专题02 三角函数（4大考点30题，基础知识全覆盖）（期末真题汇编，上海专用）高一数学下学期

**基本信息** 三角函数专题汇编，含4大考点30题，覆盖正弦、余弦、正切函数及f(x)=Asin(ωx+φ)图象，精选上海多校期末真题，注重基础与能力梯度。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选题|4|正弦函数对称性、f(x)=Asin(ωx+φ)图象性质|结合物理简谐运动情境| |填空题|18|余弦函数对称中心、正切函数周期等|含跨学科乐声泛音问题| |解答题|8|函数单调性、实际应用（矩形铁皮、扇形空地）|分层设计：基础运算到恒成立问题|

专题02 三角函数 （4大考点30题，基础知识全覆盖） 4大高频考点概览 考点01正弦函数的图象与性质 考点02余弦函数的图象与性质 考点03函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象 考点04 正切函数的图象与性质 地 城 考点01 正弦函数的图象与性质 一、单选题 1．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的对称性，求出对称中心的表达式，结合题意验证值即可求解. 【详解】函数的对称中心为：， 即，因为为函数的对称中心， 令，解得， 当时，. 故选：D 二、填空题 2．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)函数的严格减区间是__________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式，得到，再利用正弦型函数单调区间的求法可得到答案. 【详解】， ， 令， 解得：， 故答案为： 3．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)函数的最小正周期为________. 【答案】 【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数，再利用正弦函数周期公式求解. 【详解】函数，其最小正周期. 故答案为： 4．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】根据题意，为函数的最小值，为的最大值，由正弦函数性质求解． 【详解】由题，可得为函数的最小值，为的最大值， 所以，则，又， ，得，由， 所以当时，为最小值. 故答案为：. 5．(24-25高一下·上海川沙中学·期末)设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先得到，且，根据题意得到，求出答案. 【详解】时，则，故， 时，， 对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得， 故，解得. 故答案为： 6．(24-25高一下·上海静安区·期末)已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则的最大值为. 【答案】②④ 【分析】根据三角函数对称性，周期性得性质，和函数零点的定义，以及单调区间，分别判断各命题的正误. 【详解】已知，则， 所以①错误， ，所以②正确， 当时，， 当时，， 所以，在上有无数个零点，所以③错误， 当时，，若，则，在上不严格递增，不符合题意， 于是，，，因此，即，所以的最大值为，则④正确. 故答案为：②④. 7．函数，的严格减区间为________. 【答案】 【分析】由倍角公式可化简函数，然后由正弦函数单调性可得答案. 【详解】，因， 则，注意到在上单调递减， 则，则严格递减区间为：. 故答案为： 三、解答题 8．(24-25高一下·上海宜川中学·期末)如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．    (1)求S关于的函数表达式； (2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析． 【分析】（1）过作，垂足为，得，，应用矩形面积公式即可得关系式； （2）由题设，令，进而得到，结合二次函数的性质求最值，且可得值. 【详解】（1）过作，垂足为，由题意得：，， 故，，    所以矩形的面积，． （2）由（1）及题设知， 故， 令，，所以，且， ， 在区间上严格减，在区间上严格增，且， 当，即时，取得最小值， 此时，则，故， 当，即时，取得最大值， 此时，则，故或． 9．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简得，根据正弦型函数的单调性得到不等式，解出即可； （2）根据题意，问题转化为，即，得或，结合，得解； （3）由，求出，当时，符合；当时，转化为，令，则，，利用单调性求出最大值得解. 【详解】（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为. （2）令，即， 所以或， ，此时，在内解为， ，此时，在内解为， 综上，函数在上的零点为. （3）当时，，故. 原式， 当时，符合； 当时，， 令，则，， 因在上单调递增，最大值为， . 综上：的取值范围为. 10．(24-25高一下·上海普陀区上海音乐学院附属安师实验中学·期末)为打赢打好脱贫攻坚战，某地加大旅游业投入，准备将扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，如图所示．已知扇形的半径长为100米，是钝角，点P在弧上，点Q在半径OB上，且，设，的周长为C米． (1)当，求PQ的长（单位：米）； (2)求C的最大值及C取到最大值时的值． 【答案】(1)（米）； (2)时取得最大值，且（米） 【分析】（1）利用锐角三角函数求出，再由勾股定理计算可得. （2）利用锐角三角函数表示出，，再由两角和的正弦公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）依题意，，且，则， 又，于是，则， 所以（米）. （2）由，，，的周长为米， 得，， 因此 ，又，则当，即时取得最大值， 所以（米）. 11．(24-25高一下·上海宝山区·期末)已知向量，，且函数. (1)若，，求的值； (2)求函数在上的严格增区间. 【答案】(1)或 (2)严格增区间为和 【分析】（1）首先化简函数的表达式，然后将函数值代入，根据的范围求出的值. （2）根据正弦函数的单调递增区间以及的范围直接求解即可. 【详解】（1）因为， 所以. 令，则，所以或. 解得或. 因为，所以或. （2）因为， 所以当时，函数严格递增. 解得. 因为，所以令时，；令时，. 所以函数在上的严格增区间为和. 地 城 考点02 余弦函数的图象与性质 一、填空题 12．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)函数在内恰有两个对称中心，，则_____. 【答案】2或 【分析】根据题意，令，分和讨论，求得的范围，利用余弦函数的对称中心列出不等式求解即可. 【详解】令， 若，由，则， 因为函数在内恰有两个对称中心， 所以， 又， 所以， 所以. 若，则， 由函数在内恰有两个对称中心， 所以，又， . 综上，或. 故答案为：或. 13．(24-25高一下·上海复旦大学附属复兴中学·期末)对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，按取值情况分段讨论，并结合二倍角公式及余弦函数性质求解. 【详解】当时，为在上的减函数，则， 由，得，即，解得或，不合题意； 当时，，，由，则，则； 当时，，，不合题意； 当时，，，则； 当时，的区间长度不小于，，则， 所以正数的取值范围为． 故答案为： 14．(24-25高一下·上海普陀区上海音乐学院附属安师实验中学·期末)函数，的值域为______． 【答案】 【分析】先计算出时的范围，即可得该函数值域. 【详解】当时，，则. 故答案为：. 15．已知常数，函数为偶函数，则______. 【答案】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 16．(23-24高一下·上海宝山区·期末)若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】观察在上的图象，从而得到的取值范围. 【详解】观察在上的图象， 当时，或， 当时，， 所以的最小值为：， 的最大值为：， 所以的取值范围为. 故答案为： 二、解答题 17．(23-24高一下·上海华东师范大学附属周浦中学·期末)已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解； （2）利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的对称中心为； （2）令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值， 地 城 考点03 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象 一、单选题 18．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【分析】对B，利用图象求出函数的解析式判断；对A，代入验证判断；对C，利用 可得，即可求得的值域判断；对D，利用图象的变换即可判断. 【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得， 又，即，可得， 所以，故B正确； 对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误. 故选：B. 19．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知函数（），有下列结论：①若，则在上单调递增；②若，则正整数ω的最小值为2；③若，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数；④若在上有且仅有个零点，则.其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①计算的范围，即可判断；②根据函数的对称轴，即可判断；③根据三角函数平移规律，即可判断；④计算的范围，结合正弦函数的零点，即可求解． 【详解】①当时，，因为，则， 此时不是单调递增函数，故①不正确； ②若，则函数关于对称， 则，得，且， 则正整数的最小值为1，故②不正确； ③若，的图象向右平移个单位长度后，得到， 所以是奇函数，故③正确； ④时，， 在上有且仅有个零点，则，得，故④不正确． 综上，正确的是③，个数为1个. 故选：A. 20．把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换求出解析式. 【详解】依题意，曲线，曲线. 故选：D 二、填空题 21．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为_________ 【答案】8 【分析】根据所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，得到方程，整理得到所以，，又，故，经检验后得到或6，所有可能取值之和为8. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍， 所以，，， 所以，，， 两式相加得，， 所以，其中，故， 两式相减得， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，或6，所有可能取值之和为8. 故答案为：8 22．(24-25高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则___________． 【答案】/0.5 【分析】首先根据计算出的范围,再由函数在上单调递增计算出的范围,把对称点代人,即可计算出,从而计算. 【详解】在上单调递增 又关于点对称 , 当时,, 故答案为： 23．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)函数的最小正周期是______． 【答案】 【分析】利用余弦型函数的最上正周期公式计算即可. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为：. 三、解答题 24．(24-25高一下·上海浦东新区六校·期末)函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由函数的图象，根据三角函数的性质，即可求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求得函数的单调递减区间； （2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，转化为和的图象在上有公共点，由，求得函数的值域为，进而求得的范围. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，且函数的周期为， 所以，即， 又由，即， 根据五点对应法，可得，即， 因为，所以，所以， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）解：将函数的图象向右平移个单位， 得到函数， 关于的方程在上有解，即在上有解， 即函数和的图象在上有公共点， 因为，可得， 当时，可得；当时，即时，可得， 所以函数的值域为，所以，解得， 所以实数的取值范围 25．(24-25高一下·上海静安区·期末)已知函数 (1)求函数的周期； (2)求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)最小值为， (3) 【分析】（1）根据二倍角公式化简后求周期即可； （2）利用正弦型函数的最值的求法得解； （3）根据图象变换得到，再由正弦型函数的值域求解即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的周期为. （2）函数， 当，即时，取得最小值， 取得最小值时的所有取值为 . （3）函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得，将得到的图象向右平移个单位长度可， 因为，所以， 所以在上严格增， 所以， 所以， 故当时等式成立． 地 城 考点04 正切函数的图象与性质 26．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)函数的单调区间为_________． 【答案】 【分析】利用求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 故答案为：. 27．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)已知函数，若，则________． 【答案】 【分析】利用正弦函数，正切函数的周期性与奇偶性计算即可求值. 【详解】因为，且，所以， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 28．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期末)在区间上，函数与图象的公共点个数为_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出方程在的根即可. 【详解】依题意，，即，解得或， 而，因此， 所以函数与图象的公共点个数为3. 故答案为：3. 29．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)满足的角的集合为______． 【答案】 【分析】利用正切函数的性质解方程即可. 【详解】由，可得， 解得， 所以满足的角的集合为. 故答案为：. 30．(24-25高一下·上海宝山区·期末)函数的最小正周期是_____. 【答案】 【分析】利用正切函数的周期公式直接求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数 （4大考点30题，基础知识全覆盖） 4大高频考点概览 考点01正弦函数的图象与性质 考点02余弦函数的图象与性质 考点03函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象 考点04 正切函数的图象与性质 地 城 考点01 正弦函数的图象与性质 一、单选题 1．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期末)已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)函数的严格减区间是__________. 3．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)函数的最小正周期为________. 4．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_________． 5．(24-25高一下·上海川沙中学·期末)设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数m的取值范围为__________． 6．(24-25高一下·上海静安区·期末)已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则的最大值为. 7．函数，的严格减区间为________. 三、解答题 8．(24-25高一下·上海宜川中学·期末)如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．    (1)求S关于的函数表达式； (2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值． 9．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求函数在上的零点； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 10．(24-25高一下·上海普陀区上海音乐学院附属安师实验中学·期末)为打赢打好脱贫攻坚战，某地加大旅游业投入，准备将扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，如图所示．已知扇形的半径长为100米，是钝角，点P在弧上，点Q在半径OB上，且，设，的周长为C米． (1)当，求PQ的长（单位：米）； (2)求C的最大值及C取到最大值时的值． 11．(24-25高一下·上海宝山区·期末)已知向量，，且函数. (1)若，，求的值； (2)求函数在上的严格增区间. 地 城 考点02 余弦函数的图象与性质 一、填空题 12．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)函数在内恰有两个对称中心，，则_____. 13．(24-25高一下·上海复旦大学附属复兴中学·期末)对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为________． 14．(24-25高一下·上海普陀区上海音乐学院附属安师实验中学·期末)函数，的值域为______． 15．已知常数，函数为偶函数，则______. 16．(23-24高一下·上海宝山区·期末)若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______． 二、解答题 17．(23-24高一下·上海华东师范大学附属周浦中学·期末)已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 地 城 考点03 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象 一、单选题 18．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 19．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知函数（），有下列结论：①若，则在上单调递增；②若，则正整数ω的最小值为2；③若，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数；④若在上有且仅有个零点，则.其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 20．把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（   ）. A． B． C． D． 二、填空题 21．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为_________ 22．(24-25高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则___________． 23．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)函数的最小正周期是______． 三、解答题 24．(24-25高一下·上海浦东新区六校·期末)函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 25．(24-25高一下·上海静安区·期末)已知函数 (1)求函数的周期； (2)求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 地 城 考点04 正切函数的图象与性质 26．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)函数的单调区间为_________． 27．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)已知函数，若，则________． 28．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期末)在区间上，函数与图象的公共点个数为_______． 29．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)满足的角的集合为______． 30．(24-25高一下·上海宝山区·期末)函数的最小正周期是_____. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02三角函数 (4大考点30题，基础知识全覆盖) 目地 城点0 正弦函数的图象与性质 1.D 2.L 5n ,keZ 2 3.π 4.π [π5π 5.26) 6.②④ z.[ 8.(1)S=(4-3sin0)t-3cos0), 0s0引 (2)答案见解析. 吾+晋kez 9.(1)12 a)x=元5n,7m19m 4412’12 3 6)m2-2 10.a)40v6 (米)： ②0-晋时C取得最大值，且C=100+1005(米) 1.0x=0或x=日 1/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a装8m,会可 目地城点2 余弦函数的图象与性质 12.2或-2 13.aa=或a≥ 2 14.2] 7 15.9 5π5π 16.6’3 17.1)元， +，0keZ)】 82,0 (2)答案见解析 冒地城点0© 函数f(x)=Asin(ox+中)的图象 18.B 19.A 20.D 21.8 1 2.210.5 3.2号 π 24.a)/(x)=2sin(2r+ +,2+，keZ 6:L6 3 a,3] 25.1)π 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目地 城点04 正切函数的图象与性质 26. 2 27.1 28.3 a-+经e 29.1 30.元 313