命题大赛 浙江高一数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用

**基本信息** 平面向量单元测原创卷，依新高考19题结构命制，融入勒洛三角形数学文化、高斯函数新定义及人脸识别等新情境，通过原创与改编题（如改编2022新高考Ⅰ卷题），考查向量概念、运算及应用，适配单元复习，体现数学眼光、思维与语言的综合素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线、投影向量等|原创基础辨析题（第1题），改编高考真题（第3题）| |多选题|3/18|向量数量积、共线判定|原创多结论辨析（第9题），考查逻辑推理| |填空题|3/15|向量垂直、新情境应用|改编高考题（第12题），人脸识别余弦距离新情境（第13题）| |解答题|5/77|向量夹角、解三角形结合向量|新定义伴随函数综合题（第19题），改编名校期中题（第16题）|

《平面向量综合检测》 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B B C D C C A CD AC ABD 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1.【答案】A 【解析】对于A，向量的模相等，只表明长度相等，不等得到两向量相等或相反，如，故A错误， 对于B，向量共线，则四点共线或，故B错误， 对于C，若，当时，不一定平行，故C错误， 对于D，若三点共线，如图所示，此时起点相同，终点不相同，故D错误， 故选：A 2.【答案】B 【解析】连接,因为，所以 易得为等边三角形，由是中点可知 则 故选:B 3.【答案】B 【解析】因为，所以 因为，所以 则,所以,所以 故选：B 4.【答案】C 【解析】由题知， 所以，， 设与夹角为，所以在上的投影向量是， 故选：C 5.【答案】D 【解析】由于向量与的夹角为钝角，所以且与不共线，由解得，当向量与共线时，得解得，因此实数的范围是 故选：D 6.【答案】C 【解析】连接,设,由,则, 因为,所以 因为，所以，则,则最小值为,故选：C 7.【答案】C 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，过点作轴，作轴，过点作交的延长线于点,则,因为,所以,设，则则，则,即，解得，则,所以,则 ，故A正确； B选项，当，即,因为,,， 所以,,因为 则解得，所以，B正确 C选项,设,则, 所以,故不存在点，故C错； D项，设,易得,由 由可得 解得,因为 所以,解得，所以D正确. 8.【答案】A 【解析】依题意，，则， ， ，由，得， 而，当时，，无解； 当时，，则； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解， 因此，，， 所以的取值范围为. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9.【答案】CD 【解析】设， 因为向量， 则，解得，所以， 对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故与不共线，故B错误； 对于C，，所以，则 所以C正确； 对于D，，，，故，所以D正确. 故选：CD. 10.【答案】AC 【解析】A选项， ，则故A正确； B选项，因为零向量与任意向量共线，所以若向量与不共线，则二者一定都是非零向量，充分性成立；反之若与都是非零向量，如显然是共线向量，必要性不成立，故B错误； C选项, 因为，所以，则，故C正确； D选项，由只能推出，即,例如则不一定成立，D错误. 故选：AC 11.【答案】ABD 【解析】因为 所以，则,在中，， 由余弦定理可得： 所以,显然：,则是直角三角形，A正确； 因为，所以D点在以A为圆心，半径是1的圆上运动,见下如图，当在斜边上的高所在直线上时，有最大值，连接,因为，,则,所以,即最大值为，B正确 因为如右图，则表示以长方形对角线向量,易得 由得,则C错 因为，所以D点在以A为圆心，半径是1的单位圆，以A为坐标原点，所在边分别为轴，故可设 则，,由可得 ，则，所以,D正确 故选：ABD 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.【答案】 【解析】因为，所以，则，解得 故答案为： 13.【答案】 【解析】因为，由已知可得，即 ，整理得：，解得. 因为,所以，故向量 14.【答案】 【解析】因为, 所以,即,故是外接圆的圆心,如图所示,延长交外接圆于． 因为是⊙的直径,所以．所以,, 所以 （因为） 因为，解得，则当时， 由，解得，,当且仅当时取得最大值。 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 【答案】（1），（2） 【解析】（1）因为夹角为，所以，（3分） 所以（2分） （2） 因为，所以，（1分） 则（※），（2分） 由（1）可知，结合，（2分） 代入（※）可得：，解得（3分） 16.【答案】(1)见解析 (2) 【解析】 （1） 因为 ,（5分） 所以，又与有公共点,所以A，E，C三点共线（2分） （2） 因为（2分） 因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以．（2分） 设，则，（1分） 因为，所以，解得，（2分） 即点A的坐标为．（1分） 17.【答案】(1),(2) 【解析】（1）因为， 所以，（2分） 由正弦定理可得 ,即 整理得：，因为, 所以,则,（2分） 因为,所以,解得（2分） (2) 取中点,因为,（2分） 则（2分） 所以当时，有最小值（2分） 即为等腰三角形时，易求得,（2分） 所以最小值为（1分） 18.【答案】（1），（2） 【解析】(1)如上图，取的中点D, 由外心的性质可知，所以 由可得.（2分） 将两边同时点乘,可得 所以（1分） 由正弦定理得 整理得： ,（2分） 因为，所以 又,所以 , 则（2分） 即,又是锐角三角形,则,所以.（1分） (2)在中，因为，由余弦定理可得（2分） 即，因为,所以，则（2分） 由，可得，（4分） 所以最大值,当且仅当即三角形是等边三角形有最大值.（1分） 19.【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【解析】（1）由已知，所以；（2分） （2）（i）根据题意，由知，， 利用辅助角公式得，其中，（1分） 不妨令为锐角，当时，取到最大值，即， 则，同理（1分） 由二倍角公式得：，（1分） 如图，由三角形面积可得：， 所以，（1分） 由余弦定理得， 因为，所以， 则，当且仅当时取等号.（2分） （ii）由，结合（i）， ，（1分） 利用正弦定理边化角可得，其中，， 所以， ， 且，则，（3分） 所以，（2分） 由于三角形是锐角三角形，则，得，故， 所以，易知.（3分） 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 向量的基本概念（共线向量、相等向量、相反向量等） 0.85 2 单选题 5 向量数量积 0.8 3 单选题 5 向量基本定理与线性运算 0.75 4 单选题 5 向量的投影向量的概念与计算 0.75 5 单选题 5 平面向量的坐标表示与夹角运算 0.65 6 单选题 5 向量的数量积、圆与正三角形的向量最值综合问题 0.6 7 单选题 5 向量的数量积、向量坐标表示与运算以及范围与存在性问题 0.55 8 单选题 5 向量运算新定义、向量模长范围问题 0.45 9 多选题 6 向量的坐标运算、数量积、夹角与共线问题 0.85 10 多选题 6 向量模长范围问题、数量积运算律等问题 0.8 11 多选题 6 三角形形状判定、面积的最值问题、求参数值（范围）问题 0.55 12 填空题 5 由向量坐标运算、垂直求参数问题 0.9 13 填空题 5 新情境、向量夹角与解不等式结合求范围问题 0.7 14 填空题 5 向量与三角形外心、向量数量积以及三角形面积最值问题 0.5 15 解答题 13 向量模长、数量积运算求参数问题 0.8 16 解答题 15 三点共线问题、以及向量坐标运算 0.75 17 解答题 15 正弦定理、三角恒等变换及几何最值 0.6 18 解答题 17 向量数量积运算、正余弦定理解三角形与最值问题 0.45 19 解答题 17 向量新定义（伴随向量）、三角恒等变换、最值与基本不等式求范围 0.35 $ 应用场景：单元测 平面向量综合检测卷（原创卷） （19题新高考新结构） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） （原创）1．下列命题中正确的个数是（    ） ①若，则； ②已知向量是共线向量，则四点必在一直线上； ③若向量，则； ④共线的向量，若起点相同，则终点也一定相同. A．0 B．1 C．2 D．3 （原创）2.在菱形中，是中点，则( ) A. B. C. D. （改编）3.（2022新高考Ⅰ卷）在中，点在边上，记，若，则( ) A. B. C. D. （原创）4.已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. （原创）5.已知向量，若向量与的夹角为钝角，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. （原创）（数学文化）6.勒洛三角形是一种定宽曲线，其画法是：先画一个边长为的正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，它是一种特殊的三角形，可在边长为的正方形内连续旋转，能直接钻出标准的正方形孔从而广泛应用于机械工业中。如图所示，若正三角形的边长为，点在上运动（包括端点），则的最小值是（ ） A. B. C. D. （改编）7.（2025北京海定区高一月考）如图，在圆的内接四边形中，,,,是线段上一动点（包括端点），,是线段的中点，且，则下列结论错误的是（ ） A. B.若,则 C.存在点,使得 D.的取值范围是 （原创）（新定义）8.（原创）高斯是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称，函数称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不超过实数的最大整数， 如，已知单位向量 定义运算：，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） （原创）9.已知向量,则下列结论正确的是（ ） A. B.// C. D. （原创）10.关于平面向量，, ，下列说法正确的是（ ） A., ,则 B.“向量与不共线”是“与都是非零向量”充要条件 C.若，则 D.若,则 （原创）11.平面上四点满足,则下列说法正确的是（ ） A.是直角三角形 B. 的面积有最大值，且最大值为 C.若,则 D.若，则最大值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） （改编）12.（2025全国Ⅱ）已知平面向量，若， 则 （原创）（新情境）13. 手机人脸识别解锁系统利用向量余弦距离，将录入的人脸与实时人脸转化为高维特征向量，利用余弦距离与设定的安全阈值对比分析， 如果余弦距离安全阈值，系统判定为同一个人，解锁成功，反之则拒绝解锁。已知向量，若系统将安全阈值设为，则能成功解锁的向量 有 （原创）14. 设是所在平面内的一点，且满足,分别为角对应的边，已知，当时，的面积最大值是 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （原创）15.设向量夹角为. （1）求 （2）若，求的值 （改编）16.（2025-2026学年·安徽阜阳太和县第八中学第二学期高一期中）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，， (1)证明A，E，C三点共线； (2)若，，，将A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． （原创）17在中，内角对应边分别为，已知向量，且 （1）求 （2）若,求的最小值 （原创）18.是锐角中外心，角所对应的边分别为,若 (1)求A (2)若,是中点，求长度的最大值. （新情境）19.（2025-2026学年·山西大学附属中学高一第二学期期中）定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求的坐标； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，内角的对边分别为，恰好为函数的最大值． （ⅰ）若，的角平分线交于点，，求的最大值； （ⅱ）若，在锐角中，求的范围． 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $