黑龙江哈尔滨市第十二中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学学试题

哈十二中学高二学年下学期期中考试数学学科试题 满分150分 考试用时120分钟 考试时间：2026年5月19日13:00-15:00 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，，则（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A． B． C． D． 3．一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）． A．83 B．108 C．75 D．63 4．记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A．120 B．85 C．-85 D．-120 5．若函数，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 7．随机变量的分布列如下表，则（ ） 0 1 2 0.3 0.3 A．0.2 B．1.2 C．1.4 D．2.4 8．已知函数，（是自然对数的底数），若对，，使得成立，则正数的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列说法正确的有（ ） A．是数列中的最大项 B．是数列中的最大项 C． D．满足的的最大值为13 10．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分，，，，则（ ） A．这次考试标准分不低于180分的约有450人 B．这次考试标准分在内的人数约为997 C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分不低于180分的概率为 D． 11．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．时，取得最大值 D．时，取得最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为5∶4∶1，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为95%，90%，90%，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为________． 13．数列的前项和为，，，则________． 14．已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 16．（15分）某翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立．若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）． （1）若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； （2）若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望、方差． 17．（15分）为提高哈尔滨市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． （1）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率； （2）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望、方差． 18．（17分）记为数列的前项和，已知，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 19．（17分）已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）当时，证明：函数有且仅有两个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年度下学期期中 高二数学参考答案 答案：I-8 DBDCBCDC 9ACD 10BC 11AB 12.37/40或0.925 13.-2n+12 15.【详解】(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),，由4+a4=20a2, 得aq2+a,q3=20a9,{an}是由正数组成的等比数列，则a>0,q>0, 则g+q-20=0,解得q=4或q=-5(舍)，又4=256，所以494=256， 解得a=1,所以an=ag"=4" (2)b,=an+l0g20n=4"1+log24"-1=4"-+2n-2, 所以Tn=(1+0)+(4+2)+(16+4)+…+4"-1+2n-2 =(1+4+16+…+4"-+(0+2+4+…+2n-2 1×1-4）n(0+2n-2=4+ 1-4 2 3 16【详解】1甲张得一份精英礼品的新幸为1-1》》子 2意特X~3》 则Px-0---4 P叫x==c×1-=a Px-2-c-) 所以X的分布列为 X 0 1 P 1 9 64 64 引 27 64 x刘=3程 D(X)=3×4x1-4 17.【详解】(1)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有CC2=36种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有CC?=6种不同选法， 则p4=CC+CC=421 2105 (2)随机变量飞的所有可能取值为0,1,2,3,4， P45=0=S=P45=-Ce=44 C=2101 C。21035 -答-”子-瓷-品 C。21021 10 P4利=CC=15 21014 随机变量ξ的分布列为 5 0 2 3 4 ò 1 4 8 1 210 35 > 21 14 随机变量5的数学期望为E(传)=0×，L+1 4+2×1 3 3x 8 1-12 -+4× 210 35 21145 -0244 18.【详解】(1)证明：由Sn1=Sn+2an+1,得Sn1-Sn=2an+1, 则an+1=2an+1, 所以am+1+1=2(an+1), 因为a,+1=2≠0，所以+1=2， an+1 故数列{an+1是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可知，4n+1=2×2-=2”,所以an=2”-1. an+1 2” 11 anan+l (2”-1(2-12”-12-1’ x-gr六 19.【详解】(1)当a=2时，fx)=2x2-1nx,则f(x=4x- 所以f(1)=2,f'(1)=3,所以切线方程为y-2=3(x-1,即y=3x-1. (2)由题意得f(x)=2ax-1_2ar2-1 若函数f(x)存在单调递减区间，则f'(x)<0在(1，+∞)上有解， 新以2ar0a<,印o上酸 因为函数y= 2在(，+网)上单调递减， 1.1 所以)y=2京05 1 ,故a<。 2 c8)由题意符川刘=-a-2x+>0,则H到=x--2-=-22 x2 x2 令gx)=x3-2x2-x-1,x>0,则g'(x)=3x2-4x-1, 令g(x)=0可得，x= 2-5<0(舍)成x=2+7 3 3 上单调递减， 2+V7 上单调递增， 又g(0)=-1,g(2)=-3<0,83)=5>0, 所以存在x∈(2,3，使得gx)=0,即H'(xo)=0, 所以当x∈(0，x)时，H'(x<0,则H(x)在(0，x)上单调递减， 当x∈(x,+o)时，H'(x>0,则H(x)在(xo,+o)上单调递增， 因为x→0时，H刘→，H国=<0， 所以存在x∈(0,1)，使得H(x)=0, 又H(4到=号-n4<0,H15=27-n5>0, 所以存在x2∈(4,5)，使得H(x2)=0, 所以函数H(x)=∫(x)-2x+1有且仅有两个零点.