2026年内蒙古初三年级中考数学全真综合模拟测试（六）

**基本信息** 内蒙古初三期末数学监测卷，以月球温度、校本课程调查等原创情境为载体，融合统计分析、函数建模等知识，考查数学眼光与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数表示、几何推理、整式运算等|结合物理反射原理（第2题）考查推理意识| |填空题|4/12|方差、坐标、三角形、四边形|以正方形动点（第12题）考查空间观念| |解答题|6/64|统计图表、方程应用、几何证明、函数建模|安检排队模型（第17题）体现模型意识，正方形折叠探究（第18题）发展创新意识|

内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（六） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）月球表面的夜间平均温度零下，记作 ，白天平均温度零上，应记作(      ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查正负数的实际应用，理解相反意义的量是解题关键． 根据正负数表示相反意义的量，零上温度记为正，零下温度记为负． 【详解】解：零下，记作 ， 零上，记作， 故选：． 2.如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出小欣推出“”这一步推理的依据是(    ) A. 同角的余角相等 B. 等角的余角相等 C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等 【答案】B  【解析】本题考查了垂直定义，等角的余角相等，由，所以，即，，又，根据等角的余角相等得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， 即，， 又反射角等于入射角即， ， 所以这一步推理的依据是等角的余角相等， 故选：． 3.下列整式运算计算正确的是(     ) 3.（原创）下列整式运算计算正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B正确． 对选项C：，C错误． 对选项D：，D错误． 4.不等式组的解集是(     ) A. B. C. D. 无解 【答案】A  【解析】【详解】解：解得 解得 5.（原创）呼和浩特苗苗商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表： 商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表： 牙膏品牌 合计 售出支数 下列关于品牌牙膏销售量的说法中，错误的是(     ) A. 频数是 B. 频率是 C. 品牌的销售量占总销售量的 D. 每卖出支牙膏，估计有支是品牌 【答案】C  【解析】解：选项，牙膏的频数是，故A选项说法正确； 选项，牙膏的频数是，总销售量为，频率为，故B选项说法正确； 选项，牙膏的频率为，即销售量占总销售量的，故C选项说法错误； 选项，牙膏的频率为，可得每卖出支牙膏，估计有支，故D选项说法正确． 故选：． 利用频率频数总数量计算，再逐一判断选项即可． 本题考查频数与频率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6.如图，在四边形中，，平分，交于点，，延长到点若，则的度数是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：， ， 平分， ， ， ， ， 故选：． 根据两直线平行，同位角相等得出，根据角平分线的定义得出，在中利用三角形内角和定理即可求解． 本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 7.如图为武术动作机器人，图为其示意图机器人上半身垂直于地面水平线，手臂已知，，，则该机器人拳头点到地面的高度为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：延长交于点， ， ， ，， ， ， ， ， 该机器人拳头点到地面的高度为的长， 故选：． 延长交于点，利用的长和的正弦值求得的长，加上的长即为机器人拳头点到地面的高度． 本题考查解直角三角形的应用．构造直角三角形求出点到的距离是解决本题的关键． 8.如图，反比例函数与直线交于点，则的值为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：点在直线上， ， ， 点在反比例函数的图象上， ． 故选：． 根据在直线上，求得，待定系数法即可得到的值． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求得的坐标是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.（原创）呼和浩特某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数单位：个及方差单位：个如表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择           ． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 【答案】丁  【解析】平均数越大表示成绩越好，方差越小表示发挥越稳定，结合表中数据选择平均数最高且方差最小的同学即可． 【详解】解：由表中数据可知，乙和丁的平均数最高，大于甲和丙的平均数，说明乙和丁成绩更好， 比较乙和丁的方差，，丁的方差更小，说明丁发挥更稳定， 因此丁符合成绩好且发挥稳定的要求， 故答案为：丁． 10.若点在第二象限，则整数的值为          ． 【答案】或  【解析】根据第二象限内点的坐标特征，建立关于的一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围，结合为整数即可求解． 【详解】解：由题意得，因为点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 所以 解不等式得， 解不等式得， 因此不等式组的解集为 又因为为整数， 所以整数的值为或． 11.如图，在中，，点在边上，若点在边上，满足，则的长是          ． 【答案】或或  【解析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，利用勾股定理得出得长度，根据三角形面积公式得出长，设，则，表示出，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ， ， ， ，即， ， ， 设，则， ， ， 在中，，即， 解得，即， 解得或， 即或， 故答案为：或． 12.如图，在正方形中，是边的中点，是边上的一个动点，连接若，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】作点关于的对称点，连接，则，可得当点，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，则， ， 当点，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在正方形中，， ， 是边的中点， ， ， ， 的最小值为． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算、化简 计算：； 化简：． (1)解：原式.........................................................3分 .........................................................5分 (2)解：原式.........................................................3分 ．.........................................................5分 【解析】  根据，再计算；  先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算． 14.本小题分 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”、“陶艺”、“园艺”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？要求必须选修一门且只能选修一门”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： 共有______名学生参与了本次问卷调查；“编程”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度； 请补全条形统计图； 小刚和小明分别从“礼仪”、“陶艺”、“园艺”、“厨艺”这四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【解析】解：“礼仪”对应圆心角为，条形图中“礼仪”人数为， 因此总参与人数为.........................1分 “编程”人数为，对应圆心角为.........................2分 故答案为：，； 厨艺：人，.........................3分 园艺：人.........................4分 在条形统计图中，对应“园艺”位置补画高度为的长方形，“厨艺”位置补画高度为的长方形即可， 记四门课程分别为礼仪、陶艺、园艺、厨艺，列表得所有等可能结果： 小刚小明 由列表可知：两人选到同一门课程的结果有种，.........................6分 因此：．.........................7分 根据礼仪的人数与所占比例即可求解参与的学生人数；根据编程的人数与总人数可得编程所占比例，根据圆心角的计算方法即可求解； 根据算出的园艺、厨艺人数，在条形统计图对应课程位置补画高度匹配的直条； 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式即可求解． 本题考查了条形统计图、用列表法或树状图求概率，熟练掌握以上知识点是关键． 15.本小题分 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有，两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量单位： 蛋白质单位： 脂肪单位： 碳水化合物单位： 若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用，两种食品各多少份？ 若每份午餐选用这两种食品共，从，两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用，两种食品各多少份？ 【答案】(1)解：设应选用A种食品份， B种食品份，.........................1分 根据题意列方程组得.........................2分 解得.........................4分 答：应选用A种食品份， B种食品份；.........................5分 (2)解：设选用A种食品份， 每份食品质量为，总质量为，总份数为， B种食品为份 由题意得，.........................7分 解得，.........................8分 设总能量为，则.........................9分 ， 随的增大而增大， 当取最小值时，最小，此时， 答：应选用A种食品份， B种食品份．.........................10分 【解析】  设未知数后根据总能量和总蛋白质的摄入量列二元一次方程组，求解即可得到结果；  先根据总质量得到两种食品的总份数，设食品的份数，根据蛋白质的要求列不等式得到份数的取值范围，再列出总能量的一次函数表达式，根据一次函数的性质求出能量最低时的份数即可． 16.本小题分 如图，在中，是的中点，，若点为上一点，且，，三点均在上，连接，与相切于点，求证： 四边形是菱形； 是的切线； 若，求的半径． 【解析】证明：，， 四边形为平行四边形，.........................2分 又，且为中点， ， 平行四边形为菱形．.........................4分 证明：平行四边形为菱形， ， 连接，如图， ，， ≌， ，.........................6分 切于， ， ， 点在上， 与相切，.........................8分 解：四边形为菱形， ， ，.........................9分 又， ， ， ， ， ；.........................10分 设半径为， ， ， ，， ， ， 解得：．.........................12分 由，，得到四边形为平行四边形，再根据斜边中线等于斜边一半得到，即可证明平行四边形为菱形． 连接，证明≌，得到，由切线的性质得到，即可证明是的切线； 先求出，设半径为，则，再根据列方程求解即可． 本题主要考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，斜边中线等于斜边一半，全等三角形的判定与性质，切线的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键． 17.本小题分 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景如图，某数学小组针对某次演出， 研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足排队人数现场总人数已入场人数； 条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 【模型构建】若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现， 现场总人数与安检时间之间满足关系式． 结合上述信息，请完成下述问题： 当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为______，排队人数与安检时间的函数关系式为______． 【模型应用】 在的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 已知该演出主办方要求： 排队人数在安检开始分钟内包含分钟减少； 尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【解析】若开设条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为用表示，若排队人数为，则与的函数表达式为；.........................3分 故答案为：，； ，.........................4分 当时，； 答：排队人数在第分钟达到最大值，最大人数为人；.........................6分 设开了条通道， ，.........................7分 对称轴为，.........................8分 排队人数分钟包括分钟内减少， ． ．.........................10分 又最多开通条， ． 为正整数， 最小值为， 最少开条通道．.........................13分 根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为用表示，与的函数表达式为； 根据二次函数的性质可得出结论； 运用二次函数的性质解答即可． 本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． 18.本小题分 【问题背景】如图，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处如图，连接，点恰好落在上； 【初步探究】 如图所示，求证：； 【探究迁移】 如图所示，请你求出的值，并说明理由； 【拓展应用】 如图所示，在【问题背景】的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请直接写出的值用含的式子表示． 【解析】， ， ，，.........................2分 将沿直线折叠后，点落在点处． ， ， 四边形是正方形， ， 由翻折性质可知， ， 在和中， ， ≌， ；.........................5分 ；.........................6分 理由如下： 由翻折性质可知，， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ，.........................8分 ， ， ∽， ， ， ；.........................9分 ；.........................10分 理由如下： 由可知，，：：，.........................11分 ， ， ．.........................13分 根据翻折的性质，全等三角形的性质求解即可； 根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解； 根据中三角形的全等条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可． 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形和菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识，合理构造相似三角形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命题双向细目表 内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（六） 命题双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 相反意义的量 选择题 3 0.95 基础题 2 余角性质与几何推理依据 选择题 3 0.9 基础题 3 整式相关运算、乘法公式 选择题 3 0.9 基础题 4 一元一次不等式组求解 选择题 3 0.9 基础题 5 频数与频率计算应用 选择题 3 0.85 基础题 6 平行线性质与三角形内角计算 选择题 3 0.75 基础题 7 解直角三角形实际运用 选择题 3 0.7 基础题 8 一次函数与反比例函数综合 选择题 3 0.7 基础题 9 平均数与方差数据分析 填空题 3 0.9 基础题 10 平面直角坐标系点坐标特征 填空题 3 0.85 基础题 11 等腰三角形与勾股定理计算 填空题 3 0.65 中档题 12 正方形性质与最短路径问题 填空题 3 0.6 中档题 13 实数混合运算、分式化简 解答题 10 0.88 基础题 14 统计图表分析、概率计算 解答题 7 0.8 基础题 15 方程组与不等式实际应用 解答题 10 0.7 基础题 16 菱形判定、圆切线判定与线段求解 解答题 12 0.65 中档题 17 二次函数解析式与实际最值问题 解答题 12 0.55 中档题 18 图形折叠、全等相似综合探究 解答题 13 0.45 压轴题 合计 100 0.76 $ 内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（六） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）月球表面的夜间平均温度零下，记作 ，白天平均温度零上，应记作(      ) A. B. C. D. 2.如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出小欣推出“”这一步推理的依据是(     ) A. 同角的余角相等 B. 等角的余角相等 C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等 3.（原创）下列整式运算计算正确的是(     ) A. B. C. D. 4.不等式组的解集是(     ) A. B. C. D. 无解 5.（原创）呼和浩特苗苗商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表： 牙膏品牌 合计 售出支数 下列关于品牌牙膏销售量的说法中，错误的是(    ) A. 频数是 B. 频率是 C. 品牌的销售量占总销售量的 D. 每卖出支牙膏，估计有支是品牌 6.如图，在四边形中，，平分，交于点，，延长到点若，则的度数是(     ) A. B. C. D. 7.如图为武术动作机器人，图为其示意图机器人上半身垂直于地面水平线，手臂已知，，，则该机器人拳头点到地面的高度为(     ) A. B. C. D. 8.如图，反比例函数与直线交于点，则的值为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.（原创）呼和浩特某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数单位：个及方差单位：个如表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择           ． 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 10.若点在第二象限，则整数的值为          ． 11.如图，在中，，点在边上，若点在边上，满足，则的长是          ． 12.如图，在正方形中，是边的中点，是边上的一个动点，连接若，则的最小值为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算、化简 计算：； 化简：． 14. 本小题分（原创） 呼和浩特某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”、“陶艺”、“园艺”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？要求必须选修一门且只能选修一门”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： 共有______名学生参与了本次问卷调查；“编程”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度； 请补全条形统计图； 小刚和小明分别从“礼仪”、“陶艺”、“园艺”、“厨艺”这四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 15.本小题分 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有，两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量单位： 蛋白质单位： 脂肪单位： 碳水化合物单位： 若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用，两种食品各多少份？ 若每份午餐选用这两种食品共，从，两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用，两种食品各多少份？ 16.本小题分 如图，在中，是的中点，，若点为上一点，且，，三点均在上，连接，与相切于点，求证： 四边形是菱形； 是的切线； 若，求的半径． 17.本小题分 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景如图，某数学小组针对某次演出， 研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足排队人数现场总人数已入场人数； 条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 【模型构建】若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现， 现场总人数与安检时间之间满足关系式． 结合上述信息，请完成下述问题： 当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为______，排队人数与安检时间的函数关系式为______． 【模型应用】 在的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 已知该演出主办方要求： 排队人数在安检开始分钟内包含分钟减少； 尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 18.本小题分 【问题背景】如图，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处如图，连接，点恰好落在上； 【初步探究】 如图所示，求证：； 【探究迁移】 如图所示，请你求出的值，并说明理由； 【拓展应用】 如图所示，在【问题背景】的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请直接写出的值用含的式子表示． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $