江西南昌市第二中学2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题

**基本信息** 南昌二中高一数学期中卷聚焦向量、三角函数等核心知识，通过梯形动点最值（18题）、解三角形与面积证明（19题）等综合题，考查空间观念、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|向量基底判定、复数纯虚数、解三角形|基础概念辨析，体现数学眼光| |多选题|4|向量共线与夹角、三角形判定|多角度思维考查，培养推理意识| |填空题|4|向量坐标运算、三角恒等变换|简洁计算，强化运算能力| |解答题|5|向量夹角、解三角形垂心、函数零点、梯形向量表示与最值、面积证明|综合应用，如18题梯形向量与动点最值（几何直观）、19题面积证明（模型意识）|

南昌二中2025-2026学年度下学期高一数学期中试卷 命题人：曹玉璋 审题人：刘三红 一、单选题 1.若是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是（    ） A. B. C. D. 2.已知向量，若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 4.已知复数为纯虚数，则实数（    ） A． B． C．2 D． 5.的角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（   ） A．6 B． C．4 D． 6.在矩形中，是的中点，是上靠近的三等分点，则向量=（    ） A． B． C． D． 5.已知，，分别为中角，，的对边，已知，， ，则的面积等于（　　  ） A． B． C． D． 8.如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ） A．点，与向量共线的单位向量为 B．非零向量和满足，则与的夹角为 C．已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 10.已知的内角，，的对边分别为，，，则能判定△一定是等腰三角形的为（　　） A． B． C． D． 11． 函数在区间上的最大值为，最小值为，令，则下列结论中正确的是（    ） A． B． 的最大值为 C． 的最小值为1 D．当时， 三、填空题. 12.已知，，点P满足，则点P的坐标是 13.已知,则的值为 14． 如图，在中，已知，，，且, 则________． 四、解答题 15.已知向量， 若 ，求实数的值; 若， ，求向量与的夹角. 16．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)设△的垂心为，若．求的值和的值． 17.已知函数 (1)当时，求的值域； (2)若函数在区间上没有零点，求正实数的范围. 18.在梯形ABCD中，，，，．，． (1)用，表示． (2)设M是线段EF上一点，且． （i）求； （ii）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值． 19.在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的最小值； （2）记的面积为，点是内一点，且， 证明：①； ②. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B C D D B C D BD ABD AB 12. 13. 14. 15.已知向量， 若 ，求实数的值; 若， ，求向量与的夹角. 【答案】（1）1；（2）. 【详解】（1）由，得， 因为，所以，所以， 即，解得； （2） 由，得，， 所以，，， 设向量与的夹角为，则，又因为，所以，即向量与的夹角为. 16．在△中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）设△的垂心为，若．求的值和的值． 【答案】（1）（2）， 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 即， 因为，则，故， 因为，所以． （2）①因为点为△的垂心，所以，即， 则，得． ②由余弦定理得，，所以则， 所以． 17．已知函数 (1)当时，求的值域； (2)若函数在区间上没有零点，求正实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为. 因为，所以，故，， 即的值域为. （2） 令，可得，解得. 因为在上没有零点，所以，解得， 因为，所以又由，得，所以或 当时，； 当时， 综上所述，正实数的取值范围是. 18．在梯形ABCD中，，，，．，． (1)用，表示．(2)设M是线段EF上一点，且． （ⅰ）求；（ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值． 【答案】 (1)； (2)（ⅰ）；（ⅰⅰ）. 【详解】（1）因为，，，所以 所以. （2）（ⅰ）以为原点，所在直线为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，，所以点分别是上靠近点的三等分点， 又，，，， 所以， 则， 因为，所以， 又三点共线，所以存在使得， 即，即， 解得，所以，所以， （ⅰⅰ）因为H为线段GD上一个动点，设， 则， 又 所以 ，由二次函数性质可知，当时取得最小值. 19．在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的最小值； （2）记的面积为，点是内一点，且， 证明：①；②. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理可得，又由余弦定理得，可得， 因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. （2）设，，，，，的面积分别为，，， ①因为，所以， 又因为，所以. ②由（1）中可得，所以， 在，，中，同理可得：， 所以，，， 所以， 即，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $