精品解析：湖北省宜昌市当阳市实验初级中学2025-2026学年下学期八年级数学期中试题卷

当阳市实验初级中学期中试题卷 一．选择题（共10小题，30分） 1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵选项A：的被开方数含有分母，不满足条件，不是最简二次根式． 选项B：，被开方数含有分母，不满足条件，不是最简二次根式． 选项C：，不满足条件，不是最简二次根式． 选项D：的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法则进行计算即可判断． 【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B、2与不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、 ，故本选项正确； D、 ，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，4，5 C. 6，8，11 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】将两短边的平方相加，与最长边的平方进行比较，由此即可得出结论． 【详解】解：A、∵22+32＝13，42＝16，13≠16， ∴以2、3、4为边长的三角形不是直角三角形，不符合题意； B、∵42+42＝32，52＝25，32≠25， ∴以4、4、5为边长的三角形不是直角三角形，不符合题意； C、∵62+82＝100，112＝121，100≠121， ∴以6、8、11为边长的三角形不是直角三角形，不符合题意； D、∵72+242＝625，252＝625，625＝625， ∴以7、24、25为边长的三角形是直角三角形，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键． 4. 已知直角三角形的两条边长分别是4和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 3或 D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】本题未说明已知的两条边是否均为直角边，需分情况讨论，利用勾股定理计算第三边长度． 【详解】解：∵直角三角形已知两条边长为4和5，未明确哪条边是斜边， ∴分两种情况计算： ①当5为斜边时，第三边为直角边，由勾股定理得，第三边长为； ②当5为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长为； 因此，第三边长为3或． 5. 在平行四边形中，如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知的度数，根据即可计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 6. 顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，菱形中，点分别是的中点，先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】如图，设菱形中，点分别是的中点，连接， ∵分别是的中点， ∴，， 同理可得，，，， ∴ 且 ， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形的对角线互相垂直，即， ∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系． 8. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9. 已知在中，，，，则的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和完全平方公式，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理和完全平方公式．由于在中，，根据勾股定理可得:，由于,所以，再根据，可得，即，进而可得：，根据直角三角形面积公式可得，即． 【详解】解：因为在中，， 所以根据勾股定理可得：， 因为， 所以， 又因为， 所以， 即， 所以， 即， 根据直角三角形面积公式可得， 即． 故选：A． 10. 如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么的值为（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2mn即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（m＋n）2． 【详解】解：（m＋n）2＝m2＋n2＋2mn＝大正方形的面积＋四个直角三角形的面积和＝13＋（13−2）＝24． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理、正方形的性质、直角三角形的性质、完全平方公式等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 12. 若与最简二次根式可以合并，则_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式．根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式可以合并， ∴， ∴； 故答案为：5． 13. 如图，在中，已知，，平分交边于点E，则等于__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，根据平行线的性质和平分，得出，再结合线段的和差关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 14. 若三角形的三边分别为1，，，则该三角形最大边上的高长为：________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再用面积法求出最大边上的高． 【详解】解：∵， ∴该三角形的最大边为， ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，直角边为和， 设最大边上的高为，根据三角形面积相等可得： ， 化简得 ， 解得：． 15. 如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用同角的余角相等可得∠EDC=∠PDA，利用SAS可证明，可得①正确；②根据全等三角形的性质可得∠APD=∠CED，根据等腰直角三角形的性质可得∠DPE=∠DEP=45°，即可得出∠PEC=90°，可得②正确；过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，利用勾股定理可求出CE的长，根据△DEP是等腰直角三角形，可证△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求出CF的长，可得③错误；④由③可知EF的长，即可得出DF的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求出正方形ABCD的面积，可得④正确，综上即可得答案． 【详解】∵四边形ABCD为正方形，PD⊥DE， ∴∠PDA+∠PDC=90°，∠EDC+∠PDC=90°，AD=CD， ∴∠EDC=∠PDA， 在△APD和△CED中， ∴△APD≌△CED，故①正确， ∴∠APD=∠DEC， ∵DP=DE，∠PDE=90°， ∴∠DPE=∠DEP=45°， ∴∠APD=∠DEC=135°， ∴∠PEC=∠DEC-∠DEP=90°， ∴AE⊥CE，故②正确， 如图，过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F， ∵，∠PDE=90°， ∴PE=， ∵，∠PEC=90°， ∴CE==2， ∵∠DEP=45°，∠PEC=90°， ∴∠FEC=45°， ∵∠EFC=90°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴CF=EF==， ∴点到直线的距离为，故③错误， ∴DF=EF+DE=+1， ∴CD2===， ∴，故④正确， 综上所述：正确的结论有①②④， 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、正方形面积公式、勾股定理的运用等知识，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键. 三．计算题（本题共9小题，共75分） 16. 计算： 【答案】﹣6． 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘法法则计算，化成最简二次根式, 再合并即可. 【详解】原式= =3－6 = －6 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，最后要化简，再计算. 17. 如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，根据 、分别是、的中点，可证得且，从而得到结论． 【详解】证明：∵ 四边形是平行四边形， ， 、分别是、的中点， ， 且 四边形是平行四边形． 18. 如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，求矩形周长． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质求出，得到等边三角形，求出、，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∴矩形的周长． 19. ，求： （1）； （2）的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先计算x+y与xy的值，再利用因式分解得出原式，然后利用整体代入的方法计算； （2）先对所求的式子化简，再根据，得出x+y与xy的值，代入原式求解即可． 【小问1详解】 解：， ，， 当，时，=； 【小问2详解】 ， ， ，， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、分式的加减法及二次根式的化简，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 20. 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE． （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO的大小． 【答案】（1）证明见解析（2）40°. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB//CD，然后证明得到BE=CD，BE//CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证. （2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解. 【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD，AB//CD. 又∵BE=AB， ∴BE=CD，BE//CD. ∴四边形BECD是平行四边形. ∴BD=EC. （2）∵四边形BECD是平行四边形， ∴BD//CE， ∴∠ABO=∠E=50°. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC丄BD. ∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°. 21. 如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点，在格点上，每一个小正方形的边长为1． （1）以为边画正方形，使正方形的其余两个顶点都在格点上． （2）计算你所画正方形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，在网格中找到格点，，使，再连接，则四边形是正方形； （2）根据计算正方形面积的方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，正方形即为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴正方形的面积． 22. 如图，矩形ABCD中，AB=9，BC=3，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，判定（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论； （2）在中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴∠A＝90°，AD＝BC＝2，ABDC，OB＝OD， ∴∠OBE＝∠ODF， 在△BOE和△DOF中， ， ∴（ASA）， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形； 【小问2详解】 当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF， 设BE＝x，则 DE＝x，AE＝， 在中，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵BD⊥EF， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键． 23. 如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4． （1）如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长； （2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长； （3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定出∠BAE＝30°，再利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论； （2）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE＝EF＝EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证FG＝CG，设GC＝x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； （3）先判断出EF⊥AC时，△CEF的周长最小，最后用勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠DAG＝30°， ∴∠BAG＝60° 由折叠知，∠BAE＝∠BAG＝30°， 在Rt△BAE中，∠BAE＝30°，AB＝3， ∴BE＝ 【小问2详解】 解：如图4，连接GE， ∵E是BC的中点， ∴BE＝EC， ∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE， ∴BE＝EF， ∴EF＝EC， ∵在矩形ABCD中， ∴∠C＝90°， ∴∠EFG＝90°， ∵在Rt△GFE和Rt△GCE中， ∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL）， ∴GF＝GC； 设GC＝x，则AG＝3+x，DG＝3﹣x， 在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2＝（3+x）2， 解得x＝． 【小问3详解】 解：如图1，由折叠知，∠AFE＝∠B＝90°，EF＝BE， ∴EF+CE＝BE+CE＝BC＝AD＝4， ∴当CF最小时，△CEF的周长最小， ∵CF≥AC-AF， ∴当点A，F，C在同一条直线上时，CF最小， 由折叠知，AF＝AB＝3， 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝AD＝4， ∴AC＝5， ∴CF＝AC﹣AF＝2， 在Rt△CEF中，EF2+CF2＝CE2， ∴BE2+CF2＝（4﹣BE）2， ∴BE2+22＝（4﹣BE）2， ∴BE＝． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出∠BAE＝30°，解（2）和（3）的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题． 24. 如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上，且，连接、． （1）求证：； （2）连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形； ②求证：； ③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①补全图形见解析；②见解析；③，证明见解析 【解析】 【分析】（1）证，得，再证，即可得出结论； （2）①依题意，补全图形即可； ②由直角三角形斜边上的中线性质得，，即可得出结论； ③先证是等腰直角三角形，得，再证，，，得，，，然后证，得，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， 又， ∴， ， ， ， 即， ； 【小问2详解】 ①解：依题意，补全图形如图所示： ②证明：由（1）可知，和都是直角三角形， 是的中点， ，， ； ③解：，证明如下： 由（1）可知，，， ， 是等腰直角三角形， ， 为的中点， ，，， ，，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 当阳市实验初级中学期中试题卷 一．选择题（共10小题，30分） 1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，4，5 C. 6，8，11 D. 7，24，25 4. 已知直角三角形的两条边长分别是4和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 3或 D. 4或 5. 在平行四边形中，如果，则（ ） A. B. C. D. 6. 顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 已知在中，，，，则的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 10. 如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么的值为（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 12. 若与最简二次根式可以合并，则_____________． 13. 如图，在中，已知，，平分交边于点E，则等于__________． 14. 若三角形的三边分别为1，，，则该三角形最大边上的高长为：________． 15. 如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为______． 三．计算题（本题共9小题，共75分） 16. 计算： 17. 如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 18. 如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，求矩形周长． 19. ，求： （1）； （2）的值． 20. 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE． （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO的大小． 21. 如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点，在格点上，每一个小正方形的边长为1． （1）以为边画正方形，使正方形的其余两个顶点都在格点上． （2）计算你所画正方形的面积． 22. 如图，矩形ABCD中，AB=9，BC=3，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长． 23. 如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4． （1）如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长； （2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长； （3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长． 24. 如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上，且，连接、． （1）求证：； （2）连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形； ②求证：； ③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $