精品解析：河北保定市涞水波峰中学2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题

2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，即，解得：， 则集合，所以. 2. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】结合复数的乘法运算，利用复数相等列方程组求解即可. 【详解】因为， 所以解得. 故选：C 3. 若，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的单调性可判断. 【详解】因为在上单调递增，所以； 因为在上单调递减，所以； 又因为在上单调递减，所以； 综上：. 故选：C 4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单位圆及三角函数的定义求出，再由二倍角余弦公式求解. 【详解】因为是角终边与单位圆的交点， 所以， 故. 故选：A 5. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（ ）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：） A. 130天 B. 149天 C. 120天 D. 155天 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出方程两边取对数，利用给出的数据解方程即可. 【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的20倍， 则， . 故选：B 6. 甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去1个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲同学独自一人去了一个景点”，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用分步计数原理分别计算事件的个数以及事件的个数，然后代入条件概率公式即可求解 . 【详解】事件为“甲独自一人去一个景点”，甲先选景点共4种选择，剩余乙、丙、丁都不能选甲的景点，每人都有3种选择， 因此： . 事件表示“4人景点各不相同且甲独自去一个景点”，若4人去的景点各不相同，则甲必然独自一个景点， 因此就是“4人景点各不相同”：甲选完景点后，剩余3人全排列去剩下3个景点， 因此： . 故 . 7. 若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，利用极值点、极值列方程组求解可得，根据在区间上的单调性列表求值域即可. 【详解】由，所以， 因为函数在处取得极大值3， 所以， 所以，， 令，解得或， 当变化时，在的变化情况如表所示， 0 12 极小值 所以根据上表可知，在上的值域为， 故选：D 8. 已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，设，表示出的方程求得，则，由表示出P的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解. 【详解】由，得的横坐标为，设， 则直线的方程为，令，得，即， 所以线段的中点，则， 由，得，则， 即，代入双曲线方程得， 即，整理得， 由，解得. 故选：A 【点睛】思路点睛：解答本题的思路是根据点的坐标表示出点的坐标，由中点坐标公式表示出点的坐标，结合平面向量数量积的坐标表示求得，代入双曲线方程计算即可. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（ ） A. 若，则平面ACD B. 当最小时， C. 若，则 D. 当最大时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于：若，则点即为点，进而可得结果；对于、：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断；对于：若，可得点在线段上（包括端点），结合垂直关系分析判断. 【详解】由，平面平面，平面平面，平面，得平面， 又N在侧面上（包含边界），设，且， 于是 ， 而，则，且， 对于，若，则，点即为点，显然平面，错误； 过作，垂足为，得，，    由平面，平面，得，而，平面， 则平面，因此， 对于，显然当点与点重合时，最小，此时，则，正确； 对于，若，则，即点在线段上（包括端点）， 由平面，平面，得，正确； 对于，显然当点与点重合时，最大，即最大，此时， 于是，正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的周期为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 直线是函数图象的对称轴 C. 在区间上有两个对称中心 D. 若在区间上有2024个根，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用周期求得，利用对称中心可求得，逐项计算可判断其正误. 【详解】因为函数的周期为，所以，解得， 因为，所以函数关于点对称， 所以，所以，又， 所以，所以， 当，所以，所以在区间上单调递减，故A正确； ，所以直线不是函数图象的对称轴，故B错误； 当，，所以在区间上有两个对称中心，故C正确； 由，可得， 解得或， 所以或，同一周期内，两个解的最近距离为， 因为一个周期内有两个根，又在区间上有2024个根， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知有穷数列，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数，则称数列为“数列”．记“数列”的所有项的和为，则（ ） A. 若为“20数列”，则此数列为0，1，0，1 B. 若为“数列”且，则 C. 若为“数列”且（其中），则所有的和为90 D. 若为“2k数列”，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，所以此数列为0，1，0，1，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以至少有2项，至多有4项，且恰有两项为1， 故所有的和为：，故C正确； 对于D，因为且， 所以， 当时，所有的和为， 当时，所有的和为， 当时，所有的和为， 当时，所有的和为， 所以，故D正确. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解. 【详解】由函数可得，. 故答案为： 13. 据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人． 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，进而求出目标人数. 【详解】由，， 得， 所以这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有. 故答案为：8 14. 已知函数的定义域为，且满足，，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，构造函数，求得，得到在上单调递增，得到，将代入求得，，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 因为，可得，所以， 即， 构造函数， 可得， 因为，所以，所以在上单调递增，所以， 又由， ， 所以，即，解得， 所以的最小值为. 故答案为：. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， （1）求角A； （2）若，的面积为，求b，c； （3）若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得， ∴ ， 即， ， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． 【小问2详解】 由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． 【小问3详解】 因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则 ， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 16. 某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名维修工人进行维修. （1）若发生故障的机床数为，求的分布列； （2）已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润.现该厂准备为该车间招聘名维修工人，设该车间每月获利为. （i）当，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值； （ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数的值，并说明理由. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 （2）（i）；（ii）1人，理由见解析【解析】 【分析】（1）由题意得可能取，且，由二项分布概率公式计算出概率后可得分布列； （2）（i）当时，根据机床发生故障的台数，确定出的可能取值，写出分布列计算出均值； （ii）再分别计算出时的获利均值，比较后可得. 【小问1详解】 可能取，且 所以，， ，. 故的分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】 （i）3台机床都无故障或只有1台有故障，则， 3台机床中有2台有故障，则， 3台均有故障，则， 所以，，， 故的分布列为： 24 15 6 ； （ii） 时，由题意可能取值：， 的分布列为： 27 18 9 0 ， 时，至多有2台机床发生故障时，， 有3台发生故障时，， ，， 的分布列为： 21 12 ， 时，3台机床无论有无故障都能正常获利，所以 . 最大，即招聘维修工人1人. 17. 在四棱锥中，底面为正方形，平面. （1）求证：平面； （2）求钝二面角的余弦值； （3）若存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由已知得出，，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）以为坐标原点，建空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，再利用向量法即可求解； （3）利用反证法证明即可. 【小问1详解】 因为底面为正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图，以为原点，为轴， 为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则，， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 则， 因为二面角为钝二面角，二面角大小为法向量夹角的补角， 所以钝二面角的余弦值为. 【小问3详解】 不存在，理由如下： 假设存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球， 则， 因为底面为正方形， 所以为对角线与的交点， 因为平面，平面， 所以，即， 所以，与矛盾，故假设不成立， 所以不存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球. 18. 已知动点分别与定点和连线的斜率乘积. （1）求动点P的轨迹方程E； （2）F是E的右焦点，若l过点F，与曲线E交于C，D两点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点F无论怎么转动，都有 成立？若存在，求出T的坐标：若不存在，请说明理由． （3）设点P位于第一象限，的平分线交AP于点M，求证：． 【答案】（1）； （2）存在点 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将题目给定的斜率乘积条件直接转化为坐标代数式，化简得出轨迹方程； （2）分类讨论后，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理将向量数量积转化为含有斜率的表达式，再通过“恒成立”条件解出定点坐标； （3）先利用角平分线定理将问题转化为角度倍数关系证明，再结合双曲线方程，利用坐标的正切值与二倍角公式进行代数消元和验证. 【小问1详解】 ，化简得， 即动点P的轨迹方程E为； 【小问2详解】 存在，理由如下： 假设存在点，使恒成立，由已知得， 当直线l斜率存在时，设直线方程为，， 联立，得， 且， 则，， ， ， 若 恒成立，则恒成立， 整理得，即，解得； 当直线l斜率不存在时，直线l的方程为， 此时 ，解得，不妨取， 则， 又，解得或， 综上所述，，所以存在点使恒成立. 【小问3详解】 因为的平分线交AP于点M，由角平分线定理可得， 则， 要证明，只需证明， 即证，即证， 由题意得，当时， ，，， 因为点在曲线上， 则， 故， 则， 又因为为锐角，即，所以， 所以，所以，所以. 当时，，此时直线轴，， 又因为，即，依然满足，结论成立. 综上，. 19. 已知函数，且的最小值为1. （1）求的值； （2）证明： （i）； （ii）对于任意. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对进行讨论，然后对函数求导可得结果； （2）化简式子，讨论范围，转化为，成立，将其变形为，构建函数，利用左右两边最值进行比较可得； （3）可证得不等式，化简得，利用不等式得到，然后求和利用等差、等比数列求和可证得结论. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，函数在单调递增，不符合题意； 当时，函数在单调递增，不符合题意； 当时，，若，；若，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为 【小问2详解】 （i）由（1）可知；，要证明，只需证明 因，显然恒成立；故只需证明，成立，即证：在上恒成立. 令，，令，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则 令，因在上单调递增，则 ， 故有，即， 故得证. （ii）令，在恒成立， 在单调递增，则. 要证， 只需证，即， 由， 又，则，故得， 所以， 又，所以， 所以， 即得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 若，，，则（    ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（ ）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：） A. 130天 B. 149天 C. 120天 D. 155天 6. 甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去1个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲同学独自一人去了一个景点”，则 （　　） A. B. C. D. 7. 若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（ ） A. 若，则平面ACD B. 当最小时， C. 若，则 D. 当最大时， 10. 已知函数的周期为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 直线是函数图象的对称轴 C. 在区间上有两个对称中心 D. 若在区间上有2024个根，则的最小值为 11. 已知有穷数列，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数，则称数列为“数列”．记“数列”的所有项的和为，则（ ） A. 若为“20数列”，则此数列为0，1，0，1 B. 若为“数列”且，则 C. 若为“数列”且（其中），则所有的和为90 D. 若为“2k数列”，则 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则______. 13. 据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人． 14. 已知函数的定义域为，且满足，，则的最小值为_________. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， （1）求角A； （2）若，的面积为，求b，c； （3）若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 16. 某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名维修工人进行维修. （1）若发生故障的机床数为，求的分布列； （2）已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润.现该厂准备为该车间招聘名维修工人，设该车间每月获利为. （i）当，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值； （ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数的值，并说明理由. 17. 在四棱锥中，底面为正方形，平面. （1）求证：平面； （2）求钝二面角的余弦值； （3）若存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由. 18. 已知动点分别与定点和连线的斜率乘积. （1）求动点P的轨迹方程E； （2）F是E的右焦点，若l过点F，与曲线E交于C，D两点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点F无论怎么转动，都有 成立？若存在，求出T的坐标：若不存在，请说明理由． （3）设点P位于第一象限，的平分线交AP于点M，求证：． 19. 已知函数，且的最小值为1. （1）求的值； （2）证明： （i）； （ii）对于任意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $