二次函数压轴题之相似三角形存在问题点拨与精练-2026年中考数学二轮复习专题讲义

二次函数压轴题之相似三角形存在问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨： 中考二次函数压轴题的高频拔高设问，多为解答题第3问，是相似三角形与坐标几何的综合应用： 1.基础模型：已知一个定三角形，在抛物线上找一点，使新构成的三角形与定三角形相似。 2.动点背景：点在抛物线上或直线上运动，探究与已知三角形相似的情况。 3.综合变形：常与直角三角形、等腰三角形结合，增加题目的复杂度，如 “等腰直角三角形相似”。 二、思路点拨 1.解题通用步骤： (1)先分析已知定三角形的形状（如直角三角形、等腰三角形），确定其边的比例和角的特征。 (2)设动点坐标：设动点P(x,y)，其中y用抛物线解析式表示。 (3)分对应顶点的不同情况讨论： ①定三角形的顶点A对应新三角形的顶点P； ②定三角形的顶点B对应新三角形的顶点P； ③定三角形的顶点C对应新三角形的顶点P。 (4)利用相似三角形的对应边成比例列方程，求解并检验。 2.关键技巧：优先利用直角或特殊角确定对应关系，减少讨论情况；若有直角，优先用 “直角对直角” 的情况，简化比例计算。 精练 1．（2026·山东东营·一模）如图，抛物线经过点，点．连接．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ (3)点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图所示，抛物线坐标轴交于、、，其顶点是． (1)求该抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026·山东潍坊·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 4．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，抛物线与轴相交于点，且经过两点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点为轴下方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标以及面积最大值； (3)抛物线顶点为，对称轴与轴的交点为，点为轴上一动点，请问是否存在点以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线．经过，，与x轴交于另一个点C，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点Q在抛物线上的对称轴上，那么在抛物线上是否存在一点N，使得A、B、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出N点的坐标； (3)点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作交BC于点E，过点D作轴，交于点F，求的最大值； (4)在抛物线上是否存在点P，直线交x轴于点M，使与以A、B、C、M中三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和C点坐标； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； (3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的解析式及的函数解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一动点，设的面积为S，是否存在点P，使的面积S最大？若存在，请求出S最大值及点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点Q是直线上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E，是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 8．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的一个交点为，过点作轴交抛物线于点． 设抛物线的顶点为，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线上，是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接．在线段是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线交轴负、正半轴于，两点，交轴于点，连接，，ΔABC的外接圆的圆心为．                                 备用图 (1)求该二次函数的解析式； (2)在段的抛物线上是否存在一点，使，若存在请求出点坐标，若不存在，说明理由； (3)圆上是否存在点，使与相似？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由． 10．抛物线 经过点和点．该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线轴，分别与x轴和直线交于点 M、N． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)连接，如图1，在点P运动过程中，的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； (3)连接，过点 C作垂足为点 Q，如图2，是否存在点 P，使得与相似？ 若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 11．（24-25九年级上·江苏连云港·月考）如图，抛物线的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，已知， ，点Q为射线上一点，过点Q作y轴的平行线，分别交抛物线、直线于点D、E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，是否存在与相似，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是否存在以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图，二次函数的图象与轴相交于点，，对称轴交轴于点． (1)求该二次函数及所在直线的解析式； (2)如图1，在线段上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接分别交，轴于点，．是否存在最大值，若存在，请求出最大值及此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 13．如图1，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点C坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在y轴上是否存在一点D，使以B，C，D为顶点的三角形与相似？若存在，求点D坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 14．如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）已知如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由． (3)在线段上是否存在一点，使和相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，抛物线交轴负、正半轴于，两点，交轴于点，连接，，的外接圆的圆心为 (1)求该二次函数的解析式； (2)在段的抛物线上是否存在一点P，使，若存在请求出点P坐标，若不存在，说明理由； (3)圆上是否存在Q点，使与相似？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，说明理由． 17．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）已知抛物线经过点，，对称轴直线与抛物线交于点C，与直线交于点D，与x轴交于点M． (1)试确定抛物线的解析式； (2)若当时，的最小值为2，最大值为20，则m的取值范围为______； (3)连接，在对称轴上，是否存在点E，使以点B，D，E为顶点的三角形与相似?若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (4)将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A，M，与x轴的另一个交点为点N，在平面上是否存在点F，使得以点A，B，N，F为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）在平面直角坐标系中，二次函数． 的图象与x轴交于，两点， 与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点P是x轴上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点Q是x轴上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点 为顶点的三角形与相似？ 若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由． 20．如图，抛物线的顶点为，交轴于、两点，交轴于点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与抛物线交于点 ，交轴于点，其中点的横坐标为，若直线为抛物线的对称轴，点为直线 上的一动点，则轴上是否存在一点，使、，、四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点、的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，在抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作，交线段于点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 22．定义：如图1，两个相似三角形，如果它们的一组对应角有公共顶点，并且它们的对应边所在直线互相垂直，那么这两个相似三角形互为“郡似三角形”，连接CE、BD，则称为“郡似比”． (1)如图1，与互为“郡似三角形”，则 ，且______，当，时，“郡似比”______． (2)如图2，抛物线与x轴交于和，点D和点F在第一象限内，点，过B作轴交抛物于点E，若与互为“郡似三角形”， ①求抛物线解析式； ②当“郡似比”时，求（）最大值； ③如图3，若，且点D在直线上，是否存在点F在抛物线上，仍然使得与互为“郡似三角形”，若不存在，请说明理由，若存在；请求出F点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数压轴题之相似三角形存在问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨： 中考二次函数压轴题的高频拔高设问，多为解答题第3问，是相似三角形与坐标几何的综合应用： 1.基础模型：已知一个定三角形，在抛物线上找一点，使新构成的三角形与定三角形相似。 2.动点背景：点在抛物线上或直线上运动，探究与已知三角形相似的情况。 3.综合变形：常与直角三角形、等腰三角形结合，增加题目的复杂度，如 “等腰直角三角形相似”。 二、思路点拨 1.解题通用步骤： (1)先分析已知定三角形的形状（如直角三角形、等腰三角形），确定其边的比例和角的特征。 (2)设动点坐标：设动点P(x,y)，其中y用抛物线解析式表示。 (3)分对应顶点的不同情况讨论： ①定三角形的顶点A对应新三角形的顶点P； ②定三角形的顶点B对应新三角形的顶点P； ③定三角形的顶点C对应新三角形的顶点P。 (4)利用相似三角形的对应边成比例列方程，求解并检验。 2.关键技巧：优先利用直角或特殊角确定对应关系，减少讨论情况；若有直角，优先用 “直角对直角” 的情况，简化比例计算。 精练 1．（2026·山东东营·一模）如图，抛物线经过点，点．连接．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ (3)点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值是 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）用待定系数法将点，点代入抛物线，即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的表达式，即可表示出点和点的坐标，从而得出，再根据解直角三角形求得，根据二次函数的最值即可得出答案； （3）分和两种情况，根据相似三角形的性质得出线段之间的关系求得的值，从而求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点，点代入抛物线， 得， ， 抛物线的表达式为：； （2）解：令得， ， 设直线的表达式为， 将，代入直线：， 得， ∴， 直线的表达式为：， 的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴， ， ， ， ， 当时，有最大值； （3）解：存在， ，，的坐标为，， ①当时，， 即，解得， 此时的坐标为； ②当时，， 即，解得， 此时的坐标为， 点坐标为或． 2．如图所示，抛物线坐标轴交于、、，其顶点是． (1)求该抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）过点D作轴于点F，和都是等腰直角三角形，可得，即可证得结论； （3）利用勾股定理求得的三边的长，然后分点P在x轴和y轴两种情况讨论，设出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：是直角三角形，理由如下： 过点D作轴于点F， 在中， ∵， ∴， ∴ ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3）解：坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，理由： 由（2）知，，， ∵，，故当P是原点O时，； 当是直角边时，若与是对应边， 设P的坐标是，则， ∴，即， 解得， 则P的坐标是，不是直角三角形，则不成立； 当是直角边，若与是对应边时， 设P的坐标是，则， 则，即， 解得，故P是时，一定成立； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，此时，两个三角形不相似； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，符合条件． 总之，符合条件的点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． 3．（2026·山东潍坊·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①，最大值为；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）①先求出直线的解析式为：，设，则，用含的代数式表示的面积，进而即可求解；②分两种情况：①；②，讨论即可． 【详解】（1）解：把、代入得 ， 解之得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：①如图， 设直线的解析式为， 把、代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴， ∴， ， ∴对称轴， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴； ②当时，如图： ∴， ∴轴， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得舍去，， ∴， 当时， ， 过点作于， ∵，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由①得，， ∴， 解得（舍去），， ∴， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）注意需要分类讨论． 4．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，抛物线与轴相交于点，且经过两点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点为轴下方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标以及面积最大值； (3)抛物线顶点为，对称轴与轴的交点为，点为轴上一动点，请问是否存在点以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时最大为： (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式即可； （2）设，找到与的函数关系式，求最值即可； （3）分情况讨论两三角形相似时的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且经过两点， ∴， 解得：， 即：； （2）解：连接， 当时，，即：， 设，且， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∵ ∴开口向下， ∴当时，最大为：， 时，最大为：； （3）答：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 即：，解得：， ∴或； 当时，， 即：，解得：， ∴或 综上：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质；关键是知识点的灵活应用． 5．已知抛物线．经过，，与x轴交于另一个点C，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点Q在抛物线上的对称轴上，那么在抛物线上是否存在一点N，使得A、B、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出N点的坐标； (3)点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作交BC于点E，过点D作轴，交于点F，求的最大值； (4)在抛物线上是否存在点P，直线交x轴于点M，使与以A、B、C、M中三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3) (4)存在，或 【分析】（1）把，代入，即可得到抛物线的函数表达式； （2）设点Q的坐标为，，分对角线是；对角线是；对角线是，利用平行四边形的性质求出点N的坐标； （3）过点A作，交y轴于点G，求出直线和直线的解析式，设点D的坐标为，点F的坐标为，表示线段的长度，证明，表示出的解析式，根据二次函数的性质求出最值； （4）分和两种情况，求出点M的坐标，得到直线的解析式，联立二次函数解析式得到点P的坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵，得抛物线对称轴为直线， 设点Q的坐标为，， ①若对角线是， 由平行四边形的性质可得与互相平分， 则，即， 解得， ∴点N的坐标为， ②若对角线是， 由平行四边形的性质可得互相平分， 则，即， 解得， ∴点 N的坐标为， ③若对角线是， 由平行四边形的性质可得互相平分， 则，即， 解得， ∴点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或或； （3）解：过点A作，交y轴于点G， 把代入，得， 解得， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入， 得，,解得， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标为，点F的坐标为， ∵点D为直线下方抛物线上一动点， ∴， 由，设直线的解析式为， 把代入， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴点G的坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 得， 当时，取得最大值，最大值为； （4）解：①若△ABM∽△ACB， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，（点B的坐标，舍去）， ∴点P的坐标为； ②若， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得，（点B的坐标，舍去）， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为，． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，利用二次函数的性质求最值，本题的关键是利用分类讨论思想解题． 6．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和C点坐标； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； (3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求点的坐标，根据待定系数法求出的解析式，设点D的横坐标为m，则点，则点，则，根据二次函数性质求解即可； （3），则，，以点O，D，E为顶点的三角形与相似，分两种情况：①当时两三角形相似；②当时两三角形相似，求解即可． 【详解】（1）解：由A、B的坐标分别为、， 则抛物线的表达式为：， 解得：，， 故抛物线的表达式为：； 对于，令，则， 故点； （2）解：由点A、C的坐标得直线的表达式为：， 设点D的横坐标为m， 则点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，点； （3）解：存在，理由：   点，则，， 以点O，D，E为顶点的三角形与相似， 则或，即或， 即或， 解得：或（舍去） 解得或（舍去）， 综上：或． 7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的解析式及的函数解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一动点，设的面积为S，是否存在点P，使的面积S最大？若存在，请求出S最大值及点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点Q是直线上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E，是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为；直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】（1）把A、B两点坐标代入解析式，得出关于a、b的二元一次方程求解，即可求出二次函数解析式，进而得出点C的坐标，用待定系数法，即可求出的函数解析式； （2）过点P作轴，交于点M，设，则，得出，根据得出S关于m的表达式，再进行配方，即可根据二次函数的性质进行解答； （3）设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为，， 分两种情况讨论，即①和是对应边时，，②和是对应边时，，分别根据相似三角形的性质列比例式，建立关于c的方程求解，即可求出结果． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于，两点， ∴， 解得：； ∴这个二次函数的解析式为：； 令，则， ∴点， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：过点P作轴，交于点M， 设， ∵轴，点M在直线上， ∴， ∴， ∴ ， ∵，开口向下， ∴当时，的面积最大为； ∴点时，的面积最大为；    （3）解：存在点或使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似，理由如下： 设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为，， ①和是对应边时， ∵， ∴，即， 整理得，， 解得，（舍去）， 此时，，点；    ②和是对应边时， ∵， ∴，即， 整理得，，解得，（舍去）， 此时，， ∴点，    综上所述，存在点或使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了一次函数图象与二次函数的图象的相交问题，待定系数求二次函数解析式、二次函数的最值问题以及相似三角形的性质．掌握分类讨论思想的应用是解答本题的关键． 8．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的一个交点为，过点作轴交抛物线于点． 设抛物线的顶点为，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线上，是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接．在线段是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在点，或； (3)存在点，点的坐标为或． 【分析】（1）把点，代入，即可求解； （2）设点的坐标为，求出，则，求出的值即可点的坐标； （3）过点作轴于点，于点，在中，，在中，，则，设，分两种情况讨论：①当时，，求出；②当时，，求出． 【详解】（1）解：把点，代入， 得， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：存在一点，使得，理由如下： ， ，， ， ， 设点的坐标为， ， ∴， 解得， ∴点的坐标为或； （3）解：存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，理由如下： 如图，过点作轴于点，于点， ， ，， ，轴， ，， 在中，， 在中，， ， 设， ，， ∴，，，， 由以，，为顶点的三角形与相似，且， ①当时，， ， ， ∴； ②当时，， ， ， ∴； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 9．如图，抛物线交轴负、正半轴于，两点，交轴于点，连接，，ΔABC的外接圆的圆心为．                                 备用图 (1)求该二次函数的解析式； (2)在段的抛物线上是否存在一点，使，若存在请求出点坐标，若不存在，说明理由； (3)圆上是否存在点，使与相似？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查的是求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、勾股定理，作辅助线够构造直角三角形是解题的关键． （1）利用待定系数法直接求出抛物线解析式； （2）分两种情况用三角形的面积建立方程，解方程即可得出点P的坐标； （3）先判断出三角形是直角三角形，进而得出Q是 M的直径的一个端点，再分两种情况求出直线交点坐标，进而判定是否相似即可． 【详解】（1）抛物线交轴于点， ， ， ， ， ， 代入抛物线解析式得，， 解得， 该二次函数的解析式为； （2）存在，理由如下： 令， 解得：， ， 设， 点在段的抛物线上， ， 如图，过作轴于，    则： ， ， 解得，或(舍去)， 点纵坐标为：， 点坐标为； （3）存在；如图，    由（1）可知：， ， ， 的垂直平分线是抛物线的对称轴， ∴点M的横坐标是1， 是直角三角形，与相似， 是直角三角形， 不是直径， 点是的直径的一个端点， ①当是直角，则是直径， ， ， ，即 ，， ， 设点， ， 解得，或(舍去)， ， ， 设点， ∵点M是的中点， ， 解得：， ； ②当时，则是直径， 设， ∵点M是的中点， ， 解得：， ； 综上，满足条件的或． 10．抛物线 经过点和点．该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线轴，分别与x轴和直线交于点 M、N． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)连接，如图1，在点P运动过程中，的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； (3)连接，过点 C作垂足为点 Q，如图2，是否存在点 P，使得与相似？ 若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)在点P运动过程中，的面积存在最大值，最大值为 (3)或 【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）联立抛物线与直线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点C、D的坐标，设点P的坐标为，则点N的坐标为，，根据三角形面积公式可得，利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3）利用相似三角形的性质可得出：若与相似，则有或，设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为，进而可得出，，，，将其代入或中即可求出x的值，结合即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ， 解得， 该抛物线对应的函数解析式为； （2）解：联立抛物线与直线的解析式成方程组，得：， 解得：，， 点C的坐标为，点D的坐标为． 设点P的坐标为，则点N的坐标为， ， ， 当时，取最大值，最大值为 ， 在点P运动过程中，的面积存在最大值，最大值为． （3）解：， 若与相似，则有或． 设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为， ，，，． 当时，则， 解得：，舍去， 点P的坐标为； 当时，有， 解得：，舍去， 点P的坐标为． 综上所述：存在点P，使得与相似，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）利用三角形的面积公式找出；（3）分、两种情况求出x的值． 11．（24-25九年级上·江苏连云港·月考）如图，抛物线的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，已知， ，点Q为射线上一点，过点Q作y轴的平行线，分别交抛物线、直线于点D、E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，是否存在与相似，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是否存在以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点D的坐标为 或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由轴，则，而与相似，则或，然后用解直角三角形的方法进行求解； （3）当以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，则，即可求解． 【详解】（1）设抛物线的表达式为：， ∵， ， ∴， 故抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： 当时，， ∴， 过点C作直线轴交抛物线于点R，设， 由知，， 则，即∠， ∵轴，则， ∵与相似， 则或； ①时，设于交于点S， ∵， ∴， ， 设，则，代入①，得 ， 解得，（舍去）， ∴， 则点； ②时， 延长交x轴于点H，则， ∵， ∴， 在中，过点H作的垂线交的延长线于点M， ∵， 设，则， 在等腰中，， 即， 解得：， 在中，， 即点， 由点C、H的坐标得，直线的表达式为：， 联立①③得：， 解得：（舍去）或， 则点 综上，点Q的坐标为：或； （3）存在，理由： 设点D的坐标为， 根据点A、D的坐标，由待定系数法可求直线AD的表达式为，则点， 同理可得，直线BC的表达式为：，则点， 当以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，则， 即， 解得：或6， 即点或． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到一次函数的性质、解直角三角形、平行四边形的性质，其中，分类求解是本题解题的关键． 12．如图，二次函数的图象与轴相交于点，，对称轴交轴于点． (1)求该二次函数及所在直线的解析式； (2)如图1，在线段上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接分别交，轴于点，．是否存在最大值，若存在，请求出最大值及此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)得最大值为，此时 【分析】（1）将点，代入二次函数解析式确定函数解析式，然后确定点C，再次利用待定系数法即可确定一次函数解析式； （2）由题意可得，，，，，，分两种情况：当时，，当时，，利用相似三角形的性质得到，过点作轴于点，求得，代入所在直线解析式为，即可求出点的坐标； （3）过点P作轴交于点M，过点A作轴交于点H，然后利用相似三角形的判定和性质得出，根据题意先确定，然后设点，则，得出，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， 设所在的直线解析式为，将点，代入， 得，解得， ∴所在直线解析式为． （2）解：存在． ∵点，，，对称轴是直线， ∴，，，，， ∴， 分两种情况：①如图所示，当时，， ∴，即，解得， 过点作轴于点 ∵轴， ∴， ∴，解得， 把代入，得， ∴此时，点的坐标为； ②如图所示，当时，， ∴，即，得． 过点作轴于点． ∵轴， ∴． ∴，即，解得． 把代入，得． ∴此时，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． （3）得最大值为， 解：过点P作轴交于点M，过点A作轴交于点H，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 设点，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，存在最大值为，， ∴得最大值为，此时． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，函数图象的交点，方程思想及分类讨论思想，熟练掌握表达式求法，二次函数的图象性质等知识是解题的关键． 13．如图1，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点C坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在y轴上是否存在一点D，使以B，C，D为顶点的三角形与相似？若存在，求点D坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点D坐标为或 (3)存在，P的坐标为或或或 【分析】本题考查求抛物线的解析式，相似三角形的判定，两点间的距离，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． (1)设抛物线的解析式为，将代入，求出a的值，即可解答； (2) 分类讨论：①当时，，②当时，，逐个求解即可； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设， 分类讨论：①当为斜边时，②当为斜边时， ③当为斜边时，逐个求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线与x轴交于点和点，可设抛物线的解析式为， 把代入得： ， 解得， ∴ ∴抛物线的解析式为； （2）在y轴上存在一点D，使以B，C，D为顶点的三角形与相似，理由如下： 如图： 设， ∵ ∴，，， ∴， ①当时，， ∴ ∴， 解得， ∴， ②当时，， ∴ 解得， ∴， ∴点D坐标为或； （3）抛物线的对称轴为直线， 设， ∵， ∴， ①当为斜边时， ， 解得， ∴； ②当为斜边时， ， 解得， ∴， ③当为斜边时， 解得m=或， ∴P或． 综上所述，P的坐标为或或)或． 14．如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， G点坐标为或或或 (3)存在，△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为， 或或 【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式； （2）求得抛物线顶点和点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点的坐标； （3）根据三角形面积相等即同底等高即可，故分别求出与过点P与直线BC平行的直线解析式和过点N与直线BC平行的直线解析式，再分别与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点． 【详解】（1）解：把、、三点代入抛物线解析式得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：存在， 由， 则顶点，对称轴为直线， ∴， ∵、， ∴，， 分两种情况讨论： ①当时， ∴，即， ∴， ∴或， ②当时， ∴，即， ∴， ∴或， 综上，点的坐标为或或或； （3）解：存在， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴设过点与直线平行的直线为：， 将点代入，得， 解得，， ∴过点与直线平行的直线解析式为：， 联立，解得：，， ∵， ∴， 设过点与直线平行的直线为：， 同理将点代入，得出过点N与直线平行的直线为：， 联立，解得：，， ∴的坐标为或， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数解析式的顶点式，三角形相似的性质以及一次函数图象与二次函数图象的交点问题，本题较难．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）已知如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由． (3)在线段上是否存在一点，使和相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，面积最大值为 (3)存在，或 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为：，求出点，则，求出，作轴交于，设点，则，，表示出，再根据二次函数的性质即可得出答案； （3）根据，进而分两种情况：，；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 在中，令，得出， 解得：，， ， ， ， 如图，作轴交于，    设点，则， ， ， ， 当时，最大，为； （3）解：∵ ∴当和相似有两种情形， ①当时 ∴ ∴ 设直线的解析式为，将，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ ②当时 ∴ ∵，， ∴ ∴ 设 ∴ 解得：或（舍去） ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 16．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，抛物线交轴负、正半轴于，两点，交轴于点，连接，，的外接圆的圆心为 (1)求该二次函数的解析式； (2)在段的抛物线上是否存在一点P，使，若存在请求出点P坐标，若不存在，说明理由； (3)圆上是否存在Q点，使与相似？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法直接求出抛物线解析式； （2）分两种情况用三角形的面积建立方程，解方程即可得出点的坐标； （3）先判断出三角形是直角三角形，进而得出是的直径的一个端点，再分两种情况求出直线交点坐标，进而判定是否相似即可． 【详解】（1）解： 抛物线交轴于点， ， ， ， ， ， 代入抛物线解析式得： ， 解得， 该二次函数的解析式为； （2）解：在段的抛物线上存在一点，使；理由如下： 令， 解得：，， ， 设， 点在段的抛物线上， ， 如图1，过作轴于， 则： ， ，， 解得，或（舍去）， 点纵坐标为：， 点坐标为； （3）解：圆上存在点，使与相似；理由如下： 如图2， 由（1）可知：， ， ， 的垂直平分线是抛物线的对称轴， 点的横坐标是1， 是直角三角形，与相似， 是直角三角形， 不是直径， 点是的直径的一个端点， ①当是直角，则是直径， ， ， ，即， ，， ， 设点， ， 解得，或（舍去）， ， ， 设点， 点是的中点， ， 解得：， ； ②当时，则是直径， 设， 点是的中点， ， 解得：， ； 综上，满足条件的或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象性质，求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、勾股定理，圆周角定理，作辅助线够构造直角三角形是解题的关键． 17．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）已知抛物线经过点，，对称轴直线与抛物线交于点C，与直线交于点D，与x轴交于点M． (1)试确定抛物线的解析式； (2)若当时，的最小值为2，最大值为20，则m的取值范围为______； (3)连接，在对称轴上，是否存在点E，使以点B，D，E为顶点的三角形与相似?若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (4)将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A，M，与x轴的另一个交点为点N，在平面上是否存在点F，使得以点A，B，N，F为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3)在对称轴上，存在点E，使以点B，D，E为顶点的三角形与相似，点E的坐标为或； (4)点F的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得以及点关于直线的对称点为，利用配方法求得顶点，据此求解即可； （3）先求得，推出是等腰三角形，得到也是等腰三角形，分三种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可； （4）先求得平移后的解析式为，点N的坐标为，设点F的坐标为，利用平行四边形的性质结合中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，，此时， ∵对称轴直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵，， ∴当时，有最小值为2， 此时， ∵当时，的最小值为2，最大值为20， ∴； 故答案为：； （3）解：∵点，， ∴设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵点，，， 作于点， ∴， ∴，，，， ∴， ∴是等腰三角形，点B，D，E为顶点的三角形与相似， ∴也是等腰三角形， 当点在点B上方时，作于点， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴点E的坐标为； 当点在点D上方，点B下方时，作于点， ，， ∵， ∴，即， 解得， ∴点E的坐标为； 当点在点D上下方时， ∵，而， ∴，此情况不存在， 综上，在对称轴上，存在点E，使以点B，D，E为顶点的三角形与相似，点E的坐标为或； （4）解：设平移后的解析式为， ∵抛物线与x轴交于点M， ∴点M的坐标为， 将，代入得，， 解得， ∴平移后的解析式为， 令，则， 解得或， ∴点N的坐标为， 设点F的坐标为， 当为对角线时，，， 解得，， ∴点F的坐标为； 当为对角线时，，， 解得，， ∴点F的坐标为， 当为对角线时，，，解得，， ∴点F的坐标为， 综上，点F的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键． 18．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， (3)存在，点坐标为，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题关键； （1）用待定系数法求解即可； （2）由相似得出，设，根据勾股定理列方程求解即可； （3）如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，证明，得出，得出的值最大时即有最大值，利用二次函数性质求出最值即可；根据是直角三角形分三种情况根据勾股定理分别列方程解方程即可解决． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为：； （2）解：存在点使，理由如下： 假设存在点使，设， ， 当时，， ， 在中， ， 解得，（不合题意舍去）， 则坐标为， ，， ， ， 存在点使； （3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， 的值最大时即有最大值， 当时，最大，点的坐标为， 设，，， 当是直角三角形时，有以下三类情况， ①时， ， 解得，（不合题意舍去）， ； ②，， ， 解得，（不合题意舍去），   ； ③，， ， 解得，（不合题意舍去）， ，； 综上所述，点坐标为，，，． 19．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）在平面直角坐标系中，二次函数． 的图象与x轴交于，两点， 与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点P是x轴上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点Q是x轴上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点 为顶点的三角形与相似？ 若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或 【分析】（1）把点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后判断出平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式时方程只有一个根求解即可； （3）设点E的坐标为，表示出，然后根据相似三角形对应边成比例，分和，和是对应边两种情况列出比例式求解即可． 【详解】（1）解∶ 二次函数 的图象与x轴交于，两点， 解得， 则二次函数解析式为 ； （2）令，则， 点， 设直线的解析式为， 则 ， 直线的解析式为， 由三角形的面积可知：平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大， 此时设过点P的直线为， 消掉y得， 整理得，， 此时， ， 解得， ，     点时，的面积最大； （3）存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 理由如下：如图，设点E 的坐标为， 则点Q的坐标为，， ①和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时， 则点Q坐标为； ②和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时，Q点与C点重合，E点与原点重合，即Q的坐标为； 综上所述，存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，判断出与平行的直线与二次函数图象只有一个交点时三角形的面积最大是解题的关键，注意要分情况讨论． 20．如图，抛物线的顶点为，交轴于、两点，交轴于点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与抛物线交于点 ，交轴于点，其中点的横坐标为，若直线为抛物线的对称轴，点为直线 上的一动点，则轴上是否存在一点，使、，、四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点、的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，在抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作，交线段于点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，；最小值为 (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）设抛物线的解析式为：，然后将点的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于，交对称轴于，四边形的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点、的坐标； （3）首先设的坐标为，求得与的长，由平行线分线段成比例定理，求得的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得，则可得到关于的一元二次方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为：， 点的坐标为． ， ， 此抛物线的解析式为：； （2）解：存在． 抛物线的对称轴方程为：， 点的横坐标为， 点， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 点， 与关于对称， 作关于轴的对称点， 连接交轴于，交对称轴于， 四边形的周长即为最小， 设直线的解析式为：， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，，得， 即， 当时，， ，，，， 使、、、四点所围成的四边形周长最小值为：； （3）解：存在． ， 设， ， ∴， 即， ，， 要使， 需，即， 可得：， 解得：或舍去． 当时，． 存在，点的坐标为 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的应用，周长最短问题，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 21．如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接，由等腰三角形的性质可得点为的中点，即，由轴对称的性质可得，点是的中点，从而可得，，即当点、、在同一直线上时，的值最小为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求解即可； （3）由（2）可得，，，从而可得，再分两种情况：①当点为直角顶点时，或；②当点为直角顶点时，则或，过点作轴于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于和两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 在中，当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将和代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接， ， ∵，， ∴点为的中点， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴，点是的中点， ∴，， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴； （3）解：存在， 由（2）可得，，， ∴， ∵点N在第一象限内的抛物线上，在x轴上是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似 ∴①当点为直角顶点时，或，如图所示： ， 设，， ∴，， ∴或， 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴此时或； ②当点为直角顶点时，则或，如图，过点作轴于， ， 则， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由①可得：或， 当时，， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数综合—线段周长问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 22．定义：如图1，两个相似三角形，如果它们的一组对应角有公共顶点，并且它们的对应边所在直线互相垂直，那么这两个相似三角形互为“郡似三角形”，连接CE、BD，则称为“郡似比”． (1)如图1，与互为“郡似三角形”，则 ，且______，当，时，“郡似比”______． (2)如图2，抛物线与x轴交于和，点D和点F在第一象限内，点，过B作轴交抛物于点E，若与互为“郡似三角形”， ①求抛物线解析式； ②当“郡似比”时，求（）最大值； ③如图3，若，且点D在直线上，是否存在点F在抛物线上，仍然使得与互为“郡似三角形”，若不存在，请说明理由，若存在；请求出F点坐标． 【答案】(1)；；； (2)①；②最大值为10；③ 【分析】（1）根据新定义得出，再由其性质及相似三角形的判定证明，最后利用其性质及余弦函数即可求解； （2）①利用待定系数法代入求解即可确定函数解析式；②根据题意及相似三角形的判定和性质得出，确定，再由题意得出，即可求解；③根据题意确定，过点D作轴，过点F作轴，再由相似三角形的判定和性质得出，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为“郡似三角形”， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：；；； （2）①∵抛物线与x轴交于和， ∴抛物线的解析式为：； ②∵与互为“郡似三角形”， ∴， ∴，， ∴即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，开口向下， ∴当时，取得最大值为10， 即最大值为10； ③存在点F仍然使得与互为“郡似三角形”， ∴， ∴， 当时，，， ∴点， ∴， ∴， 过点D作轴，过点F作轴，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵点D在直线上， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】题目主要考查待定系数法确定函数解析式及相似三角形的判定和性质，余弦函数的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 试卷第64页，共64页 试卷第63页，共64页 学科网（北京）股份有限公司 $