精品解析：上海市宜川中学2025-2026学年第二学期阶段练高一数学

宜川中学2025学年第二学期阶段练 高一数学 命题：朱超英 审核：宋荷娟 校对： 考生注意： 1.本练习设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效. 2.答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号. 3.本试卷共4页，答题时间120分钟，试卷满分150分. 一、填空题（第1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. __________. 2. 已知向量，，则__________. 3. 若复数，则实数的取值为__________. 4. 不等式与不等式 解集相同，则______. 5. 函数在上的单调递减区间为__________. 6. 已知等比数列的前项和为，则的值为________． 7. 在等差数列中，已知，，则__________. 8. 已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 9. 已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 10. 锐角三角形ABC中，若，则的取值范围是__________. 11. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，在“赵爽弦图”中，若，，,向量、表示_____ 12. 设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为______． 二、选择题（13、14题每题4分，15、16题每题5分，共18分） 13. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 3 15. 若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（ ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是 “平方递推数列” D. 是 “平方递推数列” 16. 已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（共76分，17题14分，18题14分，19题14分，20题18分，21题18分） 17. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求的通项公式； （2）设，（），求数列的前项和. 18. 已知（，）. （1）若函数的图象过点，求不等式的解集； （2）存在使得、、成等差数列，求的取值范围. 19. 如图，已知直角三角形AOB的两直角边AO和BO的长分别为5和12，直角三角形的斜边AB所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边AO所在的直线相切，半圆圆心都在边OB上，半径分别为、、…、、…. （1）求证：为等比数列； （2）求前n个半圆面积的总和； （3）利用前n个半圆面积的总和的表达式，计算. 20. 在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. （1）证明：△ABC为直角三角形； （2）若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； （3）当，时，设表示成的形式，求的最值. 21. 平面直角坐标系中、，设点、、…、是线段AB的n等分点，其中，. （1）当时，试用、表示、； （2）当时，求的值； （3）当时，求（，，i，）的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜川中学2025学年第二学期阶段练 高一数学 命题：朱超英 审核：宋荷娟 校对： 考生注意： 1.本练习设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效. 2.答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号. 3.本试卷共4页，答题时间120分钟，试卷满分150分. 一、填空题（第1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. __________. 【答案】 【解析】 【详解】 2. 已知向量，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以， ， 则. 3. 若复数，则实数的取值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】， ，解得， 故实数的取值为. 4. 不等式与不等式 解集相同，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据在上单调递增，判断大小列不等式进行解答即可. 【详解】， 在上单调递增, ，即， ， . 故答案为： 5. 函数在上的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 因为余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 故解得， 故在上的单调递减区间为 6. 已知等比数列的前项和为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别求得，，，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由等比数列的前项和为， 可得，，， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为：. 7. 在等差数列中，已知，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用等差中项性质求出、的值，再结合等差数列前项和公式计算. 【详解】因为对任意，若，则. 所以，， 由已知 ， ， 所以；； 由等差数列性质得 ， 所以. 8. 已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义可推得，结合夹角范围与余弦函数的单调性即得的取值范围. 【详解】依题意， ,则在方向上的投影向量为， 又因，则， 因， 而函数在上单调递减， 则得， 即的取值范围是. 9. 已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据一元二次方程是否有根，结合一元二次方程的判别式、根与系数的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】关于x的方程的两个根分别为，， 当时，即当时，方程有两个实数根分别为，， 有， 由 ，显然满足，因此. 当时，即当时，方程有两个虚数根分别为，， 根据一元二次方程虚数根的特点，设，则， 由， 由， 由，显然满足， 综上所述：实数，或. 10. 锐角三角形ABC中，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，且为锐角三角形求解的取值范围，再由，由两角差的正弦公式以及辅助角公式求解即可. 【详解】因为，所以，且为锐角三角形，所以， 所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 故的取值范围是 11. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，在“赵爽弦图”中，若，，,向量、表示_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答. 【详解】因为,所以,， 所以...①，...②， 由①+②得：，即. 故答案为：. 12. 设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，作出图象，可得复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分.. 【详解】设. 由，可知，即，即. 因为，，，所以， 则可化为，解得. 即集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线），如图所示.所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分. 弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角，圆的半径， 则扇形的面积，， 所以弓形的面积为. 故答案为：. 二、选择题（13、14题每题4分，15、16题每题5分，共18分） 13. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果. 【详解】若为非零向量，且存在负数，使得，则共线且方向相反， ，充分性成立； 当时，的夹角可能为钝角，此时不存在负数，使得，必要性不成立； “存在负数，使得”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14. 如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法，结合给定的定义列式求解. 【详解】，依题意，，解得， 所以. 故选：B 15. 若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（ ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是 “平方递推数列” D. 是 “平方递推数列” 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断. 【详解】对于AB，因为 是 “平方递推数列”， 所以. 又， 所以 则，， 所以，不是等差数列， 所以AB不正确. 对于C，因为 ，所以 是 “平方递推数列”， 所以C 正确. 对于D，因为 ， 所以不是 “平方递推数列”， D 不正确. 故选：C 16. 已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先由图象求出函数的周期，从而求出，结合五点法可求出，明确函数的解析式，将所求不等式转化为或，由于自变量为正整数，从而由即可选出正确答案. 【详解】解析：由图可知，即，所以． 由五点法可得，即．所以． 因为， 所以由，得或． 因为， 所以满足题意的最小正整数x为2， 故选:B． 【点睛】关键点睛: 本题考查了由三角函数的图象求函数的解析式，本题的关键是求出函数的解析式将所解不等式进行化简. 三、解答题（共76分，17题14分，18题14分，19题14分，20题18分，21题18分） 17. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求的通项公式； （2）设，（），求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可； （2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为， 已知，，则 ，则 ， ， 又因为，，则， ， 根据等差数列的通项公式，则 ，即 ，解得， 所以等差数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，，则， 因为，（），所以， 则数列前项和为， 其中，， 因此，即数列的前项和为. 18. 已知（，）. （1）若函数的图象过点，求不等式的解集； （2）存在使得、、成等差数列，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）存在使得、、成等差数列等价于在上有解，通过化简以及基本不等式可求的取值范围． 【小问1详解】 已知（，）， 由函数的图象过点，可得，则，解得， 因为在上单调递增， ，即 ，解得， 因此不等式的解集为. 【小问2详解】 因为存在使得、、成等差数列， 所以有解， 即有解， 化简得，即有解， 由于，得在有解， 由基本不等式得 ， 当且仅当得，即时等号成立， 因此的取值范围为. 19. 如图，已知直角三角形AOB的两直角边AO和BO的长分别为5和12，直角三角形的斜边AB所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边AO所在的直线相切，半圆圆心都在边OB上，半径分别为、、…、、…. （1）求证：为等比数列； （2）求前n个半圆面积的总和； （3）利用前n个半圆面积的总和的表达式，计算. 【答案】（1）证明见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形可得，同理可得，，，由，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）结论，结合等比数列前n项求和公式计算即得； （3）利用极限的思想求解即可. 【小问1详解】 如图， 设以为圆心的圆与AB相切于点，连接， 易得与相似，则有， 又，所以， 代入可得，解得. 同理可得，即，解得，，， 因， 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可得，是以为首项，以为公比的等比数列 前n个半圆面积的总和为： 【小问3详解】 . 20. 在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. （1）证明：△ABC为直角三角形； （2）若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； （3）当，时，设表示成的形式，求的最值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，利用三角恒等变换可得，进而可得； （2）利用等面积法结合条件计算即可； （3）由（1）知，解直角三角形可得，，利用换元法及辅助角公式可将函数变形，再次换元结合单调性可得结果. 【小问1详解】 依题意得， 则， 又， 所以，从而， 又有意义，所以，即， 故为直角三角形. 【小问2详解】 由（1）知，，而的平分线交BC于D， 得， 因为， 即， 所以 所以． 故线段AD的长为. 【小问3详解】 由（1）知，在中，，则， 所以，， 故，. 令， 由得，且，则. 令，则， 则， 显然在上单调递增，则在上单调递减， 所以当时，即，即时，. 21. 平面直角坐标系中、，设点、、…、是线段AB的n等分点，其中，. （1）当时，试用、表示、； （2）当时，求的值； （3）当时，求（，，i，）的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）向量的线性运算结合共线向量定理，以和表示出、； （2）先求出的通项公式，利用等差数列求和公式求出向量和，再求模； （3）利用数量积的坐标运算或基底运算得到关于的表达式，结合二次函数性质或不等式求最值， 【小问1详解】 当时，点、是线段的三等分点， 所以 ， ， 【小问2详解】 由题意，点 是线段的等分点，则 ，所以 因为，，所以 ， ，则 所以当， ， 设，则 因为， 所以，故 【小问3详解】 当时，由（2）可知，其中且， ， 因为，所以， 要使最小，只需最小， 当与异号且绝对值最大时，乘积最小， 即当或时， 取得最小值，所以的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $