精品解析：江西师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期第二次素养测试数学试卷

江西师大附中高一年级数学期中试卷 命题人：徐美玲 审题人：王宝华 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中是奇函数且周期为的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A ：函数的最小正周期为，函数为奇函数，A错误； 对于B：函数为奇函数，最小正周期为，B正确； 对于C ：的定义域为，关于原点对称，又， 所以为偶函数，且最小正周期为，C错误； 对于D：函数的定义域为，关于原点对称，又， 所以为偶函数，最小正周期为，D错误. 2. 为得到的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移变换和伸缩变换推理判断即可. 【详解】把的图象上所有的点先向右平移个单位长度，得， 再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得. 故选：C 3. 已知向量.若三点共线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用三点共线的概念进行求解. 【详解】若，，三点共线，则向量与共线， 因为，， 由共线条件可得：， 化简可得：，求解得：. 故选：A. 4. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出小轮每分钟转的圈数，进而求得小轮每秒钟转的弧度数，从而求出小轮每秒转过的弧长. 【详解】由大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈， 得小轮每分钟转的圈数为，因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是. 故选：B. 5. 将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到新的图象．已知这个新的图象关于原点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式，将变形为的形式，根据平移变换的规则及正弦函数的对称特点，求得的取值，即可得其最小值. 【详解】． 设图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则． 因为函数的图象关于原点中心对称，所以，即，即. 所以，即． 当时，有；因此时，取得最小值． 6. 如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由及点共线，得， 而，因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 7. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由辅助角公式、两角和的正切公式、及余弦二倍角公式化简，结合正弦函数的单调性即可判断. 【详解】 ， ， ， 由在的单调性可知：. 8. 已知，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：由三角恒等变换得，设，转化为二次函数求最值； 解法二：由二倍角及和差化积得，记，则，转化为二次函数求最值． 【详解】解法 设，则，即 .故选D. 解法2： ，记，则 则. 故选：D. 二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是边长为的正三角形，该三角形重心为点，点为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及模长的定义分别判断各选项. 【详解】 如图所示， 设的三边中点分别为，，， 则， 所以，A选项错误； 成立，B选项正确； 由点为三角形重心，可知，所以，C选项正确； ，所以，D选项正确； 故选：BCD. 10. 已知函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则下列命题正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称 C. 当时， D. 函数的一个对称中心为 【答案】BD 【解析】 【分析】由两点的水平距离可求出函数的周期，再利用周期公式求出，然后代入两点中一个点的坐标可求出，从而可求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】由图可知，得，得， 所以， 因为的图象过，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 对于A，由，得，则， 因为在上不单调， 所以在上也不单调，所以A错误， 对于B，将函数的图象向右平移个单位长度后，得 ， 因为为偶函数，所以其图象关于轴对称，所以B正确， 对于C，当时，，则， 所以，即， 所以，即，所以C错误， 对于D，因为，所以函数的一个对称中心为，所以D正确. 故选：BD 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义判断A，利用正弦函数的最小正周期判断B，利用“同增异减”判断C，利用换元法结合二次函数的性质判断D. 【详解】对于选项A，对于任意的，， 所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确； 对于选项B， 因为，的最小正周期均为， 故的最小正周期是，故B正确； 对于选项C， 当时，，令，，， 因为在上单调递减， 而在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，时，单调递增，故C错误； 对于选项D， 时， ， ，即； 时， ， ，即， 故D正确. 故选：ABD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用三角函数恒等变换和诱导公式的应用求出结果即可． 【详解】由于， 整理得：， 即：， 则：， 则：. 故答案为． 【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 13. 函数在的零点个数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】由和差化积公式得到，，令，求解的值，即可得到零点个数. 【详解】由和差化积公式得到，， 令，则，即或， 当时，得到，,即 , 因为，所以共7个； 当时，得到，，即，， 因为，所以共1个； 合并两组解，得到：共7个不同的零点； 所以函数在的零点个数为7个. 故答案为：7. 14. 已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，易知必满足题意；当时，根据可得，由最大值点的个数可构造不等式组，结合确定具体范围. 【详解】至少存在两个不相等的实数，使得， 当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意； 当，即时，， ，； 当时，解集为，不合题意；令，则；令，则； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果. 四､解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）已知，，其中，.求角的值. （2）求值：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的正弦公式得，再根据范围求角； （2）由给定条件确定出，值的正负及大小，再利用二倍角公式化简计算即得. 【详解】（1）因为且，可得， 所以 则， 因为，可得， 又因为， 所以，可得，所以， 所以. （2），则， 则原式 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）若方程在上的解为，，求. 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间 （2） 【解析】 【分析】（1）根据倍角公式、降幂公式和辅助角公式化简，利用周期公式、单调性求解即可； （2）令，则函数变形为，，从而等价于，根据函数的图象与性质，可知与的两交点的横坐标，满足，则，求解即可. 【小问1详解】 由题意可知， ， 所以函数的最小正周期， 令， 得， 则函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 ，令，则， 所以，， 又因为时，图象关于对称，且， 时，图象关于对称，且， 所以等价于，， 设为与的两交点的横坐标，则， 因为方程在上的解为， 所以， 即，即， . 17. 设函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过换元法，将不等式恒成立问题转化为二次函数在给定区间上的最小值大于0的问题. （2）先将方程转化为关于的二次方程，再结合二次函数的性质和三角函数图象确定的取值范围. 【小问1详解】 令，，. 可转化为. 函数的对称轴为. 当，即时，，由，可得. 当，即时，， 当时，，由，得； 当时，，由，得. 当，即时，，由，得. 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 由得，令，方程变形为. 因为方程在上有四个不相等的实数根，所以方程在上有两个不相等的实数根. 记，则 ，解得. 故的取值范围是. 18. 随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图． （1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：，，） （2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，在其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F． ①若小汽车卡在直角车道内（即A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）（rad），求水平截面的长（即AB的长，用表示） ②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？ 【答案】（1）2.8m； （2）①，；②小汽车能够顺利通过直角转弯车道. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，在两个直角三角形中，利用直角三角形边角关系计算作答. （2）①利用给定图形结合直角三角形锐角三角函数定义，用表示EF，BE，CF即可作答； ②由①的结论，利用换元法并借助函数单调性，求出AB长的最小值作答. 【小问1详解】 图1中：在中，，，，又， 则(m)，而m，有(m)， 在中，，，， 则(m)， 结合实际意义，四舍五入会使车辆卡住，可以使用去尾法，则m， 所以限定高度的值约为2.8m. 【小问2详解】 ①图2中：依题意，则，，，， 又，设， ，； ②由①知，设，则，，， 则， 而，函数在上单调递增，则在上是减函数， 于是得当，即时，， 所以小汽车能够顺利通过直角转弯车道. 【点睛】思路点睛：涉及含有和的三角函数值域或最值问题，可以通过换元转化为整式函数或分式函数在某区间上的值域或最值问题解答. 19. 以下是人教A版高中数学必修第一册教材中的一道习题： 证明：． 为了将该问题进行拓展探究，定义函数．例如，方程可表示为． （1）求函数的单调递减区间； （2）求不等式的解集； （3）是否存在正数，对于任意，关于的方程在区间至少有三个不同实数根？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，且的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的单调性可得出函数的单调递减区间； （2）由已知条件得出，化简得出，分、两种情况求解，结合正弦型函数的基本性质可得出原不等式的解集； （3）假设存在正数满足题设条件，根据，可得出，于是得出①，或②，然后讨论这两个方程解的情况，分类求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，解得， 又的定义域为， 所以的单调递减区间为． 【小问2详解】 因为，且， 所以，所以， 所以，即． （i）当时，其中、， 即，解得． （ii）当时，即， 得，其中、， 解得． 综上，原不等式的解集为或. 【小问3详解】 假设存在正数，对于任意，关于的方程在区间至少有三个不同实数根． 因为，所以， 所以， 所以①，或②． 对于方程①， 若，则，方程①不成立， 所以，所以对于任意恒成立，所以， 所以． 对于方程②， （i）若，则， 当为奇数，，方程②无解． （ii）若，则对于任意，所以，所以． （iii）若，则对于任意，所以， 所以． （iv）若，则， 所以且， 所以， 因此方程②无解． 综上，原方程的解为或或． 所以存在，对于任意，关于的方程在区间至少有三个不同实数根，正数的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西师大附中高一年级数学期中试卷 命题人：徐美玲 审题人：王宝华 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中是奇函数且周期为的函数为（ ） A. B. C. D. 2. 为得到的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 3. 已知向量.若三点共线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 4. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到新的图象．已知这个新的图象关于原点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是边长为的正三角形，该三角形重心为点，点为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则下列命题正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称 C. 当时， D. 函数的一个对称中心为 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则的值是______． 13. 函数在的零点个数为______． 14. 已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是________． 四､解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）已知，，其中，.求角的值. （2）求值：. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）若方程在上的解为，，求. 17. 设函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 18. 随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图． （1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：，，） （2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，在其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F． ①若小汽车卡在直角车道内（即A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）（rad），求水平截面的长（即AB的长，用表示） ②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？ 19. 以下是人教A版高中数学必修第一册教材中的一道习题： 证明：． 为了将该问题进行拓展探究，定义函数．例如，方程可表示为． （1）求函数的单调递减区间； （2）求不等式的解集； （3）是否存在正数，对于任意，关于的方程在区间至少有三个不同实数根？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $