专题03 三角函数压轴题综合（20题）（期末真题汇编，上海专用）高一数学下学期

**基本信息** 本试卷为高中数学三角函数压轴题综合汇编，精选上海多所名校期末试题，共20题，涵盖选择、填空、解答，注重概念创新与逻辑推理，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|4题|函数性质、零点、图像对称性|结合新定义（如互补函数）考查逻辑判断| |填空题|4题|三角函数图像、对称中心、零点个数|多参数问题（如有序实数对个数）强调分类讨论| |解答题|12题|函数性质证明、周期、实际应用（弓形花园）、创新定义（跃点函数、三角形函数）|综合性强，如第20题“三角形函数”需结合三角函数与几何性质，体现数学建模与推理|

品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03三角函数压轴题综合(20题) 1.B 2.A 3.C 4.A 5.3 6.或月 7.1013,1014} 8.4048 9.(1)①是，②不是，理由见解析： (2)[4,+0)； (3)证明见解析 10.(1)2 a(g哥 11.(I)gx=x具有性质P,hx=cosx不具有性质P o后 (3)证明见解析 12.(I)y=-x2是集合A中的元素；y=sinx不是集合A中的元素 (2)当0<a<1时，存在实数c,使得f(x)eA,此时实数c的取值范围为[0，+o). (3)证明过程见解析 13.(1)a=4sin0,b=4sin +0 41 (2)2+2V2,3n 8 4.四/)=2sim2x+5打 a1g 1/2 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (3-2,0 15.(1)[-1-√2，-1+√2] (2)证明见解析 m=√2 m=-√2 (3)存在， 或 n=2025n=2024 16.(44] 5π13π 17.08 (2)是，理由见解析 12 12 18. 时 (6)哈 19.(0)A=2,f= a 3)6 4 20.(1)y=√X,y=x是“三角形函数”，y=x2不是“三角形函数”，理由见解析 (2)证明见解析 专题03 三角函数压轴题综合（20题） 一、单选题 1．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（   ）． A．①和②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②均为假命题 【答案】B 【分析】由已知可得函数的值域应关于原点对称，据此分析命题①②求得的范围，进而可判断命题的真假. 【详解】对于集合D内的任意，都存在，使得， 故函数的值域应关于原点对称， 对于命题①，当时，，要使函数值关于原点对称， 则，所以， 故若函数在上具有性质P，则的取值范围是， 故①为真命题； 对于命题②，，则， 若时，关于对称时值域关于原点对称，，解得， 当时，则，可得， 当时，则即可，解得， 当时，，可满足题意，即时恒成立， 综上所述：函数在上具有性质P， 则的取值范围是或或，故②是假命题． 故选：B. 2．(24-25高一下·上海大同中学·期末)已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数零点情况及方程可得，进而确定函数解析式及函数性质，即可得解. 【详解】由， 得， 令， 即， 整理得， 即， 所以或， 即，或，， 即，或，， 又当时，， 函数有且仅有一个零点，得，即， 当，时，，，， 此时或，使得，不符合要求； 当，时，，或，， 当时，，函数在上无零点， 当时，，当且仅当时，，符合要求， 因此，， ， ， ， ， ， ， 所以 ， 故选：A. 3．(24-25高一下·上海七宝中学·期末)关于函数的以下两个命题：①函数的图象是轴对称图形；②对任意的，不等式恒成立．则正确的是（    ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①错误②错误 【答案】C 【分析】对于①：根据最值分析若函数的图象是轴对称图形，则对称轴只能为，举反例说明即可；对于②：先证，分和两种情况，结合函数最值放缩即可证明. 【详解】对于①：因为，当且仅当时，等号成立， 若，为最大值， 可知当且仅当时，取到最大值， 若函数的图象是轴对称图形，则对称轴只能为， 但，即， 所以函数的图象是轴对称图形不成立，故①错误； 对于②：先证， 当时，如图所示： 在标准单位圆中，轴，， 则的长为，， 可得； 当时，则； 综上所述：，可得. 当时，，即； 当时，则， 即； 综上所述：，故②正确； 故选：C. 4．(24-25高一下·上海格致中学·期末)设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合满足以下两个条件：（1）；（2）当全集为时，是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是互补函数；②存在函数，使得和是互补函数．则（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于①，取的值域为，得到，，满足要求，①正确；对于②，取是增函数，，先让的值域包含，根据正弦函数和正切函数的图象特征进行构造，的值域有，……，依次类推，得到答案. 【详解】对于①，取的值域为， 故，， 令， 则 满足和是有限集， 从而和是互补函数，①正确； 对于②，取是增函数，，由复合函数性质， 只需考虑和即可， 先让的值域包含，则，， 那么接下来考虑让的部分被和取得， 因为的值域没有，所以的值域中没有， 所以的值域没有， 所以考虑让的值域中有， 则的值域有，……， 依次类推，按照这样的方式构造下去， 可以得到满足题意的，②正确. 故选：A 二、填空题 5．(24-25高一下·上海金山中学·期末)已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 【答案】3 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同，通过，，三种情况讨论求解即可 【详解】，任意实数均有. 当时，任意实数均有，且， 时，符合题意； 任意实数均有，即， ， 只能任意实数均有，则， 当时，，则， ，符合题意； 当时，. 所以，， 又，符合题意. 综上所述，满足条件的有序实数对有，，共3个. 故答案为：3 6．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)已知，，，直线与函数的图象的交点为、、、，若对，的最小值为，最大值为，则_____. 【答案】或 【分析】设，由可知，或，结合可求得的值，进而可得出的值，可求出函数的最小值，再结合可得出，据此可得出关于的表达式，然后代值计算可得的值. 【详解】设， 由可知，或， 因为，则相邻交点最小距离为，即. 由， 可知，所以. 所以最小正周期为. 因为且，所以. 故或. 所以或， 当时，， 则； 当时，， 则. 故答案为：或. 7．(24-25高一下·上海七宝中学·期末)已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得函数，的解析式，然后将方程的根转化为函数的交点，结合图象，代入计算，即可得到结果. 【详解】 依题意，函数的图象对称中心为且过点， 所以，解得，所以. 由于函数的两相邻对称中心之间的距离为1， 且为函数的一个极大值点， 所以，则， 由于， ，所以， 所以，，关于对称， 对于区间，有， 由于和的图象都关于对称， 所以和的交点也关于对称， 由于方程在上的所有根之和等于2028， 所以方程在上一共有个根， 也即和的图象有个交点， 则当时，和的图象有个交点， 通过观察图象可知，与的图象在区间上分别有个交点， 所以或， 解得或，所以整数的值构成的集合为. 故答案为：. 8．(24-25高一下·上海实验学校·期末)已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为______. 【答案】 【分析】根据的性质可得时，有，进而讨论时，根据放缩法可得在无零点，进而根据函数图象可确定函数、在上交点个数，构造函数求解在有且只有一个零点.，即可求解. 【详解】当时，， 当时，，故， 当时，，故， ……，依次类推，可知时，有， 当时，，故在无零点， 同理在也无零点. ∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍， 则在平面直角坐标系中，、在上如图所示： 又， 故、在上的图象共有4047个不同交点， 下证：当，有且只有一个零点. 由于当时，，故， 即当时，， 当时，，也满足， 因此对任意的，都有， 结合为奇函数，因此对任意的，都有， 当时，， 因此，有且只有一个零点. 综上，、在上的图象共有4048个不同交点， 即在有4048个不同的零点， 故答案为：4048 三、解答题 9．(24-25高一下·上海金山中学·期末)设，函数的定义域为.若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”. (1)在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； (2)已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； (3)证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件 【答案】(1)①是，②不是，理由见解析； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数具有性质的条件判断①；举反例可判断②； （2）原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得； （3）利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性. 【详解】（1）①是，因为对任意， 所以符合定义； ②不是，令 ，， 故不符合题意. （2）显然，所以设， 则， 当时，取最小值， 原问题等价于当时，恒成立.， 即恒成立， 由，可得， 所以得. （3）证明：充分性： 若函数为增函数，则对任意均有， 即，因此，对任意，若， 则，函数具有性质，充分性得证； 必要性： 若对任意，函数均具有性质， 假设函数不是增函数，则存在，满足，即， 而，故存在，使，且，即， 即对于，存在，但是， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数为增函数，必要性得证． 10．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)设，函数满足． (1)当，时，若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点， 求在上最大值点的个数； (2)若，函数的最小正周期，且函数的图像与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围. (3)当时，小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一颗棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求的范围，再根据正弦函数的图象和性质，即可求解； （2）首先利用代入法求在区间的范围，结合函数的周期公式，以及范围内的最大值点，以及求的取值范围； （3）首先根据，确定棋子的移动周期，并根据函数性质判断，结合函数的周期，并结合游戏规则，确定中大于或等于得到个数，即可求解. 【详解】（1），则， 当时，在上有两个最大值点，， 故在上有2个最大值点； （2）曲线与直线在上有且仅有1个交点， 即方程在上有且仅有1个根， 由，可知， 又因为，即， 所以，故， 则只需令，解得， 即的取值范围为． （3），棋子移动的周期为4， 因为，， 由正弦函数的单调性得， 若，中至少三个大于或等于，满足题意，即： ，则; 若，中只有二个大于或等于，棋子落在棋盘右上角亦满足题意，即：，则； 故的取值范围是. 11．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知定义域为的函数满足:对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数具有性质，且在区间上有且仅有个零点.求出的取值范围； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为，函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 【答案】(1)具有性质，不具有性质. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用定义直接判断即可； （2）因为函数具有性质,可求出,进而得到，再结合零点的意义可求的取值范围； （3）分析可知函数在的值域为,由在区间上有且仅有一个零点可知时不合题意，再求解当 时，与函数是以为周期的周期函数矛盾，由此可得,进而得证. 【详解】（1）因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， 所以，故不具有性质. （2）因为函数具有性质，所以，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立，即， 因为，所以，所以，则， 此时，则， 而，即有成立，符合题意， 又在区间上有且仅有2个零点.，所以，所以， 所以的取值范围为. （3）由函数具有性质及（2）可知， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以； 由，以及题设可知，函数在的值域为， 所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为. 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾，故， 即，命题得证． 12．(24-25高一下·上海宝山区·期末)已知函数的定义域为，对任意，定义：. (1)若，判断和是否是集合中的元素； (2)若，，是否存在实数，使得？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)若，设，且，求证：“是上的减函数”是“”的充分不必要条件. 【答案】(1)是集合中的元素；不是集合中的元素. (2)当时，存在实数，使得，此时实数的取值范围为. (3)证明过程见解析. 【分析】（1）根据题目中的定义，采用验证的方法可解答. （2）先利用作差法得出；再结合指数函数的性质分类讨论，判断的最大值；最后结合题目中的定义即可求解. （3）先根据函数的单调性、余弦函数的有界性和两角和的正弦公式证明充分性；再通过满足的函数，得出，利用具体值推出与是上的减函数相矛盾，从而证明必要性不成立. 【详解】（1）对于函数，，： 有. 因为，， 所以恒成立，即对任意，，恒成立， 故是集合中的元素. 对于函数，，： 有 . 因为，， 当，时，， 这与对任意，，矛盾， 故不是集合中的元素. 综上可得：是集合中的元素；不是集合中的元素. （2）对于函数，，： 有 根据指数函数的性质可知： 当，，时，趋近于，不满足题意，此时不存在实数，使得. 当时，对任意，，有， ， 则，，，此时. 要使，须满足，解得：. 综上可得：当时，存在实数，使得，此时实数的取值范围为， （3）充分性证明： 因为函数是上的减函数，，， 所以，. 根据余弦函数的有界性可得：， 则 所以 ，即， 所以. 必要性证明： 取，，， 则对于任意的任意，有， 所以. 又因为，，. 因为， 所以，这与是上的减函数相矛盾， 故必要性不成立， 综上可证得：“是上的减函数”是“”的充分不必要条件. 13．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期末)如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设.      (1)将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； (2)现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）在中利用正弦定理可表示出； （2）在中，由余弦定理表示出，再结合的范围及正弦函数的性质可求出其最大值. 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以， 当，即时， 取最大值取最大值. 14．(24-25高一·上海宝山中学·期末)已知函数，其中． (1)若，且，求的解析式； (2)若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，即可得函数解析式； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式运算求解即可. 【详解】（1）函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 可知的最小正周期为， 且，则，解得，所以. （2）， ， 即，则或 解得或，且， 可得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为. （3）由（2）知：，且， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当，则 ，可得， 则，即， 当，，， 则，即， 由可得，且，解得， 所以实数a的取值范围为. 15．(24-25高一下·上海南汇中学·期末)对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，或. 【分析】（1）根据跃点函数定义，解得，利用三角化简求值域即可； （2）由跃点函数定义，解得，即可证明； （3）由跃点函数定义，即在上个根，根据正弦函数的周期性和图像。讨论即可得到答案. 【详解】（1）由已知得存在实数， 使得. 所以. （2）若，则，此时， 则对任意，令，即， 显然是此方程的解，所以对任意实数，为‘跃点’函数”； 反之，若对任意，为‘跃点’函数”， 即对任意，都有解， 即. 取，得，从而， 因此“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件. （3）假设存在，由， 得，， ，令， 即方程，有个根. ①当，即，有个根，不符合； ②当，即，有个根，不符合； ③当，即，有个根，所以； ④当，即，有个根，所以. ⑤当，即，有个根，不符合. 综上，存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”， 符合条件的和的值为或. 16．(24-25高一下·上海金山中学·期末)设函数的表达式为，其中． (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期； (3)若存在，，且，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求的范围，结合条件列不等式求的取值范围； （2）由条件列关系式，确定的值，再由周期公式求周期； （3）由题意存在，，且，使得成立，由此即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以函数在区间上只有一个最小值点， 又因为， 由正弦函数的图象可知：，解得， 所以的取值范围为． （2）由，可知函数关于点对称． 因此，解得，其中为整数． 由于函数在区间上是严格增函数，所以，所以， 结合，其中为整数，所以， 又，其中为整数，所以或， 当时，，函数在区间上不是严格增函数， 当时，，函数在区间上是严格增函数，且关于点对称．所以． 因此函数的最小正周期为． （3）已知函数的值域为，因此， 又，则当且仅当时成立，即， 令，则当，时，，， 此时需存在，满足（为整数），且， 则区间内至少包含两个不同的点， 设存在整数满足， 当时，；当时，；当时，符合题意； 所以． 17．(24-25高一下·上海实验学校·期末)对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； (2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； (3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意得到； （2）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得，是一个与无关的定值； （3）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得到，要使是一个与无关的定值，则，与的终边只能关于轴对称，从而得到方程组，求出答案. 【详解】（1）因为集合，， 所以； （2）由“余弦方差”的定义得： . 所以是与无关的定值. （3）由“余弦方差”的定义得： ， 要使是一个与无关的定值，则， 因为，所以与的终边关于轴对称或关于原点对称， 又，所以与的终边只能关于轴对称， 所以， 因为，，所以， 当时，，当时，， 所以或时， 相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值 18．(24-25高一下·上海莘庄中学·期末)已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，转化为在上有两解，结合正弦函数的性质，即可求解. （3）由，求得，得到，根据，求得，把任意，总存在唯一确定的，转化为，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，其中， 因为函数的最大值为2，可得，解得， 所以， 令，可得， 当时，可得， 因为，所以函数在区间上的递增区间为. （2）解：当时，， 则 ， 因为在时有两解，所以在上有两解， 令，可得， 转化为与在上有两个交点， 又由， 结合正弦函数的性质，可得，即实数的取值范围为. （3）解：因为，解得， 所以， 因为，可得，所以， 对任意，总存在唯一确定的， 使得成立，所以， 且有且仅有唯一解， 令，则，所以， 所以，解得，所以，即实数的范围为. 19．(24-25高一下·上海闵行中学·期末)已知函数． (1)求的振幅与频率； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，即可求出函数的振幅以及频率的值； （2）由可得出的取值范围，结合函数的值域可得出关于的不等式，即可解得的取值范围； （3）根据函数为的最小值，结合角的取值范围可得出角的值，设，，所以．利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换可得出，即可得出面积的最大值. 【详解】（1） ， 所以函数的振幅，频率. （2）设，则，，则， 所以，解得，即的取值范围是. （3）由（1）知当时，即， 则，则． 因为，所以， 又为等腰三角形，所以，， 由正弦定理可得，可得， 设，，所以． 由余弦定理得， ， 由正弦定理得，所以． 又，， 所以 ， 即的面积取得最大值为． 20．(24-25高一下·上海格致中学·期末)一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”． (1)判断函数，，中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由； (2)如果函数是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“三角形函数”； (3)若，函数，是“三角形函数”，求的最大值．（参考公式：） 【答案】(1)，是“三角形函数”，不是“三角形函数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设三角的三边长分别为，且有，利用题设定义，即可判断和是“三角形函数”，再取，即可说明不是“三角形函数”； （2）取实数，使，再取，其中，能构成三角形，但其函数值不能构成三角形，即可求解； （3）分和两种情况讨论，再结合题设定义，即可求解. 【详解】（1），是“三角形函数”，不是“三角形函数”． 理由如下： 任意一个三角形，设它的三边长分别为，不妨假设，则， 对于，当的取值分别为时，对应的函数值分别为，满足，故是“三角形函数”， 对于，当的取值分别为时，对应的函数值分别为， 因为，所以，故是“三角形函数”， 对于，因为可作为一个三角形的三边长，但， 所以不存在以为三边长的三角形，故不是“三角形函数”. （2）设为的一个周期，因为其值域为， 所以存在，使得， 取正整数，则， 则这三个数可作为一个三角形的三边长， 但，不能作为任何一个三角形的三边长， 所以不是“三角形函数”． （3）（i）若，取，则这三个数可作为一个三角形的三边长， 但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“三角形函数”. （ii）当时，对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下： ①当时，，同理， ，故，， 同理可证，， 可作为某个三角形的三边长． ②当时，，可得如下两种情况： 当时，由得， 由在上单调递增可得， 当时，， 由在上单调递增可得， 综上得，， 又由及余弦函数在上单调递减， 得 同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长. 故时，是“三角形函数”， 综上，的最大值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数压轴题综合（20题） 一、单选题 1．(24-25高一下·上海黄浦区·调研)若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（   ）． A．①和②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②均为假命题 2．(24-25高一下·上海大同中学·期末)已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·上海七宝中学·期末)关于函数的以下两个命题：①函数的图象是轴对称图形；②对任意的，不等式恒成立．则正确的是（    ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①错误②错误 4．(24-25高一下·上海格致中学·期末)设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合满足以下两个条件：（1）；（2）当全集为时，是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是互补函数；②存在函数，使得和是互补函数．则（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 二、填空题 5．(24-25高一下·上海金山中学·期末)已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 6．(24-25高一下·上海嘉定区封浜高级中学·期末)已知，，，直线与函数的图象的交点为、、、，若对，的最小值为，最大值为，则_____. 7．(24-25高一下·上海七宝中学·期末)已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 8．(24-25高一下·上海实验学校·期末)已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为______. 三、解答题 9．(24-25高一下·上海金山中学·期末)设，函数的定义域为.若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”. (1)在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； (2)已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； (3)证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件 10．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期末)设，函数满足． (1)当，时，若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点， 求在上最大值点的个数； (2)若，函数的最小正周期，且函数的图像与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围. (3)当时，小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一颗棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． 11．(24-25高一下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)已知定义域为的函数满足:对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数具有性质，且在区间上有且仅有个零点.求出的取值范围； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为，函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 12．(24-25高一下·上海宝山区·期末)已知函数的定义域为，对任意，定义：. (1)若，判断和是否是集合中的元素； (2)若，，是否存在实数，使得？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)若，设，且，求证：“是上的减函数”是“”的充分不必要条件. 13．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期末)如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设.      (1)将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； (2)现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 14．(24-25高一·上海宝山中学·期末)已知函数，其中． (1)若，且，求的解析式； (2)若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 15．(24-25高一下·上海南汇中学·期末)对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 16．(24-25高一下·上海金山中学·期末)设函数的表达式为，其中． (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期； (3)若存在，，且，使得成立，求的取值范围． 17．(24-25高一下·上海实验学校·期末)对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； (2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； (3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 18．(24-25高一下·上海莘庄中学·期末)已知函数． (1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； (2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 19．(24-25高一下·上海闵行中学·期末)已知函数． (1)求的振幅与频率； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 20．(24-25高一下·上海格致中学·期末)一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”． (1)判断函数，，中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由； (2)如果函数是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“三角形函数”； (3)若，函数，是“三角形函数”，求的最大值．（参考公式：） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $