2026年中考数学第二轮专题复习之解答题 ——12：《圆》(题型特点、答题要点、避坑指南、真题练习)

该初中数学中考复习讲义聚焦“圆”专题，覆盖垂径定理、圆周角定理、切线性质与判定、隐圆轨迹等核心考点，按基础保分、中档提分、压轴拉分层级架构知识体系。通过核心定理梳理、辅助线作法指导、方程思想应用及分层真题训练，帮助学生系统突破圆的解答题难点。 特色在于结合尺规作图、古代“会圆术”等实际情境，培养几何直观与数学建模能力。避坑指南精准指出垂径定理条件遗漏、切线判定混淆等高频错误，规范证明步骤与分类讨论。分层练习配合真题实战，确保学生高效掌握逻辑推理与数学运算素养，助力教师把控复习节奏，提升学生应考能力。

2026年中考第二轮复习 解答题专题 12.圆 本课时是二轮复习中"基础必拿分、中档稳得分、压轴能抢分”的关键专题，完全贴合新 课标”几何直观+逻辑推理+数学运算”的核心素养考查要求。聚焦圆的核心考点，完全适配 二轮复习"查漏补缺、分层提分”的目标。 题型特点 梯度分层精准适配二轮复习需求题目严格形成三级梯度，与二轮查漏补缺、分层提分的 复习目标高度匹配：①基础保分层，聚焦点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，垂径定理、 圆周角定理的基础应用，考点单一、逻辑简单，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度 融合特殊三角形、四边形性质，以尺规作图、实际场景为命题载体，重点考查圆内接四边形 性质、三角形外接圆与内切圆、切线综合计算，是二轮复习的核心突破重点；③压轴拉分层， 绑定隐圆轨迹、动态几何最值、圆与相似综合、多结论判断，是中考解答题压轴的高频题型， 区分度极强。 核心考点高度集中，命题规律可预测覆盖圆的所有必考解答题考点，其中圆周角定理及 推论、切线的性质与判定、圆内接四边形性质、垂径定理、隐圆轨迹与最值为高频考点，占 比超，完全贴合全国中考命题趋势，学生可通过针对性训练实现考点全覆盖。 命题形式多样化，贴合新课标改革方向 结合尺规作图：以尺规作图为背景，考查学生对作图原理和圆性质的综合理解，符合新 课标"动手操作+逻辑推理”的考查要求； 结合实际应用：古代"会圆术”、残缺圆形工件半径测量，考查学生将实际问题转化为圆 的数学模型的能力； 结合动态几何：以动点为背景，考查隐圆轨迹和最值问题，是近年中考压轴题的热点： 多结论判断：考查学生多步逻辑推理和严谨性，是解答题压轴的常见形式。 解答题专属特征突出，注重过程与规范与填空题不同，解答题注重解题过程的完整性和 规范性，辅助线作法、定理依据、计算步骤均占分。基础题侧重步骤规范，中档题侧重逻辑 连贯，压轴题侧重综合推导，全面考查学生的几何表达能力。 答题要点 (一)通用核心答题要点 筑牢核心定理体系，做到随用随取这是本专题答题的核心前提，必须无死角掌握以下内 容： 核心定理：垂径定理及推论、圆周角定理及推论、切线的判定与性质、切线长定理、圆 内接四边形性质； 核心性质：同圆或等圆中，相等的圆心角对应相等的弧和弦；圆的切线垂直于过切点的 半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等：圆内接四边形对角互补、外角等于内对角； 三角形外心到三顶点距离相等，内心到三边距离相等。 规范辅助线作法，固化标准化破题路径辅助线是圆类解答题的解题关键，牢记以下口诀 并规范书写： 弦与弦心距，亲密紧相连：遇到弦必作弦心距，构造直角三角形； 切点圆心连，垂线就出现：已知切线必连圆心与切点得垂直，判定切线时”有交点连半 径证垂直，无交点作垂线证等于半径"； 直径对直角，半角找圆周：见直径必连圆周角得直角，优先构造直角三角形； 定角对定边，隐圆就出现动态题中满足”定角对定边”或”到定点距离等于定长”，必 存在隐圆。 方程思想为万能通法，通解所有计算类题型的解答计算题，可通过"设半径为，结合勾 股定理或相似三角形比例关系列方程求解”。无论是弦长计算、切线长计算，还是圆心距求解， 均以半径为核心未知数，列方程是二轮复习中全员必须掌握的通用解题方法。 分类讨论前置，杜绝多解漏写解答题中多解问题同样是失分重灾区，只要出现以下四种 情况，必须先分类、再计算①题干提到”弦”（弦所对的圆周角有两个，互补）；②无配图的圆 的几何题；③点在直线/射线上运动、不与端点重合的动点题；④两圆相切（包括内切和外 2 切)。需分两种情况分别求解，并在答案中明确写出所有解。 证明题步骤规范，每步必有依据解答题证明题需严格遵循”已知→推导→结论”的逻辑 链条，每一步推导都要有定理依据，不能跳步。辅助线要在解题开头明确写出作法，如"连 接OA"、"过点0作OC⊥AB于点C"等。 (二)分题型专属答题要点 位置关系证明题：直接比较距离与半径的大小。点与圆：比较点到圆心的距离d与半径 r;直线与圆：比较圆心到直线的距离d与半径r;圆与圆：比较圆心距与两圆半径之和、之 差。 角度计算题：优先用圆周角定理转化角度，直径所对圆周角为90°，圆内接四边形对角 互补、外角等于内对角。遇到多个角度关系时，可设未知数表示角度，利用三角形内角和或 四边形内角和列方程求解。 长度计算题：垂径定理结合勾股定理是基础，切线长定理结合直角三角形是重点，相似 三角形结合比例关系是难点。遇到复杂图形时，可将图形分解为多个基本直角三角形或相似 三角形，逐步求解。 切线证明题：分两种情况：①直线与圆有公共点：连接公共点与圆心，证明该半径与直 线垂直；②直线与圆无公共点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于半径。 隐圆最值题：固定三步法，第一步根据"定角对定边”或"到定点距离等于定长”确定隐 圆的圆心和半径；第二步计算定点到圆心的距离；第三步根据"点到圆上点的距离最值=点 到圆心距离±半径”求解。 避坑指南 (一)概念定理类避坑：杜绝基础题无谓失分 严防垂径定理条件遗漏：高频坑①忽略"平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”中"弦不 是直径”的前提条件；②只平分弦，未平分弦所对的两条弧；③混淆弦心距与拱高的概念。 严防切线判定条件混淆：高频坑①只满足"经过半径外端”或"垂直于半径”其中一个条 件，就判定为切线，②切线性质误用为"切线垂直于任意半径”，正确应为"切线垂直于过切 点的半径”。 严防圆周角定理误用：高频坑①忘记"同圆或等圆”和”同弧”前提，错误认为不同弧所 对圆周角相等；②同弦所对的圆周角有两个，互补，学生常只写一个。 严防圆内接四边形性质混淆高频坑①混淆"对角互补”与"外角等于内对角”的性质，② 错误认为任意四边形都有外接圆。 严防三角形内心与外心混淆：高频坑①内心是三角形三角平分线的交点，到三边距离相 等；②外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等，学生常将两者性质搞反。 (二)审题类避坑：杜绝非知识性失分 严防限定词漏看：高频坑①漏看“劣弧”、"优弧”、"不与端点重合”、"相切（包括内切 和外切)”等核心限定词；②漏看单位（如题目给直径单位是厘米，答案要求米）；③题干求 ”最小值/最大值”，学生算成相反值。 严防无图题不分类讨论：解答题无图圆的几何题同样存在多解陷阱，学生仅画一种符合 直觉的图形，漏写第二个解，导致步骤分全失。 严防实际场景模型转化错误：圆的实际应用题，学生常把实际场景转化为错误的数学模 型，如残缺工件问题中把CD当成半径计算，导致结果全错。 严防题干条件遗漏：解答题题干较长，学生常遗漏关键条件，如"AB是直径"、"PA是切 线”等，导致后续推导错误。 (三)解答过程类避坑：杜绝步骤分流失 严防辅助线不写或写法不规范：辅助线是解题的关键，不写辅助线或写法不规范会直接 扣分。正确写法如"连接OA、OB”、"过点0作OC⊥AB,垂足为C"。 严防证明条件不全：证明切线时，必须同时写出"经过半径外端”和“垂直于半径”两个 条件；证明相似时，必须写出两个对应角相等或两边对应成比例且夹角相等的条件。 严防步骤跳跃：解答题要求步骤完整，不能跳步。如勾股定理计算必须写出完整的式子， 不能直接写出结果；相似三角形比例式必须写出对应边的关系。 严防计算错误高频坑①半径与直径搞混，题目给出直径时未除以2；②勾股定理平方错 误、开方错误；③30°、45°、60°三角函数值记混；④相似三角形对应边搞混，比例式列 反。 严防多解漏写：分类讨论题必须写出所有可能的解，并在答案中明确标注，如"综上所 述，⊙0的半径为3或5”。 (四)逻辑与轨迹类避坑：杜绝压轴题失分 严防隐圆轨迹判断错误：动态几何最值题，核心是通过”定角对定边”或"到定点距离等 于定长”判断隐圆，学生常找不到定角、无法确定圆心和半径，导致最值计算错误。 严防多结论题推导不严谨：多结论判断题对单个结论推导不严谨，错一个就会导致该小 问全部分丢失。解题时应先判断最易推导的结论，排除错误选项，再逐一验证剩余结论： 严防动态问题边界错误动点题中，学生常忽略动点的运动范围，如"点P在BC边上 运动（不与B、C重合）"，导致最值计算时包含端点值，结果错误。 四、真题练习 1.(25-26·贵州模拟)如图，已知AB为半圆的直径.求作矩形NPQ,使得点M,N在AB上， 点P,Q在半圆上，且MN=2MQ.要求：(1)用直尺和圆规作图；（②）保留作图的痕迹，写出必 要的文字说明. B 【答案】 见解答 【解析】 根据题意，先找到圆心0，过点0作0C1AB交⊙0于点C,然后在OC的两侧分别作正方 形，则MN=2MQ,矩形MNPQ即为所求. 【解答】 解：如图所示， M B ①过点0作0C⊥AB交⊙0于点C, ②作∠AOC,∠BOC的角平分线，交⊙0于点Q,P, ③作QM,PN垂直于AB,垂足分别为M,N, 则矩形MNPQ即为所求， 理由如下，：OQ是∠AOC的角平分线，OD⊥AB, .∠A0Q=∠Q0D=45°， 又MQ⊥A0 则△QMO是等腰直角三角形，四边形QMOD是矩形， :.QM=MO,则四边形QMOD是正方形，同理可得DONP是正方形， 又MO=OD=ON .MN 2MQ. 2.(25-26·江苏模拟)如图，已知AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，∠ABC=65° BC CD. D B (1)求证：△B0C△D0C; (2)求∠ABD的度数. 【答案】 详见解析 6 40° 【解析】 (1)根据已知条件利用SSS证明全等即可； (2)根据OC=OB,求出∠C0B,再利用全等求出∠D0B,最后利用等边对等角即可 求 【解答】 (1)解：证明：⊙0的半径为0D,0B,0C,0A, ..0A =OB=OD=OC, .OC=OC,BC CD, .△BOC=△DOC(SSS): (2)解：0C=OB, ∠0CB=∠ABC=65°， .∠C0B=180°-65°×2=50°， :△B0C=△D0C, ·∠D0C=∠C0B=50°， .∠D0B=100°， .OD=0B, “△DOB是等腰三角形， ÷∠ABD=∠0DB=180-∠D0B=40. 2 3.(25-26·四川模拟)如图，在⊙0中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E,求证： BD=BE. > D B A 【答案】 见解析 【解析】 本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、弧与圆心角关系. 连接OE,根据平行线的性质得出∠DOB=∠C,∠BOE=∠E,再根据等边对等角得出 ∠C=∠E,然后根据等量代换得出∠DOB=∠BOE,最后根据弧与圆心角关系即可得证. 【解答】 证明：连接O, CE∥AB, ∠DOB=∠C,∠BOE=∠E, 0C=0E, ∠C=∠E, ∠DOB=∠BOE, .BD BE 4.(24-25·黑龙江模拟)如图，AB为⊙0的直径，BC为⊙0的弦，∠ABC=40°，D为BC 的中点，连接BD,CD,AD,OE/BC,交⊙O于点E. D (1)求∠ABD的度数； (2)若AB=6,求扇形EOB的面积. 【答案】 65° 2 【解析】 (1)连接AC,则∠BAC=90-∠ABC=50,根据点D为BC的中点得∠CAD=∠BAD=; ∠BAC=25°，进而得∠CBD=∠CAD=25°，据此可得∠ABD的度数； (2)先求出⊙0半径为3，再根据0E//BC得∠BOE=∠ABC=40°，然后根据扇形EOB的 面积公式可得出答案. 【解答】 (1)解：连接AC,如下图所示： 0 B C D :AB为⊙0的直径，∠ABC=40°， ∠ACB=90°， 9 ·∠BAC=90°-∠ABC=90°-40°=50°， 点D为BC的中点， .BD CD, :∠CAD=∠BAD=∠BAC=×50°=25， ·∠CBD=∠CAD=25°， ∠ABD=∠ABC+∠CBD=40°+25°=65°； (2)解：：AB=6,0B=AB=3, OE//BC, .∠B0E=∠ABC=40°， ·扇形E0B的面积为：0×3=几. 360 5.(2025-2026·安徽模拟)如图，△ABC为⊙0的内接三角形，BD为△ABC的高，垂足 为D,且AB=AC. (1)求证：∠BAC=2∠DBC; (2)若AB=10,BD=6,求⊙0的半径， 【答案】 见解析； 5V/10 3 10 【解析】 (1)先根据等边对等角和三角形的内角和定理得出∠BAC+2∠ACB=180°，再根据直 角三角形的性质得到∠DBC+∠ACB=90°最后等量代换即可求证； (2)先连接OA、OB、OC,过点0作OM⊥AB,垂足为M,再运用勾股定理分别求出AD、 BC,根据弧相等圆心角相等推出∠AOB=∠AOC,推出∠OAM=∠BAC,然后结合根据(1) 中∠BAC=2∠DBC,推出∠OAM=∠DBC,即CoS∠OAM=CoS∠DBC,代入线段长度即 可求解 【解答】 (1)证明：AB=AC, ·.∠ABC=∠ACB,即∠BAC+2∠ACB=180° BD⊥AC, ·.∠BDC=90°，即∠DBC+∠ACB=90 ·.2∠DBC+2∠ACB=180° .∠BAC=2∠DBC. (2)解：如图，连接OA、OB、OC,过点0作OM⊥AB,垂足为M. Mb--iO 在Rt△ABD中，AB=10,BD=6, 根据勾股定理，AD=AB2-BD2=√102-62=8， DC=2. 在Rt△BDC中，根据勾股定理，BC=√DC2+BD2=√22+62=210 OM⊥AB,OA=OB, ·AM=AB=5,∠0AM=∠OBM. .AB=AC, .AB =AC, 3 ∠AOB=∠AOC, :0A=0C ·.∠OAC=∠OCA, 2∠0AM+∠A0B=180°，2∠0AC+∠A0C=180°. :∠0AM=∠0AC=BAC, :由(1)得∠BAC=2∠DBC, .∠OAM=∠DBC, ·CoS∠OAM=CoS∠DBC, 0A BC 0A-20，解得0A=50 =即，即5=6 3 ·0的半径为5v0 3 6.(25-26·全国模拟)如图，已知AD是半圆0的直径，半径0B垂直于弦AC,垂足为点E, 联结AB,CD=2AB. B D (1)求∠AOB的度数； (2)求tan∠BAC的值. 【答案】 ∠A0B=45° V2-1 【解析】 (1)连接OC,根据垂径定理可得AC=2AB=2BC,从而可得CD=AC,进而可得 ∠A0C=∠C0D=90°，然后利用圆心角、弧、弦的关系可得∠A0B=∠B0C=45°∠； 12 (2)设AE=X,在Rt△AEO中，利用锐角三角函数的定义求出OE和OA的长，从而求出BE 的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答. 【解答】 (1)解：连接0C, B D :半径OB垂直于弦AC, .AC 2AB=2BC, CD=2AB, .CD=AC, ∠A0C=∠C0D=90°， AB BC, ∠A0B=∠B0C=∠A0C=45; 2 (2)解：设AE=X, OB⊥AC, .∠AE0=90°， :∠A0E=45°， ·E0=AE tam5=XOB=A0三==②x ·BE=0B-0E=(/2-1)x, 在Rt△ABE中，tan∠BAE=E=-W2-1D匹=√2-L. AE X 7.(24-25·四川中考)如图，AB为⊙0的直径，点C为圆上一点，过点C作⊙0的切线， 交AB延长线于点D,过点B作BEI‖DC,交⊙O于点E,连接AE、AC. 13 ○ (1)求证：CE=CB; (2)若∠BAE=60°，⊙0的半径为2，求AC的长. 【答案】 见解析 23 【解析】 (1)连接OC,OE,BC,等边对等角，得到∠OAC=∠OCA,切线推出∠BCD+∠BCO= 90°，直径得到∠ACB=90°，进而得到∠OCA+∠OCB=90°，推出∠BAC=∠BCD,平行线的 性质，结合圆周角定理得到∠BOC=∠COE,等角对等弧，即可得证； (2)延长C0交⊙0于点F,连接AF,由(1)可推出△FAC是含30度角的直角三角形，利用 三角函数进行求解即可. 【解答】 (1)解：证明：连接0C,OE,BC,则：OC=OA, .∠0AC=∠OCA, :CD是⊙O的切线， .OC⊥CD, ∠BCD+∠BC0=90°， :AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， ·∠0CA+∠0CB=90°， 14 .∠OCA=∠BCD, .∠BAC=∠BCD, .BE ll CD, .∠CBE=∠BCD, ·.∠BAC=∠EBC, :∠BOC=2∠BAC,∠COE=2∠CBE, .∠BOC=∠C0E, .CE CB; D (2)解：延长CO交⊙O于点F,连接AF,则：CF为⊙O的直径， ∠FAC=90°， :⊙0的半径为2， .0C=2 CF=20C=4, 由(1)知：CE=CB, ÷∠EAC=∠BAC=∠BAE=3O°， ∠ACF=∠0AC=30°， ÷AC=AF.cOS∠ACF=4XY3=2B. 2 8.(25-26·湖北模拟)如图，已知AB,CD为⊙0中的两弦，联结0A,0B交弦CD于点E, F,且CE=DF, E F 15 (1)求证：AB//CD; (2)如果AB=BD,求证：AB2=BF·OB. 【答案】 见解析 见解析 【解析】 (1)连接OC,OD,由等边对等角得到∠OCD=∠ODC,利用SAS证明△OCE≡△ODF,得 到OE=OF,证明△OEF△OAB,得到∠OEF=∠OAB,则可证明AB II CD; (2)连接OD,BD,由AB=BD,得到∠AOB=∠BOD,AB=BD,证明△AOB△BOD (SAS),得到∠OBD=∠OAB,则可证明∠OBA=∠BFD,进而证明△OAB∽△DBF,推出 AB·DF=OB·BF;再证明∠DFB=∠DBF,得到BD=DF,则可证明AB2=OB.BF. 【解答】 (1)解：证明：如图所示，连接0C,0D, 0C=0D, ÷.∠0CD=∠0DC, 在△OCE和△ODF中， 0C=0D ∠OCE=∠ODF, CE DF △OCE=△ODF(SAS), 0E=0F, .OA=OB, 又：∠EOF=∠AOB, △OEF△0AB, .∠OEF=∠OAB, .AB II CD; 16 (2)证明：如图所示，连接OD,BD, .AB BD, .∠AOB=∠BOD,AB=BD, 又：0A=0B=OD, △AOB=△BOD(SAS), .∠OBD=∠OAB; 由(1)可得AB II CD, .∠OFE=∠OBA, 又·∠OFE=∠BFD, .∠OBA=∠BFD, △OAB△DBF, OB AB “DF=BF AB.DF=OB·BF; .0A=OB, .∠OAB=∠OBA, .∠DFB=∠DBF, .BD=DF, .DF=AB, AB2=0B.BF. 9.(23-24·江西中考)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙0交BC于点D, DE⊥AC,垂足为E. 17 B D E (1)求证：DE是⊙0的切线； (2)若∠C=30°，CD=23,求的BD长. 【答案】 证明：连接0D,则OD=OB, .∠ODB=∠B, AB=AC, .∠C=∠B, .∠ODB=∠C, OD /AC, DE⊥AC于点E, ∠ODE=∠CED=90°， :OD是⊙O的半径，DE⊥OD, DE是⊙O的切线， 解：连接AD, B AB是⊙O的直径， AD⊥BC, AB=AC,CD 2/3, .BD=CD=21/3, 9 在Rt△ADC中，∠C=30°，AC=4, 0B=B=2AC=2, :∠B=∠0DB=30°， .∠B0D=120°， 120×r×24 六1B0= =· 180 3 BD长是 【解析】 (1)连接OD,则OD=OB,所以∠ODB=∠B,由AB=AC,得∠C=∠B,则 ∠ODB=∠C,所以OD//AC,则∠ODE=∠CED=90°，即可证明DE是⊙O的切线； (2)连接AD,由AB是⊙O的直径，得AD⊥BC,因为AB=AC,CD=2√3，所以 BD=CD=2√3.求出OB=2,∠B0D=120°，根据弧长公式求出BD长. 【解答】 (1)证明：连接0D,则OD=0B, ∠ODB=∠B, .AB=AC, ∠C=∠B, ·.∠ODB=∠C, .OD /AC, DE⊥AC于点E, ∠0DE=∠CED=90°， OD是⊙O的半径，DE⊥OD, DE是⊙O的切线， (2)解：连接AD, 19 B :AB是⊙O的直径， AD⊥BC, AB=AC,CD =23, .BD=CD=2/3, 在Rt△ADC中，∠C=30°，AC=4, 0B=B=AC=2, 2 :∠B=∠0DB=30°， ∠B0D=120°， 120×r×24 六1B0= 180 3 BD长是π. 3 10.(22-23·宁夏中考)如图，已知AB是⊙0的直径，直线DC是⊙0的切线，切点为C, AE⊥DC,垂足为E.连接AC. D (1)求证：AC平分∠BAE; (2)若AC=5,tan∠ACB=子求⊙0的半径. 【答案】 见解答 20 ⊙0的半径为号 【解析】 (1)连接OC,根据切线的性质可得OC⊥DE,证明OC//AE,根据平行线的性质和等腰三 角形的性质求出∠CAO=∠CAE即可； (2)连接OC,过点0作OF⊥AC于F,证明∠ACE=∠COF,根据正切的定义列式求出 OF,再根据勾股定理求出OC即可. 【解答】 D (1)证明：连接0C, :直线DC是⊙O的切线， .OC⊥DE, AE⊥DC, .OC//AE, .∠OCA=∠CAE, 0A=0C, ·.∠OCA=∠CA0, ·.∠CAO=∠CAE,即AC平分∠BAE; D (2)解：连接0C,过点O作OF1AC于F,则CF=AC=号 :∠OCE=∠OCF+∠ACE=90°，∠OCF+∠COF=90°， 21 .∠ACE=∠COF, tan∠0oF=tan∠ACE- CF 5 3 a0F=号 ·0C=VCF2+0p2=2 6 即⊙0的半径为 6 11.(24-25·江西中考)如图，已知⊙0是△ABC的外接圆，AB=AC.点D,E分别是 BC,AC的中点，连接DE并延长至点F,使DE=EF,连接AF. (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； (2)求证：AF与⊙0相切； (3)若tan∠BaAC=BC=12,求⊙0的半径. 【答案】 证明见解析 证明见解析 10 【解析】 (1)先证明BD=CD,DE=EF,再证明△AEF兰△CED,可得AF=CD,∠F=∠EDC, 再进一步解答即可； 22 (2)如图，连接AD,证明AD⊥BC,可得AD过圆心，结合AF//BD,证明AF⊥AD, 从而可得结论： (3)如图，过B作BQ⊥AC于Q,连接OB,设BQ=3x,则AQ=4x,可得 oQ=AC-0=,求解x=品-严，可得B=取=6V,求解D=V-=18, 设⊙0半径为r,可得0D=18-r,再利用勾股定理求解即可. 【解答】 (1)解：证明：点D,E分别是BC,AC的中点， .BD=CD,AE CE, 又：∠AEF=∠CED,DE=EF, ∴△AEF≡△CED, ·.AF=CD,∠F=∠EDC, .AF=BD,AF /BD, .四边形ABDF是平行四边形； (2)证明：如图，连接AD, AB=AC,D为BC中点， .AD⊥BC, B AD过圆心， AF /BD, .AF⊥AD, 而OA为半径， AF为⊙O的切线： 23 (3)解：如图，过B作BQ⊥AC于Q,连接OB, :tan∠BAC=￥ 3 BQ 3 A0=￥ 设BQ=3X,则AQ=4X, AC=AB=AQ2+BQ2=5x, .CQ=AC-AQ=x, ·.BC=WBQ2+CQ2=V10x, .10x=12, 126/10 X=0=5 AB=5x=6/10, :AB=AC,BC=12,AD⊥BC, .BD=CD=6, AD=/AB2-BD2 18, 设⊙0半径为r, .0D=18-r, r2=(18-r)2+62, 解得：r=10, .⊙0的半径为10. 12.(24-25·河南中考)问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济 又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）·假 定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周 用时120秒 24 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O.如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径 为2米.当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运 动到点B处 --BZ A-_-- 图O 图② 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离.（结果精确到0.1米）（参考数据2 ≈1.414，V3≈1.732) 【答案】 解：由于筒车每旋转一周用时120秒.所以每秒转过360°÷120=3°， ∠B0M=360°-3°×95-30°=45°； 如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D, 在Rt△A0D中，∠A0D=30°，0A=2米， ÷0D=30A=√3（米）. 在Rt△B0C中，∠B0C=45°，0B=2米， ·0C=20B=√2（米）， 2 ÷CD=0D-0C=√3-V2≈0.3（米）， 25 即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米. 【解析】 (1)求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可； (2)根据直角三角形的边角关系分别求出OD、OC即可. 【解答】 (1)解：由于筒车每旋转一周用时120秒.所以每秒转过360°÷120=3°， ∠B0M=360°-3°×95-30°=45°； (2)如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D, 在Rt△AOD中，∠AOD=30°，OA=2米， 0D=30A=3(米). 2 在Rt△B0C中，∠B0C=45°，0B=2米， 0C=20B=√2（米）， CD=0D-0C=5-2≈0.3（米）， 即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米. 13.(22-23·黑龙江中考)如图，已知BC是△ABC外接圆⊙0的直径，BC=16.点D为 ⊙O外的一点，∠ACD=∠B.点E为AC中点，弦FG过点E.EF=2EG.连接OE. 26 A G B (1)求证：CD是⊙0的切线； (2)求证：(OC+OE)(OC-OE)=EG·EF; (3)当FG‖BC时，求弦FG的长. 【答案】 答案见解答 答案见解答 3√/33-3 【解析】 (1)根据BC是△ABC外接圆⊙O的直径，得∠BAC=90°，由因为∠ACD=∠B,得 ∠BCD=90°，即可得答案； (2)先证△FEA-△CE6,得=铝又因为AE=CE,F=2E,得CE2=2Ec2,得0 C2-0E2=EC2,即可得答案； (3)作ON⊥FG,延长FG交线段于点W,得四边形ONWC为矩形，得NG=1.5EG, NE=0.5EG,EW=8-1.5EG+BG=8-0.5EG,得(8-0.5EG)2+64-2Ec2-2=2Ec2,得 EG=V33-1,即可得答案.【解答】(1)解：·BC是△ABC外接圆⊙0的直径， ∠BAC=90°， .∠B+∠ACB=90°， 27 '∠ACD=∠B, ·∠ACD+∠ACB=90°， ∠BCD=90°， :0C是00的半径， CD是O0的切线； (2)如下图，连接AF、CG, A G .∠AFE=∠ECG, :∠AEF=∠CEG, .△FEA∽△CEG, CEEG 点E为AC中点， .AE=CE, .EF 2EG, .CE2=2EG2, ·∠BAC=90°，点E为AC中点， .EO//AB, ∠0EC=90°， .0C2-0E2=EC2, 0C2-0E2=2EG2, 28 (OC 0E)(OC-0E)=EG EF; (3)作ON1FG,延长FG交线段于点W, D A E M G B BC=16, 0C=8, FG//BC, ·.四边形ONWC为矩形， EF=2EG, .FG=3EG, .NG=1.5EG,NE=0.5EG,EW=8-1.5EG+EG=8-0.5EG, 由(2)可知：0c2-0E2=2EG2, .CE2 2EG2, ÷0E2=64-2EG2,0N2=64-2EG2-EG2,Ew2=(8-0.5EG)2, A (8-0.5EG)2+64-2EG2-EG2=2EG2, 解得EG=V33-1, FG=3EG=3/33-3. 14.(25-26·湖北模拟)如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠BAC=45°.过点0作DF1AB, 垂足为E,交AC于点D,交⊙O于点F,过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G. 29 D (1)求证：FD=FG; (2)若AB=12,FG=10,求⊙0的半径. 【答案】 证明过程见详解 。0的半径号 【解析】 (1)根据垂直，切线的性质得到AB‖GF,可得△DFG是等腰直角三角形，由此即可求 解； (2)根据垂径定理得到AE=BE=6,△ADE是等腰直角三角形，由(1)得到FD=10, 则EF=4,如图所示，连接OA,设OE=X,则OF=OE+EF=X+4=OA,由此勾股定理 即可求解 【解答】 (1)解：DF⊥AB,GF是⊙O的切线，即DF⊥GF, .AB II GF, .∠BAC=∠G=45°， ∠FDG=90°-45°=45°，即△DFG是等腰直角三角形， .FD=FG; (2)解：DF⊥AB, ·AE=BE=AB=6, ∠BAC=45°， :∠ADE=90°-45°=45°，即△ADE是等腰直角三角形， 30 .EA=ED=6, 由(1)得FD=FG=10, EF=DF-DE=10-6=4, 如图所示，连接OA,设OE=X,则OF=OE+EF=X+4=OA, B .在Rt△A0E中，0A2=AE2+0E2, (x+4)2=62+x2, 解得，X=2 5 0A=x+4=8+4=号 13 2 00的半径号 15.(25-26·山东模拟)如图.∠AP0=∠BP0,PA与⊙0相切于点M、连接OM,OP与 ⊙O相交于点C,过点C作CD1OM,垂足为E,交⊙O于点D,连接PD交OM于点F. D B (1)求证：PB是⊙0的切线. (2)当PC=6,PM=CD时，求线段M的长. 【答案】 见解析 派-号 31 【解析】 (1)方法一：过点0作ON⊥PB于点N,证明△PMO=△PNO(AAS),则ON=OM,由OM为 ⊙O的半径得到ON为⊙O的半径，由ON1PB即可证明PB是⊙O的切线；由角平分线的性 质定理得到ON=OM,由OM为⊙O的半径得到ON为⊙O的半径，由ON⊥PB即可证明PB是 ⊙0的切线： (2)证明△0P-△0EC,则需-S求出0C=4,则0C=OM=4,在Rt△M0P中， 求出PW=2L,得到CE=E=,0B-证明△MFP~△EFD,则需-器设 5 EF ED MF=X,则EF=4-X后= 812 -x,即可求出答案. 【解答】 (1)解：方法一： 证明：过点O作ON⊥PB于点N, M N B ON⊥PB, ∠PN0=90°， :PA与⊙O相切于点M, OM⊥PA, ·∠PMO=∠PNO=90°， :∠AP0=∠BPO,P0=PO, △PMO=△PNO(AAS), .ON=OM, :OM为⊙0的半径， .ON为⊙0的半径， ON⊥PB, 32 PB是⊙O的切线： 方法二： 证明：过点O作ON⊥PB于点N, A M B 'PA与⊙O相切于点M, .OM⊥PA, ∠AP0=∠BPO, ·PO是∠APB的平分线， .ON OM, OM为⊙0的半径， ON为⊙0的半径， ON⊥PB, PB是⊙O的切线； (2)CD⊥OM,OM为半径， 、CE=DE=D, PM-CD, .CD 4 CE 2 “25 :∠0MP=90°，∠0EC=90°， .CDII PM, ∴.△OMP∽△OEC, .CE OC PC=6, 20C 5-0C+6’ 33 .0C=4, 0C=0M=4, 在Rt△MOP中，PM=/0p2-0M2=W/(6+4)2-42=2V21, ·CE=DE=V☒ ,o=Vo2--e-(9-号 :∠FMP=∠FED,∠MFP=∠EFD, △MFP∽△EFD, MF MP 六=ED 设F=x,则EF=4-X65X, 812 X2V21 = 5 解得x=号 :MF= 7 16.(25-26·河南模拟)如图，过点P作⊙0的两条切线，切点分别为A,B,连接0A, OB,OP,取OP的中点C,连接AC并延长，交⊙O于点D,连接BD B D (1)求证：∠ADB=∠AOP; (2)延长OP交DB的延长线于点E.若AP=10,tan∠AOP=子求DE的长. 【答案】 见解析； DE长为 【解析】 34 (1)利用切线长定理得OP平分∠AOB,利用圆周角定理得∠ADB=∠AOB,等量代换即 可证明； (2)延长A0交⊙O于点F,连接DF,利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形 相似，最后根据相似求得DE长， 【解答】 (1)解：证明：AP,BP分别切⊙O于A点，B点， OP平分∠AOB, ·∠A0P=A0B, 又AB=AB, ÷∠ADB=∠AOB, .∠ADB=∠AOP. (2)延长A0交⊙0于点F,连接DF,则∠ADF=90°， B AP,BP分别切⊙O于A点，B点， PA⊥OA, :C为OP的中点， .PC=OC, ÷AC=0c=DP, 又：AP=10,tan∠A0p=- ..A0=AP =20, tan∠AoP 0P=/A02+Ap2=/202+102=10/5, AC=0C=0P=5V5,AF=2A0=40, 35 .AC=OC, .∠CA0=∠AOC, 又∠PA0=∠ADF=90°， PO FA 六A0=DA .DA= 05×40=16V5,CD=DA-AC=11V5, 2 :∠AOP=∠ADB,∠ACO=∠ECD, .△AC0∽△ECD, AO CO ED CD “DE=5 V5×20=44. 17.(25-26·浙江模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AD,BC的延长线相交于点E, AC,BD相交于点F.G是AB上一点，GD交AC于点H,且AB=AC,BG=DG. G H D B C E (1)求证：∠ABC=∠DBE+∠E; (2)求证：AH2=HF.HC: (3)若tan∠ABC=V5,AD=2DE,CD=/6,求△AGH的周长. 【答案】 见解析 见解析 3√6 【解析】 36 (1)利用AB=AC得∠ABC=∠ACB,结合同弧AB所对圆周角∠ACB=∠ADB,再根据三 角形外角性质∠ADB=∠DBE+∠E,完成证明· (2)先证△HDF~△HCD得HD2=HF·HC,再通过角的等量代换证∠ADG=∠DAC,推 出AH=DH,从而得AH2=HF·HC. (3)利用(2)结论将△AGH周长转化为AB,通过相似三角形△ACD~△AEC及三角函数、 勾股定理求出AB的长，即△AGH周长为3√/6. 【解答】 (1)解：证明：AB=AC, ·∠ABC=∠ACB. AB=AB, ·.∠ACB=∠ADB, .∠ABC=∠ADB. '∠ADB=∠DBE+∠E, ·.∠ABC=∠DBE+∠E. G o. D E (2)证明：AD=AD, .∠ABD=∠ACD. .BG=DG, ·.∠BDG=∠ABD=∠ACD, 又：∠DHF=∠CHD, .△HDF∽△HCD, HF HD “D=C .HD2 HF.HC. 37 由(1)知，∠ABC=∠DBE+∠E, 又：∠ABC=∠DBE+∠ABD, ·.∠ABD=∠E, .∠BDG=∠E. '∠ADB=∠ADG+∠BDG=∠DBC+∠E, ·∠ADG=∠DBC. .CD=CD, ·.∠DAC=∠DBC, ∠ADG=∠DAC, .AH=DH, .AH2 HF.HC. (3)解：由(2)知，AH=DH, △AGH的周长为AG+GH+AH=AG+GH+DH=AG+DG=AG+BG=AB. 设DE=m,则AD=2DE=2m,AE=AD+DE=3m. G o. 0 B E 由(2)可知，∠ACD=∠E. 又：∠CAD=∠EAC, △ACD∽△AEC, 始-是-是 .AC2=AD·AE=6m2, .AC=/6m. 又：CD=6, :y6m=Y6, 3m EC .EC=3. 过点C作CP⊥AE,垂足为P,则∠CPD=∠CPE=90°. 38 :四边形ABCD是圆内接四边形， ·.∠ADC+∠ABC=180°， 又：∠ADC+∠CDP=180°， ·.∠CDP=∠ABC, tan∠CDP=tan∠ABC=/5. 在Rt△DGP中，S=V5,即PC=V5PD. ·CD=/PD2+PC2=/6PD, V/6PD=/6, PD=1, .PE=DE-DP m-1. 在Rt△CPE中，PE2+PC2=CE2, (m-1)2+(V5)2=32, 解得m=3,或m=-1(舍去). .AB=AC=3√6， △AGH的周长为3J6. 18.(24-25·四川中考)如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上的一点，连接AC、BC,延 长AB至点D,连接CD,使∠BCD=∠A. C Gδ D B H (1)求证：CD是⊙0的切线. (2)点E是AC的中点，连接BE,交AC于点F,过点E作EH⊥AB交⊙O于点H,交AB于点 G,连接BH,若BD=2,CD=4,求BF·BH的值. 39 【答案】 证明见解析 365 5 【解析】 (1)连接0C,由圆周角定理得∠1+∠2=90°，又由等腰三角形的性质及已知可得 ∠BCD=∠1，即得∠BCD+∠2=90°，进而即可求证； (2)连接C,由△BGD-△CD得志--子即得AD=8,=即得到 AB=AD-BD=6,设8C=a,则AC=2a,由勾股定理得(2aP+a2=62,解得Bc-5,再 证明△CB~△AB,得熙-器即得E,F=AB.BC,进而由E=H得 BE·BF=BH·BF=AB·BC,代入计算即可求解. 【解答】 (1)解：证明：连接0C, E D GO B H AB是直径， ·∠ACB=90°，即∠1+∠2=90°， 0A=0B, .∠A=∠1， :∠BCD=∠A, .∠BCD=∠1， .∠BCD+∠2=90°， 即∠0CD=90°， .0C⊥CD, 40 CD是⊙O的切线： (2)解：连接EC, :∠BCD=A,∠D=∠D, .△BCD∽△CAD, …品--器 BD=2,CD=4, 4 BC 2 六AD=AC= D=8,怒= .AB=AD-BD=8-2=6, 设BC=a,则AC=2a, .AC2 +BC2=AB2, (2a)2+a2=62, a=6v5 ·BC=6 5 点E是AC的中点， .AE EC, ∠3=∠4， .∠CEB=∠A, △CEB~△FAB, 器-器 即BE·BF=AB.BC, EH⊥AB, ·AB垂直平分EH, .BE=BH, BE·BF=BH·BF=AB·BC, ÷BF.BH=6×6y5=366 5 5 41 19.(25-26·天津模拟)已知AB与⊙0相切于点C,0A=0B,∠A0B=80°，0B与⊙0相交 于点D,E为⊙0上一点. G B 图① 图② (1)如图①，求∠CED的大小； (2)如图②，当EC II OAI时，EC与0B相交于点F,延长B0与⊙0相交于点G,若⊙0的 半径为3，求ED和EG的长. 【答案】 ∠CED=20° 3V3 【解析】 (1)连接OC,切线的性质得到OC⊥AB,三线合一，求出∠BOC的度数，圆周角定理求 出∠CED的度数即可； (2)平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到∠EDF=∠EFG-∠FED=60°，直 径得到∠GED=90°，解Rt△GED,进行求解即可. 【解答】 (1)解：连接0C. AB与⊙0相切于点C, OC⊥AB.又0A=OB, ·.OC平分∠A0B. 42 ∠0B=A0B. ∠A0B=80°， ∠C0B=40°. 在O0肿，∠CD=∠C0D, ∠CED=20°. 】 B (2)由(1)知：∠CED=20°. .EC II A, .∠EFG=∠A0B=80°. :∠EFG为△DEF的一个外角， .∠EDF=∠EFG-∠FED=60°. 由题意，DG为⊙0的直径， .∠GED=90°. 又⊙0的半径为3，则：DG=6. 在Rt△GED中，cos∠EDG=sin∠EDG= G ED=6cos60°=3，EG=6sin60°=3/3. 20.(25-26·陕西模拟)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,以CD为直径 的⊙O交BC于点E,交AC于点F,M为线段DB上一点，ME=MD. 43 DM B (1)求证：ME是⊙0的切线. (2)若CF=3,sinB=手，求0M的长. 【答案】 详见解析 器 【解析】 (1)如图连接OE,利用SSS证明△ODM兰△OEM得到∠OEM=∠ODM=90°即可证明ME 是⊙O的切线： (2)如图连接F,先说明∠B=∠ACD,即sin∠ACD=sinB-善再根据圆周角定理 可得sin∠ACD=器设DF=4,CD=5x,由勾股定理可得CD2=F2+0F2,即(5xP=(4xP 5 +32.解答x=1,进而得到CD=5、0D=2由全等三角形的性质可得∠1=∠2，进而得 到∠1=∠3；则sin∠OMD=sinB=4,然后求得OM即可解答. 【解答】 (1)解：证明：如图：连接0E, C D M B 在△ODM与△OEM中， (OD 0E OMOM, (DM =EM 4 ÷.△ODM=△OEM(SSS). ·∠OEM=∠ODM=90°， E为⊙O的切线， (2)解：如图：连接DF. '∠ACB=90°，CD⊥AB, ·∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°. :∠B=∠ACD.sin∠ACD=sinB= CD为直径， 、∠CFD=90,sin∠AcD-" DF =4x,CD 5x,CD2 DF2 +CF2, (5x)2=(4x)2+32. x=1,D=5,0D= '△ODMe△OEM, ∠1=∠2 :∠1+∠2=∠3+∠4， 0C=0D, .∠3=∠4， ∠1=∠3， .OM /BC. :sin∠0ND=sinB= ·OM= 0D25 Fsin∠OMm=8 21.(22-23·陕西中考)如图，△ABC内接于⊙0，∠BAC=45°，过点B作BC的垂线， 交⊙O于点D,并与CA的延长线交于点E,作BF⊥AC,垂足为M,交⊙O于点F. 45 0 M ⊙ C (1)求证：BD=BC; (2)若⊙0的半径r=3,BE=6,求线段BF的长. 【答案】 见解答； 2W3+V6 【解析】 (1)如图，连接DC，根据圆周角定理得到∠BDC=∠BAC=45°，求得 ∠BCD=90°-∠BDC=45°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论： (2)如图，根据圆周角定理得到CD为O0的直径，求得CD=2r=6.根据勾股定理得到 EC=VBE2+BC2=62+(32=36 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论. 【解答】 E O M (1)证明：如图，连接DC, ⊙ 则∠BDC=∠BAC=45° BD⊥BC,∴∠BCD=90°-∠BDC=45° ∠BCD=∠BDC,∴BD=BC, 46 (2)如图，∠DBC=90°，.CD为⊙0的直径，.CD=2r=6, .BC-CD-sinLBDC=6x=3 2 ·EC=VBE2+BC2=V62+(3V2)2=3V6, :BF⊥AC,·∠BMC=∠EBC=90°，∠BCM=∠BCM, △a-aEc,÷既-需-器 BM BC EB32623.CM BC (32) EC EC 3V6=V6, 连接CF,则∠F=∠BDC=45°，∠MCF=45°， ·MF=MC=V6,÷BF=BM+MF=2/3+√6 22.(25-26·贵州模拟)如图，AB是⊙0的直径，半径0C⊥AB,垂足为0,0C=2,P 是BA延长线上一点，连接CP,交⊙O于点D,连接AD,∠OCP=60°.过点P作⊙O的切线， 切点为E,交CO的延长线于点F. C (1)求CD的长； (2)求∠DAB的度数； (3)求cos∠OFP的值. 【答案】 2元 759 3 47 【解析】 (1)连接0D,判定△OCD是等边三角形，得出∠C0D=60°，利用弧长公式求解即可； (2)利用OC⊥AB,求出∠AOD=∠A0C-∠COD=30°，再利用0A=OD,等边对等角 即可求解； (3)连接0E,求出∠CP0=30°，即可得P0=3C0=23,利用0E是⊙0的切线， 求出∠OEF=90°，OE=OA=2,证明∠OFP=∠POE,再利用三角函数定义求解即可. 【解答】 (1)解：如图，连接0D, 在⊙0中，0C=0D, 又∠0CP=60°， △OCD是等边三角形， ∠C0D=60°， 0C=2, CD的长=60π×2=2 180 3 (2)解：OC⊥AB, .∠P0F=∠A0C=90°， .∠A0D=∠A0C-∠C0D=30°， 在⊙0中，0A=0D, ·∠DAB=∠AD0=180-∠A0D=75: 2 (3)解：如图，连接0E, 48 E :∠A0C=90°，∠0CP=60°， .∠CP0=30°， P0=/3C0=23, :0E是⊙0的切线， .∠0EF=90°，0E=0C=2, ∠OFP+∠FOE=90°， :∠POF=∠A0C=90°， ·∠POE+∠FOE=90°， .∠OFP=∠POE, ·c0s∠0P=c0s∠oE-焉-=9 23.(25-26·山东模拟)如图，AB为⊙0的直径，过圆上一点D作⊙0的切线CD交BA的 延长线于点C,过点O作OE//AD交CD于点E,连接BE. B 0 (1)直线BE与⊙0相切吗？并说明理由； (2)若CA=2,CD=4,求DE的长. 49 【答案】 直线BE与⊙O相切， 理由：连接OD, :CD与⊙0相切于点D, ∠0DE=90°， AD /0E, ·∠AD0=∠DOE,∠DA0=∠EOB, .OD=0A, .∠AD0=∠DAO, .∠DOE=∠E0B, .0D=0B,0E=0E, △DOE≥△BOE(SAS), .∠0BE=∠0DE=90°， 0B是⊙0的半径， ·直线BE与⊙O相切； 设⊙0的半径为r, 在Rt△0DC中，OD2+DC2=0C2, r2+42=(r+2)2, r=3, .AB=2r=6, BC=AC+AB=2+6=8, 由(1)得：△D0E△B0E, 50 .DE=BE, 在Rt△BCE中，BC2+BE2=CE2, 82+BE2=(4+DE)2, 64+DE2=(4+DE)2, DE=6; DE的长为6. 【解析】 (1)连接OD,理由切线的性质可得∠ODE=90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质 可得OE平分∠DOB,从而可得∠DOE=∠EOB,进而可证△DOE兰△BOE,最后利用全等三角 形的性质即可解答； (2)设⊙O的半径为r,先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用(1)的结 论可得DE=BE,最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答. 【解答】 (1)解：直线BE与⊙0相切， 理由：连接OD, E B 0 :CD与⊙O相切于点D, .∠0DE=90°， AD //0E, 51 .∠AD0=∠DOE,∠DA0=∠EOB, 0D=0A, ·.∠AD0=∠DAO, .∠DOE=∠E0B, 0D=0B,0E=0E, △DOE=△BOE(SAS), .∠0BE=∠ODE=90°， :OB是⊙0的半径， :直线BE与⊙O相切； (2)设⊙0的半径为r, 在Rt△ODC中，OD2+DC2=0C2, r2+42=(r+2)2, r=3, .AB=2r=6, .BC=AC+AB=2+6=8, 由(1)得：△D0E△BOE, .DE=BE, 在Rt△BCE中，BC2+BE2=CE2, 82+BE2=(4+DE)2, 64+DE2=(4+DE), DE=6; .DE的长为6. 24.(25-26·云南模拟)如图，扇形0PN为某运动场内的投掷区，PN所在圆的圆心为0、 A、B、N、O在同一直线上.直线AP与PN所在⊙0相切于点P.此时测得∠PA0=45°；从点A处 沿A0方向前进8.0米到达B处.直线BQ与PN所在⊙O相切于点Q,此时测得∠QB0=60°.（参 考数据：/2≈1.41,3≈1.73，r≈3.14) 52 45°60的 (1)求圆心角∠PON的度数： (2)求PN的弧长（结果精确到0.1米）. 【答案】 45° 24.1m 【解析】 (1)由圆的切线的性质得到∠AP0=90°，再由直角三角形锐角互余即可求解； (2)先解Rt△BQ0,设BQ=x,B0=2x,0Q=0P=V3x,再解Rt△AP0得到Y3x 8+2x ，求出x,求出半径，再由弧长公式即可求解。 v2 【解答】 (1)解：直线AP与PN在⊙O相切于点P, .∠AP0=90°， :∠PA0=45°， ∠P0N=90°-∠PA0=45°； (2)解：直线BQ与PN所在⊙O相切于点Q, ∠BQ0=90°， :∠QB0=60°， 53 4c0s∠0B0=c0s60-8-号 设BQ=X,B0=2x, .0Q=0P=/B02-BQ2=V3x, :AB=8.0m, A0=AB+B0=(8.0+2x)m, :在Rt△AP0中，∠A=45°， siA=sin45-8-=号 8.0+2x 解得：x=(4√6+8)m, .0P=V3×(4V6+8)=(12V/2+8V3)m, PN的弧长为：45×122+8y②≈24.1m, 180 答：PN的弧长为24.1m. 25.(25-26·山东模拟)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上异于A、B的点，连接AC、 BC,点D在BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC,点E在DC的延长线上，且BE⊥DC. C D A 0 B (1)求证：DC是⊙0的切线； (2)若8器-子BE=10,求DA的长. 【答案】 见解答 3 54 【解析】 (1)连接0C,先根据等腰三角形的性质可得∠1=∠2，再根据圆周角定理可得 ∠ACB=∠1+∠3=90°，从而可得∠OCD=90°，然后根据圆的切线的判定定理即可得证； (2)设0A=0B=0C=2x,则0D=3x,AD=X,BD=5x,再根据相似三角形的判定 证出△DCO~△DEB,然后根据相似三角形的性质求出x的值，由此即可得出答案. 【解答】(1)证明：如图，连接0C, D 0C=0B, ∠1=∠2， AB是⊙O的直径， ·.∠ACB=∠1+∠3=90°， ∠2+∠3=90°， ∠ACD=∠2， ∠ACD+∠3=90°，即∠0CD=90°， .DC L OC, 又：0C是⊙0的半径， DC是⊙O的切线， @)解，器-号 设0A=0B=0C=2x,则0D=3x, .AD=0D-0A=3x-2X=X,BD=0B+0D=5x, :C0⊥DC,BE⊥DC, .BE//C0, △DC0~△DEB, 55 解得x=3, DA=3. 26.(25-26·山东模拟)如图，AB是⊙0的直径，点C,E在⊙0上，∠CAB=2∠EAB, 点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC. (1)求证：EF与⊙0相切； (2)若BF=1,sin∠AFE=手，求BC的长. 【答案】 见解答 BC 【解析】 (1)利用圆周角定理得到∠EOB=2∠EAB,结合已知推出∠CAB=∠EOB,再证明 △OFE一△ABC,推出∠OEF=∠C=90°，即可证明结论成立； (2)设⊙0半径为x,则OF=x+1,在Rt△OEF中，利用正弦函数求得半径的长，再 在Rt△ABC中，解直角三角形即可求解. 【解答】 E B (1)证明：连接0E, BE=BE,∠EOB=2∠EAB, 56 ∠CAB=2∠EAB, ·.∠CAB=∠EOB, :AB是⊙0的直径， ∠C=90°， :∠AFE=∠ABC, △OFE∽△ABC, ∠0EF=∠C=90°， 0E为⊙0半径， EF与⊙0相切； (2)解：设⊙0半径为x,则OF=X+1,:∠AFE=∠ABC,sin∠AFE= sin∠ABc=言 在Rt△OEF中，∠OEF=90°，sin∠AFE= 4 解得x=4, 经检验，x=4是所列方程的解， .⊙0半径为4，则AB=8, 在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∠ABC=1,AB=8, ·AC=AB.sin∠ABC=32 5 BC=VAB2-AC 27.(25-26·四川模拟)如图，CD是⊙0的直径，弦AB1CD,垂足为点F,点P是CD延 长线上一点，DE⊥AP,垂足为点E,∠EAD=∠FAD. 57 B (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)若PA=4,PD=2,求⊙0的半径和DE的长. 【答案】 证明：连接OA,如图： AB⊥CD, ∠AFD=90°， ∠FAD+∠ADF=90°， 0A=0D, .∠OAD=∠ADF, ∠FAD+∠OAD=90°， :∠EAD=∠FAD, ·∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°， OA⊥AE, 0A是⊙0半径， AE是⊙O的切线； 解：连接AC,AO,如图： 58 C :CD为⊙0直径， ∠CAD=90°， :∠C+∠ADC=90°， :∠FAD+∠ADC=90°， ·∠C=∠FAD, ∠EAD=∠FAD, ∠C=∠EAD, :∠P=∠P, .△ADP△CAP, 常-0 PA=4,PD=2, 42 “0p=星 解得CP=8, .CD=CP-PD=8-2=6, ⊙0的半径为3： .0A=3=0D, .0P=0D+PD=5, '∠OAP=90°=∠DEP,∠P=∠P, △OAP∽△DEP, -0号-号 六04=0p :DE=3 6 ⊙0的半径为3，DE的长为号 59 【解析】 (1)连接OA,由AB⊥CD,得∠FAD+∠ADF=90°，故∠FAD+∠OAD=90°，根据 ∠EAD=∠FAD,得∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°，OA⊥AE,从而可得AE是⊙O的 切线； (2)连接AG,A0,证明△AP-△CMP,可得品-子CP=8,故cD=CP-pD=6,O0 的半径为3：再证△0AP~△DE,得-专从而E-号 【解答】 (1)证明：连接0A,如图： B AB⊥CD, .∠AFD=90°， ∠FAD+∠ADF=90°， :0A=0D ·∠OAD=∠ADF, ∠FAD+∠OAD=90°， :∠EAD=∠FAD, ∠EAD+∠OAD=90°，即∠0AE=90°， 0A⊥AE, :0A是⊙0半径， AE是⊙O的切线 (2)解：连接AC,AO,如图： 60 C :CD为⊙0直径， ∠CAD=90°， :∠C+∠ADC=90°， :∠FAD+∠ADC=90°， ·∠C=∠FAD, ∠EAD=∠FAD, ∠C=∠EAD, :∠P=∠P, .△ADP△CAP, 常-0 PA=4,PD=2, 42 “0p=星 解得CP=8, .CD=CP-PD=8-2=6, ⊙0的半径为3： .0A=3=0D, .0P=0D+PD=5, '∠OAP=90°=∠DEP,∠P=∠P, △OAP∽△DEP, -0号-号 六04=0p :DE=3 6 ⊙0的半径为3，DE的长为号 61 28.(25-26·四川模拟)如图，PA是⊙0的切线，点A为切点，点B为⊙0上一点，射线 PB,AO交于点C,连接AB,点D在AB上，过点D作，DF⊥AB,交AP于点F,作DE⊥BP,垂足 为点E.AD=BE,BD=AF. B (1)求证：PB是⊙0的切线； (2)若AP=4,sin∠C=子求⊙0的半径. 【答案】 见解析 6 【解析】 (1)连接OB,证明Rt△DEB=Rt△FAD,则∠3=∠4，而OA=OB,则∠1=∠2，由 于PA是⊙O的切线，则∠0AP=∠1+∠3=90°，再由等式的性质即可证明； (2)可得sinC-能--号设0B=2x0c=3x,则BC=V5x,0A=0B=2x,由切 线长定理得到B=PA=4,则，-号求出x,即可求解半径 【解答】 (1)解：证明：连接0B, 62 B PA是⊙O的切线， .∠0AP=∠1+∠3=90° DF⊥AB,DE⊥BP, ·∠ADF=∠BED=90°， .AD=BE,BD=AF, ·Rt△DEB=Rt△FAD(HL), .∠3=∠4， 0A =OB .∠1=∠2， .∠1+∠3=∠2+∠4， ∠0BP=∠2+∠4=90°， 即OB⊥BP, PB是⊙O的切线： (2)解：OB⊥BP,∠0AP=90°， ÷sinC=AP=oB2 PC 0C 3 设0B=2x,0C=3x, BC=/0C2-0B2=V5x,0A=0B=2x, PB是⊙O的切线，PA是⊙O的切线， .PB=PA=4, ~sinc--号 42 4+√5x=3 解得：x-V5, 63 半径为5×2=青5. 29.(25-26·江苏模拟)如图1，点0是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的 切线，C,D均为直径AB上方的动点，连接CD,且始终满足CD=AD+BC. D 0 图1 图2 (1)求证：CD与该半圆相切； 2 2 (2)当半径r=V2时，令D=a,c=b,m=2子。+26n=1a+比较如 与n的大小，并说明理由； (3)在(1)的条件下，如图2，当半径r=1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于 点G,连接EG并延长交AB于点F,连接A,BE,令EG=X,AB阳+品+GD=y,求y关于x的 函数解析式.（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】 见解析 m=n,理由见解析 y= 【解析】 (1)如图3，连接CO,并延长交DA的延长线于点M,过点0作OE⊥CD于点E. 根据AD与BC均为该半圆的切线，得出AD⊥AB,BC⊥AB,则AD//BC,可得∠M=∠1.证 明△OAM三△OBC,得出AM=BC.根据CD=AD+BC,得出CD=AD+AM=DM.则∠M=∠2， 可得∠1=∠2，即CO平分∠BCD.又OE⊥CD,OB⊥CB,得出OE=OB,即可证明CD与该半圆 64 相切. (2)如图4，过点C作CM⊥AD,交AD于点M,在△CDM中，由勾股定理可得CD2=DM2+C M2,根据CD=AD+BC=a+b,DM=|a-blCM=2r,列等式得出r2=AD·BC=ab=2, 代入可得=2品+。=心中+中。=中+。=n a (3)如图5，根据CD,AD,BC均为该半圆的切线，则DA=DE,CB=CE,证明 △DAG△BC8,得出g-8-品从而得出g-票E明△ACD-△GCE,得出∠C=∠GBC, 得出EG1AD1C,G1AD1BC,得出竖-岩怒-器则竖+8=1，即可得安+品 品同理可得品+品=品得出FG=EG=x,由(O)可知r2=AD.BC=DE,EC=1,得出品+ 品=C+如-品=C-又在Rt△ABE中，E·BE=2x2)=2x,得出AE,E=4, 11.11 即可得如能=女从而得出7=运E+忘+心=+片+是 【解答】 (1)解：如图3，连接CO,并延长交DA的延长线于点M,过点O作OE⊥CD于点E. M 图3 :AD与BC均为该半圆的切线， .AD⊥AB,BC⊥AB. .AD /BC. ∠M=∠1. O为AB的中点， .0A=OB. 在△OAM与△OBC中， 65 ∠M=∠1 ∠OAM=∠OBC=90°， 0A =OB △OAMe△OBC(AAS)· .AM=BC. CD=AD+BC, .CD=AD+AM DM. .∠M=∠2. :∠1=∠2，即C0平分∠BCD. 又OE⊥CD,OB⊥CB, .OE=0B. ·CD与该半圆相切. (2)解：m=n.理由如下： D Q 6 A r O B 图4 如图4，过点C作CM⊥AD,交AD于点M, 在△CDM中，由勾股定理可得CD2=DM2+CM2, CD=AD BC=a b,DM=la-bl,CM=2r, (a+b)2=(a-b)2+4r2. .r2=AD.BC=ab =2, 代入可得=2+子=中+=中6+。=n (3)解：如图5，CD,AD,BC均为该半圆的切线， .DA=DE,CB=CE, 66 D E G O F 图5 :AD⊥AB,BC⊥AB, .AD II BC. .△DAG△BCG, CG CB CE GA=AD=ED '∠ACD=∠GCE, .△ACD∽△GCE. ·∠ADC=∠GEC. .EG II AD II BC,FG II AD II BC. FG AF FG BF 六BC=AB'ADAB FGFG “BC+AD=1, 1.11 BC+AD=G 同理可得品+茹=品 11 .FG=EG=x, 由(2)可知r2=AD.BC=DE.EC=1, 品+后=安+品品-限是=0= 1 又在Rt△ABE中， :2AE·BE=(2x)(2r)=2x, AE·BE=4x. y=++0++片 30.(23-24·四川中考)综合与实践 67 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不 变，获得线段之间的数量关系 G 图 图2 图3 探究发现如图1，在△ABC中，AC=BC,P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D,PE⊥BC 于E,过点A作AP⊥BC于F.连结CP,由图形面积分割法得：S△ABC=S△APC+_S△APB一； 则AF=DP十EP 实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC=3,点G是AB边上一点，连结CG.将线段CG绕 点C逆时针旋转60°得CF,连结GF交BC于P,过点P作PD⊥GC于D,PE⊥CF于E,当AG=I时， 求PD+PE的值 拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC,BE是弦，AC=BE,P是AB上一点， PD1AC,垂足为D,AB=10,AD=2,BD=4V5,求SAPAC+?SAPBE的值. 【答案】 探究发现：Sa4mDR,P:实践应用：，拓展延伸：24 【解析】 探究发现图形面积分割法得出SAABC=SAAPC+S△APB,根据AC=BC得出AF=DP+PE; 实践应用：过点C,F分别作AB,CG的垂线，垂足分别为M,N,根据等边三角形的性质，含30度角 的直角三角形的性质，勾股定理分别求得AM,CG,进而根据旋转的性质可得△CGF是等边三 角形，同理求得F的长，进而根据探究发现的结论，即可求解； 拓展延伸：延长AC,BE交于点T,过点P作PS⊥BE于点S,设CD=x,根据圆周角定理，得出 ∠ACB=90°，在Rt△ABC,Rt△BCD中，根据勾股定理，求得x=4,进而根据弧与圆周角 的关系，得出TA=TB,根据前面的结论，即可求解. 68 【解答】 解：探究发现：PD⊥AC,PE⊥BC,AF⊥BC ÷S△ABC=S△APC+S△APB' BC×AF=AC×DP+BC×PE, AC=BC, .AF=DP+PE; 故答案为：SAAPB?DP,PE;· 实践应用：如图，过点C,F分别作AB,CG的垂线，垂足分别为M,N, D GM 图2 △ABC是等边三角形，AC=3, .AB=AC=3, CM⊥AB, AM=BM=多 ∠ACM=∠BCM=30°， al=vac-ar-V32-目2=Y9 2 AG=1,BG AB-AG=3-1=2, MG BG-BM =2- 31 在Rt△CMG中，CG=/CM2+GM2= :将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF, CG=CF,∠GCF=60 :△CGF是等边三角形， N=N=G=兰则F=V3CN= 2 “由探究发现可得：PD+PE=FN=V② 2 69 拓展延伸：如图，延长AC,BE交于点T,过点P作PS⊥BE于点S,连接BC, E P B 图3 设CD=X, :AB是半圆0的直径， .∠ACB=90°， AB=10,AD=2,BD=4/5, 在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2=102-(2+x)2, 在Rt△BCD中，BC2=BD2-CD2=(4J5)2-x2, (4V5)2-x2=102-(2+x)2, 解得：X=4, .BE=AC=AD+CD=2+4=6, .AC BE, .AE =BC, ∠ABT=∠BAT, TA=TB. :由探究发现可得：BC=PD+PS, BC=W/AB2-AC2=/102-62=8, .PD+PS=8, .AC=BE, SAPAC+S△PBE=AC×PD+BE x PS 10 1 -x AC(PD PS) =5×6×8=24. 71 2026 年中考第二轮复习 解答题专题 12 . 圆 本课时是二轮复习中 "基础必拿分、中档稳得分、压轴能抢分" 的关键专题，完全贴合新课标 "几何直观 + 逻辑推理 + 数学运算" 的核心素养考查要求。聚焦圆的核心考点，完全适配二轮复习 "查漏补缺、分层提分" 的目标。 一、题型特点 梯度分层精准适配二轮复习需求 题目严格形成三级梯度，与二轮查漏补缺、分层提分的复习目标高度匹配：①基础保分层，聚焦点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理的基础应用，考点单一、逻辑简单，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度融合特殊三角形、四边形性质，以尺规作图、实际场景为命题载体，重点考查圆内接四边形性质、三角形外接圆与内切圆、切线综合计算，是二轮复习的核心突破重点；③压轴拉分层，绑定隐圆轨迹、动态几何最值、圆与相似综合、多结论判断，是中考解答题压轴的高频题型，区分度极强。 核心考点高度集中，命题规律可预测覆盖圆的所有必考解答题考点，其中圆周角定理及推论、切线的性质与判定、圆内接四边形性质、垂径定理、 隐圆轨迹与最值为高频考点，占比超 ，完全贴合全国中考命题趋势，学生可通过针对性训练实现考点全覆盖。 命题形式多样化，贴合新课标改革方向 结合尺规作图：以尺规作图为背景，考查学生对作图原理和圆性质的综合理解，符合新课标 "动手操作 + 逻辑推理" 的考查要求； 结合实际应用：古代 "会圆术"、残缺圆形工件半径测量，考查学生将实际问题转化为圆的数学模型的能力； 结合动态几何：以动点为背景，考查隐圆轨迹和最值问题，是近年中考压轴题的热点； 多结论判断：考查学生多步逻辑推理和严谨性，是解答题压轴的常见形式。 解答题专属特征突出，注重过程与规范 与填空题不同，解答题注重解题过程的完整性和规范性，辅助线作法、定理依据、计算步骤均占分。基础题侧重步骤规范，中档题侧重逻辑连贯，压轴题侧重综合推导，全面考查学生的几何表达能力。 二、答题要点 （一）通用核心答题要点 筑牢核心定理体系，做到随用随取 这是本专题答题的核心前提，必须无死角掌握以下内容： 核心定理：垂径定理及推论、圆周角定理及推论、切线的判定与性质、切线长定理、圆内接四边形性质； 核心性质：同圆或等圆中，相等的圆心角对应相等的弧和弦；圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；圆内接四边形对角互补、外角等于内对角；三角形外心到三顶点距离相等，内心到三边距离相等。 规范辅助线作法，固化标准化破题路径 辅助线是圆类解答题的解题关键，牢记以下口诀并规范书写： 弦与弦心距，亲密紧相连：遇到弦必作弦心距，构造直角三角形； 切点圆心连，垂线就出现：已知切线必连圆心与切点得垂直，判定切线时 "有交点连半径证垂直，无交点作垂线证等于半径"； 直径对直角，半角找圆周：见直径必连圆周角得直角，优先构造直角三角形； 定角对定边，隐圆就出现：动态题中满足 "定角对定边" 或 "到定点距离等于定长"，必存在隐圆。 方程思想为万能通法，通解所有计算类题型的解答计算题，可通过 "设半径为 r，结合勾股定理或相似三角形比例关系列方程求解"。无论是弦长计算、切线长计算，还是圆心距求解，均以半径为核心未知数，列方程是二轮复习中全员必须掌握的通用解题方法。 分类讨论前置，杜绝多解漏写 解答题中多解问题同样是失分重灾区，只要出现以下四种情况，必须先分类、再计算：①题干提到 "弦"（弦所对的圆周角有两个，互补）；②无配图的圆的几何题；③点在直线 / 射线上运动、不与端点重合的动点题；④两圆相切（包括内切和外切）。需分两种情况分别求解，并在答案中明确写出所有解。 证明题步骤规范，每步必有依据 解答题证明题需严格遵循 "已知→推导→结论" 的逻辑链条，每一步推导都要有定理依据，不能跳步。辅助线要在解题开头明确写出作法，如 "连接 OA"、"过点 O 作 OC⊥AB 于点 C"等。 （二）分题型专属答题要点 位置关系证明题：直接比较距离与半径的大小。点与圆：比较点到圆心的距离 d 与半径 r；直线与圆：比较圆心到直线的距离 d 与半径 r；圆与圆：比较圆心距与两圆半径之和、之差。 角度计算题：优先用圆周角定理转化角度，直径所对圆周角为 90°，圆内接四边形对角互补、外角等于内对角。遇到多个角度关系时，可设未知数表示角度，利用三角形内角和或四边形内角和列方程求解。 长度计算题：垂径定理结合勾股定理是基础，切线长定理结合直角三角形是重点，相似三角形结合比例关系是难点。遇到复杂图形时，可将图形分解为多个基本直角三角形或相似三角形，逐步求解。 切线证明题：分两种情况：①直线与圆有公共点：连接公共点与圆心，证明该半径与直线垂直；②直线与圆无公共点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于半径。 隐圆最值题：固定三步法，第一步根据 "定角对定边" 或 "到定点距离等于定长" 确定隐圆的圆心和半径；第二步计算定点到圆心的距离；第三步根据 "点到圆上点的距离最值 = 点到圆心距离 ± 半径" 求解。 三、避坑指南 （一）概念定理类避坑：杜绝基础题无谓失分 严防垂径定理条件遗漏：高频坑①忽略 "平分弦（不是直径）的直径垂直于弦" 中 "弦不是直径" 的前提条件；②只平分弦，未平分弦所对的两条弧；③混淆弦心距与拱高的概念。 严防切线判定条件混淆：高频坑①只满足 "经过半径外端" 或 "垂直于半径" 其中一个条件，就判定为切线；②切线性质误用为 "切线垂直于任意半径"，正确应为 "切线垂直于过切点的半径"。 严防圆周角定理误用：高频坑①忘记 "同圆或等圆" 和 "同弧" 前提，错误认为不同弧所对圆周角相等；②同弦所对的圆周角有两个，互补，学生常只写一个。 严防圆内接四边形性质混淆：高频坑①混淆 "对角互补" 与 "外角等于内对角" 的性质；②错误认为任意四边形都有外接圆。 严防三角形内心与外心混淆：高频坑①内心是三角形三角平分线的交点，到三边距离相等；②外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等，学生常将两者性质搞反。 （二）审题类避坑：杜绝非知识性失分 严防限定词漏看：高频坑①漏看 "劣弧"、"优弧"、"不与端点重合"、"相切（包括内切和外切）" 等核心限定词；②漏看单位（如题目给直径单位是厘米，答案要求米）；③题干求 "最小值 / 最大值"，学生算成相反值。 严防无图题不分类讨论：解答题无图圆的几何题同样存在多解陷阱，学生仅画一种符合直觉的图形，漏写第二个解，导致步骤分全失。 严防实际场景模型转化错误：圆的实际应用题，学生常把实际场景转化为错误的数学模型，如残缺工件问题中把 CD 当成半径计算，导致结果全错。 严防题干条件遗漏：解答题题干较长，学生常遗漏关键条件，如 "AB 是直径"、"PA 是切线" 等，导致后续推导错误。 （三）解答过程类避坑：杜绝步骤分流失 严防辅助线不写或写法不规范：辅助线是解题的关键，不写辅助线或写法不规范会直接扣分。正确写法如 "连接 OA、OB"、"过点 O 作 OC⊥AB，垂足为 C"。 严防证明条件不全：证明切线时，必须同时写出 "经过半径外端" 和 "垂直于半径" 两个条件；证明相似时，必须写出两个对应角相等或两边对应成比例且夹角相等的条件。 严防步骤跳跃：解答题要求步骤完整，不能跳步。如勾股定理计算必须写出完整的式子，不能直接写出结果；相似三角形比例式必须写出对应边的关系。 严防计算错误：高频坑①半径与直径搞混，题目给出直径时未除以 2；②勾股定理平方错误、开方错误；③30°、45°、60° 三角函数值记混；④相似三角形对应边搞混，比例式列反。 严防多解漏写：分类讨论题必须写出所有可能的解，并在答案中明确标注，如 "综上所述，⊙O 的半径为 3 或 5"。 （四）逻辑与轨迹类避坑：杜绝压轴题失分 严防隐圆轨迹判断错误：动态几何最值题，核心是通过 "定角对定边" 或 "到定点距离等于定长" 判断隐圆，学生常找不到定角、无法确定圆心和半径，导致最值计算错误。 严防多结论题推导不严谨：多结论判断题对单个结论推导不严谨，错一个就会导致该小问全部分丢失。解题时应先判断最易推导的结论，排除错误选项，再逐一验证剩余结论。 严防动态问题边界错误：动点题中，学生常忽略动点的运动范围，如 "点 P 在 BC 边上运动（不与 B、C 重合）"，导致最值计算时包含端点值，结果错误。 四、真题练习 1.（25-26·贵州模拟）如图，已知为半圆的直径．求作矩形，使得点，在上，点，在半圆上，且．要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 2.（25-26·江苏模拟）如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 3.（25-26·四川模拟）如图，在中，是直径，且交圆于，求证：． 4.（24-25·黑龙江模拟）如图，为的直径，为的弦，，为的中点，连接，，交于点． （1）求的度数； （2）若，求扇形的面积． 5.（2025-2026·安徽模拟）如图，为O的内接三角形，为的高，垂足为，且． （1）求证：； （2）若，，求O的半径． 6.（25-26·全国模拟）如图，已知是半圆的直径，半径垂直于弦，垂足为点，联结，． （1）求的度数； （2）求的值． 7.（24-25·四川中考）如图，为的直径，点为圆上一点，过点作的切线，交延长线于点，过点作，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，的半径为，求的长． 8.（25-26·湖北模拟）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 9.（23-24·江西中考）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 10.（22-23·宁夏中考）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 11.（24-25·江西中考）如图，已知是的外接圆，．点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：与相切； （3）若，，求的半径． 12.（24-25·河南中考）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为米．当时，某盛水筒恰好位于水面处，此时，经过秒后该盛水筒运动到点处． 问题解决： （1）求该盛水筒从处逆时针旋转到处时，的度数； （2）求该盛水筒旋转至处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，） 13.（22-23·黑龙江中考）如图，已知是外接圆的直径，．点为外的一点，．点为中点，弦过点．．连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当时，求弦的长． 14.（25-26·湖北模拟）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 15.（25-26·山东模拟）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． （1）求证：是的切线． （2）当，时，求线段的长． 16.（25-26·河南模拟）如图，过点作的两条切线，切点分别为，，连接，，，取的中点，连接并延长，交于点，连接． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点．若，，求的长． 17.（25-26·浙江模拟）如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，相交于点．是上一点，交于点，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的周长． 18.（24-25·四川中考）如图，是的直径，是上的一点，连接，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）点是的中点，连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的值． 19.（25-26·天津模拟）已知与相切于点与相交于点，为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为，求和的长． 20.（25-26·陕西模拟）如图，中，于点，以为直径的交于点，交于点，为线段上一点，． （1）求证：是的切线． （2）若， ，求的长． 21.（22-23·陕西中考）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）若的半径，，求线段的长． 22.（25-26·贵州模拟）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点． （1）求的长； （2）求的度数； （3）求的值．  23.（25-26·山东模拟）如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接． （1）直线与相切吗？并说明理由； （2）若，，求的长． 24.（25-26·云南模拟）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为、、、、在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进米到达处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：） （1）求圆心角的度数； （2）求的弧长（结果精确到米）． 25.（25-26·山东模拟）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26.（25-26·山东模拟）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 27.（25-26·四川模拟）如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径和的长． 28.（25-26·四川模拟）如图，是的切线，点为切点．点为上一点，射线交于点，连接，点在上，过点作，，交于点，作，垂足为点．． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 29.（25-26·江苏模拟）如图，点是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，，均为直径上方的动点，连接，且始终满足． （1）求证：与该半圆相切； （2）当半径时，令，，，，比较与的大小，并说明理由； （3）在的条件下，如图，当半径时，若点为与该半圆的切点，与交于点，连接并延长交于点，连接，，令，，求关于的函数解析式．（不考虑自变量的取值范围） 30.（23-24·四川中考）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________． 实践应用：如图，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值． 拓展延伸：如图，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $