系统沉淀训练04 一次二次及指对幂等函数-2026届高三数学三轮冲刺

2026高考前45天 系统沉淀训练04 一次二次及指对幂等函数 适用范围：全国Ⅰ卷 目前成绩75--125 主要考点：【1】一次函数；【2】二次函数；【3】反比例函数；【4】指数函数；【5】对数函数；【6】幂函数. 重点题目：1-14 一、单选题 1．（25-26高三上·河南·月考）若命题，为真命题，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，所以是关于a的一次函数，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可得答案. 【详解】令，所以是关于a的一次函数， 因为，都成立， 所以，解得． 故选：D 2．（2026·湖南·二模）已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以，又且，所以， 而 的定义域为，处无定义， 当时，，因为，所以对数函数在上单调递增； 当时，， 根据复合函数性质得，内层在单调递减， 外层单调递增，因此在上单调递减. 则的递增区间是． 3．（2026·河北·模拟预测）已知条件的解集为，条件是减函数，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别求出命题中的的取值范围，再根据集合间的关系结合充分必要条件定义即可得到答案； 【详解】对命题：， 对命题q：， 因为真包含于， 所以是的必要不充分条件. 4．（2026·河北·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合， 集合， 所以，. 5．（2026·山东聊城·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数在上单调递增； 对于B，函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 对于C，因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增； 对于D，因为函数和在上单调递减， 所以函数在上单调递减. 6．（2026·四川·二模）“”是“是幂函数且在上单调递减”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义及幂函数的定义和性质求解. 【详解】充分性分析：，， 是幂函数且在上单调递减，故充分性成立； 必要性分析：是幂函数，， ，，或， 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 综上可知，是幂函数且在上单调递减， 则或，故必要性不成立， 故“”是“是幂函数且在上单调递减”的充分不必要条件. 7．（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，解得或，再由为非奇非偶函数，确定函数 ,然后再利用裂项相消法求解. 【详解】由题意得：， 解得或， 而当时，为偶函数，不合题意； 当时，为非奇非偶函数，符合题意， 则， 则． 8．（25-26高三下·河南·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先取，计算和时函数的上确界，结合单调性定义排除，当时，根据分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处，左端的上确界小于等于右端函数值的最小值，得到不等式组，求出的范围. 【详解】当时，， 由，知在上不单调递增， 当时，因为在上单调递增，， 解得，故实数的取值范围为． 故选：D． 二、多选题 9．（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据图象得出参数，进而计算判断A，B，C选项，再代入化简计算一元二次不等式判断D. 【详解】函数的零点为和1，则， 又因为图象开口向下，所以， 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项错误； 对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确； 故选：AD 10．（2026·湖南·三模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由对数函数的性质判断A，C；由基本不等式判断B；由判断D． 【详解】由于，则，，所以A，C正确； ，由A可知，所以此处等号不能取，所以，故B正确； ，D错误． 11．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；利用基本不等式求解D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，令，由，得到， 当且仅当，即时取等号，所以D正确， 三、填空题 12．（2022高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】令，根据定义域，可得x的范围，根据二次函数的性质，可得的单调区间，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，分析即可得答案. 【详解】令，由题意得，解得， 且为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为为单调递减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 13．（2026·浙江杭州·二模）设函数，则______. 【答案】2 【详解】因为， 所以. 14．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解. 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 四、解答题 15．（25-26·江苏盐城·月考）计算： (1). (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据指数幂的运算和指数幂与根式的转化计算即可． （2）利用对数的运算性质和换底公式计算即可. 【详解】（1） （2） . 16．（25-26江苏无锡·期末）已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值： (2)求函数在上的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义及函数的奇偶性求解即可. （2）根据二次函数的性质分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，即，解得或. 当时，，此时为奇函数，满足条件； 当时，，此时为偶函数，不满足条件； 所以. （2）由（1）知，，所以，对称轴为. 因为，所以. 结合二次函数的对称性可知， 当时， . 当时，. 综上，当时，函数在上的最大值为8，当时，最大值为. 17．（25-26·广东梅州·月考）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成在上有两个不等根，令，利用二次函数根的分布建立方程组，即可求解. 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. （3）因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 18．（24-25全国·期末）已知，函数满足为奇函数. (1)求实数的值，判断并用定义证明函数在上的单调性； (2)若不等式成立，求实数可取的最小整数值. 【答案】(1)，证明见解析 (2)6 【分析】（1）根据奇函数的定义列方程可解得，进而根据定义可判断的单调性； （2）首先求出函数值为对应自变量的值，再结合单调性列不等式即可求解. 【详解】（1）因为为奇函数， 所以所以. 由可得， 解得. 在上是增函数，证明如下： 因为，所以. 任取，则， 由得，所以，所以， 故函数在上是增函数. （2）令，可得，解得，即有 所以，即， 又在上是增函数，所以，解得， 故实数可取的最小整数为6. 19．（25-26·河南商丘·月考）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值. 【答案】(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出最值求解即可. （2）求解，，令求解即可. 【详解】（1）当时，函数单调递增， 函数在区间上的最大值与最小值分别为，， 由题意可得：， 此时区间为；当时，此时，显然区间不成立， 综上所述：，即； （2）， 令，因为，所以， 所以， 所以，， ，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考前45天 系统沉淀训练04 一次二次及指对幂等函数 适用范围：全国Ⅰ卷 目前成绩75--125 主要考点：【1】一次函数；【2】二次函数；【3】反比例函数；【4】指数函数；【5】对数函数；【6】幂函数. 重点题目：1-14 一、单选题 1．（25-26高三上·河南·月考）若命题，为真命题，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南·二模）已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·模拟预测）已知条件的解集为，条件是减函数，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·河北·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东聊城·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川·二模）“”是“是幂函数且在上单调递减”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·河南·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 10．（2026·湖南·三模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 三、填空题 12．（2022高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为______． 13．（2026·浙江杭州·二模）设函数，则______. 14．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 四、解答题 15．（25-26·江苏盐城·月考）计算： (1). (2). 16．（25-26江苏无锡·期末）已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值： (2)求函数在上的最大值. 17．（25-26·广东梅州·月考）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 18．（24-25全国·期末）已知，函数满足为奇函数. (1)求实数的值，判断并用定义证明函数在上的单调性； (2)若不等式成立，求实数可取的最小整数值. 19．（25-26·河南商丘·月考）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $