曲线相切，直线的方程为，且与椭圆有2个交点，满足条件； ③直线过椭圆与双曲线都相交，但有一个交点重合． 根据椭圆和双曲线的方程，可知椭圆和双曲线交于点和点．分别代入计算，得到直线方程为或． 综上，直线可能的方程为：；；     ；；. 10．(24-25高二下·上海松江区·期末)如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别是，求证: ； (3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据题意，得到，由离心率，得到，进而求得椭圆的方程； （2）设点，可得，结合，即可求解； （3）设直线的方程为，则直线方程为 ，联立方程组，结合弦长公式，求得和，根据题目条件得，即可证得结论. 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆焦点恰好是双曲线的左右顶点， 所以 ，故， 因为离心率，所以， 因为，所以 ，所以椭圆的方程是 . （2）设点，则 ， 因为点在双曲线上，所以，可得， 所以. （3）由 (2) 知 ， 设直线的方程为，则直线方程为 ， 联立方程组 ，整理得， 记，则， 所以 ，同理可得， 所以 ， 即 ， 所以存在，使成立. 11．(23-24高二下·上海南汇中学·期末)已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 12．(23-24高二下·上海青浦区·调研)已知双曲线的图像经过点，点分别是双曲线的左顶点和右焦点．设过的直线交的右支于两点，其中点在第一象限． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线分别交直线于两点，证明：为定值； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，证明见解析. 【分析】（1）根据点在双曲线上，即可求得曲线方程； （2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算，即可证明； （3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可. 【详解】（1）由双曲线C：的图像经过点得：，解得：， 所以双曲线C的标准方程为：； （2） 由（1）中所求可得点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为， 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 则 故为定值. （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时， 不妨设点的坐标为，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中定值以及存在常数满足条件的问题；其中第二问证明的关键是能够快速，准确的进行计算；第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系；属综合困难题. 13．(24-25高二下·上海格致中学·期末)已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率得，再根据双曲线所过的点求出基本量后可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，由已知距离得，联立直线方程和双曲线方程结合韦达定理可求，故可求； （3）法1：设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程后消元，再结合韦达定理化简斜率之和得直线参数关系，从而可求定点；法2：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点，设平移后的直线的方程为：，齐次化后结合斜率为1可得参数关系，从而可求出原直线所过的定点. 【详解】（1）由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． （2）设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． （3）法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 14．(24-25高二下·上海大同中学·期末)已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值； (3)设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合斜率坐标公式求出，即可求出双曲线的渐近线方程. （2）求出直线的方程，平移直线与双曲线右支相切，求出面积最小值. （3）设出直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理及对称关系建立方程求解. 【详解】（1）依题意，点，设，由，得， 解得，而，因此，双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）由（1）知，，直线的方程为， 由消去得，解得， 则， 的面积最小，当且仅当点到直线的距离最小， 平移直线与双曲线的右支相切的切点到直线的距离最小， 设切线方程为，由消去得， ，解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意，因此， 因此点到直线的距离为点到直线的距离， 所以求的面积的最小值为. （3）依题意，直线斜率存在，设其方程为，， 由为双曲线的左支上与不重合的点，得， 设点关于直线对称点为，则， 解得，由直线平分，得在直线上， 而，则， 即，整理得， 由消去得，， ，因此， 整理得，而，解得，直线：过定点， 所以直线MN恒过定点. 地 城 考点03 抛物线 15．(24-25高二下·上海中学·期末)如图，已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记、面积分别为、． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积； (3)求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值， 【分析】（1）根据抛物线定义可直接求出，可得抛物线的标准方程； （2）联立直线和抛物线方程并利用焦点弦公式可求得，可得圆的面积为； （3）依题意分别求得的坐标，得出的表达式并利用基本不等式可求得结果，可得此时点的坐标. 【详解】（1）依题意由焦点到准线的距离为2可知， 所以抛物线的标准方程为； （2）由（1）可知，设, 易知直线的方程为， 联立，整理可得， 所以， 因此可得， 即以线段为直径的圆直径为16，可得圆面积 （3）设，重心． 令，，则． 由于直线过，故直线方程为， 代入，得，故，即， 所以． 又由于，及重心在轴上，故， 得，． 所以直线方程为，得． 由于在焦点的右侧，故． 从而． 令，则， 可得． 当时，取得最小值，此时． 16．(24-25高二下·上海行知中学·期末)已知 是以 为焦点的抛物线 是离心率为 ，以 为焦点的双曲线，且 与 在第一象限有两个公共点 . (1)求双曲线 的标准方程； (2)求 的最大值； (3)是否存在 ，使得此时 的重心 恰好在双曲线 的渐近线上? 若存在 ，求出 的值: 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)不存在；理由见解析 【分析】（1）设双曲线的方程，利用双曲线的焦点坐标和离心率建立方程组，即可求得双曲线的方程； （2）设点、，其中，，将抛物线与双曲线的方程，由求出正数的取值范围，列出韦达定理，将表示的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得的最大值； （3）求出的重心的坐标，将点的坐标代入直线的方程，求出正数的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为双曲线焦点是， 故双曲线焦点在轴上， 于是可设双曲线的方程为， 且该双曲线的离心率为， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. （2）    抛物线的焦点为， 设点、，其中， 联立， 可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，因为，解得， 由韦达定理可得，，， 所以， ，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为10. （3）由（2）可知，的重心为， 且， ， 故点， 因为点为第一象限内的点， 故点在直线上， 所以， 因为，解得， 又，所以不存在. 因此，不存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上． 17．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期末)已知抛物线：和圆：，抛物线的焦点为． (1)求的圆心到抛物线的准线的距离； (2)设点在抛物线上，且满足，过点作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形的面积的取值范围； (3)如图，若直线与抛物线和圆依次交于、、、四点，证明：“”的充要条件是“直线的方程为”．    【答案】(1)4 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）分别求出圆心和准线方程即可求解. （2）根据条件可表示出四边形的面积，利用二次函数的单调性可得解. （3）从充分性和必要性两个方面进行证明即可. 【详解】（1）由. 所以圆的圆心为. 抛物线：的准线为：. 所以的圆心到抛物线的准线的距离为：4 （2）由题意：四边形的面积为： ， 所以当，四边形面积的取值范围为：. （3）先证充分性：若直线的方程为，将分别代入，， 可得，，，. 所以， 所以. 再证必要性：若，则线段与线段的中点重合， 设直线的方程为，，，，， 则， 将代入得：， 所以，. 同理可得：. 所以或. 当时，将其代入得不可能成立； 当时，由得：，， 将代入，得，， 所以或（舍去）. 所以直线的方程为：. 综上可知：“”的充要条件是“直线的方程为”． 18．(24-25高二下·上海青浦区·期末)已知抛物线的焦点为，准线为． (1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的方程； (2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程； (3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得解； （2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程； （3）设直线的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线为， 双曲线的方程为双曲线，即，则， 由题意可知：，则， 故双曲线的方程； （2）由（1）可知：， 过点P作直线的垂线，垂足为M，则， ∵，且， ∴， 故直线EP的倾斜角，斜率， ∴直线EP的方程为，即； （3）设直线， 联立方程，消去y可得：， 则可得：， ∵直线，当时，， ∴， 同理可得：， ∵ ， ， 则线段MN为直径的圆C的圆心，半径， 故圆C的方程为， 整理得， 令，则，解得或， 故以线段MN为直径的圆C过定点.    【点睛】思路点睛：过定点问题的两大类型及解法： （1）动直线过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示即可； （2）动曲线过定点问题．解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 地 城 考点04 曲线与方程 19．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期末)已知且，曲线. (1)若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； (2)设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； (3)设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)点N在直线时，不存在定直线，使点在定直线上； 当点不在直线上时，点在定直线上. 【分析】（1）根据等轴双曲线的性质求其离心率. （2）先根据平面向量数量积的几何意义确定点在圆上，再与椭圆方程联立，根据点所在位置，可求点坐标. （3）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，再根据直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列列式，化简即可. 【详解】（1）若曲线是等轴双曲线，则， 所以，，其离心率为：. （2）当时，曲线：表示焦点在轴上的椭圆. 因为，且，根据平面向量数量积的几何意义可得：. 所以点在圆：上. 由，且点在第一象限，得点坐标为. （3）如图： 由得：， 整理得：. 因为，所以上述方程必定有两个不同的实根. 设，，则，. 设，因为直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列， 所以. 又，，所以， 所以， ， 所以或. 由 所以点N在直线或上. 即点N在直线时，不存在定直线，使点在定直线上； 当点不在直线上时，点在定直线上. 20．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，轨迹是以为圆心、为半径的圆 (2)（i）；（ii）存在，点 【分析】（1）根据题设定义得到，再利用两点间的距离公式，即可求解； （2）（i）根据条件可得直线为圆和的公共弦所在直线，即可求解；（ii）根据题设得到圆的方程为，再根据题设有，联立，消可得，结合条件，利用根与系数的关系，即可求解. 【详解】（1）设，因为点为圆的“上进点”， 所以，即，又，得到， 所以的轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心､为半径的圆. （2）（i）因为为圆“”的“牵连点”，所以同时为圆与圆的“上进点”， 由为圆的“上进点”，得，所以， 即点在圆上， 由为圆的“上进点”，由（1）知点在圆上， 所以点是圆和的交点. 因为均为圆“”的“牵连点”， 所以直线为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线的方程为. （ii）因为的圆心为，半径为， 又的圆心为，半径为， 所以直线的方程为，与联立得的中点坐标为， 点S到直线的距离为，则， 所以圆的方程为， 假设轴上存在点满足题意，设. 则，即，整理得. 将，代入上式可得， 整理得①， 联立，消可得，， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以， 故轴上存在点，满足题意恒成立. 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 圆锥曲线压轴题综合（4大考点20题） 4大高频考点概览 考点01椭圆 考点02双曲线 考点03抛物线 考点04 曲线与方程 地 城 考点01 椭圆 1．(24-25高二下·上海徐汇区·期末)如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．    (1)写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； (2)设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； (3)若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 2．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)如下图所示：曲线是与组成的，与其中的两个交点分别记作、，点在第一象限，点在第三象限. (1)如图1，设，，，求点的坐标和； (2)如图2，设四边形的四条边都与曲线相切，时，求四边形的面积； (3)如图3，在轴右侧的曲线上有两点、，直线经过点（点在上）.当时，是否存在直线，使得所在直线与所在直线关于直线对称？若存在，求直线的方程，若不存在请说明理由. 3．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，请求出与的值，若不存在，请说明理由． 4．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期末)已知椭圆：的左、右焦点为、. (1)已知为的上顶点，求的周长； (2)已知直线交于，两点，若，求直线的方程； (3)已知，，直线：与有两个不同的交点，.设为轴上一点，是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 5．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知椭圆的图像经过点    (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； (3)若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 6．(24-25高二下·上海杨浦区·期末)如图，已知椭圆的焦距为2.若是椭圆的内接三角形，点在轴上方，PQ,PR分别经过椭圆的左右焦点，则称为“好三角形”. (1)求椭圆的离心率； (2)若“好三角形”满足：，求点的坐标； (3)证明：当点是椭圆的上顶点时，“好三角形”的面积最大. 7．(24-25高二下·上海虹口区·期末)在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点． (1)若的离心率为，且，求的方程； (2)若过原点的直线，与相交于两点，是上异于的任意一点，求证：直线的斜率之积是定值； (3)设直线的一个法向量为是上任意一点，对于平面内的一定点，定义．证明：若，则直线与椭圆相切． 地 城 考点02 双曲线 8．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期末)已知双曲线的离心率为，实轴长为2． (1)求的方程； (2)设点在双曲线的左支上，过点分别作斜率为1与-1的直线、与双曲线交于、两点，求的面积关于的函数表达式，并求的取值范围； (3)过点作的两条切线、，设直线、的斜率分别为、．若，求点的取值范围及的取值范围． 9．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)如图，为坐标原点，椭圆的左焦点为，双曲线：的一条渐近线方程为．    (1)求椭圆和双曲线的方程． (2)过点作直线与椭圆在第一象限交于点，与双曲线在第一象限交于点．已知为线段的中点，求点的坐标． (3)由（2）中过点作直线，已知与、共有3个不同的交点，求出所有可能的方程． 10．(24-25高二下·上海松江区·期末)如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别是，求证: ； (3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 11．(23-24高二下·上海南汇中学·期末)已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 12．(23-24高二下·上海青浦区·调研)已知双曲线的图像经过点，点分别是双曲线的左顶点和右焦点．设过的直线交的右支于两点，其中点在第一象限． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线分别交直线于两点，证明：为定值； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 13．(24-25高二下·上海格致中学·期末)已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 14．(24-25高二下·上海大同中学·期末)已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值； (3)设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点. 地 城 考点03 抛物线 15．(24-25高二下·上海中学·期末)如图，已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记、面积分别为、． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积； (3)求的最小值及此时点的坐标． 16．(24-25高二下·上海行知中学·期末)已知 是以 为焦点的抛物线 是离心率为 ，以 为焦点的双曲线，且 与 在第一象限有两个公共点 . (1)求双曲线 的标准方程； (2)求 的最大值； (3)是否存在 ，使得此时 的重心 恰好在双曲线 的渐近线上? 若存在 ，求出 的值: 若不存在，请说明理由. 17．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期末)已知抛物线：和圆：，抛物线的焦点为． (1)求的圆心到抛物线的准线的距离； (2)设点在抛物线上，且满足，过点作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形的面积的取值范围； (3)如图，若直线与抛物线和圆依次交于、、、四点，证明：“”的充要条件是“直线的方程为”．    18．(24-25高二下·上海青浦区·期末)已知抛物线的焦点为，准线为． (1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的方程； (2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程； (3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 地 城 考点04 曲线与方程 19．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期末)已知且，曲线. (1)若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； (2)设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； (3)设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 20．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $