四川嘉祥教育集团2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试题

**基本信息** 高一下学期期中数学试卷，以复数、三角函数、向量等核心知识为载体，通过公园观光视角计算、仿射坐标系等创新情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数运算、三角函数图像平移、向量投影|基础巩固，如i⁶考查复数基本运算| |多项选择|3/18|向量共线、复数模、函数与三角形综合|能力辨析，如第11题结合f(A)与三角形边角关系| |填空|3/15|向量垂直、中点向量、钝角三角形面积|情境应用，如第14题求钝角三角形面积范围| |解答|5/77|向量数量积、解三角形、三角恒等变换、实际应用、仿射坐标系|综合创新，第18题用坐标法解决观光视角问题，第19题引入仿射坐标系考查逻辑推理|

嘉祥教育集团2025－2026学年高一下学期质量监测试题 数 学 注意事项： 1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 3．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．i6 =（    ） A．－i B．i C．1 D．－1 2．已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（ ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 3．在△ABC中，D为BC边上一点，且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 4．已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D．1 5．已知非零向量与满足且，则△ABC为（ ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 6．在复平面内，O是原点，复数z1，z2对应的向量分别为，．若z1 = 1－i，绕点O按逆时针方向旋转所得的向量与绕点O按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（    ） A．︱z2︱= 2 B． C． D． 7．若函数满足，且在（0，）有唯一零点，则 的最大值为（     ） A． B．3 C．2 D． 8．化简cos250 + sin280－sin40cos10 的结果是（ ） A． B． C． D．1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9．下列说法错误的是（     ） A． B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若非零向量与相等，则B，C重合 D．若，则 10．已知复数z满足︱z︱= 1，则（     ） A． B． C． D．︱z + 1︱的最大值为2 11．已知函数，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足f（A）=，2 cosA sinB = sinC．以下结论正确的有（     ） A．f（x）在[ 0， ]上的零点之和为2 B． x∈R，满足f（x）＞f (A) C．＜0 D． 第Ⅱ卷（选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知 =（2，1），=（sin，－1），∈（0，），当⊥时， 的值为________． 13．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设AB = m AM，AC = n AN，则m + n的值为________． 14．在钝角△ABC中，a = 1，b = 2，c = t，且C是最大角，则△ABC面积的取值范围为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知，． （1）若 ∙=，求与的夹角； （2）若∥，求的坐标． 16．（本小题满分15分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且c = b sin A． （1）若tan B = 2，求tan A的值； （2）若c = 1，求△ABC的面积． 17．（本小题满分15分） （1）证明：cos 2x + cos 2y = 2 cos（x + y）cos（x－y）； （2）已知，cos（－）= m（0＜m＜1）．求cos + cos ，cos（ + ）的值（用m表示）． 18．（本小题满分17分） 某公园有一条笔直的观光道路l，道路一侧有两个景观标志牌A和B（视为平面上的点）．经测量，标志牌A到道路l的垂直距离为5米，标志牌B到道路l的垂直距离为1米，且两标志牌在道路上的投影点之间的距离为4米（即若过A、B分别作道路的垂线，垂足为A′、B′，则A′B′ = 4米）．假设道路为一条直线，游客从道路上的点P处观看两个标志牌，视线PA和PB的夹角为θ =∠APB．所有点均在同一平面内，忽略高度影响． （1）以A′ 为原点，道路为x轴（A′ 在原点，B′ 在x轴正半轴上），建立平面直角坐标系，画出示意图，写出A、B的坐标； （2）设P的坐标为（x，0）（0≤x≤4），试用x表示tanθ，并化简； （3）在（2）的条件下，求tanθ的最大值及此时点P的坐标． 19．（本小题满分17分） 如图1所示，设Ox，Oy是平面内相交成（0＜＜，≠）角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为 仿射坐标系，若在 仿射坐标系下，则把有序数对（x，y）叫做向量的仿射坐标，记为=（x，y）． 图1 图2 （1）在 仿射坐标系下，=（x1，y1），=（x2，y2），若⊥，则x1x2 + y1y2 = 0是否一定成立？请说明理由； （2）在 仿射坐标系下，若=（1，2），=（2，1），且与的夹角为，求； （3）如图2，在仿射坐标系中，点B，C分别在两条数轴正半轴上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． ( 第 4 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年高一下学期质量监测试题 数学参考答案与评分标准 1、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 D C A B D C A B 命题说明： 1．题目来源：改编自教材必修二 P95 习题第 8 题 2．题目来源：教材必修一 P239 练习第 2 题 （1）问 3．题目来源：改编自教材必修二 P36 习题 6.3 第 1 题 5．题目来源：改编自教材必修二 P52 习题第 1 题 6．题目来源：改编自教材必修二 P71例题 2 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 题号 9 10 11 题号 ABD ABD AD 命题说明： 9．题目来源：A 选项来源于教材必修二 P21 思考； B 选项节选自教材 P15 蓝色字体； C 选项节选自教材 P5 第3题（5） 10．题目来源：改编自教材必修二 P72 例题3，P95 第3题 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．或 13． 2 14． （0，1） 命题说明： 13．题目来源：来自教材必修二 P40 练习3题 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．命题说明： 题目来源：改编自教材必修二P36 第9题 （1）记与的夹角为， ∵ cos =，且∈（0，) （4分） ∴ =，则与的夹角为． （5分） （2）设，则，解得 或 （9分） 因此 或 ． （13分） 16． 命题说明： 题目来源：改编自教材必修二P54第22题 解：（1）因为 c = b sinA，则 sin C = sin B sin A， 即 sinA cos B + cos A sin B = sin B sin A． （4分） 又 tan B = 2，所以 sinA + cos A tan B = sin A tan B， 即 sinA + 2 cos A = 2 sin A， （6分） 所以 2 cos A = sin A，即tan A = 2． （8分） （2）因为 S△ABC = ，c = b sinA， （10分） 所以 S△ABC =． （15分） 17．命题说明： 题目来源：改编自教材必修一P226第5题，P255第15题 （1） 方法1 注意到 2x =（x + y）+（x－y），2y =（x + y）－（x－y）， （2分） 代入左边展开即可；cos [（x + y）+（x－y）] + cos [（x + y）－（x－y）] = cos（x + y）cos（x － y）－sin（x + y）sin（x － y）+ cos（x + y）cos（x － y） + sin（x + y）sin（x － y）= 2 cos（x + y）cos（x－y） （5分） 方法2 从右边出发，利用两角和、差的余弦，详细过程略． （2）设cos + cos = x，则两边平方，得 cos2 + cos2 + 2 cos cos = x2，（*） （6分） 将已知式两边平方，得 sin2 + sin2 + 2 sin sin = 2， （**） （7分） 将两式（*）（**）相加，得 2 + 2（cos cos + sin sin）= x2 + 2， （9分） 即2 cos（－）= x2 x2 = 2m， 故cos + cos =． （10分） 将两式（*）（**）相减，得cos2－sin2 + cos2－sin2 + 2（cos cos－sin sin）= x2－2， 所以 cos 2 + cos 2 + 2 cos（ +）= x2－2， （12分） 2 cos（ +）cos（－）+ 2 cos（ +）= x2－2， 2 cos（ +）[ cos（－）+ 1 ] = 2m－2， ． （15分） ( x θ x y A A ′ P B ′ B )18． 解：（1）由题意，A在A′ 正上方，距离5米，故A（0，5）； B在B′ 正上方，距离1米，且B′ 在x轴正半轴上，A′B′ = 4， 故B′（4，0），从而B（4，1），示意图如右． （4分） （2）点P（x，0），其中0≤x≤4． 设∠A′PA = ，∠B′PB = ，则在直角三角形A′PA与B′PB中， 由三角函数的定义，得 ，（x≠0，4）， （6分） 由于θ = －（ + ），所以tanθ = tan [ －（ + ）] =－tan（ + ） =． （8分） 因为0≤x≤4时20－4x＞0，且x2－4x + 5 =（x－2）2 + 1＞0， 所以，0≤x≤4． （10分） （3） 令t = 5－x，则x = 5－t ，t∈[1，5 ]，代入得． ≤， （14分） 等号当且仅当t =时成立，即5－x =，x = 5－（米），该值在[ 0，4 ]内，符合题意． 故tanθ的最大值为，点P的坐标为（ 5－，0）． （17分） 19．命题说明： 题目来源：素材选自教材必修二37页15题 解‌：（1） 不一定成立． （1分） 若，可得， ， 而（x2y1+x1y2) 不恒为零，因此不一定成立． （4分） （2）由=（1，2），=（2，1），得 ，，且， 所以 ， ， 则 ， （6分） 故 ， （7分） 因为与的夹角为， 则 ，解得，则． （9分） （3） 如图：在直角坐标系中，， 设，，，即， 在中，由余弦定理得， （10分） E，F分别为的中点， 则， ，（12分） 在中，由正弦定理， 设，则， 所以，， （13分） ，其中为锐角，且， （15分） 因为，则， 故当时，取得最大值， 则. （17分） 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 新高中 级数学试题命制多向细目表 题目序号 知识与技能 学业水平要求 学科核心素养 题型 分值 预估 难度 章（单元） 节（选修） 课时数 水平1 水平2 水平3 数学 抽象 逻辑 推理 数学 建模 直观 想象 数学 运算 数据 分析 1 第七章 7.1 复数的概念 1 √ √ 单选题 5 易 2 第五章 5.6三角函数的图象变换 1 √ √ 5 易 3 第六章 6.3.1平面向量的基本定理 1 √ √ 5 易 4 第六章 6.2.4向量的数量积 2 √ √ 5 易 5 第六章 6.2.3，6.2.4 数乘与数量积 2 √ √ √ 5 中 6 第七章 7.1复数的几何意义 1 √ √ √ 5 中 7 第五章 5.6三角函数的图象性质 1 √ √ √ 5 中 8 第六章 5.5，6.4三角恒等变换，正余弦定理 3 √ √ √ √ 5 较难 9 第六章 6.1，6.2 向量基本概念 3 √ √ 多选题 6 中 10 第七章 7.1，7.2 复数的综合运算 2 √ √ √ 6 中 11 第五、六章 5.5，5.6，6.2，6.4 三角恒等变换与解三角形综合 4 √ √ √ √ 6 较难 12 第六章 6.3 向量的垂直关系 1 √ √ 填空题 5 易 13 第六章 6.4.1 平面几何中的向量方法 1 √ √ 5 中 14 第六章 6.4.3解三角形中的面积范围问题 2 √ √ √ √ 5 较难 15 第六章 6.3平面向量中的坐标运算 3 √ √ 解答题 13 中 16 第六章 6.4解三角形 4 √ √ √ 15 中 17 第五章 5.5三角恒等变换 3 √ √ √ √ 15 中 18 第六章 6.4 正余弦定理在实际生活中的运用 2 √ √ √ √ 17 较难 19 第六章 6.3，6.4平面向量综合应用 2 √ √ √ √ 17 难 合计 150分 0.65 说明：难度系数在0.8以上为容易题，在0.5-0.8之间为中档题，在0.3-0.5之间为较难题，在0.3以下的为难题。 学科网（北京）股份有限公司 $