精品解析：安徽阜阳市临泉县三校 2025-2026学年九年级下学期5月期中联考数学试题

安徽阜阳市临泉县三校+2025-2026学年九年级下学期5月期中联考数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 5的倒数是（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，根据乘积是1的两个数互为倒数即可得解． 【详解】解：∵， ∴5的倒数是， 故选：B 2. 如图所示的几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，结合图形，根据主视图的定义即可求得答案，注意虚线和实线的区别． 【详解】解：由题干中的几何体可得其主视图为 故选：D． 3. 第七次全国人口普查结果显示，我国的总人口已达到人，用科学记数法表示这个数，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 5. 估算的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是关键． 根据进行判定即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 故选：B ． 6. 一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（氯化钠）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过列表得到所有等可能结果，再找出能组成的结果数，代入公式计算即可． 【详解】解：将四个小球分别记为Na，H，O，Cl，列表可得所有等可能结果： 由表可知，共有种等可能的结果，其中，摸出两个小球能组成的结果有种， ∴． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式的进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程的判别式， ， ∴一元二次方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 8. 如图，矩形的边上有一动点，连接，，以，为边作平行四边形．在点从点移动到点的过程中，平行四边形的面积（ ） A. 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 一直变大 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．由矩形的性质可得，由平行四边形的性质可得，即． 【详解】解：四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：D． 9. 二次函数的图象与轴交于，两点，点在二次函数上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与x轴的交点坐标与系数的关系，图象上点的坐标的特征，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 由已知可得，求得，再将代入可求出，，进而判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴a、b为方程的两个根， ∴， ∴， ∵点在二次函数上， ∴， ∴， 可得方程组， 解得， ∴，故A正确． ∴，故B正确． ∵，故C正确． ∵， ∴，即，故D错误． 故选：D． 10. 如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，则 B. 当恰好为的中点时，则的面积为 C. 在折叠的过程中，的周长有可能是的2倍 D. 当时，连结，四边形是等腰梯形 【答案】D 【解析】 【分析】A选项在中由勾股定理可得；B选项先证明，再由勾股定理得，故；C选项在折叠过程中，与的周长相等；D选项当时，，，故四边形是等腰梯形，故选项D正确． 【详解】解：，， ，四边形是矩形， 由折叠得，， ， ， 设，则，在中，有，解得，故选项A不正确； 当恰好为的中点时，则时，由折叠得F也为的中点，故， ， ， ，故选项B不正确； 在折叠过程中，，，， ∴， 又∵， 与的周长相等，故选项C不正确； 如图，当时，，， ∴， ，， ， ∵， ， ， 四边形是等腰梯形，故选项D正确． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式：______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知，则代数式的值等于______________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，，将转化为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 13. 如图，为矩形纸片的边上一点，将纸片沿折叠，使点落在边的中垂线上，，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，再得出，从而得出，继而得出，再利用直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】四边形是矩形， ， ， 点落在边的中垂线上， ，， ，， ， ， ． 14. 如图，已知矩形对角线和相交于点，点是边上一动点，与相交于点，连结． （1）若，则______________； （2）若点为线段的三等分点，则______________． 【答案】 ①. ②. 1或4 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质．（1）先由，可知，利用矩形的性质可得，即可得结果；（2）延长交的延长线于点，可得或，从而得出结果．需要注意的是：“点为线段的三等分点”，要分类讨论：，或． 【详解】（1）∵，四边形是矩形， ∴, ∴，, ∴，, ∴，, ∴， ∵点为矩形对角线的交点， ∴， ； （2）如图，延长交的延长线于点， ∵点为线段的三等分点， ∴，或， 当时， ∵，， ∴，即， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴； 当时， ∵，， ∴，即， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴； ∴或，即或5； ∵矩形中，， ∴， 或， 即或． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）如图2，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，画，且相似比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点D，则射线即为所求； （2）取格点，使得即可 【小问1详解】 解：如图所示，取格点D，则射线即为所求； 可证明四边形是正方形，则平分； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 可证明． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 我们定义：在矩形中，每次沿长边的垂直平分线对折（即保持短边长度不变，长边变为原来的一半），得到一个新矩形，称为一次操作．若新矩形不是正方形，继续操作，直到得到正方形为止，操作的次数称为该矩形的“折叠阶数”． 例如：邻边长为8和2的矩形，第一次对折后为4和2的矩形（非正方形）第二次对折后为2和2的正方形，故折叠阶数为2． （1）阶数计算：矩形邻边长为24和3，其折叠阶数为______； （2）逆推边长：若一个矩形的折叠阶数为4，且最终得到的正方形边长为5，原矩形的长为______； （3）代数关系：设矩形邻边长为和，最终能够折成正方形，若其折叠阶数为，则______（用含和的式子表示）． 【答案】（1）3 （2）80 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“折叠阶数”的定义求解； （2）正方形边长乘以即可； （3）根据题意找出规律列出代数式即可． 【小问1详解】 解：，，， 即矩形邻边长为24和3，其折叠阶数为3； 【小问2详解】 解：原矩形的长为：； 【小问3详解】 解：由题意知，． 18. 某小区安装了高空抛物监控设备，其截面示意图如图所示．已知监控设备顶部距地面高，一名身高1.80m的居民站在地面观察该设备：当他在地面处时，监控设备开始捕捉到他的头顶，此时测得的仰角；当到达地面处时，监控设备停止捕捉到他的头顶，此时测得的仰角．求该居民在地面的有效捕捉区间的长度（额头到地面的距离以身高计算，结果精确到0.1m）．［参考数据：，］ 【答案】该居民在地面的有效捕捉区间的长度约为3.3m 【解析】 【分析】先求出点到居民头顶水平线的垂直高度，再在两个直角三角形中，利用正切函数 分别求出水平距离、，两者的差即为有效捕捉区间的长度． 【详解】解：根据题意知，，， ，， ， ， ． 故该居民在地面的有效捕捉区间的长度约为3.3m． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，，一次函数的图象与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）的面积为24 【解析】 【分析】（1）将代入得，，将和分别代入得，； （2）由所给条件得，，联立和可得它们的交点为或，故，故． 【小问1详解】 解：将代入得，，解得， ∴反比例函数的表达式为； 将和分别代入，得，解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：轴于点，点， ，， 由得或， ∴点A的坐标为， ． 即的面积为24． 20. 如图，在中，，是的外接圆，的延长线与的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由得，又由可得，又是的半径，故是的切线； （2）连接，由所给条件可得，，，设的半径为r，则，，在中，，解得，． 【小问1详解】 证明：， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 又是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 又，， ， 设的半径为r，则，， ， ， ， 解得， ． 六、（本题满分12分） 21. “无偿献血，爱心传递”，某社区在志愿献血活动中，经过检测，献血者血型有“A，B，AB，O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图所示不完整的统计图表． 血型 人数 （1）本次随机抽取献血者人数为______人，图中______； （2）若这次活动中该校有人义务献血，估计大约有______人是型血． （3）现有个自愿献血者，人为型，人为型，人为型，若在人中随机挑选人，利用树状图或列表法求两人血型不含型的概率． 【答案】（1）， （2） （3）两人血型不含型的概率为． 【解析】 【分析】（1）用型的人数除以对应的百分比，即可得本次随机抽取献血者人数，用型人数的占比乘，可得，即可得; （2）用义务献血的总人数乘型人数所占的百分比即可求解； （3）根据题意画树状图，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：（人） ∴本次随机抽取献血者人数为人， ， ∴． 【小问2详解】 解：（人）， ∴估计大约有人是型血． 【小问3详解】 解：画树状图如图所示， 共有种等可能的结果，两人血型均不含型的结果有种， ∴， ∴两人血型不含型的概率为． 七、（本题满分12分） 22. 在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点B、D重合），过点作，交射线于点，连接． （1）如图1，当点与点重合时，求的长； （2）如图2，点在线段的延长线上，连接并延长交射线于点， ①当时，求的长； ②设，，求关于的函数关系式，并直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）由题可得，，，由勾股定理得，由垂直关系推得，从而，故，代入得； （2）①由（1）可得，由，得，，故，代入得，从而； ②，，代入得，，解得，又 ，，即，的取值范围为． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，， ，，， ，， ， ，， ， ， ，即， ； 【小问2详解】 解：①， ， ， ，， ， ， ， ， 又 ， ， ， ； ②，，，， ，解得， 又 ， ， 即，的取值范围为． 八、解答题（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）点是抛物线上位于直线上方的一动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）点是抛物线对称轴上的一点，点是抛物线上的一点，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为，顶点D坐标为 （2）面积的最大值为，此时点P坐标为 （3）存在，点N的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，过P作轴交于E，设，则，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果； （3）分两种情况进行分析：当为平行四边形的边和当为平行四边形的对角线，利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：在抛物线中，令，则， ∴． 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为． 过P作轴交于E，设，则， 则， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，取得最大值，此时P点纵坐标为． 因此面积最大值为， 此时P点坐标为． 【小问3详解】 解：存在， ∵点在抛物线对称轴上， 设，， ∵，，则． 分两种情况讨论：①当为平行四边形的边时， ∵且， ∴与的横坐标差为． 若在左侧，则，得， 代入抛物线得，此时． 若在右侧，则，得， 代入抛物线得，此时． ②当为平行四边形的对角线时， 平行四边形对角线互相平分，中点坐标为，因此中点也为， ∴，解得， 代入抛物线得， 此时． 综上，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽阜阳市临泉县三校+2025-2026学年九年级下学期5月期中联考数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 5的倒数是（ ） A. 5 B. C. D. 2 2. 如图所示的几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 第七次全国人口普查结果显示，我国的总人口已达到人，用科学记数法表示这个数，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 估算的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 6. 一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（氯化钠）的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 如图，矩形的边上有一动点，连接，，以，为边作平行四边形．在点从点移动到点的过程中，平行四边形的面积（ ） A. 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 一直变大 D. 保持不变 9. 二次函数的图象与轴交于，两点，点在二次函数上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，则 B. 当恰好为的中点时，则的面积为 C. 在折叠的过程中，的周长有可能是的2倍 D. 当时，连结，四边形是等腰梯形 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式：______________． 12. 已知，则代数式的值等于______________． 13. 如图，为矩形纸片的边上一点，将纸片沿折叠，使点落在边的中垂线上，，则______________． 14. 如图，已知矩形对角线和相交于点，点是边上一动点，与相交于点，连结． （1）若，则______________； （2）若点为线段的三等分点，则______________． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 如图，在网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）如图2，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，画，且相似比为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 我们定义：在矩形中，每次沿长边的垂直平分线对折（即保持短边长度不变，长边变为原来的一半），得到一个新矩形，称为一次操作．若新矩形不是正方形，继续操作，直到得到正方形为止，操作的次数称为该矩形的“折叠阶数”． 例如：邻边长为8和2的矩形，第一次对折后为4和2的矩形（非正方形）第二次对折后为2和2的正方形，故折叠阶数为2． （1）阶数计算：矩形邻边长为24和3，其折叠阶数为______； （2）逆推边长：若一个矩形的折叠阶数为4，且最终得到的正方形边长为5，原矩形的长为______； （3）代数关系：设矩形邻边长为和，最终能够折成正方形，若其折叠阶数为，则______（用含和的式子表示）． 18. 某小区安装了高空抛物监控设备，其截面示意图如图所示．已知监控设备顶部距地面高，一名身高1.80m的居民站在地面观察该设备：当他在地面处时，监控设备开始捕捉到他的头顶，此时测得的仰角；当到达地面处时，监控设备停止捕捉到他的头顶，此时测得的仰角．求该居民在地面的有效捕捉区间的长度（额头到地面的距离以身高计算，结果精确到0.1m）．［参考数据：，］ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，，一次函数的图象与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． 20. 如图，在中，，是的外接圆，的延长线与的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. “无偿献血，爱心传递”，某社区在志愿献血活动中，经过检测，献血者血型有“A，B，AB，O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图所示不完整的统计图表． 血型 人数 （1）本次随机抽取献血者人数为______人，图中______； （2）若这次活动中该校有人义务献血，估计大约有______人是型血． （3）现有个自愿献血者，人为型，人为型，人为型，若在人中随机挑选人，利用树状图或列表法求两人血型不含型的概率． 七、（本题满分12分） 22. 在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点B、D重合），过点作，交射线于点，连接． （1）如图1，当点与点重合时，求的长； （2）如图2，点在线段的延长线上，连接并延长交射线于点， ①当时，求的长； ②设，，求关于的函数关系式，并直接写出的取值范围． 八、解答题（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）点是抛物线上位于直线上方的一动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）点是抛物线对称轴上的一点，点是抛物线上的一点，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $