专题05 平面向量压轴题综合（30题）（期末真题汇编，上海专用）高一数学下学期

专题05 平面向量压轴题综合（30题） 一、单选题 1．已知为原点，坐标平面上两两不同的4个点，，，满足，，，中的任意3点不共线，，，.对于命题：①存在，，，，使得4个向量，，，中的任意2个都不平行；②在，，，这4个数中，一定存在相等的2个数，下列判断正确的是（   ）. A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 2．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知，，…，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足（），且对任意的，当时，都有，则正整数的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．(24-25高一下·上海育才中学·期中)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的个数是（   ） ①；                  ②，； ③；           ④与的夹角为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．(25-26高一·上海七宝中学·期中)折扇平面图为扇形，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于，且，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 5．(25-26高一·上海建平中学·期中)设，且，令，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．10 6．(25-26高一下·上海西中学·期中)定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在锐角三角形中，，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，现有两个命题： ①； ②的取值范围是． 则下列论断正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题． 7．(25-26高一·上海七宝中学·期中)已知，令，若，则称有序向量对为向量对，则下列说法不正确的为（    ） A．向量对的个数为2 B．向量对的个数为8 C．向量对的个数为4 D．向量对的个数为0 二、填空题 8．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)在中，，，，若点满足，则的正切值为______． 9．在同一平面上，已知两圆，的圆心均为，半径分别为1，2，常数.若在圆上的点A以及在圆上的点B，对该平面上的任意一个单位向量，恒有，则的最小值为___________. 10．(24-25高一下·上海宝山区·期末)如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为_____. 11．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为________． 12．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知平面向量、、满足，且对任意实数都成立，则的最小值为________. 13．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知集合，．若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为________． 14．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是__________. 15．(25-26高一下·上海奉贤中学·期中)定义对于点，的三角距离为，记点，分别位于函数与函数上，则的最大值为________． 16．(25-26高一·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知平面向量，满足：，，，，则的取值范围是_______. 17．(25-26高一·上海建平中学·期中)已知点是所在平面上一点，且满足为线段中点，且，若，则的取值范围是__________. 18．(25-26高一·上海七宝中学·期中)设，为平面上5个不同的单位向量，则的最小值为__________. 三、解答题 19．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设． (1)用表示， (2)如果海里，且，求岛屿到补给站的距离； (3)若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 20．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 21．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知、都是单位向量，，，函数，. (1)当时，求值； (2)若，求实数的值； (3)是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 22．(24-25高一下·上海行知中学·期中)对于一组向量，记，令，如果存在，使得，那么称是的“向量”． (1)设且，若是的“向量”，求实数的取值范围； (2)若且，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知均是的“向量”，其中．设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与且关于点对称，求的最小值． 23．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.    (1)在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； (3)在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 24．(24-25高一下·上海通河中学·期中)如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. (1)若，求的模长； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)设，若对恒成立，求 的最大值. 25．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位. (1)设，求复向量与的模； (2)对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由. (3)我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 26．(25-26高一下·上海宝山中学·期中)已知函数的图像如图所示，点B、D、F为与x轴的交点，点C、E分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值． (1)求参数的值； (2)若，求向量与向量夹角的余弦值； (3)若点P为函数图象上的动点，当点P在C、E之间运动时（包含端点C、E），恒成立，求A的取值范围． 27．(25-26高一下·上海嘉定区第一中学·期中)定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)已知，，为函数的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 28．(25-26高一·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量. (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围. 29．(25-26高一·上海七宝中学·期中)定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角（）． (1)已知，求； (2)证明：对任意，有； (3)已知为不共线的单位向量，，且为锐角，为平面向量且，求的取值范围． 30．(25-26高一·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知平面上的，是锐角，，，在边上的射影满足，点满足，点在直线上，使得. (1)若，求； (2)若是中点，求的值； (3)记的中点为，求面积的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网 www.zxxk.com 专题05平面向量压轴题综合 1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.A 8.3 2 9.3 10.-5+1 2 1.2 7 12.2V5-2 13.√14 14.-36 15.V6+V2 16.[V2,32 n.( 18.-6 90F-0-6,m-6+ -a+ 2 5 5 (2)岛屿C到补给站D的距离12√5 (3)岛屿A和岛屿C之间距离的最小值为2√30公里. 20.0花-号+54C 3 (2)存在，元=13 17 1/5 让教与学更高效 (30题) 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 国号 (2)m=√2； 727 (3)存在， 6’4 22.(1)(-0,0]U[6,+∞j (2)存在“-1向量”，且“-1向量”为4，、a。,理由如下： 由题意可得a=Sin2+c0s2”=1, 2 2 若存在“-1向量”G,则下，-as1, 因为S,=a1+a2+a+…+a=(1+0-1+0+1+0-1,0-1+0+1+0-1+0)=(0,-1), 可-amo+-+w+os V2+2cospπ 1， 即0≤2+2cos匹≤1，博-1scos经≤- 1 2 2 当p=2或6时，符合要求，故存在“-1向量”，且“-1向量”为4、a6· (3)4048 23.(1a=vm2+n+2mncosa 时 24.(1)19 (2)不正确，理由如下， 因为0=60，则6=1Ixcs号-分又0i=5行+608=5+男6： 则OA.0B=(x日+y8)(e+马)=x5+2+2y+ 1 若0110B,则O1-0B=0,则x5+2x+2y+=0, 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以“OA10B”的充要条件是“x+2+2y+=0”, 故“OA⊥OB”的充要条件是“x2+yy2=0”是不正确的. 3)26 7 25.(1)la=5;=5; (2)不存在 a,B=(1+i)×-i)+(2-i)×m=2m+1-(m+1i, 得a·=V2m+1)2+(m+1)2=V5m2+6m+2, a=vaa=√1+i)x1-i)+2-i训x2+i=V7 B=1BB=vix(-i)+mxm=m2+1, 若a与平行，则a·=a, 得V5m2+6m+2=V7×Vm2+1, 得2m2-6m+5=0,而△=36-4×2×5=-4<0，则此方程无实数根， 故不存在实数m,使得a与阝平行 (3)因为a=(,2,B=(4,2),所以a可=2云+z, 由复数的三角不等式石+22司≤司+2习-同+回国， +4≤1，所以x+s+牙+， 由a≤，得安+y写+月 所以+国s+同+国-++-al, 综上所知，as例 26.(0-4 (2)② 10 (3)(0,v2 27.(1)2√3 3/5 丽学科网 www zxxk.com (2)P(0,2 (3)1,25-1U(25-1,3 28.(1)V万； (2)2V5; (3)1,25-1U(25-1,3 29.(1[c,a=1,[c,b]=0,[c,a+i]=1 (2)若a,b中有d,不妨取6=(0,0)，则a,i=0,[a,6]=la5sin(a,6 而xy2-2y=x0-0y=0,所以ā，=xy2-出成立； 若a,b都不是O,则cosa,b= x x2+yy2 Vx+V+贤 03 所以sin(a,5》=-cosa,6）= X x2+yy2 Vx+V好+好 x+)(x号+)-xx号--2xx2 (x+)(x号+) xx号+xy+xy+yy3-x号-yy2-2xx2MM (x+)(号+) xiy2+x2y-2xx2yy2 iy2-x2 Xy2-X2y1 V(x好+)（号+） V(x+)(x+ V+)+】 所以[ā，]=5sin(a,=V+)v号+) x y2-x2y x+)号+) 设d=(rcos0,sinf),则b=(2cos(0+a),52sin(日+a)月， [cose sin(+a)-sine cos(+a)=sina, 当在a的逆时针方向，即0<a<π，sina>0,此时a,b]>0,且xy2 当E在a的顺时针方向，即π<a<2π，sina<0,此时[a,万<0，且xy2 所以ā，6=x-xy· 让教与学更高效 0, y2-x2y, x2y>0, x2y1<0, 可学科网 2 30.(1)2 3)35 4 www zxxk com 5/5 让教与学更高效 专题05 平面向量压轴题综合（30题） 一、单选题 1．已知为原点，坐标平面上两两不同的4个点，，，满足，，，中的任意3点不共线，，，.对于命题：①存在，，，，使得4个向量，，，中的任意2个都不平行；②在，，，这4个数中，一定存在相等的2个数，下列判断正确的是（   ）. A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】B 【分析】对于命题①可设 ，可证明 和 总和垂直，进一步可得 和 平行，可得结论；对于命题②可举反例来说明命题②是假命题即可. 【详解】对于命题①，设 ， 则有：，，. 设 ，由条件可推导： ，， ，， 可得，得 ，即 与 垂直， 现在考虑向量：，因此 与 垂直， 同理： 也与 垂直， 在二维平面中，所有与 垂直的向量都互相平行，因此， 和 总是平行， 不可能存在任意两个向量都不平行的情况，故命题①为假. 对于命题②，取特值：，， ，， ，， ，， 验证：，， ， ， 所以； ，模， ， ， 所以； 总和 . 任意三点不共线,而模长全部不同. 此例满足所有条件，但模长互异，故命题②为假. 故选：B 2．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知，，…，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足（），且对任意的，当时，都有，则正整数的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由题意得到与在方向上的数量投影相同，再结合图象即可求解. 【详解】因为，所以与在方向上的数量投影相同. 将，，…，，平移到同一起点， 以所在直线为轴，同一起点为坐标原点建系， 因为，所以，，…，的终点在半径为1或2的圆上， 如图，作与轴垂直的直线，并左右平移，与两个圆最多是4个交点， 此时在上的数量投影为相同值的向量，最多有4个. 故选：B. 3．(24-25高一下·上海育才中学·期中)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的个数是（   ） ①；                  ②，； ③；           ④与的夹角为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量在坐标系中的坐标定义，建立向量与坐标的一一对应关系，利用向量的数量积定义，向量的模，向量的垂直判断，向量的夹角计算公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，且，. 对于①，因，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，由①已得，所以，故③正确； 对于④，因， 则， 且， 则， 因，故与的夹角为，故④正确． 综上可得，有②，③，④共3个结论正确. 故选：C. 4．(25-26高一·上海七宝中学·期中)折扇平面图为扇形，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于，且，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】C 【分析】作，分别以，为轴，轴建系，写出各点的坐标，设，由可得，， 根据可判断A；利用向量数量积的坐标公式，辅助角公式，三角函数的性质即可判断BCD． 【详解】如图，作，分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 由可得，， 对于A，若，则，解得（负值舍去），故，故A正确； 对于B，， 则 ， 因为，所以，则， 所以，所以，故B正确； 对于C，若，则，， 所以， 因为，故C错误； 对于D，由于，， ， 而，所以，所以，故D正确． 5．(25-26高一·上海建平中学·期中)设，且，令，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】A 【分析】构造向量，利用向量的数量积表示出，利用三角形的面积公式，万能公式及基本不等式求出最小值. 【详解】构造向量，设的夹角为， 则 ， 所以， 所以， ， 令，则， 由得， 所以， 当且仅当即时取得等号， 所以的最小值为 6．(25-26高一下·上海西中学·期中)定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在锐角三角形中，，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，现有两个命题： ①； ②的取值范围是． 则下列论断正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题． 【答案】C 【分析】对于①，根据题意，任意两半圆弧上的两点间距离的最大值为即可判断；对于②，设，则，利用基本不等式即可得到，结合锐角三角形，得到，进而得到即可求解． 【详解】对于①，如图，设分别为中点，连接并延长交圆弧于， ， 半圆与半圆上两点间距离的最大值为， 同理可得任意两半圆弧上的两点间距离的最大值为， 即， 故①是真命题； 设，则，， 由①知， 又， （当且仅当时取等，此时为等腰三角形，也是锐角三角形）， 又为锐角三角形，， 一定有一个大于1，不妨取，则角最大， ， 即，，解得， 又，，则，， ， 又，则， ， ， ， 综上，， ，故②正确． 7．(25-26高一·上海七宝中学·期中)已知，令，若，则称有序向量对为向量对，则下列说法不正确的为（    ） A．向量对的个数为2 B．向量对的个数为8 C．向量对的个数为4 D．向量对的个数为0 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的坐标公式，二倍角公式，三角函数的性质分别判断即可． 【详解】， 对于A，，即，则， 当时，可取，共4种取值， 此时，共有四种取值， 所以向量对的个数为4，故A错误； 对于B，，即，则， 当时，可取，共8种可能取值， 所以向量对的个数为8，故B正确； 对于C，，即，则， 当时，可取，共4种取值， 所以向量对的个数为4，故C正确； 对于D，，即无解，所以向量对的个数为0，故D正确． 二、填空题 8．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)在中，，，，若点满足，则的正切值为______． 【答案】 【分析】根据题设条件可得为的费马点，如图，以为边作等边三角形可证,再过点作交于,在中，即可得出的正切值 【详解】根据题意，,,方向上的单位向量之和为零向量， 结合向量加法几何意义，易知,（为的费马点）, 如图，以为边作等边三角形,过点作交于, 则,故,,,四点共圆， 故，且，故, 故,故 在中，,, 所以. 故答案为： 9．在同一平面上，已知两圆，的圆心均为，半径分别为1，2，常数.若在圆上的点A以及在圆上的点B，对该平面上的任意一个单位向量，恒有，则的最小值为___________. 【答案】3 【分析】根据数量积的定义可知当与同向或反向时， 能取得最大值，由此可得出答案. 【详解】设与夹角为，与夹角为，则. 因为，所以 . 因为，， 所以当，即与同向或反向时，. 因为恒有，所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 10．(24-25高一下·上海宝山区·期末)如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的几何意义，结合几何图形求出最小值. 【详解】要使取到最小值，则的夹角为钝角或平角，且它们的模尽可能的大， 因此点应在八边形边界上，由对称性不妨取点为点， 则点在直线上的投影在的延长线， 当点与重合时，在上的投影向量的模最大，且与方向相反， 此时取得最小值，，， ， 所以. 故答案为： 11．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设，则由题干条件可得，，利用三角换元及同角三角函数的关系及基本不等式即可求解. 【详解】设，则，， 不妨设，设， 则，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：． 12．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知平面向量、、满足，且对任意实数都成立，则的最小值为________. 【答案】 【分析】对于不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再结合向量的运算性质得到，最后利用绝对值三角不等式求解最值即可. 【详解】由，两边平方得， 又，且对任意实数恒成立， 即恒成立，故， 即，解得，即，且， 而，故， 则由绝对值三角不等式得. 故答案为： 13．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知集合，．若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先分析方程表示的曲线，设，可知三点共线，根据题意可知的最小值即为的最大值，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设方程表示的曲线为， 用代换方程不变，可知曲线关于y轴对称； 用代换方程不变，可知曲线关于x轴对称； 当时，方程可化为， 据此可知曲线为边长为的正方形， 且方程表示圆心为，半径的圆， 显然曲线在圆内， 设，即点在曲线上，点在圆上， 则， 因为，即，可知三点共线， 即过曲线上任一点作圆的弦， 由圆的性质可知的最小值， 因为存在点，使得，则， 结合点的任意性可知的最小值即为的最大值， 若取到最大值，即取到最小值， 可知的最小值即为正方形的内切圆半径，即， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 14．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值. 【详解】 设，， 且 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了平面向量数量积的最值问题，难度较大，解答本题的关键在于通过条件得到，然后建立平面直角坐标系，结合坐标运算求解. 15．(25-26高一下·上海奉贤中学·期中)定义对于点，的三角距离为，记点，分别位于函数与函数上，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据定义将三角距离化成向量夹角的余弦值，设，点坐标，对与的夹角进行讨论，求出它夹角的最小值的余弦值得出答案. 【详解】由题意可得， 设坐标为，的坐标为， 设为向量与x轴正半轴的夹角，为向量与x轴正半轴的夹角， 则， 当且仅当时取等号，可得 ， ，因为，所以，则， 由 ，则与之间的夹角最小时取得最大值， 即的最小值，其最小值为， 则的最大值为. 16．(25-26高一·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知平面向量，满足：，，，，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】由及向量模长公式表示出，由数量积性质得到的范围，再根据向量模长公式及数量积性质求的取值范围. 【详解】由得，， 又，则， 因为，则， 即，解得， ，因为， 又，， 所以， 因为，所以. 17．(25-26高一·上海建平中学·期中)已知点是所在平面上一点，且满足为线段中点，且，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量条件转化为代数方程，利用点在线段上的参数表示和向量数量积求出参数范围，再将目标向量模长转化为二次函数，结合定义域分析其取值范围. 【详解】由，可知点在线段上。 因为，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则，设，，则，为中点，故，， 由，得，整理得，将代入， 化简得，则， 由得或，由得或，所以或， 则， 所以 ， 该二次函数开口向上，对称轴， 当时，该二次函数单调递减，，当时，函数递增，， 所以，故 综上，的取值范围是. 18．(25-26高一·上海七宝中学·期中)设，为平面上5个不同的单位向量，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先对向量的夹角进行分类，并判断出锐角的个数限制，从而得到所求表达式的范围，最后构造出最值. 【详解】设的10种组合中两向量夹角为锐角（即数量积大于0）的有个， 夹角为直角（即数量积等于0）的有个，同时因为它们是个不同的单位向量， 所以不存在夹角为的组合，故夹角为钝角（即数量积小于0）的有个， 所求表达式可化为， 使的起点重合，考虑相邻两个向量的夹角，共有个，其和为，其中直角、钝角的个数最多只有个， 假若有个直角或钝角，则它们的夹角和不小于，于是剩余的个角只能小于或等于，显然不成立， 又假若有个直角或钝角，则它们的夹角和不小于，显然不成立， 综上可知至少有两个锐角，所以，将放在一个单位圆内（起点均是原点）， 从正半轴开始，分别放在的位置， 可知， ，即有2个锐角，8个钝角，此时， 故所求表达式的最小值为. 三、解答题 19．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设． (1)用表示， (2)如果海里，且，求岛屿到补给站的距离； (3)若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 【答案】(1)； (2)岛屿到补给站的距离 (3)岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解； （2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解. （3）由，化简得到，结合正弦定理得到，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的最小值，得到答案. 【详解】（1）依题意，得，因为点为中点，所以， 又在靠近岛屿的的三等分点上所以， 又，所以， ； （2）依题意，得，， 所以，即， 所以，则， 又，所以， 所以 ， 所以岛屿到补给站的距离； （3）由，可得， 即， 可得，即， 设，由正弦定理知， 而 ， 所以， 因为，所以，得， 所以当，即时，取得最小值， 即的最小值为，所以岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 20．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）结合条件，根据向量的线性关系，即可求解； （2）利用基底表示向量和，再结合垂直关系的向量运算，即可求解； （3）首先由向量的线性运算关系推出点三点共线，，再结合基本不等式求最值，并化简，求最值. 【详解】（1）， （2）设， ， ， ，， 解得， ∴存在点，使得 （3）， ∴， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为. 21．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知、都是单位向量，，，函数，. (1)当时，求值； (2)若，求实数的值； (3)是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）由题设，代入自变量求函数值即可； （2）由题设有，，令，则，对称轴，结合二次函数的性质，讨论区间与对称轴位置关系，根据最小值列方程求参数值； （3）问题化为或在上有四个不同的实根，结合余弦函数图象列不等式组求解即得. 【详解】（1）当时，，则； （2）由，则， 则， 令，则，则，其对称轴， 当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）； 当，即时，当时函数取得最小值，得，符合题意； 当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）. 综上，实数的值为. （3）令，得或， 方程或在上有四个不同的实根， 则即得，，即得， 即实数的取值范围是. 22．(24-25高一下·上海行知中学·期中)对于一组向量，记，令，如果存在，使得，那么称是的“向量”． (1)设且，若是的“向量”，求实数的取值范围； (2)若且，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知均是的“向量”，其中．设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与且关于点对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在，且 “向量” 为 ， ，理由见解析 (3) 【分析】（1）得到，从而得到不等式，求出答案； （2），若存在“向量”，只需使，结合题意分析可得，当或6时，符合要求，得到结论； （3）由题意整理可得，设，由得，设，由对称得到方程组，求出，其中，即可得结果． 【详解】（1）由题意可得：，即， 因为，则， 可得， 则，解得或， 所以实数的取值范围. （2）存在“向量”，且“向量”为、，理由如下： 由题意可得， 若存在“向量”，则， 因为， 可得 ， 即，即， 当或6时，符合要求，故存在“向量”，且“向量”为、． （3）由题意，得，，即， 即，同理，， 三式相加并化简，得， 即，，所以， 设，由得， 设，因为与关于点对称，与（且）关于点对称， 则依题意得：， 将①代入②得，， 从而， ……， ， 以上个式子相加化简得， ， 又由②知， ， 即， 所以， 其中， ， 当且仅当时等号成立，故． 23．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.    (1)在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； (3)在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； （2）利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （3）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【详解】（1）由可得， 则， 所以； （2）依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因为与的夹角为，则由， 可得，解得. （3）依题意，设， 因为是的中点，则， 因为是的中点，则， 故 因为，， 则， 在中，由余弦定理得，即，代入上式可得， ， 在中，由正弦定理可得， 设，则， 于是 ， 其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则，即的最大值为. 24．(24-25高一下·上海通河中学·期中)如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. (1)若，求的模长； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)设，若对恒成立，求 的最大值. 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据条件有，再利用模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解； （3）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 【详解】（1）因为，则，又， 则. （2）不正确，理由如下， 因为，则，又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的. （3）因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意， 所以， 又因为，所以， 所以的最大值为． 25．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位. (1)设，求复向量与的模； (2)对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由. (3)我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 【答案】(1)；； (2)不存在，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】（1）由复向量的模的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由给定的平行条件代入计算，即可判断； （3）根据题意，由复数的三角不等式代入计算，即可判断. 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为； （2）不存在 ， 得， 若与平行，则， 得， 得，而，则此方程无实数根， 故不存在实数，使得与平行. （3）因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知，. 【点睛】关键点睛：本题主考考查了向量的新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解所给定义并且结合向量坐标运算的相关知识解答. 26．(25-26高一下·上海宝山中学·期中)已知函数的图像如图所示，点B、D、F为与x轴的交点，点C、E分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值． (1)求参数的值； (2)若，求向量与向量夹角的余弦值； (3)若点P为函数图象上的动点，当点P在C、E之间运动时（包含端点C、E），恒成立，求A的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题设条件，结合正弦函数的性质即可求得； （2）结合图形求出相关点坐标，利用向量法即可求得两向量的夹角的余弦值； （3）设，，利用向量数量积的坐标公式计算，分别判断与在上的最值情况，可得当P在C或E时，有最小值，由此求解向量不等式即得A的取值范围. 【详解】（1）由函数在处取得最小值， 可得，又，则； （2）当时，，则， 则，， 则， 即向量与向量夹角的余弦值为； （3）因为P是上的动点，且点P在C、E之间运动（包含端点C、E）， 可设，， 因， 则，， 则， 对于，当时，该函数在或处有最小值； 对于， 当时，在或处有最小值， 则在或处有最大值； 综上可得，当或时，有最小值， 即当P在C或E时，有最小值，此时或， 当P为时，, 由,解得，又，则； 当P为时，, 由,解得. 综上，可得. 27．(25-26高一下·上海嘉定区第一中学·期中)定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)已知，，为函数的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将函数化简为的形式，从而得到伴随向量的坐标，再根据向量模长的计算公式即可求出； （2）根据题意求出的解析式，并据此设，又由列出关于x的方程，最后借助三角函数值域及一元二次不等式解出该方程即可． （3）先根据伴随函数的定义求出函数的表达式，再化简方程，原方程可等价为，令，分类讨论并画出的图象，然后将问题转化为两个函数有交点问题，最后根据函数图象的交点情况即可求出实数的取值范围． 【详解】（1） ， 所以，． （2）由伴随向量的定义可知， 又， 所以可得，解得，因此， 所以， 即，设点， 又，由， 得， 展开并化简可得（*），令，且， 方程变为，即， 解得，又，所以，此时且， 所以，对应，即． （3）函数为向量的伴随函数，所以， 又关于的方程为， 所以可得， 即， 记， 化简得，作出函数的图像， 方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 等价于图象与直线有四个交点，故， 即． 28．(25-26高一·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量. (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先将函数化简为的形式，从而得到伴随向量的坐标，再根据向量模的计算公式即可求出； （2）先根据伴随函数的定义求出的表达式，进而求出的值，再利用正弦定理求出，最后根据余弦定理即可求出； （3）先根据伴随函数的定义求出函数的表达式，再化简方程，分类讨论并画出的图象，然后将问题转化为两个函数有交点问题，最后根据函数图象的交点情况即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得， ，. （2）函数为向量的伴随函数， ， ，或， 即或（舍）， 又，由正弦定理得，，即，， 所以，即， 由余弦定理得，即， 即. （3）函数为向量的伴随函数，， 又关于的方程为， ，即 记 ∴ 作出函数的图像，如图所示， 方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 图象与直线有四个交点， ，即. 29．(25-26高一·上海七宝中学·期中)定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角（）． (1)已知，求； (2)证明：对任意，有； (3)已知为不共线的单位向量，，且为锐角，为平面向量且，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平面向量的向量积定义分别求解即得； （2）由平面向量夹角的坐标公式及同角三角函数的平方关系即可证明； （3）建立平面直角坐标系，由平面向量的坐标运算，辅助角公式及三角函数的性质即可求解． 【详解】（1）， 因为，则， 易得，，， 所以，，． （2）若中有，不妨取，则，， 而，所以成立； 若都不是，则， 所以 ， 所以， 设，则， 则， 当在的逆时针方向，即，，此时，且， 当在的顺时针方向，即，，此时，且， 所以． （3）由题可知，， 如图建立平面直角坐标系，则的起点为原点，终点落在以原点为圆心，半径为2的圆上， 设的终点为，的终点为，， 则， 因为，， 所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以，则， 所以． 30．(25-26高一·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知平面上的，是锐角，，，在边上的射影满足，点满足，点在直线上，使得. (1)若，求； (2)若是中点，求的值； (3)记的中点为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意知在上的投影向量为，再根据数量积的定义求解即可； （2）用，表示向量，，进而结合题意，利用求解即可； （3）设，用，表示向量，，再结合得，根据得，根据求得中边上的高为，最后结合基本不等式求解面积的最小值即可. 【详解】（1）解：因为在边上的射影满足， 所以在上的投影向量为，且， 所以 所以，当时， （2）解：因为点满足， 所以， 因为是中点，所以， 所以， 因为， 所以，即，解得（负舍） 所以 （3）解：结合（2）知，因为点在直线上， 设，则， 因为， 所以，即， 代入整理得，即 因为的中点为， 所以， 所以 因为，，在边上的射影满足， 所以，且 因为点满足 所以点到的距离为，即中边上的高为 所以面积为 记，令，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即时等号成立， 所以面积为，即面积的最小值为，此时. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $