第十一章 《不等式与不等式组》单元检测卷 2025-2026学年人教版数学 七年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦《不等式与不等式组》核心内容，通过AI竞答、植树等现实情境及定义新运算、折线距离等创新题型，考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式解集、识别、数轴表示等|第7题AI竞答体现模型意识，第6题天平情境考查不等式性质| |填空题|6/18|含参不等式组、程序操作、新运算|第16题新运算结合整数解考查抽象能力，第15题程序操作体现运算能力| |解答题|8/72|解不等式（组）、实际应用、阅读理解|23题茶叶销售综合考查模型意识，24题折线距离创新考查空间观念|

第十一章《不等式与不等式组》 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 5．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值可以是（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 8．若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 9．若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 10．已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若，则__． 12．不等式组的解集为，则________． 13．某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了___________道题； 14．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 15．按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“结果是否？”为一次操作，若操作四次才停止，则的取值范围是______． 16．定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 3、 解答题（本题共8小题，共72分．第17题6分，第18-20题每题8分，第21-23题每题10分，第24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列不等式，并将解集表示在数轴上 (1)； (2)． 18．求不等式组： 的所有整数解． 19．已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若，求的取值范围； (2)若x，y都是负数，求的取值范围． 20．下面是嘉嘉同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)第一步运算的依据是_________，从第_________步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 21．2026年3月12日是我国第48个植树节，主题“履行植树义务，共建美丽中国”．鹰潭二中某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 22．阅读理解： 解不等式，在数轴上先找出的解，如图，因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)解不等式：； (2)解不等式：； (3)若对任意的x都成立，求a的取值范围． 23．某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共80件，若甲种茶叶进价为每件120元，乙种茶叶进价为每件100元．已知3件甲种茶叶和2件乙种茶叶的售价共900元；1件甲种茶叶和4件乙种茶叶的售价共800元． (1)求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过9250元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的3倍，则有哪几种进货方案？ (3)该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这80件茶叶销售总利润保持不变，求的值． 24．规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点之间的折线距离为，记作．如图，，则． (1)已知， ①当时，_____；②若，则的值为_____； (2)已知，，，且，求的值； (3)已知，且，，请直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章《不等式与不等式组》 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤计算即可得到解集． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 两边同除以得， ∴不等式的解集为． 2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解： ①，② ，⑤，⑥都含有不等号，是用不等号连接表示不等关系的式子，属于不等式；③是等式，④是代数式，都不是不等式，所以不等式共有4个． 3．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不包含2，在数轴上点2为空心；小于2，划线方向是左侧； ，包含，点为实心，向右侧； 故选A． 4．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【详解】解：解得 解得 ∴ 5．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值可以是（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， ∴的值可以是． 6．如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：由图可得：若，则． 7．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据题中数量关系，结合“不低于”表示大于等于的含义，即可列出正确不等式． 【详解】解：∵总题数为25道，答对x道题， ∴答错或不答的题数为道， 根据题意得． 8．若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． 9．若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：． 10．已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】先解方程组得到关于的表达式，再根据的范围判断③，再分别代入的值验证①②即可． 【详解】解：解方程组， 两式相加得，化简得， 两式相减得，化简得， ∵x为非负数，y为负数， ∴， 解得不等式组的解集为，故③正确． ① 当时， 左边， 右边， 左边右边，因此方程组的解满足，故①正确． ② 当时， ， ， ∴， ∵ ， ∴的立方根为，故②正确． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若，则__． 【答案】/小于 【详解】解：∵， 根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变， ∴，即. 12．不等式组的解集为，则________． 【答案】/ 【分析】分别解不等式，则，；根据，可得，解出，；根据，即可． 【详解】解：∵不等式组， ∴，； ∵， ∴， 解得：， ∴． 13．某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了___________道题； 【答案】2 【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题的关键，注意答错一题扣2分，要用减法． 设小聪答错了道题，则答对了道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解的取值范围，并取最大整数解． 【详解】解：设小聪答错了道题，则答对了道题， 依题意，得：， 化简得：， 移项得：， 两边同除以，不等号方向改变，得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为2． 故答案为：2． 14．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 【答案】 【分析】将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，再代入不等式，解一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：， 由得， ， 化简得，， 方程组的解满足， ， 根据不等式的基本性质移项得，． 15．按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“结果是否？”为一次操作，若操作四次才停止，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意求出四次的操作结果，再根据题意列不等式组解答即可求解． 【详解】解：由程序可得，第一次的操作结果为， 第二次的操作结果为， 第三次的操作结果为， 第四次的操作结果为， ∵操作四次才停止， ∴， 解得， 即的取值范围是． 16．定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【分析】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 3、 解答题（本题共8小题，共72分．第17题6分，第18-20题每题8分，第21-23题每题10分，第24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列不等式，并将解集表示在数轴上 (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，再表示在数轴上即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，再表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 在数轴上表示如图所示： ； （2）解：去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得： 在数轴上表示如图所示： ． 18．求不等式组： 的所有整数解． 【答案】，，， 【分析】根据运算法则解出不等式后再找整数解即可． 【详解】解：由①可得： ， 由②可得： ， ∴不等式的解集为：， ∴不等式的整数解为：，，，． 19．已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若，求的取值范围； (2)若x，y都是负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）①②得，即，根据，列出不等式，解不等式，即可求解； （2）解二元一次方程组得出，根据x，y都是负数，列出不等式组，求不等式组的解集，即可求解． 【详解】（1）解：， 由①②得，所以， 因为，所以，解得； （2）解：， 解得， 因为x，y都是负数， 所以， 解得． 20．下面是嘉嘉同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)第一步运算的依据是_________，从第_________步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)不等式的性质2，三 (2)见解析 【分析】（1）第一步运算的依据是不等式的基本性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；从第三步开始出现错误，错误原因是移项时没有变号； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：不等式的性质2；三． （2）解：正确的解答过程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 21．2026年3月12日是我国第48个植树节，主题“履行植树义务，共建美丽中国”．鹰潭二中某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． (1)求该班的学生人数； (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 【答案】(1)该班的学生人数为45人. (2)至少购买了甲树苗80棵. 【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴该班的学生人数为45人； （2）解：由（1）得一共购买了棵树苗， 设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为80， ∴至少购买了甲树苗80棵， 答：至少购买了甲树苗80棵． 22．阅读理解： 解不等式，在数轴上先找出的解，如图，因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)解不等式：； (2)解不等式：； (3)若对任意的x都成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出的解，再求的解集即可； （2）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集； （3）原问题转化为：大于等于的最大值，进行分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：在数轴上找出的解， 在数轴上到3对应的点的距离等于2的点对应的数为1或5， 方程的解为或， 不等式的解集为． （2）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值． 在数轴上4和对应的点的距离为6， 满足方程的对应的点在4对应的点的右边或对应的点的左边． 若对应的点在4对应的点的右边，则， 解得； 若对应的点在对应的点的左边，则， 解得， 方程的解是或， 不等式的解集为或． （3）解：原问题转化为：大于等于的最大值． 当对应的点在的左侧时，有最大值为7， ∴． 23．某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共80件，若甲种茶叶进价为每件120元，乙种茶叶进价为每件100元．已知3件甲种茶叶和2件乙种茶叶的售价共900元；1件甲种茶叶和4件乙种茶叶的售价共800元． (1)求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过9250元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的3倍，则有哪几种进货方案？ (3)该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这80件茶叶销售总利润保持不变，求的值． 【答案】(1)甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元 (2)共有种进货方案 (3) 【分析】（1）设甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元，根据题意列方程组即可求解； （2）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，根据题意列出一元一次不等式组，即可求解； （3）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，先分别求出甲、乙单件的利润，再求出总利润，根据“无论如何进货，销售总利润保持不变”，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元， 依题意得：， 解得：， 甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元； （2）解：设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件， 根据题意得：， 解得：， 又是整数， 可以取：、、， 共有种进货方案； （3）解：设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件， 甲种茶叶单件的利润为：， 乙种茶叶单件的利润为：， 总利润为：， 无论如何进货，这件茶叶销售总利润保持不变， ， 解得：． 24．规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点之间的折线距离为，记作．如图，，则． (1)已知， ①当时，_____；②若，则的值为_____； (2)已知，，，且，求的值； (3)已知，且，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）根据定义可得，解方程即可得到答案； （2）根据定义分别求出，，再去绝对值后求和即可得到答案； （3）根据定义分别表示出，再根据，再分类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 解得：． （2）解：∵，，，且， ∴，， ∵， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴，，， ， ∵， ∴，，， ， ∵， ∴， ∴， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $