精品解析：湖北省宜昌市当阳市实验初级中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

实验中学期中质量监测试卷 八年级数学 一．单选题（共10小题） 1. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式的知识，理解并掌握最简二次根式的定义和满足条件是解题关键．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此即可获得答案． 【详解】解：A. 是最简二次根式，符合题意； B. 不是最简二次根式，不符合题意； C. 不是最简二次根式，不符合题意； D. 不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理即可判断A和B；根据三角形的内角和定理即可判断C和D． 【详解】解：A、， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，，， ， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意； C、， 最大角， 不是直角三角形，故本选项符合题意； D、，， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：， 四边形是平行四边形 只有C选项符合题意，其他的不成立． 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 平行四边形一定是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可判断不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，可判断不符合题意；对角线相等的菱形既是菱形又是矩形，则对角线相等的菱形是正方形，可判断符合题意；平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， 故不符合题意； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形， 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， 故不符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形， 对角线相等的菱形既是菱形又是矩形， 对角线相等的菱形是正方形， 故符合题意； 平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形， 故不符合题意， 故选：． 【点睛】此题考查平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、轴对称图形等知识，正确理解和掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的定义和判定定理是解题的关键． 6. 如图，在中，，平分交于点P，于点，若，，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．由，，，可得到，由平分，可得到，进而得到，则可得，，进而可得，即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ， ∵平分，，， ∴，， 又， ， ， ， ． 故选：C． 7. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积为． 8. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 9. 如图，菱形中，点是中点，连接、，若，，则该菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得到，设，则，利用勾股定理列方程，求得，，再利用勾股定理，求得，即可求出菱形的面积． 【详解】解：， ， 四边形是菱形， ，， ， 点是中点， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：或（舍）， ，， 由勾股定理得：， 菱形的面积， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 10. 如图，正方形的对角线交于点，点为上的一点，连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，则下列结论：①；②；③点为的中点；④；⑤若，则．其中正确的结论有（ ）个． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质得出，，由得出，结合，即可判断①；连接、、，设交于，证明得出，证明得出，再证明得出，即可判断③；证明得出，即可判断②；根据当逐渐变小时，的值逐渐变小，而逐渐变大，即可判断④；作于，证明得出，求出，最后由勾股定理计算即可判断⑤，从而得出答案． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ，故①正确； 如图，连接、、，设交于， ， 则， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 为的中点，故③正确； ，，垂直平分， ，， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 当逐渐变小时，的值逐渐变小，而逐渐变大， 与不一定相等，故④错误； 作于， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③⑤，共个， 故选：A． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、同角的余角相等、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11. 使式子有意义，则x的取值范围是：__________________________． 【答案】x≥且x≠1 【解析】 【详解】式子有意义， 则： 解得：且 故答案为且 【点睛】二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 12. 设x、y为实数，且，则的立方根是 __ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，求立方根． 先根据二次根式有意义的条件列出不等式组求出x的值，再求出y的值，然后代入求立方根即可． 【详解】解；由题意，得 ∴ ∴ ∴ ∴的立方根是 故答案为：3 13. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米）． 在中，由勾股定理得到（米）， 故答案为：． 14. 如图，中，，，，为的角平分线，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可知，根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：，，， ， ， 过作于， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 15. 如图，点在正方形外，连接、、，过点A作的垂线交于点．若，，则下列结论： ①； ②； ③点B到直线的距离为； ④． 其中正确的结论是 __．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】由正方形的性质可知，，得出，结合题意可得出，即证明，从而可用“”证明，故①正确；根据等腰直角三角形的性质得出，结合全等的性质可得，进而即可求出，故②正确；过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离．根据勾股定理可求出，从而可求出．又易证为等腰直角三角形，即得出，故③正确；由全等的性质可得，结合三角形的面积公式即可求出，故④错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故④错误． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的运算等知识．熟练掌握上述知识，并能够正确作出辅助线是解题关键． 三．解答题（共9小题） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的除法法则和平方差公式运算，再算加减． 【详解】解： 17. 已知．求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式加法法则、乘法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减法法则分别求出、，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案． 【小问1详解】 解： ，， ，， ； 【小问2详解】 解：，， ∴，， ． 18. 如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，. （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长. 【答案】（1）是直角三角形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理的应用． （1）根据勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判断即可； （2）由是的边上的高，利用面积法计算即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， 根据勾股定理， ∵， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：∵是的边上的高， ∴， ∴． 19. 已知：如图，在中，E，F分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ，F分别是和的中点， ，， ， 又， 四边形为平行四边形． （2） 解：当时，四边形为矩形，理由如下： 如图， ，点E为的中点， ， ， 由（1）得，四边形为平行四边形， 四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定即可得证； （2）补充条件为，结合点E为的中点，利用三线合一性质可得，由（1）得四边形为平行四边形，利用矩形的判定即可得证． 本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图①，在数轴上分别找出表示1和4的点、，过点作直线l垂直于，在l上取点，使，以数轴上表示1的点为圆心，的长为半径作弧，则该弧与数轴的交点（点在点的右侧）表示的数是_____； （2）应用场景2——解决实际问题． 如图②，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推（即水平距离）至处时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，数轴与无理数，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理求出，即可求解； （2）秋千绳索的长度为，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ， ， 点（点在点的右侧）表示的数是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设秋千绳索的长度为，则， 由题意得：， 解得：． 答：绳索的长为． 21. 如图，在中，，分别是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点、分别是边的中点， ∴是的中位线，， ∴， 又 ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴平行四边形是菱形． （2）． 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，结合可证四边形是平行四边形，再说明即可证明结论； （2）如图，连接，由菱形的性质证是等边三角形，是等边三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得，即，然后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，四边形是菱形， ， ∴是等边三角形， ， ， ∴是等边三角形， ， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，在矩形中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接．设点P、Q运动的时间为ts． （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】（1） （2） （3）周长为40cm；面积为80 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定可得：当时，四边形为矩形，进而可得关于t的方程，即可求解； （2）当时，四边形为菱形，进而可得关于t的方程，即可求解； （3）求出菱形的边长，再计算周长和面积即可． 【小问1详解】 ∵在矩形中，， ∴， 由已知可得，， 在矩形中，， 当时，四边形为矩形， ∴，得， 故当时，四边形为矩形； 【小问2详解】 ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当，即时，四边形为菱形 即时，四边形为菱形，解得， 故当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 当时，， 则周长为cm； 面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键． 23. 在矩形纸片中，，． （1）将矩形纸片沿折叠，使点落在点处如图①．设与相交于点，求的长； （2）将矩形折叠，使点落在点处，折痕为，如图②，若点恰好在边上，连接，求的长度； （3）将矩形纸片折叠，使点与重合如图③，求折痕的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，设，表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）由折叠得，，再由勾股定理得，可得，最后由勾股定理求解即可； （3）根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再连接、，根据翻折的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，根据等角对等边可得，从而求出四边形是菱形，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠得，， 矩形的对边， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； 【小问2详解】 解：由折叠得，， 在中，， ， ， 在中，， ； 【小问3详解】 解：由折叠得，，设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 连接、， 由翻折的性质可得，，， 矩形的边， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， 即， 解得． 24. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1） 证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） ①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ② 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学期中质量监测试卷 八年级数学 一．单选题（共10小题） 1. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 4. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 平行四边形一定是轴对称图形 6. 如图，在中，，平分交于点P，于点，若，，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 8. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形中，点是中点，连接、，若，，则该菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的对角线交于点，点为上的一点，连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，则下列结论：①；②；③点为的中点；④；⑤若，则．其中正确的结论有（ ）个． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（共5小题） 11. 使式子有意义，则x的取值范围是：__________________________． 12. 设x、y为实数，且，则的立方根是 __ ． 13. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 14. 如图，中，，，，为的角平分线，则的长度为__________． 15. 如图，点在正方形外，连接、、，过点A作的垂线交于点．若，，则下列结论： ①； ②； ③点B到直线的距离为； ④． 其中正确的结论是 __．（填写所有正确结论的序号） 三．解答题（共9小题） 16. 计算：． 17. 已知．求下列各式的值． （1）； （2）． 18. 如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，. （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长. 19. 已知：如图，在中，E，F分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 20. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图①，在数轴上分别找出表示1和4的点、，过点作直线l垂直于，在l上取点，使，以数轴上表示1的点为圆心，的长为半径作弧，则该弧与数轴的交点（点在点的右侧）表示的数是_____； （2）应用场景2——解决实际问题． 如图②，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推（即水平距离）至处时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉直，求绳索的长． 21. 如图，在中，，分别是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 如图，在矩形中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接．设点P、Q运动的时间为ts． （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积． 23. 在矩形纸片中，，． （1）将矩形纸片沿折叠，使点落在点处如图①．设与相交于点，求的长； （2）将矩形折叠，使点落在点处，折痕为，如图②，若点恰好在边上，连接，求的长度； （3）将矩形纸片折叠，使点与重合如图③，求折痕的长． 24. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $