精品解析：四川省遂宁市船山区遂宁二中教育集团2024-2025学年第二学期八年级期中数学试题

遂宁二中教育集团2024-2025学年第二学期半期初2023级 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（每题3分，共54分） 1. 在中，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 在科技应用领域方面，皮米通常用于描述原子核的大小、原子之间的距离，或者更小的粒子结构，其中1皮米，某个原子的直径为，用科学记数法表示这个数正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 5. 已知，则在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 若函数的图象在其象限内随值的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. k<1 B. k<-1 C. k>-1 D. k>1 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 分式方程有增根，则m的值为（　　） A. 0和3 B. 1 C. 1和﹣2 D. 3 9. 将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ） A. ＜＜ B. ＜＜ C. ＜＜ D. ＜＜ 10. 若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 11. 如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）． A. BO=DO B. CD=AB C. ∠BAD=∠BCD D. AC=BD 12. 如图，在周长为20cm的中，，AC、BD相交于点O，，交AD于点E，则△ABE的周长为（　　　） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm 13. 平行四边形的一个角比它的邻角的2倍还大，则相邻的两个内角为（ ） A. B. C. D. 14. 反比例函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 15. 已知如图，一直线经过原点O，且与反比例函数图象相交于A、B， 过点A作轴，垂足为点C，连接．若，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 16. 一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，，其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 17. 将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 18. 如图，在矩形中，，，点是边上靠近点的三等分点，动点从点出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 19. 若，则________． 20. 函数中，自变量的取值范围是____． 21. 已知一次函数y＝（m＋2）x－（m＋3），y随x的增大而减小，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是_______________ 22. 如图，平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为________． 23. 已知，则= ____． 24. 已知，点在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，点，若，且，则____． 三、解答题（共72分） 25. 计算： 26. 解分式方程： 27. 先化简，再求值：，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数． 28. 遂宁骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，某车行经营的A型车去年2月份销售总额为3万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加300元，若今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同，则今年2月份A型车销售总额将比去年2月份销售总额增加20%． （1）求今年2月份A型车每辆销售价多少元？ （2）该车行计划今年3月份新进一批A型车和B型车共40辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，A、B两种型号车的进货和销售价格如表，问应如何进货才能使这批车获利最多？ A型车 B型车 进货价格（元/辆） 900 1000 销售价格（元/辆） 今年的销售价格 2000 29. 已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的两点，与轴交于点． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）求的值； （3）当x取何值时． 30. 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售； B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题： （1）分别写出yA、yB与x之间的关系式； （2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？ （3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案． 31. 实践探索：如图一，用剪刀把剪下，放在另一张纸上，并沿的边，画一个四边形，记为．则四边形和完全一样，也是平行四边形．它们的对应边、对应角都分别相等． 在中连接，它们的交点记为点O．用一枚图钉穿过点O，将绕点O旋转．我们发现，旋转之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心．由此可以得到． （1）推理论证： 我们可以用演绎推理证明上述探索得到的结论．已知：如图二，的对角线相交于点O．求证：． （2）知识应用：如图三，的周长为，对角线相交于点O，的周长比长，求线与的长． （3）拓展延伸：如图四，在中，，点D在上，以为对角线的所有中，当最小时， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂宁二中教育集团2024-2025学年第二学期半期初2023级 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（每题3分，共54分） 1. 在中，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：分母含字母，是分式； 分母为常数，不是分式； 分母为常数，不是分式； 中是常数，分母不含字母，不是分式； 中分母是字母，属于分式； 分母含字母，是分式； 则分式共有个． 2. 在科技应用领域方面，皮米通常用于描述原子核的大小、原子之间的距离，或者更小的粒子结构，其中1皮米，某个原子的直径为，用科学记数法表示这个数正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中对称的特点，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此求解即可． 【详解】解：∵ 点关于x轴对称， ∴ 横坐标不变，为2，纵坐标变为， ∴ 对称点为， 故选：A． 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 5. 已知，则在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点所在的象限，根据象限内点的坐标的特点即可求解，熟练掌握象限内点的坐标的特点是解题的关键． 【详解】解：， ， 点在第二象限， 故选B． 6. 若函数的图象在其象限内随值的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. k<1 B. k<-1 C. k>-1 D. k>1 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可知，图象在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数小于0，据此列出不等式解答即可． 【详解】∵反比例函数y=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大， ∴k+1＜0， 解得：k＜-1． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解： = = = 故选A． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 8. 分式方程有增根，则m的值为（　　） A. 0和3 B. 1 C. 1和﹣2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时乘以（x-1）（x+2），分式方程化为整式方程，根据分式方程有增根，得出x-1=0，x+2=0，可得方程的增根，然后代入计算即可． 【详解】分式方程两边同时乘以（x-1）（x+2），原方程可化为x（x+2）-（x-1）（x+2）=m， 整理得，m=x+2， ∵分式方程有增根， ∴x-1=0或x+2=0， ∴x=1或x=-2． 当x=1时，m=1+2=3； 当x=-2时，m=-2+2=0， 当m=3时，原方程即为，解得x=1 原方程有增根，符合题意； 当m=0时，方程即为 ，即 x−(x−1)=0 此方程无解 ∴原分式方程无解 ∴m=0不符合题意 即m的值是3 故选：D 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根就是使最简公分母为0的未知数的值，确定增根后，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 9. 将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ） A. ＜＜ B. ＜＜ C. ＜＜ D. ＜＜ 【答案】A 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和平方的运算法则，分别计算出各式的值再进行比较即可． 【详解】解：∵=6，=1，=9， 又∵1＜6＜9， ∴＜＜． 故选A． 【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂和平方的运算．负整数指数幂为相应的正整数指数幂的倒数；任何非0实数的0次幂等于1． 10. 若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵解为正数， ∴， ∴， ∵分母不能为0， ∴， ∴，解得， 综上所述：且， 故选：B． 【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键． 11. 如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ）． A. BO=DO B. CD=AB C. ∠BAD=∠BCD D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质判断即可 【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB（平行四边形的对边相等），正确，不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD（平行四边形的对角相等），正确，不符合题意； D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC=BD，错误，符合题意． 故选D． 12. 如图，在周长为20cm的中，，AC、BD相交于点O，，交AD于点E，则△ABE的周长为（　　　） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明△EOB≌△EOD得到BE=DE，再根据周长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，OB=OD， ∵OE⊥BD， ∴∠EOB=∠EOD=90°，又OE=OE， ∴△EOB≌△EOD（SAS） ∴BE=DE， ∵的周长为20cm， ∴AB+AD=10cm， ∴△ABE的周长为AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=10cm， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键． 13. 平行四边形的一个角比它的邻角的2倍还大，则相邻的两个内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形邻角互补的性质，设未知数列出一元一次方程，即可求解出两个内角的度数． 【详解】解：∵平行四边形邻角互补， ∴相邻两个内角和为， 设较小的内角为，则根据题意得较大内角为，列方程得：， 解得， ∴较大内角为， 即相邻两个内角为． 14. 反比例函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像所在的象限与系数的关系，关键在于熟练掌握两种函数的性质． 首先由反比例函数y＝的图像位于第二、四象限，得出，则，得到一次函数图像经过第二，四象限且与y轴正半轴相交． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴函数的图像过二、四象限，与y轴相交于正半轴， ∴一次函数的图像过一、二、四象限． 故选：C． 15. 已知如图，一直线经过原点O，且与反比例函数图象相交于A、B， 过点A作轴，垂足为点C，连接．若，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知两点关于原点对称，则为线段的中点，故的面积等于的面积，都等于 1 ，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，可知的面积等于，从而求出的值． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于两点， ∴两点关于原点对称， ， ∴的面积的面积， 又 ∵是反比例函数图象上的点，且轴于点， ∴的面积， ， ， ． 16. 一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，，其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性可得，再根据一次函数与轴的交点位于轴负半轴可得，然后根据当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的上方可得，由此即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数而言，随的增大而减小， ，结论①正确； 一次函数与轴的交点位于轴负半轴， ，结论②错误； 由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的上方， 则，结论③错误； 综上，正确的结论有1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 17. 将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，再代入条件解不等式即可． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位，得到一次函数， ∵平移后，， ∴， 解得． 18. 如图，在矩形中，，，点是边上靠近点的三等分点，动点从点出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题函数图象，读懂题目信息，根据点的位置的不同分三段列式求出与的关系式是解题的关键． 求出的长，然后分①点在上时，利用三角形的面积公式列式得到与的函数关系；②点在上时，根据列式整理得到与的关系式；③点在上时，利用三角形的面积公式列式得到与的关系式，然后根据图象选择答案即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∵点是边上靠近点的三等分点， ∴， ①点在上时，的面积， ②点在上时，， ， ， ， ∴， ③点在上时，， ∴， ∵根据三个一次函数解析式的不同，可以判断图象应为三条线段， ∴排除和， ∵和中， ∴，的直线更陡， ∴排除， 故选：． 二、填空题（每题4分，共24分） 19. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例，已知式子的值代入求值，解决此题的关键是正确的计算；将 拆分为 ，然后代入已知条件 进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ， 故答案为：． 20. 函数中，自变量的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【详解】解：根据题意，得且， 解得且． 21. 已知一次函数y＝（m＋2）x－（m＋3），y随x的增大而减小，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据y随x的增大而减小可知，根据图象与y轴的交点在x轴下方则，解不等式组即可求得m的取值范围． 【详解】一次函数y＝（m＋2）x－（m＋3）， y随x的增大而减小， ， 解得， 图象与y轴的交点在x轴下方， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像的性质，根据增减性和与y轴的交点确定参数是解题的关键． 22. 如图，平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为________． 【答案】12； 【解析】 【详解】分析：根据平行四边形的性质可得出阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，再由平行四边形的面积得出答案即可． 详解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴△OBE≌△ODH，△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，∴S阴影=S△BCD． ∵S△BCD=S平行四边形ABCD=×6×4=12． 故答案为12． 点睛：本题考查了平行四边形的面积和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对角线互相平分． 23. 已知，则= ____． 【答案】 【解析】 【分析】将原式取倒数，再将分子进行变形求值即可． 【详解】解：对取倒数可得， ， ∴． 24. 已知，点在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，点，若，且，则____． 【答案】12 【解析】 【分析】分别过点作过点平行于轴的直线的垂线，垂足分别为点，点，证明，得到，进而得到点的坐标为，再求出，即可得出结果． 【详解】解：分别过点作过点平行于轴的直线的垂线，垂足分别为点，点， 则，轴，轴， ∵， ∴，点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即， ∵轴， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共72分） 25. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先计算乘方、负整数指数幂与零指数幂、化简绝对值，再计算实数的乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、实数的运算等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 26. 解分式方程： 【答案】无解 【解析】 【分析】先将原分式方程两边同时乘以最简公分母，则原分式方程可化为整式方程，解出即可． 【详解】解：两边同时乘得， 整理得 检验：时，，∴是原方程的是增根，舍去， 所以原方程无解． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 27. 先化简，再求值：，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数． 【答案】； 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用三角形三边的关系，求得m的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长， ∴3-2＜m＜3+2，即1＜m＜5， ∵m为整数， ∴m=2、3、4， 又∵m≠0、2、3 ∴m=4， ∴原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及三角形三边的关系，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 28. 遂宁骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，某车行经营的A型车去年2月份销售总额为3万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加300元，若今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同，则今年2月份A型车销售总额将比去年2月份销售总额增加20%． （1）求今年2月份A型车每辆销售价多少元？ （2）该车行计划今年3月份新进一批A型车和B型车共40辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，A、B两种型号车的进货和销售价格如表，问应如何进货才能使这批车获利最多？ A型车 B型车 进货价格（元/辆） 900 1000 销售价格（元/辆） 今年的销售价格 2000 【答案】（1）今年的销售价为1800元；（2）购进A型车14辆，B型车26辆，获利最多． 【解析】 【分析】（1）设去年2月份A型车每辆的售价为x元，则今年2月份A型车每辆的售价为（x+300）元，然后依据今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同列方程求解即可； （2）设购进A型车m辆，获得的总利润为w元，则购进B型车（40﹣m）辆，然后列出W与m的函数关系式，然后依据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设去年2月份A型车每辆的售价为x元， 则今年2月份A型车每辆的售价为（x+300）元， 根据题意得：， 解得：x＝1500， 经检验，x＝1500是原方程的解， 则今年的销售价为1500+300＝1800元． （2）设购进A型车m辆，获得的总利润为w元，则购进B型车（40﹣m）辆， 根据题意得： w＝（1800﹣900）m+（2000﹣1000）（40﹣m）＝﹣10m+40000． 又∵40﹣m≤2m， ∴m≥13． ∵k＝﹣100＜0， ∴当m＝14时，w取最大值． 答：购进A型车14辆，B型车26辆，获利最多． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，依据题意列出分式方程、得到W与m的函数关系式是解题的关键． 29. 已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的两点，与轴交于点． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）求的值； （3）当x取何值时． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）设一次函数图象与轴交点为，连接，根据一次函数表达式求出点A、B坐标，由求解即可； （3）根据两函数图象，得出一次函数图象位于反比例函数图象下方的点的横坐标的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， ∴反比例函数表达式为； ∵点在反比例函数表达式的图象上， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：设一次函数图象与轴交点为，连接， 由一次函数表达式， 令，则； 令，则，解得， ∴，， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可得，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象下方， ∴当或时，． 30. 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售； B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题： （1）分别写出yA、yB与x之间的关系式； （2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？ （3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案． 【答案】解：（1） yA=27x+270，yB=30x+240；（2）当2≤x＜10时，到B超市购买划算，当x=10时，两家超市一样划算，当x＞10时在A超市购买划算；（3）先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球． 【解析】 【分析】（1）根据购买费用=单价×数量建立关系就可以表示出yA、yB的解析式； （2）分三种情况进行讨论，当yA=yB时，当yA＞yB时，当yA＜yB时，分别求出购买划算的方案； （3）分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论． 【详解】解:（1）由题意，得yA=（10×30+3×10x）×0.9=27x+270； yB=10×30+3（10x﹣20）=30x+240； （2）当yA=yB时，27x+270=30x+240，得x=10； 当yA＞yB时，27x+270＞30x+240，得x＜10； 当yA＜yB时，27x+270＜30x+240，得x＞10 ∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算，当x=10时，两家超市一样划算，当x＞10时在A超市购买划算． （3）由题意知x=15，15＞10， ∴选择A超市，yA=27×15+270=675（元）， 先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球： （10×15﹣20）×3×0.9=351（元）， 共需要费用10×30+351=651（元）． ∵651元＜675元， ∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意确列出函数关系式是本题的解题关键. 31. 实践探索：如图一，用剪刀把剪下，放在另一张纸上，并沿的边，画一个四边形，记为．则四边形和完全一样，也是平行四边形．它们的对应边、对应角都分别相等． 在中连接，它们的交点记为点O．用一枚图钉穿过点O，将绕点O旋转．我们发现，旋转之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心．由此可以得到． （1）推理论证： 我们可以用演绎推理证明上述探索得到的结论．已知：如图二，的对角线相交于点O．求证：． （2）知识应用：如图三，的周长为，对角线相交于点O，的周长比长，求线与的长． （3）拓展延伸：如图四，在中，，点D在上，以为对角线的所有中，当最小时， ． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，易证，证明，即可得出结论； （2）由（1）知，结合题意得到，再根据平行四边形的性质可得，即可求解； （3）当时，有最小值，此时，，证明四边形是矩形，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵的周长比长， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：∵四边形是以为对角线的平行四边形， ∴， 当时，有最小值， 此时，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $