精品解析：上海市金山中学2024～2025学年高二下学期期末数学试卷

2024~2025学年上海金山区上海市金山中学高二下学期期末数学试卷 一、填空题 1. 设集合，，若，则实数________ 2. 若直线与直线垂直，则________． 3. 不等式的解集为______． 4. 已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为__________. 5. 从高三某班抽取名同学，他们的数学成绩如下：，，，，，，，，，（单位：分），则这名同学数学成绩的第百分位数是___________． 6. 底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为_________ 7. 已知点在抛物线上，且点与焦点的距离为，则的值为________. 8. 设由复数组成的数列满足：对任意的正整数，都有（是虚数单位），则数列的前项的和为 __________ ． 9. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种. 10. 已知，且，则的最小值为_________． 11. 已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是__________. 12. 已知实数满足：，则的最大值是_______． 二、选择题 13. 若，是不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 15. 已知，则（     ） A. B. C. D. 0 16. 已知，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（ ） A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误 三、解答题 17. 在四棱锥中，底面为梯形，，，，，四棱锥的体积为4. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角.（结果用反三角函数表示） 18. 已知函数，，，，它们的最小正周期为. （1）若是奇函数，求和在上的公共减区间D； （2）若的一个零点为，求的最大值. 19. 为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下： 类别 科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 （1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； （2）设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 20. 已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； （1）求此椭圆方程． （2）当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． （3）求四边形面积的最大值． 21. 已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上海金山区上海市金山中学高二下学期期末数学试卷 一、填空题 1. 设集合，，若，则实数________ 【答案】0，2 【解析】 【分析】利用子集的定义即可求出的值. 【详解】集合，，若，则且， 所以或， 故答案为：0，2 【点睛】本题主要考查了子集的定义，涉及元素的互异性，属于基础题. 2. 若直线与直线垂直，则________． 【答案】 【解析】 【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解. 【详解】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 故答案为： 3. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数单调性求出不等式的解集. 【详解】由不等式，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 4. 已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题设，结合平面向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由题意，，， 则，即， 则，所以， 又，则. 故答案为：. 5. 从高三某班抽取名同学，他们的数学成绩如下：，，，，，，，，，（单位：分），则这名同学数学成绩的第百分位数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数定义可求. 【详解】解：因为， 所以这名同学数学成绩的第百分位数是， 故答案为：. 6. 底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为_________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】设圆柱的母线为l，底面半径为r=2，高为h， 因为底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的， 所以，解得，即， 故答案为：2 7. 已知点在抛物线上，且点与焦点的距离为，则的值为________. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据抛物线定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线距离，列出关于的方程，解方程即可解. 【详解】将抛物线方程转化为标准形式， 由在抛物线上且点与焦点的距离为，得 解得. 故答案为：. 8. 设由复数组成的数列满足：对任意的正整数，都有（是虚数单位），则数列的前项的和为 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由数列的前n项和具有周期性，且周期为4. 【详解】由已知，得，所以 ， ， ， , , 所以，，， 依次类推，所以数列具有周期性，且周期为4，且. . 得. 故答案为：. 9. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数. 【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅， 所以，不同的下锅顺序种数为种. 故答案为：. 10. 已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 11. 已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可构造函数，利用导数得出函数在上单调性，解不等式可得结论. 【详解】设，则， 因为，所以，所以在上单调递减； 不等式等价于，即， 因为，所以， 所以，即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题干信息构造函数，并利用导数得出函数单调性；将不等式转换为比较函数值大小问题，利用函数单调性解不等式即可得结果. 12. 已知实数满足：，则的最大值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意可得可得点圆上，根据结合数量积的坐标公式可得两点重合，则，点到直线和的距离之和的倍，再结合圆上的点到直线和点的最值问题即可得解. 【详解】设， 由， 可得点在以为圆心为半径的圆上， ， 所以，所以， 所以两点重合，故， 则， 表示，点到直线的距离的倍， 表示，点到直线的距离的倍， 故 表示点到直线和的距离之和的倍， 设直线和的交点为，则， 设点到直线和的距离分别为， 则， 因为， 所以， 当且仅当时，取等号， 而， 所以， 此时，， 所以的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，再借助三角函数的性质求出最值. 二、选择题 13. 若，是不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面内直线、平面平行的性质判断即可. 【详解】对于A，若，，可能相交，A错误； 对于B，若，，可能异面，B错误； 对于C，若，，可能相交，C错误； 对于D，若，，两个平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，D正确. 故选：D. 14. 等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可． 【详解】设等轴双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为， 所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点到渐近线的距离为. 故选：C． 15. 已知，则（     ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】令得，则，利用二项式定理即可求解. 【详解】令得，则， 则有， 所以，， 所以令有 ， 所以， 故选：B. 16. 已知，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（ ） A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误 【答案】A 【解析】 【分析】将函数的极值点转化为两个函数图象的交点的横坐标，由图象判断命题甲，结合函数图象利用两点间距离的变化来判断命题乙. 【详解】函数的定义域为， 导函数，令，得， 所以函数的极值点为函数与函数的图象的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与函数的图象， 如图所示： 由图象可知，在区间内，函数与函数的图象有且仅有1个交点， 则，所以命题甲正确； 表示两点与间距离， 由图象可知，随着n的增大，两点间距离越来越近， 即恒成立，故乙命题正确； 故选：A. 三、解答题 17. 在四棱锥中，底面为梯形，，，，，四棱锥的体积为4. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角.（结果用反三角函数表示） 【答案】（1）∵，∴，， 又，所以， ∵，，面， ∴平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可证，再结合，即可得证结论； （2）取的中点，连结，，证明平面，作出PC与平面ABCD所成角，通过解直角三角形，即可求出结论. 【详解】（1）略 （2）如图，作的中点，连结，， ∵， ∴，，. 由（1）平面，故， 又，，面， 所以平面，即为四棱锥的高， 为与平面所成，. 由四棱锥的体积为4，可得： ， 解得， 在中，， 在中，，， 所以与平面所成角为. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查求线面角，求线面角要体现“作、证、算”三步骤，考查逻辑思维能力和空间想象能力，考查计算能力，属于常考题. 18. 已知函数，，，，它们的最小正周期为. （1）若是奇函数，求和在上的公共减区间D； （2）若的一个零点为，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据周期求，根据是奇函数求，然后再分别求函数和在上减区间，两个减区间求交集即为公共减区间. （2）把零点代入函数的解析式求，然后对函数进行化简，从而求最大值. 【详解】（1）由，得， 又因为是奇函数且，所以， 所以，， 在上，函数的单调递减区间是， 函数的单调递减区间是， 所以. （2）， 把点代入得，即， 因为，所以， 所以 ， 所以当，即时，取最大值， 即. 19. 为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下： 类别 科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 （1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； （2）设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式即可求解； （2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室， 有种情况，从11人中抽4人有种情况， 所以所求的概率为. 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为、、、、， ，， ，，， 所以随机变量的分布列为 所以. 20. 已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； （1）求此椭圆方程． （2）当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． （3）求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）设，，根据对称性，有，因为，都在椭圆上， 所以，，二式相减得，， 所以为定值． （3） 【解析】 【分析】（1）与转换成关于，，的方程，解方程即可. （2）设，代入椭圆方程中，作差即可得到结论. （3）利用四边形为平行四边形，把四边形面积转化成面积的2倍，然后设直线的方程为，联立椭圆方程，设而不求，把的面积表示成关于的函数，换元，利用基本不等式求出函数最值. 【小问1详解】 设，， ，得到； 又因为，所以，，． 即椭圆方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，直线的倾斜角不为，由对称性得四边形为平行四边形， ， ，设直线的方程为，代入， 得．显然，，． 所以 ， 设，所以，． 所以． 当且仅当即时等号成立，所以． 所以平行四边形面积的最大值为． 21. 已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 设“特征点”是在和处的切线的交点， 因为，所以， 所以在和处的切线方程为，， 联立解得，即， 因为两条切线相互垂直，所以， 所以，所以的所有“特征点”在一条定直线上. （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾即可判断； （2）设“特征点”是在和处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出，即可得解； （3）依题意不存在图象上的点，使得该点是“特征点”，先利用反证法证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，假设，，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，即可得方程对无解，结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 假设存在“特征点”，则存在两条互相垂直的切线， 设为和处的切线， 因为，所以， 所以不存在“特征点”，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以由题意可知不存在图象上的点，使得该点是“特征点”， 先证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点， 反证法：假设该点不是切点，则存在切线， 它与函数图象交于点，所以， 化简得，因为，所以， 同理可得，所以，两条切线重合，矛盾，所以该点本身一定是切点； 假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点， 则由前文可知，所以，， 因为， 所以，即， 设， 则有， 由题意可知图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点， 所以方程对无解， 设，其对称轴为， 所以当时取最小值， 要使得无解，只需，解得. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解定义，利用导数、反证法相关知识进行解答，以达到转化的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $