专题02 期末复习易错题45个考点（举一反三期末专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦期末高频易错点，按代数、统计、几何模块系统梳理45个核心考点，题型多样，注重概念辨析与实际应用，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|7考点|选择/填空/解答|定义-有意义条件-性质化简-运算-应用递进| |一元二次方程|10考点|概念辨析/解法/应用|定义-一般形式-解法（配方法/公式法/因式分解法）-根与系数关系-实际应用| |数据统计|8考点|计算/图表分析|算术平均数-加权平均数-众数-方差-中位数-四分位数逻辑链| |多边形与四边形|20考点|性质证明/判定应用|多边形内角和-平行四边形性质与判定-特殊四边形（菱形/矩形/正方形）性质判定|

专题02 期末复习易错题45个考点 【新教材浙教版】 【考点1 二次根式的定义】 2 【考点2 二次根式有意义的条件】 3 【考点3 二次根式的性质与化简】 4 【考点4 最简二次根式】 6 【考点5 二次根式的运算】 7 【考点6 二次根式的大小比较】 9 【考点7 二次根式的应用】 11 【考点8 一元二次方程的定义】 13 【考点9 一元二次方程的一般形式】 15 【考点10 一元二次方程的解】 17 【考点11 解一元二次方程—配方法】 19 【考点12 根的判别式】 22 【考点13 解一元二次方程—公式法】 24 【考点14 解一元二次方程—因式分解法】 27 【考点15 根与系数的关系】 29 【考点16 由实际问题抽象出一元二次方程】 32 【考点17 一元二次方程的应用】 35 【考点18 算术平均数】 39 【考点19 加权平均数】 40 【考点20 众数】 42 【考点21 方差】 44 【考点22 中位数】 46 【考点23 四分位数与箱线图】 48 【考点24 离差平方和】 51 【考点25 数据的分组】 54 【考点26 多边形的对角线】 59 【考点27 多边形的内角与外角】 61 【考点28 平行四边形的性质】 65 【考点29 图形的旋转】 68 【考点30 中心对称和中心对称图形】 74 【考点31 图案设计】 78 【考点32 平行四边形的判定】 81 【考点33 平行四边形的判定与性质】 87 【考点34 三角形的中位线】 91 【考点35 反证法】 96 【考点36 菱形的性质】 97 【考点37 菱形的判定】 99 【考点38 菱形的判定与性质】 103 【考点39 直角三角形斜边上的中线】 107 【考点40 矩形的性质】 109 【考点41 矩形的判定】 112 【考点42 矩形的判定与性质】 115 【考点43 正方形的性质】 119 【考点44 正方形的判定】 122 【考点45 正方形的判定与性质】 126 【考点1 二次根式的定义】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，若被开方数为负数，则不属于二次根式，据此依次判断即可. 【详解】解：选项A：，被开方数，不符合题意； 选项B：，无论取何值，，故， 不符合题意； 选项C：，被开方数为（，故），符合题意； 选项D：，被开方数， 不符合题意. 故选：C. 2．当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可. 【详解】将代入二次根式可得： ， 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键. 3．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 4．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【考点2 二次根式有意义的条件】 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足， 解得， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知、都是实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件，可求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件列出不等式组，然后解不等式组即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 故选：C． 4．已知实数满足，求的值是多少？ 【答案】2009 【分析】根据二次根式有意义的条件求出a取值范围，再将等式边形即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴a-2009≥0，即a≥2009， ∴2008-a≤-1＜0， ∴a-2008+=a，解得=2008， 等式两边平方，整理得a-20082=2009． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 【考点3 二次根式的性质与化简】 1．（25-26八年级上·全国·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值． 根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：， 根据二次根式性质 ， 即或； ， 根据二次根式性质 ； 当时，； 当时，． 的值为1或11，此结果对应选项． 故选：C． 3．把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，先根据二次根式的意义确定a的符号，再化简求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ = ． 故选：D． 4．已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据，判断出，将化简再进行加减运算，最后将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 当，，原式， 故答案为：8． 【考点4 最简二次根式】 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，不含分母，进行判断即可． 【详解】解：A、 ，可化简，不是最简二次根式； B、 ，可化简，不是最简二次根式； C、，5和x均无平方因子，不可化简，是最简二次根式； D、 ，可化简，不是最简二次根式． 故选：C． 2．若最简二次根式和能合并，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴被开方数相同，即， 解得：， 当时，，是最简二次根式，且被开方数与相同，故能合并． 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 【答案】0或1或3或4或5或7或9 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：∵都是最简二次根式，而，，， ∴均不是最简二次根式， 故答案为：0或1或3或4或5或7或9． 4．若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是 ． 【答案】2 【分析】让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【考点5 二次根式的运算】 1．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法、同类二次根式的概念是解题的关键．依次对每个选项依据二次根式的运算规则进行分析判断． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误． 与不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项正确． 故选：D． 3．已知，，则（　　） A． B． C．2 D．－2 【答案】B 【分析】根据二次根式的加法、乘法及分式的运算可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算及分式的运算，熟练掌握二次根式及分式的运算是解题的关键． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的除法、乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【考点6 二次根式的大小比较】 1．若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 【答案】a＜b＜c 【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可． 【详解】解：∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4004=2000+2×1002， 1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004． ∴a＜b＜c． 故答案为：a＜b＜c. 【点睛】这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式． 2．（25-26八年级上·上海长宁·月考）比较大小： （请填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键． 将两数分别平方后，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键． 通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小． 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 4．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解： ， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 【考点7 二次根式的应用】 1．一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．根据正方形和矩形的面积公式可得到结论． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， 剩余木板的面积为：； 故答案为：18． 2．（24-25八年级下·广西钦州·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．将代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得：当时，， 即从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为， 故选：A． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的应用．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，且的三边长分别为，，， ，，， ∴的面积为： ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）代入和到，即可求解； （2）根据题意，分别求出广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径，两者相比即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， 答：广州塔发射节目信号的传播半径为； （2）解：∵广州塔的高度是，另一座塔高为， ∴广州塔发射节目信号的传播半径为，另外一塔发射节目信号的传播半径为， ∴广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为， 答：广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为． 【考点8 一元二次方程的定义】 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据一元二次方程的定义，对四个方程逐一分析，再作出判断． 【详解】解：，当时，不是关于x的一元二次方程，故A不符合； 中含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故B不符合； 是关于x的一元二次方程，故C符合； 中分母含有字母，不是关于x的一元二次方程，故D不符合， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据二次项的系数不等于解答即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴则二次项系数， 解得． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）若是关于x的一元二次方程，则（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为零，据此即可求解； 【详解】解：由题意得： 且 ； 解 得 ，即 ； 当 时，，二次项系数为零，不符合要求； 当 时，，符合要求； 故选：B 4．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有 （填序号）． 【答案】①⑥ 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式是（， ，为常数，且），根据定义逐一判断即可． 【详解】解：①（m为常数）是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑤（m为常数），当时，不是一元二次方程， ⑥是一元二次方程， 故答案为：①⑥． 【考点9 一元二次方程的一般形式】 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程化成一般形式是 ；一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般形式． 先将方程右边的括号展开，然后移项使方程右边为0，合并同类项化为一般形式，再根据一般形式识别一次项系数． 【详解】解： ． ， ． 可知一次项系数为． 故答案为：，． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将原方程展开并整理成一般形式 ，通过比较系数确定 和 的值． 【详解】解： 原方程为 ， 化为一般式可得：， 与一般形式 对比， 可得：，， 故选：B． 4．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，根据方程的常数项为0列出方程求解，并验证一元二次方程二次项系数不为0的条件． 【详解】解：∵的常数项为0， ∴，即， ∴或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数． 当时，，不符合一元二次方程定义； 当时，，符合题意． ∴． 故选：B． 【考点10 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解；将已知根代入方程，直接求解参数即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴． 因此，a的值为． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·北京·月考）关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键． 把代入一元二次方程中，得到关于k的一元二次方程，解此方程即可求得k的值，再根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，二者结合即可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程 的一个根 ∴把代入方程中得：， 即 解得：， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根及配方法求代数式的最小值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据“和美方程”的定义，将代入方程得到与的关系式，再代入所求表达式，通过配方法求最小值． 【详解】方程是“和美方程”， 是它的一个根， 将代入方程得：， 即， ， 配方得：， 由于， 当时，取得最小值， 故答案为：． 【考点11 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）用配方法解方程，方程可变形为，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，配方时，先取一次项系数的一半的平方，即，然后两边同时加上4，得，即，与形式对比，从而确定的值． 【详解】原方程移项得：， 左右两边同时加上4，得， 即， 与形式对比，得， 故答案为9． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．直接开平方法适用于形如 (其中 为常数)的方程，可直接取平方根求解．选项A符合此形式，其他选项需先配方或因式分解，不能直接使用开平方法． 【详解】解：∵直接开平方法要求方程为 的形式，选项A：，符合条件，可直接开平方求解； 选项B：，需配方，且判别式为负，无法直接开平方； 选项C：，需因式分解，非直接开平方形式； 选项D：，需配方成 后才能开平方，非直接可用． ∴ 只有选项A可用直接开平方法求解． 故选：A． 3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，由于平方数具有非负性，当为负数时，方程无实数解，熟练掌握平方数具有非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵对于所有实数，， ∴当时，方程没有实数解， 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式及叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数，即 ∴ 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2． (1)仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并写出相应的x的值； (2)实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，．如果设矩形的一边， ①请问矩形的面积能否达到？为什么，请说明理由； ②求出当x取何值时，矩形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)最大值为59，相应的x的值为 (2)①不能，理由见解析；②当时，矩形面积最大值为 【分析】（1）将代数式化为，即可求解； （2）①证明为等腰直角三角形，则，得，由即可判定；② ，再根据（1）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵是非负数， ∴， ∴， 则代数式的最大值为59，这时相应的x的值为； （2）解：①∵为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当矩形的面积达到时，， 整理得：， ， ∴方程没有实数根， ∴矩形的面积不能达到． ② ， ∵是非负数， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大值为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法确定最值，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，是解题的关键． 【考点12 根的判别式】 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1) 且 (2)的值为2，方程的另一个根为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． (1)由于方程有实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零； (2)将根代入方程可求，再通过因式分解求另一个根． 【详解】（1）解：∵方程为一元二次方程且有实数根， ∴，即， 且判别式， 即， ， ， ， 故且； （2）解：将代入方程得， 即， ， ， 此时方程为，即， 因式分解得， 或， 解得：， ∴另一个根为． 综上所述：的值为2，方程的另一个根为． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，请写出一个符合条件的的值： ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴当取3时，方程有两个相等的实数根． 故答案为：3（答案不唯一）． 3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）关于的一元二次方程中，实数、、满足，则（    ） A．此方程有两个相等的实数根 B．此方程有两个不相等的实数根 C．此方程有两个实数根 D．此方程无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式． 通过给定条件代入判别式，化简得，因此方程总有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 代入判别式：， ∴方程总有实数根， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别式等知识，根据新运算定义，将方程转化为一元二次方程，利用根的判别式求参数范围即可． 【详解】解：由新运算定义，，得， 故方程化为， 由于该方程有两个实数根， ∴判别式， 解得． 故答案为：． 【考点13 解一元二次方程—公式法】 1．关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据解一元二次方程的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵方程 可移项得， ∴ 因式分解得， ∴ 或， ∴ ， ； 甲解法两边除以，漏掉了的情况，原计算错误； 乙解法整理后方程应为，，原计算错误； 丙解法配方应为 即 ，原计算错误； 丁解法正确． 故选D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1） ； （2）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，解一元一次不等式，配方法，解题的关键是正确理解定义以及熟练运用一元二次方程的解法． （1）通过比较二次函数与常数2的大小关系，利用配方法求得，从而根据定义得出结果； （2）根据与的大小关系分类讨论，分别解方程并验证解的取值范围是否符合条件． 【详解】解：（1）对于 ，需比较与2的大小， 配方法： ， 因此恒有， ∵当 时，， ∴， 故答案为：； （2）方程， 分以下两种情况讨论： ①当，即时，， 则，即， 解得， 其中符合条件，不符合条件，舍去； ②当，即 时，， 则，即， 解得， 其中 符合条件，不符合条件，舍去； 综上，方程的解为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”，如的“友好方程”是．现在来探究方程的根的特点：当时，方程的两根为，，其“友好方程的两根为， ，观察可以知道、、、之间存在的一种特殊关系为 （，） 【答案】 ， 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式． 根据一元二次方程的求根公式，可得，先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积，即可推导、、、之间存在的一种特殊关系． 【详解】解：∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， ， ∴，， 故答案为： ，． 【考点14 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 则或， 所以，； （2）解：， ， ， 则或， 所以，． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键． 先根据一元二次方程的解法得到这个三角形的两边长，然后再利用三角形三边关系可排除选项． 【详解】解： 则 ， 解得：， ∴这个三角形的两边的长为7和9， ∴第三边长x的范围为，即； 则该三角形的第三边的长可以为15． 故选D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是 ． 【答案】，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，利用换元法求解是解题关键．通过设，将原方程化为关于y的一元二次方程，再利用已知条件求出系数关系，进而求解方程． 【详解】解：设，则原方程化为， 由，得， 代入得， 代入方程得， 因，两边除以得， 因式分解得，解得或， 由，得或， 解得：，， 故答案为：，． 4．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根，，且有一个根为负数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，因式分解法求一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系以及一元二次方程的求解． （1）求方程的判别式为，即可求证； （2）由方程可得，解得，，根据有一根为负数可得，求解即可． 【详解】（1）证明：由方程可得，，，， 则判别式， 则无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由方程可得， 解得，， 由有一个根为负数可得，，解得． 【考点15 根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·山东德州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义． 利用根与系数的关系求出的值，并根据方程解的定义得到的值，然后整体代入求解． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，且， 即． ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江西赣州·期中）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由题意可得，，即得，进而得到，再代入计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根分别为a，b． (1)若方程的两根相等，求k的值； (2)用含k的代数式表示； (3)是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，见解析 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系； （1）由方程的两根相等，得到，据此求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，最后代入计算即可； （3）由得到，结合（2）中结论列方程求解即可． 【详解】（1）解：已知关于x的一元二次方程， a，b为方程的两个实数根， 若方程的两根相等， 则， 即， 整理得， 解得． （2）解：∵a，b为方程的两个实数根 ∴，， ∴ ． （3）解：不存在，理由如下 若成立， 则有， 即， ∴， 整理得， 解得， ∵a，b为方程的两个实数根， ∴， 解得， ∵， 不存在满足条件的常数k，使得成立． 4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）在代数的领域内，存在着一类具有独特性质的方程，它们被称为“单位根方程”．此类方程的特点在于至少具备一个解为．例如：方程有解为，所以为“单位根方程”． (1)下列方程是“单位根方程”的有______；（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且该方程是“单位根方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)24 【分析】本题考查了新定义的理解及解一元二次方程． （1）根据“单位根方程”的定义求解即可； （2）根据已知条件将代入原方程中求得m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系求得与的值，并将所求式子进行化简将与的值代入后即可得到答案． 【详解】（1）解：①，解得或，是“单位根方程”， ②，解得或，不是“单位根方程”， ③，解得或，是“单位根方程”， 故答案为：①③． （2）解：由题意知，是“单位根方程”， ∴两个实数根中必有， ∴当时，，解得， ∴关于x的一元二次方程为， ∴，， ∴． 【考点16 由实际问题抽象出一元二次方程】 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）高平大黄梨汁多脆甜，曾为明清时期朝廷贡品．国庆期间高平某地开展为期三天的“围炉煮梨，助农振兴”直播活动，首日收入8472元，活动结束后三天共收入2.7万元，设活动期间直播收入的日平均增长率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题．熟练掌握一元二次方程的应用—增长率问题是解题的关键． 设日平均增长率为，则第二天收入为元，第三天收入为元，三天总收入为元，等于27000元． 【详解】解：∵ 首日收入为8472元，日平均增长率为，   ∴ 第二天收入为元，第三天收入为元， 三天总收入为元．   又∵ 三天共收入27000元，   ∴ 方程为． 故选D． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键．可借助平移性质得到长为 、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用及根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是用含的代数式表示出门的高和宽，再利用勾股定理建立方程．设门对角线长为尺，则竿长为尺；由“横之不出四尺”得门宽为尺，由“从之不出二尺”得门高为尺；因门的高、宽与对角线构成直角三角形，根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”，可列出方程，进而确定对应选项． 【详解】解：设门对角线长为尺，则竿长为尺． 由题意可知，门宽为尺，门高为尺． 因为门的高、宽与对角线构成直角三角形， 根据勾股定理得：， 该方程与选项A一致． 故选：A． 4．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 【考点17 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度） ①设的长为，用含x的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案） 【答案】（1）①；②的长为 10 米；（2）一只鸡每天平均传染7只鸡 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意建立方程模型并求解． （1）①根据建筑材料总长和门的宽度，结合矩形边长关系用含的代数式表示的长；②根据面积公式建立方程求解的长； （2）根据传染问题的数量关系建立方程求解一只鸡平均每天传染的鸡的数量； 【详解】解：（1）①∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米， ∴边长为：； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为 240 平方米，此时的长为 10 米； （2）解：设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡． 2．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【详解】（1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 【答案】（1），；（2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个；（3）不能，见解析 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】解：（1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为元，此时平均每天可卖出盲盒个； （2）根据题意，得． 解得，，． 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以不符合题意，舍去． 所以（元）． 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个． （3）不能． 理由：根据题意，令． 整理，得． ． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 4．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【考点18 算术平均数】 1．为考查甲、乙两个品种西瓜的甜度，每个品种随机选取4个西瓜进行检测，得到甲品种西瓜甜度数据：34，26，31，25；乙品种西瓜甜度数据：33，32，30，22．则甜度平均数较小的一个品种是 ． 【答案】甲 【分析】本题考查平均数，根据平均数的计算公式，求出两种西瓜甜度的平均数，进行判断即可． 【详解】解：甲品种西瓜甜度数据的平均数为：； 乙品种西瓜甜度数据的平均数为：； 因为， 故甜度平均数较小的一个品种是甲； 故答案为：甲． 2．如果数据3、2、x、、1的平均数是2，那么x的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了算术平均数．解题的关键在于熟练掌握算术平均数的求解公式． 由题意知，计算求解即可． 【详解】解：由题意知, 解得 故答案为：7． 3．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）若一组数据的平均数是5，则数据的平均数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了利用已知的平均数求相关数据的平均数，正确掌握求平均数的公式是解题的关键．根据平均数的公式：，结合已知计算出即可． 【详解】解：∵，，，的平均数是5， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据众数和中位数的定义，确定数据中的各个数值，再计算平均数，即可求解． 【详解】解：∵一组正整数，5，，，8有唯一众数1， ∴1出现次数至少两次， ∵中位数是3， ∴排序后第三个数为3， ∴将数据从小到大排列为1，1，3，5，8， ∴总和为，平均数为， 故选：B． 【考点19 加权平均数】 1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）小明参加篮球技能大赛的两项得分情况如下表所示： 项目 控球技能 投球技能 得分 90 80 若综合成绩按控球技能占，投球技能占来计分，则小明的综合成绩为（    ） A．70分 B．86分 C．85分 D．84分 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法列式计算即可得． 【详解】解：由题意可得：小明的综合成绩为（分）， 故选：B． 2．一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【答案】C 【分析】设物理要考x分，根据加权平均数的计算公式得到方程，解方程即可． 【详解】设物理要考x分，由题意得： 解得：x=90 即物理最少要考90分，才能使综合得分最少达到84分 故选：C． 【点睛】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出方程解决，因此掌握加权平均数的计算公式是关键． 3．（24-25九年级上·云南保山·期中）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示： 应聘者 学历 经验 工作态度 甲 乙 丙 如果将学历、经验和工作态度三项得分按的比例确定三人的最终得分，并以此为依据录用得分最高者，那么被录用的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙的最终得分，即可得出答案． 【详解】解：甲的最终得分为： 乙的最终得分为： 丙的最终得分为： ∴乙的最终得分高，乙将被录用． 故选：B 4．某班40名学生的某次数学测验成绩统计表如下： 成绩（分） 50 60 70 80 90 100 人数（人） 2 x 10 y 4 2 若这个班的数学平均成绩是69分，则 . 【答案】18 【分析】本题考查了加权平均数，解二元一次方程组；由加权平均数及学生人数得到关于x与y的两个二元一次方程，联立解方程组即可． 根据题意可得两个方程①；②，解方程组可得x、y的值． 【详解】解：依题意得：， 即①， ， 即②， 将 得：． 故答案为：18． 【考点20 众数】 1．为了发扬中华传统文化，某校随机调查了50名学生一周进行中国古典文学阅读的时间（如下表），这些学生一周进行中国古典文学阅读时间的众数是 小时． 人数（人） 9 14 17 10 时间（小时） 7 8 9 10 【答案】9 【分析】本题考查众数，掌握众数的计算方法是解决问题的关键． 根据众数的意义求解即可． 【详解】解：这50名学生的文学阅读时间出现次数最多的是9小时，共出现17次， ∴众数是9小时， 故答案为：9． 2．某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数为（   ） A．9 B．10 C．8 D．8.4 【答案】A 【分析】本题考查众数的定义，理解他们的含义是本题关键．根据众数是出现次数最多的数求解即可． 【详解】解：小明同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10， 出现次数最多的数是9，所以众数为9， 故选：A． 3．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知一组数据：3，3，4，5，，6有唯一的众数，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了众数的定义，根据众数的定义，逐项进行验证即可确定使数据中出现次数最多的数唯一存在的x值． 【详解】解：原数据为3，3，4，5，x，6．已知3出现2次，4、5、6各出现1次． 选项A，当时，数据变为3，3，3，4，5，6．此时3出现3次，其他数各1次，3是唯一众数，符合条件． 选项B，当时，数据变为3，3，4，4，5，6．此时3和4均出现2次，出现两个众数，不符合条件． 选项C，当时，数据变为3，3，4，5，5，6．此时3和5均出现2次，出现两个众数，不符合条件． 选项D，当时，数据变为3，3，4，5，6，6．此时3和6均出现2次，出现两个众数，不符合条件． 综上，只有时满足唯一众数的条件， 故选A． 4．江津万达某品牌店，新进一批新款男士运动鞋，试销一周的情况如下： 码号（码） 38 39 40 41 42 43 件数（双） 2 4 7 18 5 1 你认为该店确定进货量时，应多进多少码的鞋子（   ） A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】C 【分析】本题主要考查统计中的众数概念．掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据成为解题的关键． 根据进货量应多进众数对应的码号，据此即可解答． 【详解】解：∵ 41码的销售件数为18双，高于其他码号的件数（38码2双、39码4双、40码7双、42码5双、43码1双）， ∴ 41码是众数，应多进41码的鞋子． 故选C． 【考点21 方差】 1．已知一组数据是：6，7，8，9，10，则这组数据的方差是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键． 根据方差的计算公式进行求解即可得． 【详解】解：∵一组数据是：6，7，8，9，10， ， 则这组数据的方差， 故答案为：2． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击次，甲的成绩单位：环为：，，，，，，乙的成绩单位：环为：，，，，，，这两名射击运动员的平均成绩均为环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是 填写“甲”或“乙”． 【答案】甲 【分析】该题考查了方差，通过计算方差比较稳定性，方差较小的运动员发挥更稳定． 【详解】解：甲的方差：， 乙的方差：， 由于 ，即 ，因此甲运动员发挥更稳定． 故答案为：甲． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）一组数据的方差计算如下：，则这组数据的方差 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平均数和方差，解题的关键是掌握方差及平均数的计算公式．根据题意先得到这组数据，再计算平均数，再根据方差的定义可得答案． 【详解】解：由， 得这组数据为：， 则， 则 ， 故答案为：. 4．（24-25八年级下·四川资阳·期末）某校为了参加市科技创新大赛，经过多次测试，甲、乙、丙、丁四位同学脱颖而出，其成绩的平均分和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均分 90 95 90 95 方差 1.2 1.2 1.6 1.6 若要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，则应选的同学是 ． 【答案】乙/乙同学 【分析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛． 【详解】解：∵乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大， ∴应从乙和丁同学中选， ∵乙同学的方差比丁同学的小， ∴乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学； 故答案为：乙． 【考点22 中位数】 1．已知一组数据：，，，，，则这组数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中位数定义，解题的关键是将 原始数据排序找到最中间的数，将数据排列找到最中间的一个数即可得到答案． 【详解】解：将数据，，，，从小到大排列为，，，，， 则最中间的一个数是3， ∴这组数据的中位数是． 故选：D． 2．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）一组数据1、2、3、4、x、7、8、9的中位数是5，则x是（    ） A．5 B．6 C．5.5 D．6.5 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵一组数据1、2、3、4、x、7、8、9的中位数是5， ∴当时，则位于中间位置的两个数为， 此时， ∴当时，则位于中间位置的两个数为， 此时， 解得， ∴当时，则位于中间位置的两个数为， 此时， 综上可得： 故选：B． 3．有十八位同学参加智力竞赛，且他们的分数互不相同，按分数高低选九位同学进入下一轮比赛．小华知道了自己的分数后，还需要知道哪个统计量，就能判断自己能否进入下一轮比赛．（   ） A．中位数 B．众数 C．方差 D．平均数 【答案】A 【分析】本题考查中位数的应用，根据总人数18及进入下一轮的人数9，可知需要知道的统计量为中位数． 【详解】解：将18位同学的分数从高到低排序，第9位和第10位的平均数是中位数， 他们的分数互不相同， 9位同学的分数比中位数高，9位同学的分数比中位数低， 按分数高低选九位同学进入下一轮比赛， 小华知道自己的分数和中位数后，才能判断自己能否进入下一轮比赛． 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义得到数据5，8，20，21，30中插入一个数x，共有6个数，最中间的数只能为x和20，然后根据计算它们的中位数为19，求出x． 【详解】解：∵5，8，20，21，30中插入一个数x， ∴数据共有6个数，20为中间的一个数， ∵该组数据的中位数是19， ∴， 解得． 故答案为：18． 【考点23 四分位数与箱线图】 1．（25-26八年级上·全国·期末）某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，，，则这组数据的上四分位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查四分位数，将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数． 【详解】解：将样本数据由小到大排列依次为：、、、1、2、3、3、5， ∵，第6个数是3，第7个数是3， ∴这组数据的上四分位数为． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明全班32人参加学校的英文听力测验，如图是全校与全班成绩的箱线图．若小明的成绩恰为全校的上四分位数，则下列关于小明在班上排名的叙述，正确的是（    ） A．在第2~7名之间 B．在第8~15名之间 C．在第16~21名之间 D．在第21~25名之间 【答案】A 【分析】本题主要考查箱线图，小明的成绩恰为全校的上四分位数大约为，再结合全班箱线图的大致位置判断即可． 【详解】解：根据全校成绩的箱线图得到：小明的成绩恰为全校的上四分位数大约为分， 对应全班成绩的箱线图发现在上四分线之上，第一名之下， 全班32人参加学校的英文听力测验，上四分线在从小到大排名的第名之上， ∴小明在班上排名至少超过24人，但不是第一名，即排名在第2~7名之间， 故选：A． 3．四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：．这一数据中第一四分位数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第一四分位数的定义，将8个数据按从小到大的顺序排列后，第2个与第3个数的平均数即为所求． 【详解】解：这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为： ， 则这组数据中第一四分位数是第2个与第3个数的平均数，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数，理解第一四分位数的定义是解题的关键． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 【答案】(1)第一组：；；第二组：，；第三组：， (2)因为，所以应当按照第一组排列，使平均数最大；因为 所以应当按照第三组排列，使方差最小 (3)见解析 【分析】本题考查条形统计图和箱线图、方差、中位数和平均数，会绘制箱线图是解答的关键． （1）根据平均数和方差公式求解即可； （2）根据（1）中求解数据，结合条形统计图可得结论； （3）先分别求得三组的中位数，下四分位数，上四分位数，以及最大值和最小值，然后分别画出箱线图，再根据箱线图的特点分析可得答案． 【详解】（1）解：第一组平均数（分）， 方差； 第二组：（分）， 方差； 第三组：（分）， 方差； （2）解：因为，所以第一组得高分的人数较多，应当按照第一组排列，使平均数最大； 因为所以第三组离平均分近的人数较多，应当按照第三组排列，使方差最小； （3）解：第一组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第二组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第三组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 三个小组得分的箱线图如图所示： 由图知，第一组的“箱体”靠近最大值，说明第一组的中高分较多，中位数和平均数较大； 第二组的“箱体”靠近最小值，说明第二组的中低分较多，得分的中位数和平均数较小； 第三组的“箱体”处于中间偏上位置，且得分集中在2分到3分之间，说明第三组的中档分较多，平均分略微高于中位数，方差小，得分较稳定． 【考点24 离差平方和】 1．（25-26八年级下·浙江·期中）某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（   ） A．70 B．75 C．150 D．350 【答案】D 【分析】先求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方的和即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为：， 则这组数据的离差平方和为： ． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和离差平方和，解题的关键是掌握以上两个公式． 先分别计算原6名队员与现5名队员身高的平均数，再计算两者的离差平方和，通过比较结果得出结论，用到平均数和离差平方和的定义和公式． 【详解】解：∵原6名队员身高总和为， ∴原平均数为； ∵去掉的队员后，5名队员身高总和为， ∴现平均数为； ∴平均数不变； ∵原离差平方和为 ； 现离差平方和为 ； ∴离差平方和不变； 综上，平均数不变，离差平方和不变， 故选：B． 3．（25-26八年级上·河北保定·期末）在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（   ） A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 【答案】D 【分析】本题考查统计量的计算，统计图表的读取，数据稳定性分析，准确提取数据是解题关键． 先从折线图中提取男、女生的投篮命中次数，再分别计算平均数、方差和中位数，然后对选项依次进行判断． 【详解】解：选项：男生投篮的平均数为，女生投篮的平均数为，则男生和女生的投篮水平一样，错误； 选项：男生投篮的离差平方和为，女生投篮的离差平方和为，则男生和女生投篮的离差平方和不一样，错误； 选项：男生的投篮数据为，，，，，中位数为，女生的投篮数据为，，，，，中位数为，男生和女生的中位数均为，错误； 选项：男生投篮的方差为，女生投篮的方差为，则男生和女生投篮成绩平均数相等，男生投篮的方差比女生高，故女生投篮更稳定，正确． 故选：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）两组数据，，与，，，的平均数都是，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的离差平方和是________． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是平均数的定义和离差平方和的计算．要先根据平均数的定义求出和的值，再根据离差平方和的定义计算合并后新数据的离差平方和． 【详解】解：∵两组数据，，与，，，的平均数都是， ∴， 解得， 故这两组数据合并成一组数据：， 计算每个数据与平均数8的离差平方： ， ， ， ， ， ， ， 离差平方和：， 故答案为：． 【考点25 数据的分组】 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【答案】A 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【详解】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 【答案】{7，9}，{12，13，15} 【分析】根据组内离差平方和越小，组内数据相差越小，得到第2个间隔组内离差平方和最小，据此解答即可． 【详解】解：将5名同学的引体向上个数从小到大排列为：7，9，12，13，15， 观察表格，4种分法中最小的组内离差平方和为， 因此，正确的分组是：{7，9}，{12，13，15}． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）某校组织七、八年级学生开展劳动技能知识比赛．为了解活动效果，从两个年级随机抽取部分学生成绩，进行如图统计分析： 收集数据 七年级共400人，八年级共500人，每个年级分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数） 整理数据 将抽取的学生比赛成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用x表示成绩）A组：，B组：，C组：，D组：．其中七年级20名学生的比赛成绩众数出现在B组，B的数据为：72，73，74，74，74，74，74，76，78；八年级20名学生的比赛成绩中C组的数据为：87，88，88，88，89，89，89，89 描述数据 根据统计数据，绘制成如图统计图： 分析数据： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 八年级 (1)_________，_________，_________． (2)你认为哪个年级劳动技能比赛的总体成绩较好，说明理由． (3)①该校授予劳动技能比赛成绩不低于分的学生“劳动小能手”称号估计七、八年级共_________名学生获此称号． ②七（1）班“乐学”小组五位组员在本次比赛中均未达到80分，成绩分别为：65，69，70，74，78．他们决定分成两人组或三人组合作学习，如表． 分法 分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组人，第二组人 第二种 第一组人，第二组人 22 为了达到“组内离差平方和最小”，请你计算并做出选择．_________，选第_________种分法． 【答案】(1)；； (2)八年级成绩总体较好，理由见解析 (3)①；②；二 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可； （2）分别从四个维度进行评价即可； （3）①根据样本中C、D两组的占比，分别估算出两个年级总体获奖人数，再相加即可； ②离差平方和是指每个数据与平均数之差的平方之和，根据定义计算出，与作比较后，得出结论． 【详解】（1）解：∵七年级学生的比赛成绩的众数出现在B组， 又∵B组成绩中分出现5次，出现的次数最多， ∴七年级学生的比赛成绩的众数为分， ∴， 七年级的成绩中，B组占比为， ∴C组占比为， ∴， 由条形统计图和八年级C组的数据可知，八年级学生的比赛成绩的第11名与第10名的成绩对应C组的分与分， ∴． （2）解：八年级的比赛成绩总体较好，理由如下； 虽然在平均分上八年级的比赛成绩略低于七年级，但八年级的中位数大幅高于七年级，说明八年级有一半成绩在分以上，而七年级低分段的学生较多．八年级的众数也远高于七年级，反映八年级大多数学生成绩集中在较高水平．另外八年级的方差更小，成绩更稳定，综合来看，八年级的成绩总体好于七年级（言之有理即可）． （3）解：①由统计的数据可知， 七年级获得“劳动小能手”称号的人约有（人）， 八年级获得“劳动小能手”称号的人约有（人）， （人）， ∴七、八年级约有名学生获得“劳动小能手”称号； ②，， ∴， ∵， ∴应该选第二种分法． 【考点26 多边形的对角线】 1．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成4个三角形，那么从这个多边形的一个顶点出发对角线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】边形从一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，且从一个顶点出发可引出条对角线，先根据分成的三角形个数求出多边形边数，再计算对角线条数即可. 【详解】解：设这个多边形有条边， 从边形的一个顶点出发作对角线，最多将多边形分成个三角形， ，解得，即这个多边形是六边形， 又从边形的一个顶点出发可作条对角线， ∴从这个多边形的一个顶点出发对角线有条. 2．过八边形的一个顶点可以引条对角线，这些对角线将八边形分成个三角形，则的值为_____． 【答案】9 【分析】根据多边形的性质可知，过八边形的一个顶点可以引条对角线，这些对角线将八边形分成个三角形，据此求出和的值即可求解． 【详解】解：由题可得：，， ∴． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可． 【详解】解：如下图，共有10种， 故选：B． 4．（24-25七年级下·河南南阳·月考）某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能，这个多边形的边数为． 【分析】本题考查边形从多边形的一个顶点引出对角线的条数，从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数，一元一次方程的应用，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题的关键． （）由表格中的数据探求得出最终结果； （）把代入求出的值即可判断． 【详解】（1）解：由表格可知，，， 故答案为：，， （2）解：能，理由， 由题意得，， 当时，即， 解得：， ∴这个多边形的边数为． 【考点27 多边形的内角与外角】 1．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】多边形内角和 且为整数）．先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：在五边形中，内角和为， ∵， ， ∵、分别平分、， ， 在中，． 2．（25-26九年级下·浙江舟山·月考）如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：在五边形中，， ∴． 3．一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为则原多边形的边数为（    ） A．5或6或7 B．6或7或8 C．7或8或9 D．8或9或10 【答案】C 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n， 根据题意得， 解得：， 若沿对角线截去一个角，则原来的是9边形；当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：（1）过多边形的一个顶点，则原来的是8边形；（2）不过多边形的顶点，则原来的是7边形. 则多边形的边数是7或8或9，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1． 4．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°， 则：（n-2）•180+x=1960， ∴x=2320-180n． ∵0°＜x＜180°， ∴0＜2320-180n＜180， 解得 ∵n为正整数， ∴n=12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的一个内角与相邻的外角的度数之比为． (1)求这个n边形的边数； (2)求这个n边形的内角和． 【答案】(1)这个n边形的边数为6 (2) 【分析】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的每一个内角与其相邻的外角互补、及外角和的特征． （1）先根据多边形的内角和外角的关系，列式求解一个外角，再求解边数即可； （2）利用多边形的内角和公式求解即可． 【详解】（1）解： ， ．            ∴这个n边形的边数为6． （2）解：这个n边形的内角和为． 6．如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查三角形外角的性质及多边形的外角和，根据题意，利用三角形外角得出，然后利用多边形外角和求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【考点28 平行四边形的性质】 1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】分别可证、为等腰三角形，得到、的长，进而得到，再根据计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， 又、分别是和的角平分线， ∴，． 又， ∴， 是等腰三角形，即． 同理可证是等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 4．已知如图，在中，点E、F分别在上，且，对角线交于点O，作与交于点G，连接． (1)求证：； (2)若的周长是20，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先由平行四边形得到，，然后结合已知条件，利用证明即可； （2）先证明垂直平分，则，然后由平行四边形的性质得到，再结合等量代换求解的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ； （2）解：∵在中，对角线交于点O， ，即点O是的中点， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 的周长是20，由（1）知， ， 的周长为， 即的周长是10． 【考点29 图形的旋转】 1．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是利用旋转得到对应边与角相等，结合等腰三角形的角的关系推导角度． 【详解】解：由旋转的性质得，，． ∵， ∴，设，则． ∵， ∴，又，故． 在中，，由三角形内角和得，即，解得． ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、，由正方形的性质得，，则，，由旋转得，，，则点在上，所以，，则，可证明，则，所以，求得四边形的周长是，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 四边形是边长为5的正方形， ，， ， ， 把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E， ，，， ，点在上， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长是， 故选：D． 3．在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转得到，旋转角为α，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．    (1)如图,当时，连接、，并延长交于点F，则 ; (2)当时，请画出图形并求出的长； (3)在旋转过程中，过点D作垂直于直线，垂足为点G，连接．当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3)四边形为菱形，理由见解析 【分析】（1）证明是等边三角形，得到点B、E在的中垂线上，进而求解； （2）依据题意画图，如图1，证明，得到，，即可求解； （3）证明，，则四边形为平行四边形，而，从而可得出结论． 【详解】（1）解：∵绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴点B、E在的中垂线上， ∴是的中垂线， ∵点F在的延长线上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：依据题意画图如图1，过点E作于点G，过点C作于点H，    ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，, 则； （3）解：如图，    ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 【考点30 中心对称和中心对称图形】 1．（25-26九年级上·河南商丘·期中）以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（　　） A．乒乓球 B．篮球 C．排球 D．冲浪 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，解题的关键是依据“绕某点旋转180°后与原图形重合的图形是中心对称图形”逐一判断． 根据中心对称图形的定义，依次判断各选项图标绕某点旋转180°后是否与原图形重合，找出不重合的选项． 【详解】解：选项A（乒乓球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项B（篮球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项C（排球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项D（冲浪）：绕某点旋转180°后，图形的“叶片”方向与原图形不一致，无法重合，不是中心对称图形． 故选D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称和关于原点对称，设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接，则，利用勾股定理求出的长；设，根据轴对称的性质得到，，则点D和点E关于原点对称，故三点共线，可推出，则当时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 设， ∵点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为， ∴，， ∴点D和点E关于原点对称， ∴三点共线， ∴， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 4．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)若将绕点顺时针旋转与重合，则点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称变换； （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点即可； （3）作和的垂直平分线，交点即为所求的点． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点P即为所求，． 故答案为：． 【考点31 图案设计】 1．如图①是正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有 种 【答案】6 【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案．根据折叠图形的性质可得可以添加的图形有6种不同的情况. 【详解】解：得到的不同图案有： 共6种． 故答案为：6． 2．小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】把这四种搭配进行组合，可得出如图的九个空格的形状，即为本题的选项． 【详解】解：∵将搭配①②③④组合在一起，正好能组合成九个空格的形状， ∴恰好能放入的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识． 3．（25-26九年级上·山西大同·期中）图1和图2都是由连接正八边形部分顶点或部分对边中点构成的图案，每个图案可看作由4个全等的直角三角形、8个全等的小矩形和4个全等的小正方形组成．按下列要求涂阴影． (1)在图1中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图2中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题考查图形设计，熟记轴对称图形、中心对称图形的定义是解决问题的关键． （1）由轴对称图形、中心对称图形的定义来设计即可得到答案； （2）由轴对称图形、中心对称图形的定义来设计即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示（答案不唯一）： ； （2）解：如图所示（答案不唯一）： ． 4．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； 【分析】本题考查了利用轴对称和中心对称设计图案，掌握轴对称和中心对称图形的概念是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可（答案不唯一）； （2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）； 【详解】（1）组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示， （2）组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示， 【考点32 平行四边形的判定】 1．（25-26八年级下·北京·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、两组对角都不相等，不能判定是平行四边形，故A不符合题意； B、一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形，故B不符合题意； C、根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形，故C符合题意； D、根据，判定一组对边平行，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形，故D不符合题意． 2．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是______． 【答案】 【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由题目的已知条件可知添加，即可证明，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形． 【详解】解：条件是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 4．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 5．如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接，交于点，证明两条对角线互相平分即可． 【详解】解：连接，交于点， ， ， ， ， ， 故四边形是平行四边形． 6．如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）过点C作，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形. 【详解】（1）解：如图， 线段就是所求作的图形． （2）解：如图， 就是所求作的图形 【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【考点33 平行四边形的判定与性质】 1．如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的周长是，可以求出，根据中位线定理可知，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：点，，，分别是，，，的中点， 、分别是和的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， ， ， 又点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， . 故选：A. 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形判定和性质，勾股定理，关键是判定四边形是平行四边形，推出，由勾股定理得到． 过A作于H，由等腰三角形的性质推出，判定四边形AEDC是平行四边形，推出，由勾股定理得到定值． 【详解】解：过A作于H， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 设，， ，， 定值， 故选：B 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 4．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，再证，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点34 三角形的中位线】 1．如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先由三角形的中位线的性质求得，再根据平行线的性质得到，，再根据平行线的性质与角平分线定义得到，从而得到，然后由求解即可． 【详解】解：∵，分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定条件寻找使平行四边形有一个角为直角的四边形的条件． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 结合图形，要使平行四边形为矩形，需有一个内角为． A选项，若，则，平行四边形为菱形，不符合题意； B选项，若，无法得到的内角为直角，不符合题意； C选项，若，无法得到内角为直角，不符合题意； D选项，若，则，平行四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 3．如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为_________，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则______________． 【答案】 6 【分析】利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得和的长；再先后求得，，，然后利用圆的面积公式即可求解. 【详解】解：作于点N，连接， ∵， ∴， ∵点A是线段的中点， ∴， ∵， ∴点B是的中点， ∴是的中位线， 在中，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴， 过点A和作的垂线，垂足分别为和， 由题意得，同理是的中位线， ∴， 同理， ∴， 故答案为：，6. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线上的性质，等腰三角形的性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点G，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：与的数量关系是：．理由如下： 如图：延长交于点G， 由题意，知，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴点G为的中点，且， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ， ∴． ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点35 反证法】 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的否定即可． 【详解】解：∵ 反证法第一步需假设原结论不成立，原命题结论为， ∴ 结论的否定为，即第一步应假设． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________． 【答案】点与点重合 【分析】本题考查反证法，掌握反证法的意义与使用步骤是关键． 根据反证法的步骤，第一步是假设结论不成立，由此作答． 【详解】解：用反证法证明点与点不重合，则第一步应假设点与点重合． 故答案为：点与点重合． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）请用反证法证明：已知：，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法的应用，解题的关键是熟练掌握反证法的证明步骤． 先假设，然后根据绝对值的性质推出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】假设， 当时，， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 4．（25-26七年级上·上海·期末）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，包括反证法的逻辑步骤、三角形内角和定理．先通过反设结论(假设三个内角都大于)，推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而肯定原命题成立． 【详解】解：已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 【考点36 菱形的性质】 1．在菱形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，运用知识准确计算是解决问题的关键． 利用菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：在菱形中，， . 故选：A. 2．菱形的对角线，的长分别为和，则这个菱形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，解题的关键是利用菱形的性质；先根据菱形的性质得到直角，再根据勾股定理即可得到答案； 【详解】解：如图： 菱形的对角线，的长分别为和， ，，且， ． 故选：C． 3．如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，先根据点A和点B的坐标得到，再由菱形的性质得到，据此利用菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵，两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是菱形，且点C，D在坐标轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键．根据菱形的性质可得，，结合已知的 ，利用“ AAS”可证得，最后根据全等三角形的对应边相等即可． 【详解】证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ． 【考点37 菱形的判定】 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键；因此此题可根据菱形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：A、是的性质，不能作为菱形的判定条件，故不符合题意； B、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； C、当时，则是菱形，故符合题意； D、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； 故选C． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到，两部分，将展开后得到的平面图形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定和图形的展开与折叠，根据图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下及左、右四条边都相等，再由菱形的判定方法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下及左、右四条边都相等， ∴展开后得到的平面图形是菱形， 故答案为：菱形． 3．如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，根据甲、乙的方法分别画出图形，再证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：根据甲的作法作出图形，如下图所示．    四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 故甲的作法正确． 根据乙的作法作出图形，如下图所示．      ， ，． 平分，平分 ，， ，， ， ， ，且， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． 故乙的作法正确． 故选：C． 4．如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． (1)求证： (2)试判断四边形的形状，并说明理由 【答案】(1)见详解 (2)四边形是菱形，理由见详解 【分析】（1）由旋转的性质可知，，则有，，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵是由在平面内绕点B旋转而得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【考点38 菱形的判定与性质】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质，由作图可知：，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：． 【详解】解：由作图可知：， 四边形是菱形， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 则四边形的周长为． 故选：B ． 3．（2024·山东济宁·一模）如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是 ． 【答案】120 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理．证明，推出，判断出是菱形，利用勾股定理求得，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积是， 故答案为：120． 4．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分． （1）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论． （2）根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 【考点39 直角三角形斜边上的中线】 1．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在中，，点D为边的中点，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，由直角三角形斜边中线的性质即可求出． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点，， ∴． 故选：A． 2．如图，中，，是斜边的中点，过点作于点，则线段的长度为（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理及等积法，熟练掌握直角三角形斜边中线定理、勾股定理及等积法是解题的关键；由勾股定理可得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，直角中，，，过作，连接与相交于，若，则的大小是 度． 【答案】26 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质． 取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可推出，已知，则不难求得的度数． 【详解】解：如图，取的中点，连接． ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：26． 4．（24-25八年级下·上海·期末）如图，在中，，E为的中点，四边形是平行四边形，求证：与互相垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合四边形是平行四边形，得，，由直角三角形的性质可得，通过题意证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴与互相垂直平分． 【考点40 矩形的性质】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形中，对角线相交于点O， ，， ， ， ， 故选：D． 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，垂直且平分线段，垂足为点E，，则的长为（    ） A．7．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键；根据矩形的性质可得，根据垂直平分线的性质即可得解． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 垂直且平分线段， ， 故选：． 3．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理和直角三角形的性质算出对应的底和高．根据阴影部分的面积求解即可 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点M作， ∴， 则图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定等知识．先证明四边形是平行四边形．再证明，即可得到结论． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形． 四边形是矩形， ，，， ， 平行四边形是菱形． 【考点41 矩形的判定】 1．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是 ．（写出所有的可能，填写序号即可） 【答案】②③ 【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定方法是解题关键； 分别将①②③④作为补充条件判断即可． 【详解】解：补充①； ∵平行四边形， ∴平行四边形是菱形，不成立； 补充②； ∵平行四边形， ∴平行四边形是矩形，成立； 补充③； ∵平行四边形， ∴平行四边形是矩形，成立； 补充④； ∵平行四边形， ∴平行四边形是菱形，不成立； 故答案为：②③． 3．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， A、∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、∵时，又， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴平行四边形是菱形，无法判定其为矩形，故选项D符合题意． 故选：D． 4．（24-25九年级上·广东·期末）已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线，两线相交于点P，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，熟练掌握菱形的性质定理，矩形的判定定理是解题的关键．根据，，即可证出四边形是平行四边形，由菱形的性质得出，即可得出结论． 【详解】证明：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【考点42 矩形的判定与性质】 1．如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（    ） A．4 B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，ADBC，再证四边形ABFQ是矩形，得AB=FQ=DC=4，求出EQ=FQ=4，即可得出答案． 【详解】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQA=∠FQD=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，ADBC， ∴四边形ABFQ、四边形CDQF都是矩形， ∴AB=FQ=DC=4，QD=CF， 由题意得：AE=CF， ∴AE=QD， ∵ADBC， ∴∠QEF=∠BFE=45°， ∴△QEF是等腰直角三角形， ∴EQ=FQ=4， ∴AE=QD=×（10-4）=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查平移的性质及矩形的判定，理解题意，熟练掌握平移的性质是解题关键． 连接，根据 题意得出，，确定四边形是矩形，再由平移的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵平移， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由是菱形的性质得，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求出，，由勾股定理得出的长，再根据矩形面积公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，求△OEC的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）1 【分析】（1）证出∠BAD＝∠BCD，得出四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝OD，证出AC＝BD，即可解决问题； （2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． （2）解：作OF⊥BC于F，如图所示． ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∴BF＝FC， ∴OF＝CD＝1， ∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝45°， 在Rt△EDC中，EC＝CD＝2， ∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型． 【考点43 正方形的性质】 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）下列的性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，比较正方形和矩形的性质，找出正方形具备而矩形不一定具备的特征即可． 【详解】解：正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直；而正方形的对角线不仅相等、互相平分，还互相垂直， 因此“对角线互相垂直”是正方形具备而矩形不一定具备的性质． 故选：D． 2．如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形内角和定理，由正方形的性质并结合题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查全等图形，勾股定理，关键是由全等三角形的性质推出，由勾股定理求出的长． 由正方形的面积公式求出，由全等三角形的性质推出，求出，由勾股定理得到． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，勾股定理．由折叠的性质以及正方形的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 【考点44 正方形的判定】 1．如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.已知，，，点为轴上一动点，以为一边在右侧作正方形. （1）若点与点重合，请直接写出点的坐标. （2）若点在的延长线上，且，求点的坐标. （3）若，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）；（3），. 【分析】（1）与点重合则点E为（6，3） （2）作轴，证明：即则点E为（8，3） （3）分情况解答，在点右侧，过点作轴，证明：；在点左侧，点作轴，证明： 【详解】解：（1） 与点重合则点E再x轴的位置为2+4=6 . （2）过点作轴， ∵∠BAD=∠EMD=∠BDE=90°， ∴∠BDA+∠ABD=∠BDA+∠MDE, ∴∠ABD=∠MDE， ∵BD=DE， ，点在线段的中垂线上，. ,. . （3）①点在点右侧，如图， 过点作轴，同（2） 设，可得：， 求得：，（舍去） ②点在点左侧，如图， 过点作轴，同上得 设，可得：， ， 求得：，（舍去） 综上所述：， 【点睛】本题考查正方形的性质，解题关键在于分情况作出垂直线. 2．如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是 （只需添加一个）． 【答案】 【分析】由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出四边形是菱形，再由，即可判定四边形是正方形． 【详解】添加条件：，理由如下： 四边形是平行四边形， 四边形是菱形 四边形是正方形 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用①②进行判定． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，的对角线交于点的中点是，下列说法不正确的是（　　） A．当时，是矩形 B．当时，是菱形 C．当是矩形时，平分 D．当时，是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，三角形中位线定理，当时，可证明垂直平分，则，再结合平行四边形的性质得到，据此可判断A；当时，则可证明，再结合平行四边形的性质可推出为的中位线，则，即可证明，据此可判断B；根据矩形对角线互相平分得到，由三线合一定理即可判断C；当时，无法证明是正方形，据此可判断D． 【详解】解：A、当时，∵E是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是矩形，故A说法正确，不符合题意； 当时，∵E是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴是菱形，故B说法正确，不符合题意； C、当是矩形时，则， ∵E是的中点， ∴平分，故C说法正确，不符合题意； D、当时，无法证明是正方形，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 4．如图，在中，，，点、分别为、的中点，连接，将绕点旋转得到．试判断四边形的形状，并证明． 【答案】正方形，见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，旋转的性质，正方形的判定，难度适中．先由中位线的性质得出，则，再根据旋转的性质得出，则四边形是矩形，又，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出四边形是正方形． 【详解】解：四边形是正方形． 证明如下： 点、点分别是、的中点， ，是的中位线， ， ． 又是由绕点旋转而得， ，点、、在一条直线上， 四边形是矩形． ，， ， 四边形是正方形． 【考点45 正方形的判定与性质】 1．如图所示，四边形ABCD，已知AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝BC＝2，CD．计算这个四边形的面积． 【答案】5 【分析】过点作，证明四边形是正方形，进而勾股定理求得，根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】如图，过点作， AB⊥BC，AB⊥AD， 四边形是矩形， AB＝BC， 四边形是正方形， ， CD， 在中， ， ， 四边形． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，添加辅助线是解题的关键． 2．如图，正方形的对角线，交于点，过点作，过点作，与交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据，，得到四边形是平行四边形，再根据正方形的性质得到，，最后得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 3．如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． (1)试判定四边形的形状，并说明理由； (2)已知，求的长． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)23 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，图形的旋转， （1）根据旋转的性质可得，即可求解； （2）根据正方形的性质可得，，再由旋转的性质可得：，设，则，，在中，根据勾股定理，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕A点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：在正方形中，， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 4．如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且， (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）结合题意易证，得到，，由易证即，从而证明结论； （2）由（1）和题意求得，利用勾股定理求得正方形边长，从而求得正方形周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴正方形EFMN的周长为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质、正方形的证明、勾股定理的应用；解题的关键是证明三角形全等，并用全等的性质求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末复习易错题45个考点 【新教材浙教版】 【考点1 二次根式的定义】 2 【考点2 二次根式有意义的条件】 2 【考点3 二次根式的性质与化简】 2 【考点4 最简二次根式】 3 【考点5 二次根式的运算】 3 【考点6 二次根式的大小比较】 3 【考点7 二次根式的应用】 4 【考点8 一元二次方程的定义】 5 【考点9 一元二次方程的一般形式】 5 【考点10 一元二次方程的解】 5 【考点11 解一元二次方程—配方法】 6 【考点12 根的判别式】 7 【考点13 解一元二次方程—公式法】 7 【考点14 解一元二次方程—因式分解法】 8 【考点15 根与系数的关系】 9 【考点16 由实际问题抽象出一元二次方程】 9 【考点17 一元二次方程的应用】 10 【考点18 算术平均数】 12 【考点19 加权平均数】 12 【考点20 众数】 13 【考点21 方差】 14 【考点22 中位数】 15 【考点23 四分位数与箱线图】 15 【考点24 离差平方和】 16 【考点25 数据的分组】 17 【考点26 多边形的对角线】 19 【考点27 多边形的内角与外角】 20 【考点28 平行四边形的性质】 21 【考点29 图形的旋转】 22 【考点30 中心对称和中心对称图形】 23 【考点31 图案设计】 25 【考点32 平行四边形的判定】 26 【考点33 平行四边形的判定与性质】 28 【考点34 三角形的中位线】 29 【考点35 反证法】 30 【考点36 菱形的性质】 31 【考点37 菱形的判定】 31 【考点38 菱形的判定与性质】 32 【考点39 直角三角形斜边上的中线】 34 【考点40 矩形的性质】 34 【考点41 矩形的判定】 35 【考点42 矩形的判定与性质】 36 【考点43 正方形的性质】 37 【考点44 正方形的判定】 38 【考点45 正方形的判定与性质】 39 【考点1 二次根式的定义】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值是 ． 3．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 4．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【考点2 二次根式有意义的条件】 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知、都是实数，且，则 ． 3．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知实数满足，求的值是多少？ 【考点3 二次根式的性质与化简】 1．（25-26八年级上·全国·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 3．把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为 ． 【考点4 最简二次根式】 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若最简二次根式和能合并，则a的值为 ． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 4．若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是 ． 【考点5 二次根式的运算】 1．计算：等于（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（　　） A． B． C．2 D．－2 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【考点6 二次根式的大小比较】 1．若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 2．（25-26八年级上·上海长宁·月考）比较大小： （请填、或）． 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 4．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【考点7 二次根式的应用】 1．一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 2．（24-25八年级下·广西钦州·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 【考点8 一元二次方程的定义】 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围值是 ． 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）若是关于x的一元二次方程，则（   ） A．1 B． C．1或 D．2 4．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有 （填序号）． 【考点9 一元二次方程的一般形式】 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程化成一般形式是 ；一次项系数是 ． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【考点10 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A．3 B． C．9 D． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·月考）关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 ． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 【考点11 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）用配方法解方程，方程可变形为，则 ． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式及叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数，即 ∴ 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2． (1)仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并写出相应的x的值； (2)实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，．如果设矩形的一边， ①请问矩形的面积能否达到？为什么，请说明理由； ②求出当x取何值时，矩形的面积最大，最大值是多少？ 【考点12 根的判别式】 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，请写出一个符合条件的的值： ． 3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）关于的一元二次方程中，实数、、满足，则（    ） A．此方程有两个相等的实数根 B．此方程有两个不相等的实数根 C．此方程有两个实数根 D．此方程无实数根 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【考点13 解一元二次方程—公式法】 1．关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1） ； （2）方程的解是 ． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”，如的“友好方程”是．现在来探究方程的根的特点：当时，方程的两根为，，其“友好方程的两根为， ，观察可以知道、、、之间存在的一种特殊关系为 （，） 【考点14 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是 ． 4．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根，，且有一个根为负数，求的取值范围． 【考点15 根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·山东德州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．（25-26九年级上·江西赣州·期中）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根分别为a，b． (1)若方程的两根相等，求k的值； (2)用含k的代数式表示； (3)是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）在代数的领域内，存在着一类具有独特性质的方程，它们被称为“单位根方程”．此类方程的特点在于至少具备一个解为．例如：方程有解为，所以为“单位根方程”． (1)下列方程是“单位根方程”的有______；（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且该方程是“单位根方程”，求的值． 【考点16 由实际问题抽象出一元二次方程】 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）高平大黄梨汁多脆甜，曾为明清时期朝廷贡品．国庆期间高平某地开展为期三天的“围炉煮梨，助农振兴”直播活动，首日收入8472元，活动结束后三天共收入2.7万元，设活动期间直播收入的日平均增长率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为 ． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 【考点17 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度） ①设的长为，用含x的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案） 2．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 4．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【考点18 算术平均数】 1．为考查甲、乙两个品种西瓜的甜度，每个品种随机选取4个西瓜进行检测，得到甲品种西瓜甜度数据：34，26，31，25；乙品种西瓜甜度数据：33，32，30，22．则甜度平均数较小的一个品种是 ． 2．如果数据3、2、x、、1的平均数是2，那么x的值是 ． 3．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）若一组数据的平均数是5，则数据的平均数是 ． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（   ） A．3 B． C．4 D． 【考点19 加权平均数】 1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）小明参加篮球技能大赛的两项得分情况如下表所示： 项目 控球技能 投球技能 得分 90 80 若综合成绩按控球技能占，投球技能占来计分，则小明的综合成绩为（    ） A．70分 B．86分 C．85分 D．84分 2．一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 3．（24-25九年级上·云南保山·期中）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示： 应聘者 学历 经验 工作态度 甲 乙 丙 如果将学历、经验和工作态度三项得分按的比例确定三人的最终得分，并以此为依据录用得分最高者，那么被录用的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 4．某班40名学生的某次数学测验成绩统计表如下： 成绩（分） 50 60 70 80 90 100 人数（人） 2 x 10 y 4 2 若这个班的数学平均成绩是69分，则 . 【考点20 众数】 1．为了发扬中华传统文化，某校随机调查了50名学生一周进行中国古典文学阅读的时间（如下表），这些学生一周进行中国古典文学阅读时间的众数是 小时． 人数（人） 9 14 17 10 时间（小时） 7 8 9 10 2．某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数为（   ） A．9 B．10 C．8 D．8.4 3．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知一组数据：3，3，4，5，，6有唯一的众数，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．江津万达某品牌店，新进一批新款男士运动鞋，试销一周的情况如下： 码号（码） 38 39 40 41 42 43 件数（双） 2 4 7 18 5 1 你认为该店确定进货量时，应多进多少码的鞋子（   ） A．39 B．40 C．41 D．42 【考点21 方差】 1．已知一组数据是：6，7，8，9，10，则这组数据的方差是 ． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击次，甲的成绩单位：环为：，，，，，，乙的成绩单位：环为：，，，，，，这两名射击运动员的平均成绩均为环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是 填写“甲”或“乙”． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）一组数据的方差计算如下：，则这组数据的方差 ． 4．（24-25八年级下·四川资阳·期末）某校为了参加市科技创新大赛，经过多次测试，甲、乙、丙、丁四位同学脱颖而出，其成绩的平均分和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均分 90 95 90 95 方差 1.2 1.2 1.6 1.6 若要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，则应选的同学是 ． 【考点22 中位数】 1．已知一组数据：，，，，，则这组数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）一组数据1、2、3、4、x、7、8、9的中位数是5，则x是（    ） A．5 B．6 C．5.5 D．6.5 3．有十八位同学参加智力竞赛，且他们的分数互不相同，按分数高低选九位同学进入下一轮比赛．小华知道了自己的分数后，还需要知道哪个统计量，就能判断自己能否进入下一轮比赛．（   ） A．中位数 B．众数 C．方差 D．平均数 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是 ． 【考点23 四分位数与箱线图】 1．（25-26八年级上·全国·期末）某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，，，则这组数据的上四分位数是 ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明全班32人参加学校的英文听力测验，如图是全校与全班成绩的箱线图．若小明的成绩恰为全校的上四分位数，则下列关于小明在班上排名的叙述，正确的是（    ） A．在第2~7名之间 B．在第8~15名之间 C．在第16~21名之间 D．在第21~25名之间 3．四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：．这一数据中第一四分位数是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 【考点24 离差平方和】 1．（25-26八年级下·浙江·期中）某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（   ） A．70 B．75 C．150 D．350 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 3．（25-26八年级上·河北保定·期末）在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（   ） A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）两组数据，，与，，，的平均数都是，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的离差平方和是________． 【考点25 数据的分组】 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）某校组织七、八年级学生开展劳动技能知识比赛．为了解活动效果，从两个年级随机抽取部分学生成绩，进行如图统计分析： 收集数据 七年级共400人，八年级共500人，每个年级分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数） 整理数据 将抽取的学生比赛成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用x表示成绩）A组：，B组：，C组：，D组：．其中七年级20名学生的比赛成绩众数出现在B组，B的数据为：72，73，74，74，74，74，74，76，78；八年级20名学生的比赛成绩中C组的数据为：87，88，88，88，89，89，89，89 描述数据 根据统计数据，绘制成如图统计图： 分析数据： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 八年级 (1)_________，_________，_________． (2)你认为哪个年级劳动技能比赛的总体成绩较好，说明理由． (3)①该校授予劳动技能比赛成绩不低于分的学生“劳动小能手”称号估计七、八年级共_________名学生获此称号． ②七（1）班“乐学”小组五位组员在本次比赛中均未达到80分，成绩分别为：65，69，70，74，78．他们决定分成两人组或三人组合作学习，如表． 分法 分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组人，第二组人 第二种 第一组人，第二组人 22 为了达到“组内离差平方和最小”，请你计算并做出选择．_________，选第_________种分法． 【考点26 多边形的对角线】 1．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成4个三角形，那么从这个多边形的一个顶点出发对角线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．过八边形的一个顶点可以引条对角线，这些对角线将八边形分成个三角形，则的值为_____． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 4．（24-25七年级下·河南南阳·月考）某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【考点27 多边形的内角与外角】 1．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·浙江舟山·月考）如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为则原多边形的边数为（    ） A．5或6或7 B．6或7或8 C．7或8或9 D．8或9或10 4．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的一个内角与相邻的外角的度数之比为． (1)求这个n边形的边数； (2)求这个n边形的内角和． 6．如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【考点28 平行四边形的性质】 1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 3．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 4．已知如图，在中，点E、F分别在上，且，对角线交于点O，作与交于点G，连接． (1)求证：； (2)若的周长是20，求的周长． 【考点29 图形的旋转】 1．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 3．在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转得到，旋转角为α，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．    (1)如图,当时，连接、，并延长交于点F，则 ; (2)当时，请画出图形并求出的长； (3)在旋转过程中，过点D作垂直于直线，垂足为点G，连接．当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由． 【考点30 中心对称和中心对称图形】 1．（25-26九年级上·河南商丘·期中）以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（　　） A．乒乓球 B．篮球 C．排球 D．冲浪 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)若将绕点顺时针旋转与重合，则点的坐标为 ． 【考点31 图案设计】 1．如图①是正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有 种 2．小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（25-26九年级上·山西大同·期中）图1和图2都是由连接正八边形部分顶点或部分对边中点构成的图案，每个图案可看作由4个全等的直角三角形、8个全等的小矩形和4个全等的小正方形组成．按下列要求涂阴影． (1)在图1中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图2中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 4．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【考点32 平行四边形的判定】 1．（25-26八年级下·北京·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是______． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 4．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 5．如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 6．如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 【考点33 平行四边形的判定与性质】 1．如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 4．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 【考点34 三角形的中位线】 1．如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 2．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为_________，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则______________． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【考点35 反证法】 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）请用反证法证明：已知：，求证：． 4．（25-26七年级上·上海·期末）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【考点36 菱形的性质】 1．在菱形中，，则（   ） A． B． C． D． 2．菱形的对角线，的长分别为和，则这个菱形的边长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的面积等于 ． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：．    【考点37 菱形的判定】 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到，两部分，将展开后得到的平面图形是 ． 3．如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 4．如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． (1)求证： (2)试判断四边形的形状，并说明理由 【考点38 菱形的判定与性质】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济宁·一模）如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是 ． 4．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【考点39 直角三角形斜边上的中线】 1．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在中，，点D为边的中点，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 2．如图，中，，是斜边的中点，过点作于点，则线段的长度为（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 3．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，直角中，，，过作，连接与相交于，若，则的大小是 度． 4．（24-25八年级下·上海·期末）如图，在中，，E为的中点，四边形是平行四边形，求证：与互相垂直平分． 【考点40 矩形的性质】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，垂直且平分线段，垂足为点E，，则的长为（    ） A．7．5 B．8 C．9 D．10 3．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．求证：四边形是菱形． 【考点41 矩形的判定】 1．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是 ．（写出所有的可能，填写序号即可） 3．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东·期末）已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线，两线相交于点P，求证：四边形是矩形． 【考点42 矩形的判定与性质】 1．如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（    ） A．4 B．3 C．5 D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，求△OEC的面积． 【考点43 正方形的性质】 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）下列的性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 4．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【考点44 正方形的判定】 1．如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.已知，，，点为轴上一动点，以为一边在右侧作正方形. （1）若点与点重合，请直接写出点的坐标. （2）若点在的延长线上，且，求点的坐标. （3）若，求点的坐标. 2．如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是 （只需添加一个）． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，的对角线交于点的中点是，下列说法不正确的是（　　） A．当时，是矩形 B．当时，是菱形 C．当是矩形时，平分 D．当时，是正方形 4．如图，在中，，，点、分别为、的中点，连接，将绕点旋转得到．试判断四边形的形状，并证明． 【考点45 正方形的判定与性质】 1．如图所示，四边形ABCD，已知AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝BC＝2，CD．计算这个四边形的面积． 2．如图，正方形的对角线，交于点，过点作，过点作，与交于点．求证：． 3．如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． (1)试判定四边形的形状，并说明理由； (2)已知，求的长． 4．如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且， (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的周长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $