精品解析：广东江门市棠下中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

江门市棠下中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数f（x）在处的导数为12，则（ ） A. -4 B. 4 C. -36 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，函数在处的导数， 则， 故选：B 2. 随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（ ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质及已知条件解题即可. 【详解】根据题意，由分布列可得： 解得：. 故选:A 3. 在公差不为0的等差数列中，若，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式、等差中项性质及通项公式，化简已知等式求解的值. 【详解】设等差数列的公差为，， 由及，得， 又，所以，化简得（1）， 又， ， 所以（1）式化简得，由于，故，解得. 4. 某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A. 30种 B. 35种 C. 42种 D. 48种 【答案】A 【解析】 【详解】本小题主要考查组合知识以及转化的思想.只在A中选有种，只在B中选有种，则在两类课程中至少选一门的选法有种. 5. 的展开式中的系数是（ ） A. B. 26 C. D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式展开的通项公式，分别求出中项和项的系数，结合前一因式的系数求和即可得到的系数. 【详解】二项式的展开式通项为，其中 的展开式中项来源于两部分： 因式乘以的项：取，对应系数为； 因式乘以的项：取，对应系数为； 将两部分系数求和，得的系数为. 6. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根， 所以解得， 故选:A. 7. 已知是等比数列的前项和，，，成等差数列．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列中项性质得到，结合等比数列前项和公式并排除求解可得. 【详解】设等比数列的公比为，首项为，由等比数列定义可知。 当时：则前项和，代入，得，解得， 与等比数列定义矛盾，故. 当时，等比数列前项和公式为， 由得：  因为，化简得： ，即. 令（），所以，即，解得或. 若即，，舍去； 若即，解得. 综上，. 8. 甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用，，表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率可求A，利用条件概率可求B，利用全概率公式可求C，利用贝叶斯公式可求D. 【详解】由题意，A正确； 若发生，则乙箱中有3个红球，3个黑球和1个白球，，B正确； ，C正确； ，D不正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意可知，原数据是公差为的等差数列， 设，则，去掉后，新数据为共8个数. 选项A：原极差：，  新极差：， 极差变小，A正确； 选项B：原平均数：，  新平均数：，平均数不变，B错误； 选项C：原平均数和新平均数均为， 原方差 新数据的方差 所以方差变小，C正确； 选项D：原数据共个：，向上取整得第25百分位数为第3个数 新数据共个：，第25百分位数为第2、3个数的平均， 百分位数变大，D错误. 10. 如图，正方形的边长为5cm，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．正方形的面积为，后继各正方形的面积依次为，，…，，…，的前项和为，则（） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方形的性质，连接正方形各边中点所得的新正方形面积是原正方形面积的一半，从而确定数列是首项为25，公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式和前项和公式逐项判断即可. 【详解】选项A：由题意可知，正方形的边长为，面积.连接各边中点所得正方形的面积是原正方形面积的一半， 即公比，所以，故选项A正确； 选项B：因为后一个正方形的面积是前一个正方形面积的，即，所以，故选项B正确； 选项C：数列是首项，公比的等比数列，通项公式为，而选项中为，故选项C错误. 选项D：根据等比数列前项和公式，，故选项D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 在上单调递增 C. 对任意的，有 D. 对任意的，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数，结合切线、单调性、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A.由题意可知：，，则， 则曲线在处的切线方程为.故A错误； B.由题可知，时有恒成立，所以在上单调递增，故B正确； C.令，则 ， 则在上单调递增， 则 ，则 ， 所以，故C正确； D.易知. 令，则， 令， 则， 则在上单调递增，则， 则，则在上单调递增， 令，则， 令，则 ， 则在上单调递增﹐则 ，则， 则在上单调递增，则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式__________. 【答案】， 【解析】 【分析】等差数列满足为，，故可以求得的首项与公差，从而可以写出的通项公式. 【详解】设数列的公差为由题意可知，，， 于是 因为，所以，所以 所以 故答案为：， 13. 将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．（用数字作答） 【答案】150 【解析】 【分析】首先确定将5名同学分成3组共有两种分法，接着计算每种分法下安排方法种数，最后相加即可. 【详解】将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，分组方法有（113），（122）两种分法， 当分成（113）时，有种安排方法； 当分成（122）时，有种安排方法； 综上，共有150种安排方法. 故答案为：150 【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 14. 小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】记事件A为“取出的2本中有1本是数学”，事件为“另1本是物理或化学”， 则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明或演算步骤． 15. 已知离散型随机变量的分布列如表所示： 求： （1）常数的值； （2）和． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用离散型随机变量分布列概率和为、各概率非负的性质求解； （2）根据期望、方差的定义，代入分布列计算结果． 【小问1详解】 根据题意得，解得； 【小问2详解】 由（1）得， 所以的分布列为 所以， ． 16. 已知函数在及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.进而根据导函数的符号，检验即可得出答案； （2）根据（1）求出的极值，结合三次函数的图象，可知，求解即可得出c的取值范围． 【小问1详解】 由题意得， 函数在及处取得极值， 得，解得. 此时，. 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. 【小问2详解】 由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值． 又有三个不同的实根， 由图象知，解得， 所以实数c的取值范围是． 17. 某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为． 【解析】 【分析】（1）设出事件，结合独立事件概率公式和对立事件及互斥事件概率公式求出概率值； （2）根据互斥和独立事件概率求出分布列，进一步求出期望值. 【小问1详解】 记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分，3，”， 则，，； 记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分，3，”， 则，，； 事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”， 则（C）， 则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为． 【小问2详解】 由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，，，，，， 则离散型随机变量的分布列为 2 4 6 8 10 所以数学期望． 18. 已知数列的首项为，点在函数的图象上． （1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）利用点在函数图象上的条件得到递推关系，通过对递推式变形、取倒数，构造出目标等差数列，再由等差数列通项公式反推得到数列的通项。 （2）先将（1）中求得的代入的表达式并化简，再用错位相减法对（等差×等比型）求和，通过两式相减、等比数列求和并整理，得到前项和． 【小问1详解】 因为点在函数的图象上，所以， 变形得①， 由，得，结合①式得， 将①式取倒数得，即， 又，所以是首项为、公差为的等差数列， 所以，整理得； 【小问2详解】 由（1）得， 所以②，③， ②③得， ， 化简得． 19. 是定义在上的连续可导函数，是的导函数，，且，有． （1）求与； （2）求的解析式； （3）关于的方程有两个不同的实数根，，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）令，结合题设可得答案；对原函数方程两边关于求导，结合可得答案； （2）由（1）解析可得答案； （3）令，通过研究单调性结合设，可得，则需要证明的不等式等价于，最后由，的单调性可完成证明. 【小问1详解】 令，则； 对方程两边关于求导（将x视作常数）, 可得，令，可得， 因，则，从而； 【小问2详解】 由（1），，则（为常数）. 又，可得，则； 【小问3详解】 设，则，结合，，. 从而在上单调递减，在上单调递增，又，， 有两个不等实根，则. 设，则.要证：，即证，因，则， 结合在上单调递减，要证，即证， 又，要证，即证：. 令，， 则（时取等号）， 即在上单调递增，从而 时，即，从而命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市棠下中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数f（x）在处的导数为12，则（ ） A. -4 B. 4 C. -36 D. 36 2. 随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（ ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A. B. C. D. 3. 在公差不为0的等差数列中，若，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 4. 某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A. 30种 B. 35种 C. 42种 D. 48种 5. 的展开式中的系数是（ ） A. B. 26 C. D. 30 6. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是等比数列的前项和，，，成等差数列．则（ ） A. B. C. D. 8. 甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用，，表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 10. 如图，正方形的边长为5cm，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．正方形的面积为，后继各正方形的面积依次为，，…，，…，的前项和为，则（） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 在上单调递增 C. 对任意的，有 D. 对任意的，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式__________. 13. 将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．（用数字作答） 14. 小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明或演算步骤． 15. 已知离散型随机变量的分布列如表所示： 求： （1）常数的值； （2）和． 16. 已知函数在及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 17. 某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 18. 已知数列的首项为，点在函数的图象上． （1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 是定义在上的连续可导函数，是的导函数，，且，有． （1）求与； （2）求的解析式； （3）关于的方程有两个不同的实数根，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $