平面向量基本定理及其坐标表示和正余弦定理 巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量基本定理及其坐标表示和正余弦定理巩固训练 一、单选题 1．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．2 3．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 7．已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．5 二、多选题 9．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．或 D．的面积为6 11．若向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量在向量上的投影向量的模为 D．若，则 三、填空题 12．已知向量，，，则实数的值为________ 13．如图，在中，，的夹角为，，，则______________ 14．已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______． 四、解答题 15．已知向量，，． (1)求的坐标； (2)若，求实数的值． 16．在中，角的对边分别为,且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长． 17．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，的面积为，求的值． 18．已知向量满足. (1)若，求向量的坐标； (2)若，求与夹角的余弦值. 19．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第六章平面向量基本定理及其坐标表示和正余弦定理巩固训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A A A A B C AC AD 题号 11 答案 ABC 1．A 【详解】因，， 则. 2．A 【详解】在正方形中，为的中点，所以， 又因为，所以，则. 3．A 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 4．A 【分析】先根据向量垂直求得，再计算向量的模. 【详解】因为，， 所以，即， 所以，. 5．A 【详解】易知向量，显然， 所以. 6．A 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 因为，所以， 所以，即. 所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 方法二： 因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 7．B 【分析】先根据向量垂直求得，再根据投影向量公式求解即可. 【详解】由，又， 所以，解得， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为， 8．C 【分析】利用降幂公式及正弦定理将边化为角后结合辅助角公式可求出，再利用余弦定理计算即可得. 【详解】由，得， ， ，.，， ，，，， 由余弦定理， 得，解得. 9．AC 【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【详解】对于A，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底； 对于B，若存在实数使得，则，无解， 所以可以作为平面向量的基底； 对于C，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底； 对于D，若存在实数使得，则，无解， 所以可以作为平面向量的基底. 10．AD 【分析】对A，利用余弦定理得到，从而得到；对B，根据，利用正弦定理和正弦的两角和公式即可得到，从而得到；对C，利用正弦两角和公式得到，再利用正弦定理即可得到；对D，根据面积公式直接求解即可. 【详解】对选项A，因为，所以， 即，所以，故A正确. 对选项B，因为，所以 即：， 所以，因为， 所以，，即，故B错误. 对选项C，因为，，所以， 又，可得，. 所以， 因为，所以，故C错误. 对选项D，，故D正确. 11．ABC 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，当时，，解得，故B正确； 对于C，若，向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量的模为 ，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误. 12． 【详解】因为，， 则，， 因为，所以 即，解得. 13． 【分析】根据向量的线性运算利用向量表示，根据数量积的性质即可求解. 【详解】因为，又， 所以， 所以， 因为，所以， 又因为的夹角为，所以， 又，，所以， 所以. 14． 【详解】由，得， 所以， 所以，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量减法的坐标运算可得出的坐标； （2）求出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】（1）因为，，则. （2）因为向量，，，则， ， 因为，则，解得. 16．(1) (2)12 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. （2）因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理及题干条件即可求出角C的大小； （2）利用三角形面积公式求出b，再结合题意求出c，最后结合正弦定理求出即可． 【详解】（1）将等式两边同乘，得， 又因为，可得， 因为，所以． （2）三角形面积，即， 解得，又因为，所以， 由正弦定理得， 所以，， 则． 18．(1) 或 (2) 【分析】（1）设向量，根据向量模长公式得到关于的方程，再根据向量垂直得到另一个关于的方程，联立两个方程即可求解； （2）依题意，展开后可求出的值；再根据向量夹角的余弦公式，代入即可求解. 【详解】（1）设，由得：①， 因为，所以，故② 将②代入①得，解得， 所以或， 因此的坐标为 或 ； （2）由得，展开得：， 计算得，因此， 根据向量夹角公式， 因此与夹角的余弦值为. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合为锐角三角形证明即可. （2）根据为锐角三角形及（1）求出的范围，结合正弦定理对进行化简，进而求范围即可. 【详解】（1）在中，因为，由正弦定理可得，. 由余弦定理知，，则， 所以，即，所以， 所以或. 若，因为，所以，与已知条件矛盾，不满足. 故. （2）当为锐角三角形时，， 即：，所以. . 令，，则. 令，由对勾函数性质可知在上单调增， 所以，则， 所以，即， 所以 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $