2025-2026学年浙教版数学八年级下册期末复习专题：矩形的专题复习

**基本信息** 聚焦矩形核心性质，通过最值、折叠、对角线、动态四大模块分层训练，体现从性质应用到复杂变换的逻辑进阶，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形中的最值问题|2题|动点垂线段、直角顶点旋转|基于矩形直角性质，结合垂线段最短与勾股定理| |矩形中的折叠问题|19题|单/多次折叠，顶点落边上/折痕，角度/边长/面积计算|利用折叠全等转化，强化空间观念与方程思想| |矩形对角线的性质|4题|中点、中位线、周长关系|直接应用对角线相等且平分的核心性质| |矩形中的动态问题|3题|动点运动、旋转、平行四边形判定|综合矩形性质与动态几何，发展推理意识|

同类型题型 2025学年八年级第二学期期末复习专题： 矩形的专题复习 【知识点】矩形中的最值问题 1.如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为　2.4　． 【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【解答】解：如图，连接CD． ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝5， ∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短，可得当CD⊥AB时，CD最短，即线段EF的值最小， 此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD， 即×4×3＝×5•CD， 解得CD＝2.4， ∴线段EF长的最小值为2.4． 故答案为：2.4 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF于点H，连接AH．在转动的过程中，AH的最小值为　2﹣2　． 【分析】取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG，依据∠ADB＝30°，可得PG＝DG＝1，依据∠DHO＝90°，可得点H在以OD为直径的⊙G上，再根据 AH+HG≥AG，即可得到当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，根据勾股定理求得AG的长，即可得出AH的最小值． 【解答】解：如图，取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG， ∵AB＝4，BC＝4＝AD， ∴BD＝＝8， ∴BD＝2AB，DO＝4，HG＝2， ∴∠ADB＝30°， ∴PG＝DG＝1， ∴PD＝，AP＝3， ∵DH⊥OF， ∴∠DHO＝90°， ∴点H在以OD为直径的⊙G上， ∵AH+HG≥AG， ∴当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短， 此时，Rt△APG中，AG＝＝2， ∴AH＝AG﹣HG＝2﹣2， 即AH的最小值为2﹣2． 故答案为：2﹣2． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理的综合运用，解决问题的关键是根据∠DHO＝90°，得出点H在以OD为直径的⊙G上． 【知识点】矩形中的折叠问题 1.数学兴趣小组开展以下折纸活动： （1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN． 观察，探究可以得到∠ABM的度数是（　　） A．25° B．30° C．36° D．45° 【解答】B 2.矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上的F点．则AE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得CF＝DC＝10，DE＝EF，由勾股定理可求BF的长，即可得AF＝4，由勾股定理可求AE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝8，∠A＝∠D＝∠B＝90°， ∵折叠 ∴CD＝CF＝10，EF＝DE， 在Rt△BCF中，BF＝＝6 ∴AF＝AB﹣BF＝10﹣6＝4， 在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2， ∴AE2+16＝（8﹣AE）2， ∴AE＝3 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是本题的关键． 3.在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD＝6，CD＝10，则＝（　　） A． B． C． D． 【分析】利用翻折不变性可得AE＝AB＝10，推出DE＝8，EC＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中，x2＝22+（6﹣x）2，可得x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，可得y＝3，由此即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6， 由翻折不变性可知：AB＝AE＝10，AD＝AG＝6，BF＝EF，DH＝HG， ∴EG＝4， 在Rt△ADER中，DE＝＝＝8， ∴EC＝10﹣8＝2， 设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中有：x2＝22+（6﹣x）2， ∴x＝， 设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2， ∴y＝3， ∴EH＝5， ∴＝＝， 故选：A． 【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 4.如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为（　　） A．α+3β＝180° B．β﹣α＝20° C．α+β＝80° D．3β﹣2α＝90° 【分析】如图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O．由△ADM≌△BCM（SAS），推出∠DAM＝∠CBM，由△BME是由△MBC翻折得到，推出∠CBM＝∠EBM＝（90°﹣β），由∠DAM＝∠MBE，∠AON＝∠BOM，推出∠OMB＝∠ANB＝90°﹣β，在△MBE中，根据∠EMB+∠EBM＝90°，构建关系式即可解决问题． 【解答】解：如图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC， ∵DM＝MC， ∴△ADM≌△BCM（SAS）， ∴∠DAM＝∠CBM， ∵△BME是由△MBC翻折得到， ∴∠CBM＝∠EBM＝（90°﹣β）， ∵∠DAM＝∠MBE，∠AON＝∠BOM， ∴∠OMB＝∠ANB＝90°﹣β， 在△MBE中，∵∠EMB+∠EBM＝90°， ∴α+（90°﹣β）+（90°﹣β）＝90°， 整理得：3β﹣2α＝90°， 故选：D． 【点评】本题考查翻折变换，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 5.如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，使得顶点D落在边BC上的点F处（折痕为AE）．已知该纸片AB为8cm，BC为10cm，则EC的长度为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cn 【分析】由四边形ABCD是矩形，可得BC＝AD＝10cm，∠B＝∠C＝∠D＝90°，又由由折叠的性质可得：AF＝AD＝10cm，∠AFE＝∠D＝90°，利用勾股定理即可求得BF的长，继而可得FC的长，然后设EC长度为x，EF长度为10-x，利用勾股定理，即可求得EC的长度． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝10cm，∠B＝∠C＝∠D＝90°， 由折叠的性质可得：AF＝AD＝10cm，∠AFE＝∠D＝90°， ∴BF＝＝6（cm），∠BAF+∠AFB＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°， ∴∠BAF＝∠EFC，FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm）， ∴EC＝3cm 故选：D． 【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用． 6.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB＝6，BC＝4，则FD的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE＝DE＝EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝GF；设FD＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解． 【解答】解：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE， ∴AE＝EG，AB＝BG， ∴ED＝EG， ∵在矩形ABCD中， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠EGF＝90°， ∵在Rt△EDF和Rt△EGF中， ， ∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL）， ∴DF＝FG， 设DF＝x，则BF＝6+x，CF＝6﹣x， 在Rt△BCF中，（4）2+（6﹣x）2＝（6+x）2， 解得x＝4． 故选：B． 7.如图，把矩形ABCD对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠得到△AEF，若矩形的宽CD＝4，△AEF的面积（　　） A． B． C． D． 选：A． 8.如图，在一张长方形纸片ABCD中，AB＜AD，点E、F分别是AB和CD的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，使点B落在线段EF上的点G处，折痕AK交EF于H，则下列说法正确的个数有（　　） ①∠DAG＝30°；②△GHK是正三角形；③GH＝2EH；④FG＝EH． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据折叠的性质得到AG＝AB，∠BAK＝∠GAK，∠AGK＝∠B＝90°，则点E、F分别是AB和CD的中点，AE＝AB＝AE，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠AGE＝30°，则∠DAG＝30°；再计算∠GAB＝90°﹣∠DAG＝60°，则∠BAK＝∠GAK＝30°，于是可得到∠GHK＝∠GAH+∠AGH＝30°+30°＝60°，∠HGK＝90°﹣∠AGH＝90°﹣30°＝60°，可判断 △GHK为正三角形；在Rt△AEH中得到AH＝2EH，则HA＝HG＝2EH；在Rt△AEH中，∠HAE＝30°，则AE＝EH，而AE与FG的大小不能确定，则可判断④错误． 【解答】解：∵△ABK沿AK折叠后与△AGK重合， ∴AG＝AB，∠BAK＝∠GAK，∠AGK＝∠B＝90°， ∵点E、F分别是AB和CD的中点， ∴AE＝AB， 在Rt△AGE中，AE＝AG，则∠AGE＝30°， ∴∠DAG＝30°，所以①正确； ∵∠GAB＝90°﹣∠DAG＝60°， ∴∠BAK＝∠GAK＝30°， ∴∠GHK＝∠GAH+∠AGH＝30°+30°＝60°， ∵∠HGK＝90°﹣∠AGH＝90°﹣30°＝60°， ∴△GHK为正三角形；所以②正确； 在Rt△AEH中，∠HAE＝30°， ∴AH＝2EH， ∵∠AGH＝30°，∠GAH＝30°， ∴HA＝HG， ∴HG＝2EH，所以③正确； 在Rt△AEH中，∠HAE＝30°， ∴AE＝EH， 而AB＜AD，AE＝AB ∴AE与FG的大小不能确定，所以④错误． 故选：C． 【点评】本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了等边三角形的判定以及含30°的直角三角形三边的关系． 9.如图，已知矩形纸片，，，将B点折到的中点E，则的长度为______，折痕的长度为_____． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、折叠性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，过M作于H，延长、交于点P，则四边形是矩形，根据矩形性质和折叠性质以及勾股定理得到,,再证明得到，进而得到，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解答的关键． 【详解】解：过M作于H，延长、交于点P，则， ∵四边形是矩形，， ∴，，, ∴四边形是矩形，, ∴，, 由折叠性质得，, ∴，则, ∵E为的中点， ∴，又， ∴在中，由得， ∴， ∵，，， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4，． 10.如图，矩形中，，．点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为____． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，过作，交于点,于点,作交于点,先利用勾股定理求出的长，然后分两种情况利用勾股定理解题即可． 【详解】解：连接，过作，交于点,于点,作交于点,则是直角三角形， ∵四边形 是矩形，点的对应点落在的角平分线上， ，， ∴四边形是矩形， ， ， 则四边形是正方形. 设 ， ， ， 又 ， 在中，根据勾股定理，得即， 解得或, 或. 设,当时，， 根据勾股定理，得，即 解得； 同理，当时, 根据勾股定理，得 解得 综上，或 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，矩形的判定与性质，正方向的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 11.如图所示，把一张长方形纸片沿折叠，得到线段，折痕与相交于点M，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，三角形外角性质，根据四边形是长方形，得出，由，得出，根据折叠的性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解．解题的关键是掌握折叠的性质． 【详解】解：四边形是长方形，， ， ， ， 由折叠可得：， ， 故答案为：． 12.如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是　　． 【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC，根据平行线的性质和折叠的性质可得∠EAC＝∠ACE＝∠ACB，即AE＝EC，根据勾股定理可求AE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC， ∴∠EAC＝∠ACB， ∵折叠， ∴∠ACE＝∠ACB， ∴∠EAC＝∠ACE， ∴AE＝CE， 在Rt△DEC中，CE2＝DE2+CD2， AE2＝（4﹣AE）2+4， ∴AE＝ 故答案为： 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质的运用，平行线的性质的运用，等腰三角形的判定的运用，解答时灵活运用折叠的性质求解是关键． 13.如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式进行折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积是　10　． 【分析】根据折叠的性质得到∠1＝∠2，而∠1＝∠3，易得ED＝EB，然后根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠， ∴∠1＝∠2， 而∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴ED＝EB， 又∵AE＝3，AB＝4，BE＝5， ∴DE＝5， ∴重叠部分△BDE的面积＝DE×AB＝×5×4＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了折叠的性质以及三角形的面积公式．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等． 14.如图，在长方形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB＝2，BC＝4，将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处．设DE与BC相交于点F． （1）判断△BDF的形状，并说明理由； （2）求△BDF的面积． 【分析】（1）利用翻折变换的性质及矩形的性质证明BF＝DF即可解决问题． （2）利用勾股定理列出关于线段BF的方程即可解决问题． 【解答】解：（1）△BDF为等腰三角形．理由： 由折叠可得∠ADB＝∠FDB， 又∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBF， ∴∠FDB＝∠DBF， ∴BF＝DF， ∴△BDF为等腰三角形． （2）由（1）知：DC＝AB＝2， 设BF＝DF＝x，则CF＝4﹣x； 由勾股定理得：x2＝（4﹣x）2+22， 解得：x＝，即DF的长为． ∴△BDF的面积为：××2＝． 【点评】本题主要考查了折叠的性质．解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 15.如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处． （1）求证：B′E＝BF； （2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的满足何种等量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到B′F＝B′E，进而得出B′E＝BF． （2）连结BE，则BE＝B′E，依据∠A＝90°，可得AE2+AB2＝BE2，进而得出a2+b2＝c2． 【解答】解：（1）由题意得B′F＝BF，∠B′FE＝∠BFE， 在长方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠B′EF＝∠BFE， ∴∠B′FE＝∠B′EF． ∴B′F＝B′E， ∴B′E＝BF． （2）a，b，c三者存在的关系是a2+b2＝c2． 证明：连结BE，则BE＝B′E， 由（1）知B′E＝BF＝c， ∵∠A＝90°， ∴AE2+AB2＝BE2， ∵AE＝a，AB＝b， ∴a2+b2＝c2． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 16.在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，求折痕GH的长． 【分析】过点G作GE⊥BC于E，根据轴对称的性质就可以得出BH＝DH，由勾股定理就可以得出GH的值． 【解答】解：如图，∵四边形DFGH与四边形BAGH关于GH对称， ∴四边形DFGH≌四边形BAGH， ∴DH＝BH，FD＝BA，FG＝AG，∠GHB＝∠GHD．∠F＝∠A ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DGH＝∠GHB， ∴∠DGH＝∠GHD， ∴GD＝HD． ∴GD＝DH＝BH． ∵AB＝6，BC＝8， ∴DF＝CD＝6，AD＝8． 设BH＝x，则HC＝8﹣x，由勾股定理，得 x2＝（8﹣x）2+36， 解得：x＝． ∴GD＝HD＝， ∴AG＝， ∴EH＝． 在Rt△GEH中，由勾股定理，得 GH＝＝7.5． 答：GH＝7.5． 【点评】本题考查了矩形的性质的运用，轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键． 17.如图，在长方形ABCD（AB＜AD）中，将△ABE沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为F．同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为H． （1）如图1，证明：AF∥HG； （2）如果点C的对应点H恰好落在边AD上，如图2．证明：AH＝EC． 【分析】（1）根据折叠的性质可知∠AFE＝∠H，则由平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”证得结论； （2）根据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到AH＝EH，EC＝EH，等量代换即可得到AH＝EC． 【解答】证明：（1）由折叠可得：∠AFE＝∠B＝90°，∠H＝∠BCD＝90°， ∴∠AFH＝∠AFE＝∠H， ∴AF∥HG； （2）如图（2），连接CH． ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE． ∵∠AEB＝∠AEH， ∴∠DAE＝∠AEH， ∴AH＝EH． 由折叠可得，EC＝EH， ∴AH＝EC． 【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 18.如图1，在矩形ABCD中，点P是BC上的点，△ABP沿AP折叠B点的对应点是M点，延长PM交直线AD于点E． （1）求证：EA＝EP； （2）Q是AD上的点，QD＝BP；△CDQ沿CQ折叠D点的对应点是N点，且P、M、N、Q在同一直线上． ①如图2，若M、N互相重合，求的值； ②若AB＝4，MN＝4，求BP的长．（自己画草图） 【解答】（1）证明：∵△ABP沿AP折叠B点的对应点是M点， ∴∠APB＝∠APM， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠APB＝∠EAP， ∴∠APM＝∠EAP， ∴EA＝EP； （2）解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵DQ＝BP， ∴AQ＝CP， ∴四边形APCQ为平行四边形， ∵折叠， ∴∠ABP＝∠AMP＝90°， ∴AC⊥PQ， ∴四边形APCQ为菱形， ∴∠PAM＝∠QAM， ∵∠BAP＝∠PAM， ∴3∠BAP＝90°， ∴∠BAP＝30°， 设BP＝x，则AB＝x，AP＝PC＝2x， ∴BC＝BP+PC＝3x， ∴AD＝3x， ∴； ②如图，若MN＝4，N在M在上方，设BP＝DQ＝a， ∴PM＝NQ＝a， ∴PQ＝2a+4， ∴AD＝3a+4， 过点Q作QH⊥BC于点H，则四边形QHCD为矩形， ∴QH＝DC＝4，QD＝HC＝a， ∴PH＝BC﹣BP﹣CH＝a+4， ∵PQ2＝PH2+HQ2， ∴（2a+4）2＝（a+4）2+42， ∴a＝，a＝﹣4（舍）， ∴BP＝； 如图，设BP＝a， 同理可得（a﹣4）2+42＝（2a﹣4）2， ∴a＝4，a＝﹣（舍）， ∴BP＝4， 综上所述，BP的长为或4． 19（1）如图①，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，已知．求的度数． （2）如图②，将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处．已知，，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理等知识，会利用勾股定理列方程求解是解题的关键． （1）利用矩形内角是直角求出，再利用平行线和折叠的性质求出，最后利用三角形的外角的性质求解即可； （2）先利用矩形的性质，折叠的性质和勾股定理求出，继而求出，设，则，从而利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形沿对角线折叠， ∴， ∴； （2）∵四边形为矩形， ∴，， ∵将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【知识点】矩形对角线的性质 1.如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位线的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．利用中位线求出，利用矩形性质求出，，利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别为AO、AD的中点，若EF＝4，AB＝8，则∠ACB的度数为（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD，∠BCD＝90°， ∴AO＝OB＝OC＝OD， ∵E、F分别为AO、AD的中点， ∴OD＝2EF＝8， ∴OD＝OC＝8＝CD， ∴△COD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴∠ACB＝30°， 故选：A． 3.如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为点，若知道与的周长和，则一定能求出（　　） A. 的周长 B. 的周长 C. 的周长 D. 四边形APFH的周长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 过点作于，连接，证出四边形为矩形，得出，证明，由全等三角形的性质得出，证明，则可得出答案． 【详解】 解：过点作于，连接， ，， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 同理， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 与的周长和 知道与的周长和，一定能求出的周长． 故选：B． 4.如图，矩形的两条对角线相交于点O，已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 由矩形，可得，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， 故答案为：． 【知识点】矩形中的动态问题 1.如图，在矩形中，，．点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．连接，当时间是1秒时，的长度是（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，含的直角三角形的性质，作，根据题意得，，进而可得，，，根据题意知，得，即可得．解题关键是勾股定理的正确应用． 【详解】解：作，由矩形中，，， 则，， 则，，， 由题意知，，则， 得． 故选：C． 2.在矩形中，，O为中点，平分，E、F分别在边、上，连结，且经过点O． （1）如图1，求证四边形为菱形，并求长； （2）如图2，动点P、O分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请画出符合题意的图形，并求a与b满足的数量关系式． 【答案】（1）证明见解析；AF=5cm （2）①；②图形见解析；a+b=12 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△AOE≌△COF，得OE= OF，可知四边形AFCE是平行四边形，再说明AF=CF即可证明是菱形，设菱形的边长AF= CF= xcm，则BF= (8- x)cm，在Rt△ABF中，利用勾股定理得：42 + (8-x)2=x2， 解方程即可； （2）①通过判断可知因此只有当点PBF上，Q点在ED上，才能构成平行四边形，根据QA= PC，从而得出答案； ②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，分三种情况分别画出图形，从而解决问题． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥ BC， ∴∠CAD= ∠ACB，∠AEF= ∠CFE， ∵O为AC中点， ∴OA = OC， ∴△AOE≌△COF (AAS)， ∴OЕ = OF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC平分∠EАF， ∴∠CАD=∠CАF， ∵∠CAD= ∠ACB， ∴∠CАF =∠ACB， ∴AF=CF， ∴四边形AFCE为菱形； 设菱形的边长AF= CF = xcm，则BF=(8- x)сm， 在Rt△ABF中，由勾股定理得42 + (8-x)2=x2 解得x =5， ∴AF= 5； 【小问2详解】 解：①∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，AF=5，CD=4 ∴当点P在AF上时，Q点在CD上，此时A，C， P，Q四点不可能构成平行四边形， 同理，P点在AB上时，Q点在DE或CE上也不能构成平行四边形， 因此只有当点P在BF上，Q点在ED上，才能构成平行四边形， ∴以A，C，P，Q的四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC= QA， ∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒， ∴PC = 5tcm，QA=CD+AD-4t=12-4t， 即QA=12-4t， ∴5t=12-4t， 解得， ∴当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为； ②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，分三种情况： Ⅰ：如图， 当P点在AF上，Q点在CE上，AP= CQ，即a= 12- b， ∴a+b= 12； Ⅱ：如图， 当P点在BF上，Q点在DE上时，AQ = CP，即12- b= a， ∴a+b= 12； Ⅲ：如图， 当P点在AB上，Q点在CD上时，AP = CQ，即12-a=b， ∴a+b= 12； 综上，a与b满足的数量关系为a+b= 12(ab≠0)． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，化动为静，运用分类讨论思想是解题的关键． 3.如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连结BG交CE于点H，连结BE. （1）求证：BE平分∠AEC； （2）取BC中点P，连结PH，求证：PH∥CG； （3）若，求BG的长． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到CB=CE，求得∠EBC=∠BEC，根据平行线的性质得到∠EBC=∠BEA，于是得到结论； （2）过点B作CE的垂线BQ，根据角平分线的性质得到AB=BQ，求得CG=BQ，根据全等三角形的性质得到BH=GH，根据三角形的中位线定理即可得到结论； （3）过点G作BC的垂线GM，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）∵矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG ∴ ∴∠EBC∠BEC 又∵AD∥BC ∴∠EBC∠BEA ∴∠BEA∠BEC ∴BE平分∠AEC （2）过点B作CE的垂线BQ ∵BE平分∠AEC，BA⊥AE，BQ⊥CE ∴ ∴ 易证 ∴ 即点H是BG中点 又∵点P是BC中点 ∴PH∥CG （3）过点G作BC的垂线GM ∵ ∴ ∴∠BCQ ∵∠ECG ∴∠GCM ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，解题的关键是正确的作出辅助线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $同类型题型 2025学年八年级第二学期期末复习专题： 矩形的专题复习 【知识点】矩形中的最值问题 1.如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为　　． 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF于点H，连接AH．在转动的过程中，AH的最小值为　 　． 【知识点】矩形中的折叠问题 1.数学兴趣小组开展以下折纸活动： （1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN． 观察，探究可以得到∠ABM的度数是（　　） A．25° B．30° C．36° D．45° 2.矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上的F点．则AE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3.在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD＝6，CD＝10，则＝（　　） A． B． C． D． 4.如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为（　　） A．α+3β＝180° B．β﹣α＝20° C．α+β＝80° D．3β﹣2α＝90° 5.如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，使得顶点D落在边BC上的点F处（折痕为AE）．已知该纸片AB为8cm，BC为10cm，则EC的长度为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cn 6.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB＝6，BC＝4，则FD的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 7.如图，把矩形ABCD对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠得到△AEF，若矩形的宽CD＝4，△AEF的面积（　　） A． B． C． D． 8.如图，在一张长方形纸片ABCD中，AB＜AD，点E、F分别是AB和CD的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，使点B落在线段EF上的点G处，折痕AK交EF于H，则下列说法正确的个数有（　　） ①∠DAG＝30°；②△GHK是正三角形；③GH＝2EH；④FG＝EH． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9.如图，已知矩形纸片，，，将B点折到的中点E，则的长度为______，折痕的长度为_____． 10.如图，矩形中，，．点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为____． 11.如图所示，把一张长方形纸片沿折叠，得到线段，折痕与相交于点M，若，，则________． 12.如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是　 　． 13.如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式进行折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积是　 　． 14.如图，在长方形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB＝2，BC＝4，将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处．设DE与BC相交于点F． （1）判断△BDF的形状，并说明理由； （2）求△BDF的面积． 15.如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处． （1）求证：B′E＝BF； （2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的满足何种等量关系，并证明你的结论． 16.在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，求折痕GH的长． 17.如图，在长方形ABCD（AB＜AD）中，将△ABE沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为F．同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为H． （1）如图1，证明：AF∥HG； （2）如果点C的对应点H恰好落在边AD上，如图2．证明：AH＝EC． 18.如图1，在矩形ABCD中，点P是BC上的点，△ABP沿AP折叠B点的对应点是M点，延长PM交直线AD于点E． （1）求证：EA＝EP； （2）Q是AD上的点，QD＝BP；△CDQ沿CQ折叠D点的对应点是N点，且P、M、N、Q在同一直线上． ①如图2，若M、N互相重合，求的值； ②若AB＝4，MN＝4，求BP的长．（自己画草图） 19（1）如图①，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，已知．求的度数． （2）如图②，将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处．已知，，求线段的长． 【知识点】矩形对角线的性质 1.如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别为AO、AD的中点，若EF＝4，AB＝8，则∠ACB的度数为（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 3.如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为点，若知道与的周长和，则一定能求出（　　） A. 的周长 B. 的周长 C. 的周长 D. 四边形APFH的周长 4.如图，矩形的两条对角线相交于点O，已知，，则______． 【知识点】矩形中的动态问题 1.如图，在矩形中，，．点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．连接，当时间是1秒时，的长度是（ ） A. B. 6 C. D. 4 2.在矩形中，，O为中点，平分，E、F分别在边、上，连结，且经过点O． （1）如图1，求证四边形为菱形，并求长； （2）如图2，动点P、O分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请画出符合题意的图形，并求a与b满足的数量关系式． 3.如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连结BG交CE于点H，连结BE. （1）求证：BE平分∠AEC； （2）取BC中点P，连结PH，求证：PH∥CG； （3）若，求BG的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $