专题04 平面向量（6大考点60题，基础知识全掌握）（期末真题汇编，上海专用）高一数学下学期

**基本信息** 平面向量专题汇编，含6大考点60题，精选上海多所中学期末试题，覆盖基础概念到综合应用，适配期末复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9|向量概念、数量积性质|如向量共线判断，基础辨析| |填空题|38|投影、线性运算坐标表示|如动点最值问题，结合几何图形| |解答题|13|数量积综合、坐标运算应用|如函数与向量结合证明，贴近高考真题趋势|

专题04 平面向量 （6大考点60题，基础知识全掌握） 6大高频考点概览 考点01向量的概念和线性运算 考点02向量的投影 考点03向量的数量积的定义与运算律 考点04 向量基本定理 考点05向量线性运算的坐标表示 考点06向量数量积与夹角的坐标表示 地 城 考点01 向量的概念和线性运算 一、单选题 1．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 2．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 二、填空题 3．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为_________． 4．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)在中，______． 地 城 考点02 向量的投影 一、填空题 5．(24-25高一下·上海财经大学附属中学·期末)已知向量与的夹角为，，则在方向上的数量投影为________． 6．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)设为单位向量.若向量满足：， 则 在方向上的投影为__ 7．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是_____. 8．已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为______. 9．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为_________. 10．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)已知，，，则在方向上的投影是______． 地 城 考点03 向量的数量积的定义与运算律 一、单选题 11．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期末)已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 12．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)设是不小于2的整数.已知是圆上个两两互异的点，则使得 “”是点“等分圆”的充要条件的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个 13．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，点是以为直径的半圆弧的中点，则集合中的，元素个数（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 14．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)设是某平面内所有向量所组成的集合，则下列命题中真命题是（   ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 15．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)已知均为非零向量，则成立的充要条件是（    ） A． B．同向 C． D． 16．(24-25高一下·上海宝山区·期末)若均是单位向量，且，则（    ） A． B．7 C． D．6 二、填空题 17．(24-25高一下·上海金山中学·期末)已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 18．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)若点满足，则的最小值是_____ 19．(24-25高一下·上海桃浦中学·期末)若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时，______． 20．(24-25高一下·上海桃浦中学·期末)已知，，与的夹角为，则在上的数量投影为______． 21．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)正方形边长为2，是正方形的中心，过点的直线与边相交于点，与边交于点，为平面上一点，对于任意实数都满足．则的最小值为________． 22．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)已知，，且与的夹角为，则________． 23．(24-25高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是___________． 24．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)设表示不超过的最大整数，例如，.、、是平面上的三个单位向量，且，则的取值范围是_____. 25．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 26．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)已知，，，则与的夹角为______． 27．(24-25高一下·上海闵行区·)已知，，且在上的数量投影为，则_____． 三、解答题 28．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)设 (1)若且，求x的值； (2)在 中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c， 设M为AB边的中点.若 且，求的大小； (3)设常数求证：对任意，关于x的不等式在区间上均有解. 29．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期末)已知单位向量、满足，． (1)将、的数量积表示为关于的函数； (2)求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 地 城 考点04 向量基本定理 一、填空题 30．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)在平行四边形中，两条对角线的交点是，设．用的线性组合表示______． 31．(24-25高一下·上海宝山区·期末)平行四边形中，，是的中点，记，，则_____.（用、表示） 32．(23-24高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 二、解答题 33．(24-25高一下·上海嘉定区第二中学·期末)在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值. 地 城 考点05 向量线性运算的坐标表示 一、填空题 34．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)若，且，则点的坐标为__________. 35．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)已知向量，，若，，三点共线，则________． 36．(24-25高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)已知向量，若，则___________． 37．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)已知向量，则_____. 38．(24-25高一下·上海浦东新区六校·期末)已知，则_________． 39．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知向量，若，则的值为___________. 40．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)已知向量，，若，则等于______． 二、解答题 41．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 42．(24-25高一下·上海静安区·期末)已知向量，． (1)若，，，求证：、、三点共线． (2)已知，若，且，求的值； 地 城 考点06 向量数量积与夹角的坐标表示 一、单选题 43．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)设， 已知向量 若 则x=（   ） A．2 B．- 2 C． D． 二、填空题 44．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)已知向量，则__________. 45．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)若，则在方向上的投影是_____ 46．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期末)已知向量，向量在方向上的投影向量为，则______________． 47．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 48．(24-25高一下·上海普陀区上海音乐学院附属安师实验中学·期末)已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为______． 49．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)已知，则_________． 50．(24-25高一下·上海普陀区上海音乐学院附属安师实验中学·期末)已知a为实数，设，，若，则______． 51．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是_______. 三、解答题 52．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)已知向量； (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的大小. 53．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 54．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期末)已知为坐标原点，，，． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 55．(24-25高一下·上海财经大学附属中学·期末)已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 56．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)已知向量． (1)若，求的值； (2)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 57．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知向量. (1)若与的夹角为，求实数值； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 58．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)设的顶点的坐标分别为，，． (1)若，求点的坐标； (2)过点作，垂足为，求的坐标． 59．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)已知点， (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)若为直线上一动点，问：在什么位置时取到最小值？且最小值是多少？ 60．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)已知中三点的坐标分别是， (1)求； (2)求证：直角三角形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $而学科网 目目 考点01 1.A 2.A 3.16 4.d 目目 考点02 5.5 6.-1 7.-3 8.-5 9.-3 10.±7.2 目目 考点03 11.B 12.B 13.B 14.D 15.B 16.A . 2π 二 33 18.V3+2V5 19. 4 20.-9 21.-1 22.-2√2 23.[-2,18 www.zxxk.com 专题04平面向量 向量的概念和线性运算 向量的投影 向量的数量积的定义与运算律 1/4 让教与学更高效 函学科网 www zxxk.com 24.[5,3) 25.（-20,-2W5)U-25,-1 26.a(》 27.13 28.(1)x=0或x=27 3 (2)√2 (3)由f(x≤f(0)可得cosx≤cos0, 故-π+2kπ≤x≤-0+2kπ，keZ或日+2km≤x≤π+2km,k∈Z, 当取k=0时，f(x)≤f(0)得一组解为：-元≤x≤-0或0≤x≤元， 当a=0时，取x=±0，即满足∫(x≤f(0), 当a>0时，a+0>0,故此时取x∈(0，a+0],满足f(x≤f(0), 当a<0时，a-0<-0,故此时取x∈a-0,-0],满足f(x≤f(0）, 综上可知：对任意的a∈R,关于x的不等式f(x≤f(θ)在区间a- 29.0y=-+,k2-5,2+ ②f川1的最大值为了，0- 目目 考点04 向量基本定理 30. 11币 20-2 31. 33.1)0c=-1c4-1cB 3 3 m= (2) 7 5 n=- 目目 考点05 向量线性运算的坐标表示 让教与学更高效 9,a+0上均有解 函学科网 www.zxxk.com 34.(2,-8) 35.2 36.-05 37.(-4,5) 38.(0,-1 0 41.(1)2=4=1 (2)[1,2] 42.(1)因为AC=AB+BC=2a-b, AD=AC+CD=6a-36=2(2a-b), 所以AD=2AC,AC/1AD, ACAD有公共点D,从而A、C、D三点共线. (2)k=1. 目目 考点06 向量数量积与夹角的坐标表示 43.C 44.14 45.2 46月 n 48.2 50.s 3 51. 52.(1)m=0或-2 3/4 让教与学更高效 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2arccos() 5 53.(1)3 (2)a=0或2n 3 54.(1)0 (2)(-0,-8)U(-8,2) 55.(1)k=-3或k=6; (2)170 56.(1)3 (2-2,-1U[1,2] 57.(1)1 (2)(-4,0)U(0,+0) s85副 (2)(1, 59.(1)(-2,-3V5) (24,12] 国c9.2 7 60.(04 (2)证明：因为AC=(5,4),AB=(4,-5, 所以AC·AB=5×4+4×-5)=0 则AC⊥AB, 即证得ABC是以角A为直角的直角三角形 专题04 平面向量 （6大考点60题，基础知识全掌握） 6大高频考点概览 考点01向量的概念和线性运算 考点02向量的投影 考点03向量的数量积的定义与运算律 考点04 向量基本定理 考点05向量线性运算的坐标表示 考点06向量数量积与夹角的坐标表示 地 城 考点01 向量的概念和线性运算 一、单选题 1．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 2．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 【答案】A 【分析】，则由共线向量定理可得三点共线即可. 【详解】设的起点为，， 所以， 所以， 所以三点共线， 即向量在同一起点上，则它们的终点在同一条直线上. 故选：A. 二、填空题 3．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为_________． 【答案】16 【分析】由已知条件结合平面向量共线的推论可得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】由，且三点共线， 则，由题意得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16. 故答案为：16. 4．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)在中，______． 【答案】 【分析】根据向量线性运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 地 城 考点02 向量的投影 一、填空题 5．(24-25高一下·上海财经大学附属中学·期末)已知向量与的夹角为，，则在方向上的数量投影为________． 【答案】 【分析】由在方向上的数量投影公式计算即可. 【详解】在方向上的数量投影为. 故答案为：. 6．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)设为单位向量.若向量满足：， 则 在方向上的投影为__ 【答案】 【分析】由投影公式，代入已知条件即可求解 【详解】向量在方向上的投影为： 故答案为：-1 7．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是_____. 【答案】 【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解. 【详解】向量、满足，，且， 向量在向量方向上的投影， 故答案为：. 8．已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为______. 【答案】 【分析】根据在方向上的数量投影的公式计算即可. 【详解】已知坐标平面上的三点，，， 所以，， 所以在方向上的数量投影为 . 故答案为： 9．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投影为_________. 【答案】 【分析】由题意可得在上的数量投影为，计算即可. 【详解】因为在上的数量投影为，且， 所以， 故答案为： 10．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)已知，，，则在方向上的投影是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量投影的定义求解. 【详解】依题意，由，得 所以在方向上的投影为. 故答案为： 地 城 考点03 向量的数量积的定义与运算律 一、单选题 11．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期末)已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用重心向量公式判断①；利用数量积运算律及定义求解判断②；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断③；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断④. 【详解】对于①：由得为重心，故①错误； 对于②：由得， 又，所以，所以为等腰三角形，故②正确； 对于③：由得，同理得， 所以为的垂心，故③错误； 对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令， 则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确. 故选：B. 12．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)设是不小于2的整数.已知是圆上个两两互异的点，则使得 “”是点“等分圆”的充要条件的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个 【答案】B 【分析】分，，三种情况讨论可判定结论. 【详解】由， 当时，两向量共线反向，平分圆，符合题意， 当，由， 设圆的半径为1，变形可得， 两边平方可得， 所以，解得， 因为，所以， 同理可得，， 所以平分圆， 若时， 当为偶数时，只要分为对，每对共线，可得， 比如过圆心的两条直线与圆相交的四个点，满足，但不平分圆， 所认不一定平分圆，故不符合题意， 当为奇数时，可分三个点，使这三个向量满足， 可得平分圆，另外剩余的一定是偶数点， 由前面知道，这些点可分组，但不一定平分圆， 故可得不一定平分圆， 综上所述，可得只有与符合题意. 故选：B 13．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，点是以为直径的半圆弧的中点，则集合中的，元素个数（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量数量积的定义求解即可. 【详解】根据向量积的定义可知， 所以集合中的，元素个数4个. 故选：B. 14．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)设是某平面内所有向量所组成的集合，则下列命题中真命题是（   ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用向量的数量积的意义计算可判断每个选项的正误. 【详解】由向量的数量积可知是一个与共线的向量，是一个与共线的向量， 故不一定相等，故A错误； 由，可得，因为，所以或，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 15．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)已知均为非零向量，则成立的充要条件是（    ） A． B．同向 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积运算及充要条件的定义求解即可. 【详解】因为 方向相同， 所以成立的充要条件是：同向. 故选：B. 16．(24-25高一下·上海宝山区·期末)若均是单位向量，且，则（    ） A． B．7 C． D．6 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】由向量均是单位向量，且， 则， 所以. 故选：A. 二、填空题 17．(24-25高一下·上海金山中学·期末)已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 【答案】/ 【分析】根据数量投影的计算公式得到，故，得到答案. 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 18．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)若点满足，则的最小值是_____ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，由作图知或， 设，则， 而， ① 当时， ，当且仅当，即时取等号；    ② 当时， ，当且仅当，即时取等号，    又，所以的最小值是. 故答案为： 19．(24-25高一下·上海桃浦中学·期末)若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时，______． 【答案】 【分析】利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出，再利用数量积的运算律求解即得. 【详解】由AB上一点M满足：，得，而， 则，当且仅当，即时取等号， 因此当取得最小值时，，，而， 由等边的边长为3，得， 所以 . 故答案为： 20．(24-25高一下·上海桃浦中学·期末)已知，，与的夹角为，则在上的数量投影为______． 【答案】 【分析】利用数量积的定义及运算律，求出数量投影. 【详解】由，，与的夹角为，得， 则， 所以在上的数量投影为. 故答案为： 21．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)正方形边长为2，是正方形的中心，过点的直线与边相交于点，与边交于点，为平面上一点，对于任意实数都满足．则的最小值为________． 【答案】 【分析】由题意可得三点共线，进而可得，结合，可求的最小值. 【详解】因为，所以三点共线， 所以， 又，所以. 故答案为：. 22．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)已知，，且与的夹角为，则________． 【答案】 【分析】由向量数量积定义计算即可求解. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 故答案为： 23．(24-25高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由向量数量积几何意义可得当C为G，F时，数量积最大，当C为D，E时，数量积最小，据此可得答案. 【详解】如图，由数量积几何意义，当C为G或F时，数量积最大， 此时； 当C为D或E时，数量积最小， 此时. 故答案为： 24．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)设表示不超过的最大整数，例如，.、、是平面上的三个单位向量，且，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由条件确定三个向量的夹角的关系，再结合模长，代入向量模的计算公式，结合夹角的范围，即可求解. 【详解】由条件可知，不管是还是的范围都是， 因为，说明一个加数是0，一个加数是1， 不妨设，，则，， 所以， 因为，所以. 故答案为： 25．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解. 【详解】若和的夹角为钝角，则，且不平行， 所以， 解得：， 若向量和平行，则，得， 综上可知，取值范围为. 故答案为： 26．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)已知，，，则与的夹角为______． 【答案】 【分析】由已知等式两边平方可求得，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】由，可得，又，， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 27．(24-25高一下·上海闵行区·)已知，，且在上的数量投影为，则_____． 【答案】 【分析】根据平面向量数量投影的概念可得的值，再根据数量积与模长的关系求解即可. 【详解】因为，， 又在上的数量投影为，则， 所以. 故答案为：. 三、解答题 28．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)设 (1)若且，求x的值； (2)在 中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c， 设M为AB边的中点.若 且，求的大小； (3)设常数求证：对任意，关于x的不等式在区间上均有解. 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件结合辅助角公式以及三角函数的性质求解即得； （2）根据余弦定理可得，进而根据向量的模长求解即得； （3）根据余弦函数的性质求解不等式得或，即可对讨论求解. 【详解】（1）由可得， 进而可得， 由于故，故或， 解得或， （2）, 由余弦定理可得, 故， 由于M为AB边的中点，所以, 故 ； （3）由可得， 故或， 当取时，得一组解为：或， 当时，取，即满足， 当时，，故此时取，满足， 当时，，故此时取，满足， 综上可知：对任意的，关于x的不等式在区间上均有解 29．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期末)已知单位向量、满足，． (1)将、的数量积表示为关于的函数； (2)求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 【答案】(1)，． (2)的最大值为，． 【分析】（1）将原等式两边平方即可得到结果. （2）利用基本不等式的性质即可求得. 【详解】（1）平方得． 化简得. 因为. 所以，化简得，解得. 所以，． （2）根据基本不等式的性质，所以． 当且仅当时取到等号，所以的最大值为． 此时，所以. 地 城 考点04 向量基本定理 一、填空题 30．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)在平行四边形中，两条对角线的交点是，设．用的线性组合表示______． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简运算，即可求解. 【详解】由四边形为平行四边形且，对角线的交点是， 则. 故答案为：.      31．(24-25高一下·上海宝山区·期末)平行四边形中，，是的中点，记，，则_____.（用、表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用给定的基底，结合向量线性运算求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故答案为： 32．(23-24高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 【答案】 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 二、解答题 33．(24-25高一下·上海嘉定区第二中学·期末)在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性表示即可用向量表示出. （2）首先求出，然后用向量将表示出来，然后可得到关于的方程组，解方程即可求出的值. 【详解】（1）因为，所以. 因为. 所以. 所以. 所以. （2）取的中点分别为，连接，则. 又， 同理. ， 所以. 所以. 因为， 所以， 同理. 整理得到，解得. 地 城 考点05 向量线性运算的坐标表示 一、填空题 34．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)若，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【分析】设点，利用题设等式进行坐标运算，列出方程组，求解即得. 【详解】设点，则由可得， 故有，解得， 即点的坐标为. 故答案为：. 35．(24-25高一下·上海同济大学第一附属中学·期末)已知向量，，若，，三点共线，则________． 【答案】 【分析】利用共线向量的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，三点共线，所以， 又，，所以，解得. 故答案为：. 36．(24-25高一下·上海财经大学附属北郊高级中学·期末)已知向量，若，则___________． 【答案】/ 【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，可得. 故答案为： 37．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)已知向量，则_____. 【答案】 【分析】根据向量坐标运算求解. 【详解】，， . 故答案为：. 38．(24-25高一下·上海浦东新区六校·期末)已知，则_________． 【答案】 【分析】设向量，得到，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设向量，因为，可得， 因为，所以，解得，所以. 故答案为：. 39．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知向量，若，则的值为___________. 【答案】 【分析】根据平面向量的坐标运算先计算，最后根据共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有，由有， 故答案为：. 40．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)已知向量，，若，则等于______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故答案为： 二、解答题 41．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 42．(24-25高一下·上海静安区·期末)已知向量，． (1)若，，，求证：、、三点共线． (2)已知，若，且，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2)=1． 【分析】（1）转化为证明向量为共线向量，即可证明三点共线； （2）利用向量共线的坐标关系，即可求解. 【详解】（1）因为， =2， 所以2，， 有公共点D，从而、、三点共线． （2），因为，所以， 解得=1． 地 城 考点06 向量数量积与夹角的坐标表示 一、单选题 43．(24-25高一下·上海曹杨第二中学·期末)设， 已知向量 若 则x=（   ） A．2 B．- 2 C． D． 【答案】C 【分析】由两向量平行的充要条件结合坐标运算即可得解. 【详解】设, , 则 ， 所以由题意可得,即,解得 故选：C 二、填空题 44．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)已知向量，则__________. 【答案】 【分析】由平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 45．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)若，则在方向上的投影是_____ 【答案】2 【分析】由投影公式计算即可. 【详解】由题意可知在方向上的投影为：. 故答案为： 46．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期末)已知向量，向量在方向上的投影向量为，则______________． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义得，进而得，代入即可求解. 【详解】由向量在方向上的投影向量为，所以，即， 故答案为：. 47．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期末)在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】先求出特定情况下向量的坐标，再根据向量夹角为锐角的条件列出不等式组求解. 【详解】因为，所以，所以，． 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得, 又，即，所以的取值范围是. 故答案为：. 48．(24-25高一下·上海普陀区上海音乐学院附属安师实验中学·期末)已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为______． 【答案】2 【分析】由，得，再根据数量投影即可求解. 【详解】由，得， 又向量，的夹角为， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为：2. 49．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)已知，则_________． 【答案】 【分析】由数量积的坐标形式及两角和的正弦公式即可得出答案 【详解】, 故答案为 : 50．(24-25高一下·上海普陀区上海音乐学院附属安师实验中学·期末)已知a为实数，设，，若，则______． 【答案】 【分析】根据向量平行坐标公式计算求解. 【详解】因为，， 又因为，则， 则． 故答案为：. 51．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是_______. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，求出点，在计算结果即可. 【详解】建立平面直角坐标系如图所示：    由题意可知，，，，，， 设，则，， 由，可得， 所以，又，， 所以. 故答案为：. 三、解答题 52．(24-25高一下·上海第三女子中学·期末)已知向量； (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的大小. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算即可求解； （2）根据向量夹角公式计算余弦值，最后求出夹角的大小. 【详解】（1）由题意得，即， 解得或. （2）当时，， 设向量与的夹角为， 所以， 所以. 53．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据垂直，得数量积为0，即可结合辅助角以及三角函数的性质求解. 【详解】（1）与平行， （2）与垂直，， 即， 故， 即 由于，所以，则或， 故或 54．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期末)已知为坐标原点，，，． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【分析】1）根据题意结合运算求解； （2）根据向量夹角与数量积之间的关系运算求解. 【详解】（1）， 三点共线，与共线， 则，解得. （2）由（1）知， 与夹角为钝角，可得，解得， 若与平行，则，解得， 若与不平行，则， 的取值范围是. 55．(24-25高一下·上海财经大学附属中学·期末)已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用向量平行的坐标运算即可求出； （2）利用得到，再利用线性运算得出坐标最后应用模长公式的坐标形式求解. 【详解】（1）若，则， 即 即或； （2）因为，则，则， 所以，得. 56．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)已知向量． (1)若，求的值； (2)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示，由可得，再结合齐次式求解即可； （2）根据平面向量的坐标表示，由三角恒等变换化简可得，进而结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，则，即， 所以. （2）由， 则， 所以， 当时，，则， 则， 要使关于的不等式有解， 则，则，解得. 57．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知向量. (1)若与的夹角为，求实数值； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据向量的数量积的坐标公式来求解的值； （2）先求出的坐标，再根据向量夹角为锐角时数量积大于0且两向量不共线来确定的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得. （2）由条件，且与不平行. 当时，， ，解得，， 若，则，则， 所以的取值范围是. 58．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)设的顶点的坐标分别为，，． (1)若，求点的坐标； (2)过点作，垂足为，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据向量的坐标表示计算即可； （2）设，再根据，，结合平面向量垂直平行的坐标公式计算即可. 【详解】（1）设，则， 由， 得，解得， 所以点的坐标为； （2）因为三点共线，所以， 设，则， 由，得， 所以，解得， 所以. 59．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)已知点， (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)若为直线上一动点，问：在什么位置时取到最小值？且最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）直接计算向量坐标，进行线性运算即可； （2）利用平面向量数量积的坐标运算，将点积表达式转化为单一三角函数形式，利用正弦函数的有界性求范围。 （3）求出直线AP的方程，设出点的坐标，利用两点间距离公式，将问题转化为二次函数求最小值. 【详解】（1） （2） 因为， 所以， 则 （3）因为，所以直线AP的斜率为， 直线AP的方程为， 设，则， 即点C坐标为 当，即时，最小值为： 60．(24-25高一下·上海浦东新区·期末)已知中三点的坐标分别是， (1)求； (2)求证：直角三角形． 【答案】(1). (2)证明过程见解析. 【分析】（1）先根据平面向量的坐标求法得出，；再根据平面向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示和夹角的坐标计算即可求解. （2）根据平面向量垂直的坐标表示即可证明. 【详解】（1）由三点的坐标分别是可得： ，. 则；；， 所以. 又因为， 所以 （2）证明：因为，， 所以. 则， 即证得是以角A为直角的直角三角形. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $