精品解析：四川南充市顺庆区2026届高三第二学期四月阶段性检测数学试题

2026届高三第二学期四月阶段性检测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（ ） A. －0.8 B. 0.8 C. －1 D. 1 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 在的展开式中，含的系数是（ ） A. 35 B. 34 C. 30 D. 15 8. 在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数对应点在第一象限 B. C. 可能为纯虚数 D. 10. 已知棱长为2的正方体中，为所在平面上一动点，下列对点轨迹探究正确的有（ ） A. 若为线段中点，且平面，则点轨迹为一条直线 B. 若与直线所成角为，则点轨迹为一个圆 C. 若的面积为，则点轨迹为一个椭圆 D. 若点到直线与到直线距离相等，则点轨迹为双曲线的一支 11. 在年杭高樱花文会答题抽奖活动中，有一道题四个选项，只有一个选项正确，甲同学回答失败，剩下的三个选项编号为，乙同学继续答题，乙同学选择号选项，主持人未加评判.主持人知道哪个选项正确，从号中删去一个错误选项后，给乙同学一次换号机会.记表示第号选项正确，表示主持人删去的选项是第号选项.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 换号后答对概率增大 D. 换号后答对概率不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，则的最小值是__________. 13. 已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 14. 如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中，，则其内部能放入的最大的球的半径________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤． 15. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 （1）求角B； （2）若，，求的面积． 16. 如图，矩形ABCD中，，，将沿矩形对角线BD翻折至，使得点S在底面BCD内的投影点O在CD上，M为BS中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点作垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，为等边三角形． （1）求椭圆C的离心率； （2）若椭圆C的长轴长为6，点，点M，N为椭圆上异于D的动点，且直线MD，ND的斜率互为相反数，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 18. 强健的体魄是高效学习的保障．为增强体魄、放松身心，甲、乙两位同学周末相约在小区篮球场进行投篮游戏，游戏的方式有两种： 方式一：随机决定谁先投篮，若先投篮的同学出现连续2次未投中或投篮次数达到5次，该同学停止投篮，由另一位同学投篮；若后投篮的同学也出现连续2次未投中或投篮次数达到5次，游戏结束．游戏中累计投中次数多的同学获胜，若两人投中次数一致，则为平局． 方式二：每次由其中一人投篮，规则如下：若投中则此人继续投篮，若未投中则换对方投篮．由掷质地均匀的硬币决定第1次投篮的人选. 已知甲同学每次投篮的命中率为，乙同学每次投篮的命中率为，且每位同学每次投篮是否命中相互独立． （1）选择方式一时，记甲在游戏中的投篮次数为X，求X的分布列和数学期望； （2）选择方式二时， （ⅰ）两人约定先累计投中2次者获胜，游戏结束．在游戏结束时，两人合计投篮次数不超过4次，求此过程中甲只进行了2次投篮的概率； （ⅱ）若二人一直进行投篮，记第n次是甲投篮的概率为，前n次投篮中甲的投篮次数为Y，求和． （参考知识：若随机变量服从两点分布，且，，则．） 19. 已知函数 （1）若有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）已知，当时，恒成立，求整数a的最小值； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第二学期四月阶段性检测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， ， 则. 2. 若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可． 【详解】由，则， 所以复数对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合立方和公式可得，结合二项式的展开式通项公式求结论. 【详解】因为. 的二项展开式的通项公式为. 而， 所以的系数为为. 故选：C. 4. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（ ） A. －0.8 B. 0.8 C. －1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】算出样本中心点，代入回归方程即可 【详解】样本中心点为,代入,即,解得 故选 ：B 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据，列式，联立即可求解. 【详解】根据，设，， 则，， 因为，所以， 在中，因为，所以， 即，① 在中，， 即，② 联立①②解得，， 所以椭圆的长轴长为. 6. 已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，再利用对称性求得答案. 【详解】由函数的定义域为，，得函数的图象关于直线对称， 因此曲线在点处的切线与曲线在点处切线关于直线对称， 其斜率互为相反数，当时，，求导得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 7. 在的展开式中，含的系数是（ ） A. 35 B. 34 C. 30 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用二项式定理计算出原多项式中每一项展开后的系数，最后将这些系数相加求得总和. 【详解】由得，令，此时系数为， 由得，令，此时系数为， 由得，令，此时系数为， 由得，令，此时系数为， 最终含的系数是. 8. 在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换、正弦定理等知识判断出是直角三角形，利用基本不等式求得周长的最小值. 【详解】由，得，即. 而， 所以，即. 由于为锐角，所以，， 所以与异号或， 若，即， 又，，则，， 所以，即，此不等式组无解，所以不成立. 同理可得不成立. 所以， 即，所以，，即为直角三角形. 由题意知，，即，所以. 所以的周长， 当且仅当时，等号成立. 所以周长的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数对应点在第一象限 B. C. 可能为纯虚数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数运算法则和性质逐一分析选项. 【详解】因为，在A选项中，， 对应复平面内点为 ，横纵坐标均为正，因此在第一象限，A正确， 在B选项中，，故， 又因为，，所以， 所以，B错误， 在C选项中，，若为纯虚数，则实部为0、虚部非零， 所以令，则，此时虚部为，结果为， 因此存在符合条件的，C正确， 在D选项中，根据复数模的性质，对任意非零复数， 都有​，所以，即​， 且，等式成立，D正确. 10. 已知棱长为2的正方体中，为所在平面上一动点，下列对点轨迹探究正确的有（ ） A. 若为线段中点，且平面，则点轨迹为一条直线 B. 若与直线所成角为，则点轨迹为一个圆 C. 若的面积为，则点轨迹为一个椭圆 D. 若点到直线与到直线距离相等，则点轨迹为双曲线的一支 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先构造并证明过点的平面平行于平面，找到点所在平面与平面的交线判断A，化为与直线所成角为求轨迹判断B，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，根据已知三角形面积求出点线距离，应用向量法求点线距离列方程得到点轨迹判断C、D. 【详解】若分别是的中点，连接， 在正方体中，即共面， 由平面，平面，则平面， 又，同理可证平面， 由，平面，故平面平面， 由平面平面，易知在直线上，A对， 由正方体的结构特征，易知，故与直线所成角，即为与直线所成角， 所以，即， 则在以为圆心，半径为的圆上，B对， 构建如下图示的空间直角坐标系，则， 设，则，， 令到的距离为，若，， 所以，即，可得， 所以，即为椭圆轨迹，C对， 显然到的距离为，若点到直线与点到直线距离相等， 则，即， 所以，即点轨迹为抛物线，D错. 11. 在年杭高樱花文会答题抽奖活动中，有一道题四个选项，只有一个选项正确，甲同学回答失败，剩下的三个选项编号为，乙同学继续答题，乙同学选择号选项，主持人未加评判.主持人知道哪个选项正确，从号中删去一个错误选项后，给乙同学一次换号机会.记表示第号选项正确，表示主持人删去的选项是第号选项.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 换号后答对概率增大 D. 换号后答对概率不变 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可. 【详解】对于A，乙选择号选项，答案是号选项，主持人选择号选项的概率为，即，故A错误； 对于B，，， 则， 因此，故B正确； 对于CD，若不换号，乙继续选择号选项，获得奖品的概率为，主持人选择了错误的选项， 若换号，选择剩下的那个选项，获得奖品的概率为，乙换号后中奖概率增大，故C正确，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将变形为，利用基本不等式求解范围得到最小值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为 13. 已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为与有交点，分离参数构造函数，结合导数研究函数的单调性以及最值即可求解. 【详解】关于的对称函数为， 则函数和的图象上存在点关于直线对称时，与有交点， 则有解，即有解， 令，则时有，时，，单调递增， 时，，单调递减， 则，且，，，， 所以，则． 14. 如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中，，则其内部能放入的最大的球的半径________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球，利用等体积法可知：，分别计算出该几何体的体积以及表面积即可求解. 【详解】取的中心O，连接DO，EO，则DO，EO即分别为两个正三棱锥的高，易知D，O，E三点共线，连接AO，延长后与BC相交于点M，则为中点， ，，， ，，， 该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球，其半径为， 由题意可得：， 又， 则， 由等体积法可知：，所以可得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤． 15. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 （1）求角B； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)结合商数关系化简以及和角公式可得，分和两种情况讨论即可求解； (2)结合(1)可得,分别求出,利用求出，结合正弦定理和面积公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 化简可知：， 得， ①时，，又，则，A为锐角，不符合题意； ②，此时可得（B为锐角），此时符合题意． 综上， 【小问2详解】 ， 可得，， ， ，， ． 16. 如图，矩形ABCD中，，，将沿矩形对角线BD翻折至，使得点S在底面BCD内的投影点O在CD上，M为BS中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知可得，进而可证得平面，进而可证平面，从而可证结论； （2）法一：延长CM，在平面SBC内，过S作CM的垂线，垂足为H，连接HD，可得为所求二面角的平面角，求解即可.法二：建立空间直角坐标系，求得平面CDM的法向量为，可得平面SBC的法向量为，进而利用向量法可求得二面角的余弦值． 【小问1详解】 平面，又平面， ，又，且，平面， 平面，平面， ，又，且，平面， 平面，平面， . 【小问2详解】 法一：延长CM，在平面SBC内，过S作CM的垂线，垂足为H，连接HD． 由（1）可知，又，且平面SHD， 平面SHD，平面SHD，，，又CM为二面角的棱， 平面SMC，平面CDM， 为所求二面角的平面角 平面SCD，， ， 又M为SB的中点，可得， ，，， 法二：如图，以O为坐标原点，OS所在直线为z轴，OC所在直线为x轴，在平面BCD内，以过O且垂直于CD的直线为y轴，建立空间直角坐标系， 计算可得：，，， 则，，，，， 由题意可知，平面SBC的法向量为， 设平面CDM的法向量为， ，， ，得，令，则， . 二面角的平面角显然为锐角， 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点作垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，为等边三角形． （1）求椭圆C的离心率； （2）若椭圆C的长轴长为6，点，点M，N为椭圆上异于D的动点，且直线MD，ND的斜率互为相反数，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值 【解析】 【分析】（1）由题意计算可得，结合椭圆的性质可求离心率； （2）由题意求得椭圆C的方程，设直线MN的方程为：，，，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系，求得，，利用，计算求解即可. 【小问1详解】 将代入椭圆可得，， 又为正三角形，，即，则可得， 又，． 离心率，，（舍去）. 【小问2详解】 由题意可知：，结合（1）可得，，则椭圆。 由题意可知，符合条件的直线MN的斜率必存在， 设直线MN的方程为：，，， 联立椭圆和直线方程：，消去y可得， 直线和椭圆必有交点，则， ，， ，ND的斜率是互为相反数，． 又，， ， 化简可得， 即 因式分解，则可得或， 当时，所以， 所以直线MN经过点，故不符合题意. 则直线MN的斜率为定值． 18. 强健的体魄是高效学习的保障．为增强体魄、放松身心，甲、乙两位同学周末相约在小区篮球场进行投篮游戏，游戏的方式有两种： 方式一：随机决定谁先投篮，若先投篮的同学出现连续2次未投中或投篮次数达到5次，该同学停止投篮，由另一位同学投篮；若后投篮的同学也出现连续2次未投中或投篮次数达到5次，游戏结束．游戏中累计投中次数多的同学获胜，若两人投中次数一致，则为平局． 方式二：每次由其中一人投篮，规则如下：若投中则此人继续投篮，若未投中则换对方投篮．由掷质地均匀的硬币决定第1次投篮的人选. 已知甲同学每次投篮的命中率为，乙同学每次投篮的命中率为，且每位同学每次投篮是否命中相互独立． （1）选择方式一时，记甲在游戏中的投篮次数为X，求X的分布列和数学期望； （2）选择方式二时， （ⅰ）两人约定先累计投中2次者获胜，游戏结束．在游戏结束时，两人合计投篮次数不超过4次，求此过程中甲只进行了2次投篮的概率； （ⅱ）若二人一直进行投篮，记第n次是甲投篮的概率为，前n次投篮中甲的投篮次数为Y，求和． （参考知识：若随机变量服从两点分布，且，，则．） 【答案】（1）分布列见解析， （2）（ⅰ）； （ⅱ），. 【解析】 【分析】（1）由已知得投篮次数的可能取值为2，3，4，5，求得分布列，进而可求得期望； （2）（ⅰ）设甲投中为事件，乙投中为事件，利用独立事件概率乘法公式与互斥事件概率加法公式计算即可求得甲只进行了2次投篮的概率； （ⅱ）第次投篮的是甲的概率为，第次投篮是甲的概率为，进而可得，构造等比数列求解即可． 【小问1详解】 结束投篮时甲的投篮次数X的可能取值为2，3，4，5， ，， ， ， 2 3 4 5 P 【小问2详解】 （ⅰ）设甲投篮投中为事件，乙投中为事件， 投篮2次游戏结束的情况有： 投篮3次游戏结束的情况有：， 投篮4次游戏结束的情况有：，，，，， 则此过程中甲只进行了2次投篮的概率为， （ii）由题意可知，第n次投篮的是甲的概率为，第次投篮是甲的概率为， 第次投篮是乙的概率为，则一定满足， 即 则可构造如下关系： 可得： 若记第i次投篮甲投的次数为，不难发现甲投，乙投，则服从两点分布， 则，，又 则 19. 已知函数 （1）若有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）已知，当时，恒成立，求整数a的最小值； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导数，将问题转化为导函数有两个变号零点即可求解； （2）按照和分类讨论，当时，参变分离，构造函数，利用导数研究的最大值即可求解； （3）由（2）可知，恒成立，即恒成立，取， 可得，化简可得，利用累加法即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：，令， 的解为， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ， 有两个极值，且，，，， ，，经检验符合题意； 【小问2详解】 在时恒成立，即恒成立， 当时, ，此时，符合题意， 当时，转化为恒成立， 设，则 则， 设，，， 当时，，为增函数， ，即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，，综上， 又，且，则； 【小问3详解】 由（2）可知，当时，当必有恒成立， 即恒成立，取， 可得， 两边同时乘以n，可得， 则必有， … ， ， 累加可得，① 再取，可得，则必有， ， … ，， 累加可得，② ①②可得，证毕． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $