精品解析：2025年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷

2025年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每个小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握比较大小的法则．根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数是； 故选：A． 2. 是衡量计算设备性能的单位，表示每秒执行的浮点运算次数．具体来说，1 等于每秒1万亿次浮点运算．某型计算设备浮点运算次数达到，将万亿次用科学记数法表示为（　　） A. 亿次 B. 亿次 C. 亿次 D. 亿次 【答案】B 【解析】 【分析】先将万亿次换算为以亿次为单位的数，再根据科学记数法的规则改写得到结果． 【详解】解：万亿次亿次亿次． 3. 若一个正多边形的每个内角都是，则这个正多边形是（ ） A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形的每个内角都是，得出每个外角为，根据多边形的外角和求出结果即可． 【详解】解：∵正多边形的每个内角都是， ∴每个外角度数为， ∴这个正多边形的边数为，即这个正多边形是正八边形，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和外角，解题的关键是熟练掌握正多边形的外角为． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 平行四边形的两组对边分别相等 B. 菱形的两条对角线相等 C. 正方形的四条边都相等 D. 矩形的四个角都相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质．根据各图形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．平行四边形的两组对边分别相等，符合平行四边形的性质，正确； B．菱形的两条对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等（仅当菱形为正方形时对角线相等），因此错误； C．正方形的四条边都相等，符合正方形的性质，正确； D．矩形的四个角均为直角，故都相等，正确． 故选：B． 6. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载：“三足团鱼六眼龟，共同山下一神池．九十三足乱浮水，一百二眼将人窥．”大意是：一群3只脚2只眼睛的团鱼和4只脚6只眼睛的龟，共同生存在一个水池里．它们共有93只脚乱划水，102只眼睛偷看人．设团鱼有x只，龟有y只，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设团鱼有x只，龟有y只，根据共有93只脚乱划水可得方程，根据102只眼睛偷看人可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设团鱼有x只，龟有y只， 由题意得，， 故选：A． 7. 关于二次函数是常数且，下列说法正确的是（　　） A. 函数图象开口向下 B. 对称轴为直线 C. 函数图象与x轴没有交点 D. 在y轴左侧，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得函数图象开口向上；二次函数图象的对称轴为直线；根据，可知函数图象与轴有两个交点；结合图象可知，在轴左侧，的值随值的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：， 函数图象开口向上， 故选项不正确，不符合题意； 二次函数图象的对称轴为直线， 故选项不正确，不符合题意； ， 函数图象与轴有两个交点， 故选项不正确，不符合题意； 函数图象开口向上，对称轴为直线， 在轴左侧，的值随值的增大而减小， 故选项正确，符合题意． 故选：． 8. 中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票1套4枚，邮票图案名称分别为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择2种购买，购买的邮票图案恰好是勾股定理和圆周率的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：用A表示圆周率、B表示勾股定理、C表示欧拉公式、D表示莫比乌斯带，画出树状图，如图所示： ∵有12种等可能的情况，其中购买的邮票图案恰好是勾股定理和圆周率的有2种情况， ∴购买的邮票图案恰好是勾股定理和圆周率的概率是． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】此多项式可直接采用平方差公式进行分解． 【详解】解： ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 10. 分式方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将原分式方程去分母，化为整式方程，求解整式方程后进行检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 经检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标．根据轴对称的点的坐标特征，可知横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会通过反比例系数k的正负判断函数的增减性． 由反比例函数的增减性求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴反比例函数在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，横坐标，，， ∴点在第三象限，点和在第一象限， ∴，，． 又∵在第一象限内，随的增大而减小，且， ∴． 综上所述，． 故答案为：． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P；③作射线交于点D．若，则的大小为______度． 【答案】70 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，由作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的定义求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：在中，，，  ∴， 由作图步骤可知，平分，  ∴， 在中，，  ∴． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、化简绝对值，再合并计算得出结果； （2）分别求解不等式组的两个不等式，取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为：． 15. 近期，成都两名学生成功入选某职业队青训营，这一荣誉极大激发了学生的足球热情．某校组织五、六年级各300名学生举行足球知识竞赛，现在分别从两个年级参赛学生中随机抽取6名学生，将他们的竞赛成绩整理如下： 五年级 77 89 73 91 80 70 六年级 80 76 74 85 73 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）依据抽样数据完成下列表格； 平均数 中位数 五年级 78.5 六年级 （2）若90分及其以上算优秀，请你估计五年级竞赛成绩达到优秀的学生人数共有多少人？ （3）若派遣一支队伍参加足球知识竞赛，则应选派五、六年级中的哪个年级更合适？并说明理由． 【答案】（1）五年级的样本平均数为80分，六年级的样本平均数为80分，六年级的中位数为78分 （2）50人 （3）选派五年级参加足球知识竞赛更合适，见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，求众数、中位数，用样本估计总体的数量等知识，熟练掌握相关统计知识是解题的关键． （1）根据平均数和中位数的定义解答即可； （2）用总人数乘样本中成绩达到优秀的学生人数所占比例解答即可； （3）根据平均数和中位数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：五年级的样本平均数为：（分）， 六年级的样本平均数为：（分）， 六年级的中位数为：（分）； 填表如下： 平均数 中位数 五年级 80 78.5 六年级 80 78 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计五年级竞赛成绩达到优秀的学生人数共有50人； 【小问3详解】 选派五年级参加足球知识竞赛更合适，理由如下： 虽然两个年级的平均数相同，但五年级的中位数比六年级的高，所以选派五年级参加足球知识竞赛更合适．（答案不唯一）． 16. 2024年9月11日，我国自主研发的朱雀三号可重复使用垂直起降回收试验箭，在酒泉卫星发射中心完成10公里级垂直起降返回飞行试验，标志着我国商业航天在可重复使用运载火箭技术上取得突破．某校综合实践小组制作了一个火箭垂直起降模拟装置．如图，在一次试验中，已知该模拟装置在下降阶段从点A匀速垂直下降到点B，再缓速垂直下降到着陆点C，在点A测得地面点D的俯角为，在点B测得地面点D的俯角为，米． （1）求的长； （2）若模拟装置从点A下降到点B的时间为2秒，求该模拟装置从点A下降到点B的速度．（结果精确到米/秒；参考数据：，，，，，） 【答案】（1）的长为8米 （2）模拟装置从点A下降到点B的速度为米/秒 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合图形，在中，求出的长，即可得到的长； （2）在中求出，在中求出的长，从而得到的长，即可得到的长，结合从点A下降到点B的时间为2秒，得到速度． 【小问1详解】 解：如图，过D点作，过A作于F点，过B作于G点， ∵， ∴四边形，四边形是矩形， ∴， 根据题意，，， ∵米， ∴在中，（米）， ∴米， 答：的长为8米； 【小问2详解】 解：由（1）知米， ∵四边形是矩形， ∴米，， ∴在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∵从点A下降到点B的时间为2秒， ∴从点A下降到点B的速度为（米/秒）， 答：模拟装置从点A下降到点B的速度为米/秒． 17. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，连接，恰好经过对角线的中点O，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，且，则　　． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由可证，可得，即可求解； （2）由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理列出方程，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B坐标为，点C坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． （1）求该反比例函数的表达式； （2）点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； （3）连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，点P的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， ∵点B坐标为， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是____________． 【答案】20． 【解析】 【详解】试题分析：因为菱形的对角线垂直平分，对角线AC，BD的长分别是6和8， 所以一半长是3和4， 所以菱形的边长是5， 所以周长是5×4=20． 故答案为：20． 考点：菱形的性质． 20. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由方程有两个不等的实数根结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ． 故答案为：． 21. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，请你写出一个符合条件的实数a的值______． 【答案】 1（答案不唯一） 【解析】 【分析】先对函数去绝对值分段，联立一次函数得到两个一元一次方程，根据一元一次方程解的情况判断交点个数，当仅一个方程存在符合定义域的解时，满足只有一个交点的条件，即可得到符合要求的的值. 【详解】对函数去绝对值可得： 当时，；当时，. 联立一次函数与，得： ，整理得. 联立一次函数与，得： ，整理得. 若两个函数图象只有一个交点，则只需其中一个方程无解，另一个方程有符合定义域的解. 当，即时，方程无解，将代入得，解得，此时两个函数只有一个交点，满足条件. 故答案为（答案不唯一） 22. 如图，在中，点D是边的中点，点E，F分别在边上，且，连接．若，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】作交的延长线于点H，连接，作交的延长线于点M，求出,证明，得到则，根据得到，解得或（不合题意，舍去）．即可求出的长度． 【详解】解：作交的延长线于点H，连接，作交的延长线于点M，如图， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴, ∵点D是边的中点， ∴ ∴， ∴ ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，,， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ∴． 23. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，若且，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，联立方程，则，则方程的两个根和，满足，，故，再结合且，可，所以令，故，所以时，随的增大而增大，又，则，结合，得，，，所以，则当时，取值为，当时，取值为，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，联立方程， ∴， ∴方程的两个根和满足：，， ∴， ∵且， ∴， ∴ 令， ∴， ∴时，随的增大而增大， 又∵， ∴， 又∵， ∴，，， 由得，解得， 由得， 综上得：， ∴在t的范围内，的值随t的增大而增大， ∵当时，取值为，当时，取值为， ∴当时，的范围是． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 今年春节某商家购进A，B两种不同造型的哪吒玩偶．已知购进5个A种玩偶和4个B种玩偶共需152元；购进3个A种玩偶和2个B种玩偶共需84元． （1）求A，B两种玩偶的进价； （2）由于销售情况较好，商家决定再购进A，B两种玩偶共20个，设总费用为W，若总费用低于340元但不少于329元，那么当A，B两种玩偶分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）A种玩偶的进价是16元，则B种玩偶的进价是18元 （2）当购买15个A种玩偶，购进5个B种玩偶时，总费用最少，最少总费用为330元 【解析】 【分析】（1）设A种玩偶的进价是x元，则B种玩偶的进价是y元，根据“购进5个A种玩偶和4个B种玩偶共需152元；购进3个A种玩偶和2个B种玩偶共需84元”列出方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A种玩偶，则购进个B种玩偶，根据“总费用低于340元但不少于329元”可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种玩偶共花费W元，利用总费用=两种玩偶费用之和，可找出W关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设A种玩偶的进价是x元，则B种玩偶的进价是y元，根据题意得： ， 解得， 答：A种玩偶的进价是16元，则B种玩偶的进价是18元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种玩偶，则购进个B种玩偶， 根据题意得：， 解得， 设总费用为W元， 则， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵m为正整数， ∴当时，W最小，最小值为330， 此时， ∴当购买15个A种玩偶，购进5个B种玩偶时，总费用最少，最少总费用为330元． 25. 如图1是放在水平桌面上的高脚杯的轴截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． （1）如图2，以C为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，从点B处插入一根吸管（吸管粗细忽略不计），吸管恰好位于截面内，吸管的一端与杯子交于点M，连接，已知的面积是面积的2倍，求点M的坐标； （3）如图3，现将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当倾斜角为时停止，此时液面为，求此时高脚杯内液体的最大深度． 【答案】（1） （2） （3）最大深度 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）运用待定系数法可得直线的解析式为，利用面积法可得，再由，建立方程求解即可求得答案； （3）在抛物线上取一点G，使，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方的抛物线任取一点M，过M作轴交于H，交于N，过M作交于K，可得，利用二次函数的性质即可求得答案． 【小问1详解】 ∵以C为原点建立平面直角坐标系，抛物线的顶点在原点，开口向上，液面，最大深度（液面到最低点的距离）为，如图2， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入，得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 ∵点M是抛物线上一点，如图2，设交y轴于点L， ∴设， 则， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 则， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∵点M在第二象限， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； 【小问3详解】 在抛物线上取一点G，使，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方的抛物线任取一点M，过M作轴交于H，交于N，过M作交于K，如图4， 由（1）知：抛物线解析式为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴直线解析式为， ∵轴，， ∴设，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值， ∴将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图3所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数与几何综合，二次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的判定，旋转的性质等知识，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键． 26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式． 已知矩形和矩形，，，矩形绕点逆时针旋转． 【初步感知】 （1）如图1，当时，连接，，，，求在旋转过程中的值． 【深入探究】 （2）如图2，通过类比、猜想，探究出在旋转过程中的值（用含的代数式表示），并说明理由． 【拓展运用】 （3）①如图3，当点旋转到对角线上时，求证：点在边上； ②当，时，若，请求出线段的长． 【答案】（1） （2） （3）①证明过程详见解答；②2 【解析】 【分析】（1）可证得，从而； （2）连接，，可推出，进而证得，从而； （3）①证明连接，，由上知，，从而得出，进而证得，从而点在边上； ②作于，可求得，从而，进而求得和的值，解直角三角形，求得的值，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：四边形和四边形是矩形，，， 矩形和矩形是正方形， ，平分，平分，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图1， 连接，， 四边形和四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； 【小问3详解】 ①证明：如图2， 连接，， 由上知，， ， 四边形是矩形， ， ， 点在边上； ②解：如图3， 作于， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每个小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 是衡量计算设备性能的单位，表示每秒执行的浮点运算次数．具体来说，1 等于每秒1万亿次浮点运算．某型计算设备浮点运算次数达到，将万亿次用科学记数法表示为（　　） A. 亿次 B. 亿次 C. 亿次 D. 亿次 3. 若一个正多边形的每个内角都是，则这个正多边形是（ ） A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 平行四边形的两组对边分别相等 B. 菱形的两条对角线相等 C. 正方形的四条边都相等 D. 矩形的四个角都相等 6. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载：“三足团鱼六眼龟，共同山下一神池．九十三足乱浮水，一百二眼将人窥．”大意是：一群3只脚2只眼睛的团鱼和4只脚6只眼睛的龟，共同生存在一个水池里．它们共有93只脚乱划水，102只眼睛偷看人．设团鱼有x只，龟有y只，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 7. 关于二次函数是常数且，下列说法正确的是（　　） A. 函数图象开口向下 B. 对称轴为直线 C. 函数图象与x轴没有交点 D. 在y轴左侧，y的值随x值的增大而减小 8. 中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票1套4枚，邮票图案名称分别为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择2种购买，购买的邮票图案恰好是勾股定理和圆周率的概率是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：________． 10. 分式方程的解是_______． 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是________． 12. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P；③作射线交于点D．若，则的大小为______度． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）解不等式组： 15. 近期，成都两名学生成功入选某职业队青训营，这一荣誉极大激发了学生的足球热情．某校组织五、六年级各300名学生举行足球知识竞赛，现在分别从两个年级参赛学生中随机抽取6名学生，将他们的竞赛成绩整理如下： 五年级 77 89 73 91 80 70 六年级 80 76 74 85 73 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）依据抽样数据完成下列表格； 平均数 中位数 五年级 78.5 六年级 （2）若90分及其以上算优秀，请你估计五年级竞赛成绩达到优秀的学生人数共有多少人？ （3）若派遣一支队伍参加足球知识竞赛，则应选派五、六年级中的哪个年级更合适？并说明理由． 16. 2024年9月11日，我国自主研发的朱雀三号可重复使用垂直起降回收试验箭，在酒泉卫星发射中心完成10公里级垂直起降返回飞行试验，标志着我国商业航天在可重复使用运载火箭技术上取得突破．某校综合实践小组制作了一个火箭垂直起降模拟装置．如图，在一次试验中，已知该模拟装置在下降阶段从点A匀速垂直下降到点B，再缓速垂直下降到着陆点C，在点A测得地面点D的俯角为，在点B测得地面点D的俯角为，米． （1）求的长； （2）若模拟装置从点A下降到点B的时间为2秒，求该模拟装置从点A下降到点B的速度．（结果精确到米/秒；参考数据：，，，，，） 17. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，连接，恰好经过对角线的中点O，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，且，则　　． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B坐标为，点C坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． （1）求该反比例函数的表达式； （2）点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； （3）连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是____________． 20. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______． 21. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，请你写出一个符合条件的实数a的值______． 22. 如图，在中，点D是边的中点，点E，F分别在边上，且，连接．若，则的长度为______． 23. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，若且，则的取值范围为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 今年春节某商家购进A，B两种不同造型的哪吒玩偶．已知购进5个A种玩偶和4个B种玩偶共需152元；购进3个A种玩偶和2个B种玩偶共需84元． （1）求A，B两种玩偶的进价； （2）由于销售情况较好，商家决定再购进A，B两种玩偶共20个，设总费用为W，若总费用低于340元但不少于329元，那么当A，B两种玩偶分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 25. 如图1是放在水平桌面上的高脚杯的轴截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． （1）如图2，以C为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，从点B处插入一根吸管（吸管粗细忽略不计），吸管恰好位于截面内，吸管的一端与杯子交于点M，连接，已知的面积是面积的2倍，求点M的坐标； （3）如图3，现将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当倾斜角为时停止，此时液面为，求此时高脚杯内液体的最大深度． 26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式． 已知矩形和矩形，，，矩形绕点逆时针旋转． 【初步感知】 （1）如图1，当时，连接，，，，求在旋转过程中的值． 【深入探究】 （2）如图2，通过类比、猜想，探究出在旋转过程中的值（用含的代数式表示），并说明理由． 【拓展运用】 （3）①如图3，当点旋转到对角线上时，求证：点在边上； ②当，时，若，请求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $