专题02 期末复习易错题55个考点（举一反三期末专项训练）八年级数学下学期新教材华东师大版

**基本信息** 聚焦期末高频易错点，以55个考点构建分式、函数、四边形、数据统计四大模块，通过分层例题实现概念理解-方法提炼-应用迁移的逻辑闭环，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式与分式方程|19考点|分式值为零“双条件”判断、分式方程增根检验法|从定义到性质、运算，再到方程应用，形成“概念-变形-求解-验根”完整链条| |函数|16考点|一次函数图像与系数关系、反比例函数面积模型|以坐标为基础，衔接函数定义、图像性质及实际应用，强化数形结合思想| |四边形|12考点|特殊四边形判定“边-角-对角线”三要素|从平行四边形到菱形、矩形、正方形，通过性质与判定互推构建知识网络| |数据统计|8考点|方差计算与数据稳定性分析、中位数与众数确定方法|从数据收集到描述性统计量计算，培养数据观念与分析能力|

专题02 期末复习易错题55个考点 【新教材华东师大版】 【考点1 分式的定义】 2 【考点2 分式有意义的条件】 4 【考点3 分式的值为零的条件】 5 【考点4 分式的值】 7 【考点5 分式的基本性质】 9 【考点6 约分与通分】 11 【考点7 最简分式】 13 【考点8 最简公分母】 14 【考点9 分式的乘除法】 15 【考点10 分式的加减法】 17 【考点11 分式的混合运算】 19 【考点12 分式的化简求值】 22 【考点13 科学记数法—表示较小的数】 26 【考点14 负整数指数幂】 27 【考点15 分式方程的定义】 29 【考点16 分式方程的解】 30 【考点17 解分式方程】 32 【考点18 由实际问题抽象出分式方程】 36 【考点19 分式方程的应用】 37 【考点20 平面直角坐标系中点的坐标特征】 41 【考点21 坐标与图形性质】 43 【考点22 函数的相关概念】 46 【考点23 一次函数的定义】 48 【考点24 一次函数的图象】 50 【考点25 一次函数的性质】 52 【考点26 一次函数图象上点的坐标特征】 54 【考点27 待定系数法求一次函数解析式】 56 【考点28 一次函数与方程（组）、不等式（组）】 59 【考点29 根据实际问题列一次函数关系式】 62 【考点30 一次函数的应用】 64 【考点31 反比例函数的定义】 69 【考点32 反比例函数的图象与性质】 71 【考点33 反比例函数中的几何意义与面积间的关系】 74 【考点34 待定系数法求反比例函数的解析式】 77 【考点35 反比例函数的应用】 79 【考点36 平行四边形的性质】 83 【考点37 平行四边形的判定】 86 【考点38 平行四边形的判定与性质】 92 【考点39 菱形的性质】 96 【考点40 菱形的判定】 98 【考点41 菱形的判定与性质】 102 【考点42 矩形的性质】 105 【考点43 矩形的判定】 108 【考点44 矩形的判定与性质】 110 【考点45 正方形的性质】 113 【考点46 正方形的判定】 116 【考点47 正方形的判定与性质】 119 【考点48 算术平均数】 122 【考点49 加权平均数】 124 【考点50 众数】 126 【考点51 方差】 127 【考点52 中位数】 129 【考点53 四分位数与箱线图】 131 【考点54 离差平方和】 134 【考点55 数据的分组】 137 【考点1 分式的定义】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在，，，，，中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，熟记分式定义是解题关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子称为分式），逐一判断各式即可． 【详解】∵ 分式的定义是分母中含有字母， 的分母是常数，不含字母，∴ 不是分式； 的分母是，含字母，∴ 是分式； 的分母是常数，不含字母，∴ 不是分式； 是整式，无分母，∴ 不是分式； 的分母是，含字母，∴ 是分式； 的分母是，含字母和，∴ 是分式； ∴ 分式有3个． 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）把 的盐溶在 的水中，那么在 这种盐水中的含盐量为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，先表示出盐在盐水所占的比例，从而可求解． 【详解】解：在 这种盐水中的含盐量为：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，，，，…，根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）观察式子：根据你发现的规律知，第8个式子为 ． 【答案】 【分析】本题主考查分式的定义、分式的规律等知识点，发现分式的分子、分母的指数的规律是解题的关键． 分别找出分子指数规律和分母指数规律，再运用规律即可解答． 【详解】解：∵ ∴分母是以a为底数，指数为1，2，3，……，n；分子是以b为底数，指数为2，4，6，……，， ∴第8个式子为 ． 故答案为：． 【考点2 分式有意义的条件】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式有意义，则的值应满足 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到，求解即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，依次需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：选项A的分母为，当时，，分母可能为零； 选项B的分母为，当时，，分母可能为零； 选项C的分母为，因为，所以，分母恒不为零； 选项D的分母为，当时，，分母可能为零； 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不为零．根据分式有意义的条件，得到，即可求得答案． 【详解】解：分式 有意义， 分母 ， ， ． 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是准确列出不等式． 根据分式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：且， 故答案为：且． 【考点3 分式的值为零的条件】 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）当 时，分式的值为零． 【答案】1 【分析】本题考查分式值为零的条件，需同时满足分子为零且分母不为零． 要使分式的值为零，需分子为零且分母不为零． 【详解】解：由题意，令分子，解得：． 当时，分母，满足条件． 故答案为：1． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式的值为0需分子为0且分母不为0求解． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且． 解得， 即或． 又∵， ∴． ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若分式的值是零，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为零的条件和分式有意义的条件，先根据分式的值为零的条件和分式有意义的条件得出分子且分母，再求出答案即可． 【详解】解：∵ 分式的值为零， ∴ 分子且分母， 由得， ∴ 或， 当时，分母，不符合条件， ∴ ， 故选：D． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】根据当时，分式无意义，得；当时，此分式的值为0，得到，代入解答即可． 【详解】解：根据当时，分式无意义，得，解得； 当时，此分式的值为0，得到，解得， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零，分式无意义的条件，求代数式的值，有理数的乘方，熟练掌握条件是解题的关键． 【考点4 分式的值】 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的求值，异分母分式的加减运算，将转化为，整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 2．若分式的值是负数，则的取值范围是（    ）. A． B．或 C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可． 【详解】∵是负数， ∴或 ∴或. 故选D. 【点睛】此题考查分式的值，解题关键在于掌握运算法则 3．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意， ，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 4．（25-26七年级上·上海·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的计算．先化简分式，再求使该式为整数的整数，同时考虑分母不为零的限制条件． 【详解】解： ， 原分式分母不为零，则， 原分式除式不为零，则， ∴， 原式化简为，要使式子的值为整数，则必须为2的约数，即或，解得．又由排除后，仅满足条件．故满足条件的的值有1个． 故答案为：1． 【考点5 分式的基本性质】 1．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐个判断即可． 【详解】解：A.，故选项A化简错误，不符合题意； B、，故选项B化简错误，不符合题意； C、，故选项C化简错误，不符合题意； D、，原选项化简正确，符合题意． 故选：D． 2．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：=== 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 3．（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 4．阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 【答案】（1）③；①②④；（2）；（3）. 【分析】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式； （2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式； （3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式． 【详解】（1）①，是假分式； ②，是假分式. ③是真分式； ④，是假分式； （2）====， （3）. 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题． 【考点6 约分与通分】 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则，是解题的关键．根据分式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列四个分式的化简运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简运算，需根据分式的加减乘除法则和平方差公式逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、∵ ，∴ A错误，不符合题意； B、∵ ，∴ B错误，不符合题意； C、∵，∴ C正确，符合题意； D、∵ 与无必然相等关系，例如取，则 ，∴ D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【答案】，， 【分析】根据约分的定义，先将，的分子分母分别分解因式，再约去它们的公因式，将两个分式化成最简分式，再根据通分的定义，将两个分式化成同分母的分式，最后根据同分母分式相加减的法则，将两个分式相加，把最后结果化成最简分式即可；本题考查了分式的约分、通分以及同分母分式相加减，熟练掌握约分、通分的概念以及同分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以这两个分式的最简公分母是， 所以， 所以． 【考点7 最简分式】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最简分式的概念，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题的关键． 通过逐项检查各选项的分子和分母是否能约分即可判断． 【详解】选项A：分子在实数范围内不能因式分解，与分母无公因式，因此是最简分式； 选项B：，可约分，不是最简分式； 选项C：分子，分母，有公因子2，可约分，不是最简分式； 选项D：分子，分母，有公因式，可约分，不是最简分式； 故选：A． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式，根据分式的分母一定含有字母，且最简分式的分子和分母没有公因式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，中必须有字母，且分子分母不能还有公因式， 选项B、C中没有字母，代入后表达式不是分式，故排除； 选项D代入后，分式为，分子分母有公因式4，不是最简分式，故排除． 只有选项A满足题意． 故选A． 3．在分式中，最简分式有 个． 【答案】2 【分析】根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即可得． 【详解】解： 是最简分式，故有2个. 故答案为：2 【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．本题的关键是找出分子分母的公因式． 4．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式的值不为及分式有意义的条件，根据题意写出符合条件的最简分式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个最简分式可以是， 故答案为：． 【考点8 最简公分母】 1．分式，的最简公分母是 ． 【答案】12x2y2 【分析】根据最简公分母的定义求解． 【详解】解：分式，的最简公分母为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 2．分式与的最简公分母是 ． 【答案】x(x+2)(x-2) 【分析】先对分式的分母进行因式分解，根据确定最简公分母的方法即可求出最简公分母． 【详解】∵x2+2x=x(x+2)，x2-4=(x+2)(x-2)， ∴分式与的最简公分母是x(x+2)(x-2)， 故答案为：x(x+2)(x-2) 【点睛】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 3．下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确实最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母； 【详解】分式 、 、 的分母分别是 、 、 ， 故最简公分母是， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；正确掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 4．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据确定最简公分母的方法逐项分析即可，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】∵两个分式的分母分别是：x2-x=x(x-1)，x2+x=x(x+1)， ∴最简公分母是x(x-1)(x+1) 故选：B 【点睛】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母. 【考点9 分式的乘除法】 1．（24-25七年级上·上海松江·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除法运算法则． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 3．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得： ， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 【考点10 分式的加减法】 1．化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同分母分式的加减法，运用同分母分式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C 2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据分式的乘除法、分式的加减法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选B． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的加减法则． 将原式通分后合并，并利用平方差公式和提取公因式进行化简． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式恒等式求解参数，二元一次方程组的应用；将等式右边通分后与左边比较分子，得到关于m和n的方程，通过比较系数建立方程组，求解m和n后计算差值； 【详解】解：右边通分得： 与左边比较分子得： 展开左边得： ∴ 比较系数得： 解得： ∴. 故答案为：1. 【考点11 分式的混合运算】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，正确计算是解题的关键． （1）利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算∶ 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 通过观察，发现从第二项开始的分母均为连续整数的乘积，进而根据分式的混合运算的法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握二阶行列式的运算规定以及分式的混合运算法则是解此题的关键．． 按二阶行列式的运算方法先列出算式，再利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【考点12 分式的化简求值】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ……………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________； (2)请写出该分式化简的正确过程，并选择一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】(1) 二；去括号时未变号 (2) 正确过程见解析；当时，值为 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是正确运用分式运算法则（通分、因式分解、约分），注意去括号时的符号处理． （1）观察化简步骤，判断错误步骤及符号处理的错误原因； （2）先对括号内分式通分并正确化简分子，再将除法转化为乘法，约分得到最简分式，选择使分式有意义的整数代入求值． 【详解】（1）解：第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时符号处理错误，未将中的变为； 故答案为：二；去括号时未变号； （2）解：原式 ． 选 ，代入得：原式． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 【答案】(1)， (2)，6 【分析】本题考查分式的混合运算； （1）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相减，再计算分式除法，得出结果后，最后代入求值即可； （2）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相加，再计算分式除法，最后整体代入求值即可. 【详解】（1）解： . 将代入得：原式. （2）解： . ∵， ∴， ∴原式. 3．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，将化为，，，然后代入，推出，可得结论．掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 4．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由给定的三个等式可得其倒数，，，再将三个分式的分子拆分后相加可得的值，因所求式子的倒数为，所以求得的倒数即可解答； 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， ，， ①+②+③，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，当分式的分子较简单，分母中的各项与分子存在一定的倍数关系时，可利用取倒数的方法（即将分式的分子和分母的位置颠倒），将繁杂的分式化成简单的式子，使问题化难为易，从而降低解题难度． 【考点13 科学记数法—表示较小的数】 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）用科学记数法表示： ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数利用科学记数法表示一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 2．很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（   ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 【答案】B 【分析】考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B 3．（25-26八年级上·上海静安·期中）已知质量为的铁的体积是．现有一个体积为的铁钉，那么它的质量是 千克（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．先将体积单位从立方毫米转换为立方米，再求质量，最后用科学记数法表示结果，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为 ． 4．（2025·河南驻马店·一模）在国际单位制中，长度的基本单位是米（m），1m最早是由地球球面上经过巴黎经线南北两极点距离的两千万分之一定出的．“”用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 先化简分式，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 故选：C． 【考点14 负整数指数幂】 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方．分别计算、、的值：比较大小可得，即可求解． 【详解】解：，，． ，即． 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了指数运算，负整数指数幂，需运用指数法则（如幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法）进行简化计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：． 4．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）计算： 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数的运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点，掌握零指数幂、负整数指数幂成为解题的关键． 先计算有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后再加减计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【考点15 分式方程的定义】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 【详解】解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 4．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：①、⑤不是等式，故不符合题意； ②，⑥，是数字不是未知数，是一元一次方程，故不符合题意； ③，④是分式方程，故符合题意； 故选：A． 【考点16 分式方程的解】 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，将已知解代入分式方程求解即可． 【详解】∵关于的分式方程的解是， ∴代入得， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解的情况列不等式及考虑分母不为0是解题的关键． 先解分式方程，再根据方程的解为正数及分母不为0列不等式求解即可． 【详解】解：解方程得：， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，解得：； ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且 ． 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如果关于x的分式方程无解；则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程无解问题，先把去分母整理得，根据无解得，即可作答． 【详解】解：依题意，方程去分母得， 整理得， 当，即时，方程无解； 当时，， ∵分式方程无解， ∴， 此方程无解，故舍去， 综上，a的值为3， 故答案为：3 4．已知关于x的方程：＝﹣3． (1)当方程的解为正整数时，求整数m的值； (2)当方程的解为正数时，求m的取值范围． 【答案】(1)﹣1或3 (2)m＜4且m≠ 【分析】（1）先求出分式方程的解，然后结合方程的解是整数，即可得到答案； （2）先求出分式方程的解，然后结合方程的解是整数，即可得到答案； 【详解】（1）解： 去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2）， 解得：x＝， ∵方程的解为正整数，且x≠2， ∴4﹣m＝5或4﹣m＝1且4﹣m≠2 解得：m＝﹣1或3，且m≠2， ∴整数m的值为﹣1或3； （2）解： 去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2）， 解得：x＝， ∵方程的解为正数且x≠2， ∴＞0且≠2， 解得：m＜4，且m≠， ∴m的取值范围为m＜4且m≠． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是掌握解分式方程的步骤进行计算． 【考点17 解分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】此题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键， （1）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可； （2）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可 【详解】（1）解：两边同时乘，得： ， 解得， 经检验，是原方程的根， 原方程的解为． （2）解：两边同时乘得， ， 解得， 经检验是原方程的增根，原方程无解． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为3，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，分类讨论；分两种情况，解分式方程即可． 【详解】解：当时，， 解得：， 经检验是原方程的解； 当时，， 解得：， 经检验是原方程的解； 综上，x的值为或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了新运算的定义、解分式方程等知识，根据题意新定义运算将方程转化为分式方程并求解，检验即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又 ∵， ∴ ，解得， 经检验，是该方程的解， ∴x的值为． 故选：C． 4．（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 【答案】(1)或 (2)或，过程见解析 (3)或 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将方程转化为的形式． （1）由可得，根据题意可得； （2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判断能否是方程两边相等即可； （3）先将原方程转化为的形式，然后得到或，然后解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该方程的解为：或； 故答案为：或； （2）解：方程的解为：或， 检验：当时，左边右边，故是方程的解， 当时，左边右边，故也是方程的解； （3）解：将方程左边整理得： ； 方程右边整理为： ； ∴原方程可化为：， ∴或， 解得，或． 【考点18 由实际问题抽象出分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，甲单价为，乙单价为，根据卖得钱数相同即可得方程． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意得， 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰．两个小组的攀登速度各是多少？设第二组的速度为，第一组的速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意，两个小组攀登同一座高的山，第一组速度是第二组的1.2倍，且比第二组早15分钟到达，设第二组的速度为，则第一组的速度是，利用时间差建立方程即可． 【详解】解：设第二组的速度为，则第一组的速度是， 由题意，得． 故选：A． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ． 【答案】 【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同，即可列出方程. 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据题意可得方程：； 故答案为：. 4．解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 【答案】． 【分析】设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米，根据提前24小时完成任务，列出方程即可． 【详解】设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米， 由题意得，． 【考点19 分式方程的应用】 1．（2025九年级·安徽·专题练习）年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、正确列出分式方程是解题的关键． 设该货车在原国道上行驶的速度为，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设该货车在原国道上行驶的速度为， 由题意可得，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：该货车在原国道上行驶的速度为． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 【答案】(1)A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米 (2)A施工队每天的费用是1200元 【分析】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得，解答即可； （2）设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程组，分式方程是解题的关键． 【详解】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得， 解得， 答：A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米． （2）解：设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元， 根据题意，得， 解得（元）， 答：A施工队每天的费用是1200元． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）由题意可知，每支中性笔的价格为元．根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）由题意可知，每支中性笔的价格为元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时购买圆珠笔的数量为（支）， ∵购买圆珠笔的数量为整数， ∴不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故整数m的值为3． 4．（25-26九年级上·重庆江北·期中）某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【答案】(1)每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； (2)10个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个，根据甲、乙数量之和及倍数关系列一元一次方程求解； （2）设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个，设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，根据生产各120个和总天数6天列分式方程求解． 【详解】（1）解：设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个． 根据题意，， 解得， 所以， 答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； （2）解：设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个， 升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个， 设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则， 生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个， 由，得， 由，得， 代入，得， 即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 答：每天生产甲材料包的增加数量为10个． 【考点20 平面直角坐标系中点的坐标特征】 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了坐标的性质．点A的坐标是，其到x轴距离为，到y轴的距离为，则 ；又由点A在y轴的右侧可知A的横坐标为正数，即，据此即可求出a的值． 【详解】解：由题可知， 即或， 解得， 故答案为：3． 2．（24-25七年级下·海南·期末）已知点在轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握x轴上的点纵坐标为0是解题的关键． 根据x轴上的点纵坐标为0可得，然后再解方程即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴，解得：． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)5 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5． （2）解：点是“完美点”， ， 或， 解得：或； （3）解：点的长距为4，且点在第二象限内， ， 解得， ， 点的坐标为， 点到x轴、y轴的距离都是5， 是“完美点”． 4．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉祥点”；②第三象限内不存在“吉祥点”；③已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8；④已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，且它的纵坐标是，三角形的面积记为，则．其中正确的是有 ． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据平面直角标系中象限的特点，逐一判断即可． 【详解】由横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”， 则①第一象限内有无数个“吉祥点”，故说法①正确； ②∵第三象限的横、纵坐标都为负数， ∴第三象限内不存在“吉祥点”，故说法②正确； ③∵，， ∴轴， ∵点是“吉祥点”且在坐标轴上， ∴点或， 则到直线的距离为或，故说法③错误； ∵，， ∴轴，， ∵点是第一象限内的“吉祥点”， ∴设，则有：， 根据题意可知：， ∴，故说法④正确； 综上可知，说法①②④正确； 故答案为：①②④． 【考点21 坐标与图形性质】 1．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）平面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 分三种情形画出图形即可解决问题． 【详解】解：如图， 当，时，点的坐标为； 当，时，点的坐标为； 当，时，点的坐标为； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，如图，过作于，过作于，再利用割补法求解面积即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∵，，，， ∴，，，，， ∴四边形的面积是． 故选：C 3．（24-25七年级下·全国·期末）若点，点，点P在y轴上，且三角形的面积为4，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．设，利用三角形的面积公式构建绝对值方程求出即可． 【详解】解：如图，设， 由题意：， 或， 或， 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动 (1)求点的坐标． (2)当点移动4秒时，请求出点的坐标． (3)当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）利用非负数的性质可以求得的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标； （2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴， 解得， ∴点B的坐标是； （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴点移动4秒时，点P的路程：， ∵ ∴当点P移动4秒时，在线段上， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是； （3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，存在两种情况： 第一种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点P在上时． 点P移动的时间是：（秒）， 综上分析可知：在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒． 【考点22 函数的相关概念】 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，掌握在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数是关键．根据函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意； B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·河北沧州·期末）甲以每小时10的速度行驶时，他所走过的路程与时间之间可用公式来表示，则下列说法正确的是（   ） A．数10和s，t都是变量 B．s是常量，数10和t是变量 C．数10是常量，s和t是变量 D．t是常量，数10和s是变量 【答案】C 【分析】本题考查变量和常量，熟练掌握基本概念是解决问题的关键． 根据变量和常量的概念，结合公式进行判断． 【详解】解：在中，数10是常量，s和t是变量， 故选：C． 3．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）圆圆出门散步，从家出发走了到达离家的广场，看到广场有杂技表演，就停下来看了一会儿，在度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，解决本题的关键是圆圆观看了的杂技表演． 根据题意可知，圆圆在内，离家距离是，再由观看了的杂技表演可知此时距离不变，再由回家用了，可知在第时圆圆到家，由此判断图象即可． 【详解】解：∵从家出发走了到达离家的广场， ∴圆圆在第时，离家距离是， ∵圆圆观看了的杂技表演， ∴圆圆的离家距离不变，依然为， ∵圆圆再用回到家中， ∴圆圆在第时，到达家中， 由此可知可以表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是A选项． 故选：A ． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）中牟西瓜是河南中牟的水果类特产，享有“籽如宝石瓤如蜜，中牟西瓜甜到皮”的美誉．研究发现，某品种西瓜的甜度与每日的光照时长有如下关系： 每日光照（h） 4 5 6 7 8 9 10 11 12 西瓜甜度（） 则以下说法错误的是（    ） A．在这一变化过程中，每日光照时长是自变量，西瓜的甜度是因变量 B．随着光照时长的增加，西瓜的甜度越来越高 C．为了保证西瓜更甜，最适合的光照时长约为小时 D．估计当光照时长大于时，西瓜甜度小于 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义和性质，解题的关键是掌握函数的性质． 根据表格中的数量关系逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由表格可知，该选项正确，不符合题意； B. 随着光照时长的增加，西瓜的甜度先逐渐增加，再逐渐降低，该选项错误，符合题意； C. 由表格可知，该选项正确，不符合题意； D. 由表格可知，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【考点23 一次函数的定义】 1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关键．若两个变量和间的关系式可以表示成（，均为常数，）的形式，则称是的一次函数（为自变量，为因变量）；一般地，两个变量和间的关系式可以表示成（为常数，且）的形式，则称是的正比例函数，据此逐个选项分析． 【详解】解：A、是一次函数，也是正比例函数，故本选项不符合题意； B、不是一次函数，也不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、是一次函数，但不是正比例函数，故本选项符合题意； D、不是一次函数，也不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选C． 2．（24-25八年级下·河南南阳·期末）写出一个图象经过点的正比例函数解析式 ． 【答案】 【分析】本题考查求正比例函数解析式，运用待定系数法求解即可． 【详解】解：设图象经过点的正比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴这个正比例函数解析式为． 故答案为： 3．表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的一般形式（k，b为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是①④， 故选：D． 4．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知函数是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的定义，由定义可得，且，从而可得答案． 【详解】解：函数是关于x的一次函数， 则，且， 解得， 故答案为：． 【考点24 一次函数的图象】 1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质． 分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可． 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图像不经过第三象限 B．点在直线上 C．图像与直线平行 D．若点，在该函数图像上，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，一次函数图像与系数的关系，根据一次函数图像的性质进行逐一分析解答即可． 【详解】解：A．∵，， ∴一次函数的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项正确，不符合题意； B．∵时，， ∴函数图像必经过点，故本选项正确，不符合题意； C．∵与的k均为， ∴的图像与直线平行，故本选项正确，不符合题意； D．∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在该函数图像上，且， ∴，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 3．已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据的图象经第二、四象限，判断出，可知的图象中，y随x值的增大而减小，由此可解．解题的关键是根据经过的象限判断出k值的正负． 【详解】解：∵（）的图象经第二、四象限， ∴， ∴的图象中，y随x值的增大而减小， 若，则， ∴，， ∴． 反之，也成立，即， 故答案为：． 4．已知一次函数的图象不经过第一象限，当时，的最大值与最小值的差为5，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据一次函数的图象不经过第一象限，得出，，判断出函数的增减性，再把和代入函数解析式得出函数值，再根据当时，的最大值与最小值的差为5，得出，求解即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：一次函数的图象不经过第一象限， ，， 随着的增大而减小， 当时，，当时，， 当时，的最大值与最小值的差为5， ， 解得：， 故答案为：． 【考点25 一次函数的性质】 1．（24-25八年级下·河北承德·期末）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，判断k的属性解答即可． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：A.中，，符合题意； B.中，，不符合题意； C.中，，不符合题意；     D.中，，不符合题意； 故选：A． 2．已知点和点都在上，则a和b大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一次函数图象的增减性，结合点和点纵坐标的大小关系，即可得到答案． 【详解】一次函数图象上的点，y随着x的增大而增大． 又：点和点都在直线上，且． ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象的增减性是解题的关键． 3．（24-25八年级下·上海静安·期末）如果是函数图象上不同的两点，那么的计算结果 ．（填“”、“”、“”或“不能确定”） 【答案】 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小，即可比较出与，与的大小． 【详解】解：， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∴若，则，若，则，故与始终异号，故． 故答案为：． 4．关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②随x的增大而增大； ③函数的图象与函数的图象的交点一定在第一象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则 上述结论正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，不等式的性质，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提． 根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的增减性逐项进行判断即可． 【详解】解：①当时，，当时，，而一次函数，y随x的增大而增大，所以，所以①正确； ②一次函数，y随x的增大而减小，因此②不正确； ③联立，解得，则函数的图象与函数的图象的交点坐标为，当时，，此时交点在第四象限，所以③不正确； ④若点在函数图象上，在函数图象上，则， ，即，，当时，，即，因此④正确． 综上所述，正确的结论有①④． 故选A． 【考点26 一次函数图象上点的坐标特征】 1．若、、三点在一条直线上，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一次函数的性质和待定系数法求解析式，根据已知点A和点B求得直线解析式，再次将点C代入即可求得a． 【详解】解：设直线的解析式为， 则，解得 直线解析式为 把代入解得． 故答案为：3． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）已知正比例函数（k是常数，）的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点满足函数解析式成为解题的关键． 先利用已知点求出正比例函数的比例系数k，得到函数解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将点代入正比例函数解析式，得：，解得：． ∴正比例函数解析式为， A．将代入得，即不在该正比例函数图象上，故该选项不符合题意； B．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项符合题意； C．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项符合题意； D．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项不符合题意． 故选B． 3．若点关于y轴的对称点在一次函数的图象上，则k的值为（） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于轴、轴对称的点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的一元一次方程是解题的关键． 由点的坐标，可找出点关于轴的对称点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：点关于轴的对称点为． ∵点在一次函数的图象上， 解得：， 故选：D． 4．将若干个正方形按如图所示方式放置，每个正方形有一个顶点在直线上，两个顶点在x轴上，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】 先根据解析式求得的坐标，再根据正方形的性质求得的坐标，从而得到坐标的规律，据此求得的纵坐标． 【详解】解：当时，， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 当时，， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ 同理可得：， ∴． 故填：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，正方形的性质，找到点坐标的规律是解题的关键． 【考点27 待定系数法求一次函数解析式】 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点，，则将该图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟记“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键． 先将，两点的坐标代入,运用待定系数法求出一次函数的解析式为，再根据“左加右减、上加下减”的原则得出新的直线表达式． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ∴， 将图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中过每两个点的一次函数图象，并得到对应的函数表达式为：，，．分别计算，，的值，其中最大的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，比较函数值的大小，利用待定系数法分别求出三个函数的解析式，再求出相应的值进行比较即可． 【详解】解：设直线的表达式为：， 将代入， 得：，解得： ； 设直线的表达式为：， 将代入， 得：，解得： ； 设直线的表达式为：， 将代入， 得：，解得： ； ∴，，的值，其中最大的值等于， 故选：A． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)该函数经过一点，求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，求函数值，掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入（1）中函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：与成正比例， ∴设， 将，代入，得， ∴ ∴，即； （2）解：∵函数经过一点， ， 解得． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到，且过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)已知，是一次函数图象上的两点，且．比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得两个一次函数的相等，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点， ∴经过点， ∴， 解得； ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵，是一次函数图象上的两点，且 ∴． 【考点28 一次函数与方程（组）、不等式（组）】 1．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知直线过点和点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解． 根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴的交点坐标是点， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 利用待定系数法，将点代入，求得的值，解不等式即可． 【详解】解：将点代入得： ， 解得， 则 解得， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，两直线的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解． 先将代入求出的值，再根据题意作答即可． 【详解】将代入得，即 ∵直线与直线交于点， ∴关于的方程组的解为， 即关于的方程组的解为， 故选：B 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线经过点，，直线与该直线交于点． (1)求两直线交点的坐标； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是待定系数法求解析式和一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是会用待定系数法求直线解析式． （1）利用待定系数法代入求出直线的表达式即可；两直线的解析式联立方程组，解方程组得到点的坐标； （2）根据图象，找出点右边的部分且在x轴上方的的取值范围即可． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得， 直线的表达式为； ∵直线与直线相交于点， ， 解得， 点的坐标为：； （2）解：由图象可知，点右边直线在的上面， 不等式的解集为： ． 【考点29 根据实际问题列一次函数关系式】 1．节假日期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠”，在此活动中，小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品件（），应付款（元），则下列方程中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与商品件数的等式是解题关键．根据已知表示出买商品件的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠， 小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品件（）， 则小明应付货款与商品件数的函数关系式是：， 故选：D． 2．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及关系列出一次函数关系式是解题的关键． 先明确甲、乙运动的时间关系，再分别表示出甲、乙的路程，最后根据两人距离与路程的关系得出函数关系式并确定时间范围． 【详解】解：由甲先跑，乙后出发，甲跑步所用时间为秒，得乙跑步所用时间为秒，则甲跑的路程为米，乙跑的路程为米． 由题意可得． 当乙追上甲时，，即， 解得； 当乙刚要出发时， ，所以的取值范围是． 所以甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（）， 故选：C． 3．如图，李爷爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数表达式，解题关键是掌握找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数表达式． 【详解】解：设边的长为，边的长为， ∵菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 又， ∴，解得：， ∴， ∴，且， 故选：B． 4．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． 故选：A． 【考点30 一次函数的应用】 1．“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A县的蔬菜200吨和B县的蔬菜300吨运往武汉的C区和D区．现确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨．已知从A、B两县运蔬菜到C、D两区的运费（元/吨）如下表所示，设A县运往C区的蔬菜为x吨， A B C 20 15 D 25 24 (1)用含x的代数式填空：A县运往D区的蔬菜吨数为________，B县运往C区的蔬菜吨数为________，B县运往D区的蔬菜吨数为________． (2)用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2)，A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少 【分析】本题考查列代数式，一次函数的实际应用，正确的列出代数式，一次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据运往C区和D区的蔬菜量，列出代数式即可； （2）根据总运费等于各部分的运费之和，列出函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨，从A县运往C区的蔬菜为x吨， ∴从县运往区的蔬菜为吨，B县运往C区的蔬菜为吨，从B县运往D区的蔬菜为吨； （2）由题意，得： 随的增大而增大 当时，总运费W最小 A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少． 2．芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示： 型号价格 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 35 B 35 42 该厂计划制造A，B两种型号芯片共40万件，设制造A种型号芯片m万件，制造这批芯片获得的总利润为w万元． (1)求这批芯片获得的总利润w（万元）与制造A种型号芯片m（万件）的函数关系式； (2)若B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，那么该厂制造A种型号芯片多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)制造A种型号芯片10万件时，会获得最大利润，最大利润是260万元 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，理解题意列出函数关系式以及一元一次不等式组是解本题的关键． （1）由制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片万件，再根据总利润等于两种芯片的利润之和求解即可； （2）先根据B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，列不等式求解m的范围，再利用一次函数的性质求解最大利润即可． 【详解】（1）解：由制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片万件，根据题意得： ，即． （2）解：∵B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍， ∴，解得：， ∵、 ∴， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴时，w取最大值，最大值为（万元），此时． 答：制造A型芯片10万件，B型芯片30万件，会获得最大利润，最大利润是260万元． 3．甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的路程（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的路程（千米）与（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题： (1)直线的解析式为______； (2)轿车到达点开始加速，求轿车加速后的速度； (3)求轿车加速后，轿车追上货车时的值；轿车超出货车20千米时的值． 【答案】(1) (2)120千米时 (3)；4 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，列出函数关系式，根据问题及条件选用正确的解题方法． （1）由图象可知，货车5小时行驶400干米，即可得； （2）根据速度路程时间即可求解； （3）设线段对应的函数表达式为，用待定系数法可得线段对应的函数表达式，根据问题，与直线的解析式联立，组成方程即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，货车5小时行驶400千米， 货车的行驶速度是：（千米时）， 根据路程速度时间，可得直线的解析式为； 故答案为：； （2）解：轿车到达点开始加速，轿车加速后的速度为（千米时）； 答：轿车加速后的速度为120千米时； （3）解：设线段对应的函数表达式为，将 ，代入得：，解得， 线段对应的函数表达式为 ； 当轿车加速后，轿车追上货车时，， 解得，； 轿车超出货车20千米时， ， 解得，． 答：轿车加速后，轿车追上货车时，的值为；轿车超出货车20千米时， 的值为4． 4．甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时），设时间为，两车之间的距离为，图中的折线是与之间的函数关系的一部分图象． 根据函数图像回答下列问题： (1)求慢车的速度； (2)求两车相遇，到快车到达乙站时，与的函数关系式；并指出取值范围； (3)试在图中补全点以后的图象． 【答案】(1)80千米/小时 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、从函数图象获取信息、求一次函数解析式等知识，数形结合是关键． （1）根据题意结合图象即可得到答案； （2）求出A点的坐标是，B点坐标为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出图象与轴还有一个交点为，据此即可补全图象． 【详解】（1）解：∵一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时）， ∴由图象知：慢车速度为80千米/小时； （2）解：两车相遇时是A点，快车行驶的时间为6小时 ∴由图象可知，A点的坐标是，快车到达乙站时是B点， ∴慢车行驶的路程为，快车出发6小时行驶的路程为， ∴B点的纵坐标是， ∴B点坐标为， 设， 得 解得， ∴ （3）解：由（2）可知，快车到达乙站时，慢车还需行驶小时到达乙站， ∴图象与轴还有一个交点为， ∴连接B和点的线段即可补全图象， 如图： 【考点31 反比例函数的定义】 1．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·重庆·期中）已知函数是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义：一般形式转化为的形式．根据反比例函数的定义，则即可求解． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）下列数表中分别给出了变量与之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是（   ） A． 1 2 3 4 5 8 7 6 B． 1 2 3 4 8 5 4 3 C． 1 2 3 4 6 8 9 7 D． 1 2 3 4 1 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，将反比例函数的解析式进行变形得到，再进行验证是解答本题的关键．反比例函数中，变量与的乘积为常数，通过计算各选项中与的乘积，判断是否恒定即可． 【详解】解：设函数解析式为，（）， 对于A、B、C选项，将对应的、的值代入函数解析式中，由于值不相等，故选项A、B、C中、不是反比例函数关系，故不符合题意； 对于选项D，将对应的、的值代入函数解析式中，可得值相等，故选项D中、是反比例函数关系，故符合题意． 故选：D． 4．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）已知函数是反比例函数，且图象在第一、第三象限内，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 反比例函数的一般形式为（），且图象在第一、第三象限时，进而作答即可． 【详解】解：由反比例函数的定义，指数， 解得或， 图象在第一、第三象限， 系数， 即， 故． 故答案为：． 【考点32 反比例函数的图象与性质】 1．（25-26九年级上·广西北海·期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，由于比例系数，图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，解答即可。 本题考查了反比例函数的性质，图象的分布，熟练掌握图象的分布和性质是解题的关键。 【详解】解：∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 图象位于第一、三象限，不在第二、四象限， ∴ B错误； ∵ 当 时，函数处于第三象限，且， ∴ y 随x的增大而减小， ∴ C正确； ∵ 当时，函数处于第一象限，且， ∴ y 随 x 的增大而减小，不是增大， ∴ D错误。 故答案为：C． 2．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 3．（2024·河北·模拟预测）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，，在反比例函数的图象上，、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由可得反比例函数图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点33 反比例函数中的几何意义与面积间的关系】 1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，点A 在反比例函数 的图象上，过点 A 作轴于点B．若 C 为x 轴上任意一点，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查值的几何意义，连接，利用平行等积转化得到的面积等于的面积，再根据值的几何意义即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵轴 ∴轴，即， ∴的面积等于的面积， ∵点A 在反比例函数 的图象上， ∴的面积； ∴的面积为2； 故答案为：2． 2．（25-26九年级上·广西梧州·期中）如图，是反比例函数图像在第二象限上的一点，且矩形的面积为8，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义及反比例函数的性质，解题关键是理解过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据矩形面积得出，根据反比例函数图像经过第二象限，得出，即可得答案． 【详解】解：∵矩形的面积为8， ∴， ∴ ∵点是反比例函数的第二象限上的一点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故选：D． 3．双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中，的解析式分别为，，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的图象于点，交轴于点，连接，．则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用到的知识点是三角形的面积与反比例函数系数的关系，由点B在的图象上可得出，由点A在的图象上可得出，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵点B在的图象上， ∴， ∵点A在的图象上， ∴， ∴， 故选B 4．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为6，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由轴，可知、的横坐标相同，设，，则，根据的面积为6，得出，求得答案即可． 【详解】解：∵轴， 、的横坐标相同， 设，，则， ， ∵的面积为6， ∴， ． 故答案为：． 【考点34 待定系数法求反比例函数的解析式】 1．（25-26九年级上·山东淄博·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数()的图象如图所示，则的值可能是 (填写其中一个答案即可)． 【答案】3(答案不唯一) 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据点和点的坐标，得出的取值范围，即可解答． 【详解】解：该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ， 该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ， ， 的值可能是， 故答案为：3(答案不唯一)． 2．（25-26九年级上·广西梧州·期中）点在反比例函数的图象上，则时，的值为 ． 【答案】 4 【分析】此题考查待定系数法求反比例函数解析式、求反比例函数值等知识．先根据点在反比例函数的图象上得到，则，把代入即可求出y的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·重庆·期中）已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，先求出k的值，再验证各选项点是否满足解析式． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴． 选项A：，不在图象上； 选项B：，在图象上； 选项C：，不在图象上； 选项D：，不在图象上． 故选：B． 4．（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为； (2)点在这个函数的图象上； (3)当时，的取值范围是． 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，判断点是否在函数图象上，根据反比例函数的图象和性质求函数值的取值范围． （1）把点的坐标代入，可得，即可得反比例函数的解析式； （2）在中，令，可得的值，与比较，即可判断点是否在这个函数的图象上； （3）在中，分别令，，计算对应的的值，由反比例函数的图象和性质，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：在中，当时，， ∴点在这个函数的图象上． （3）解：在中， 当时，， 当时，， 又∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，的取值范围是． 【考点35 反比例函数的应用】 1．（25-26九年级上·山东济宁·期中）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数与上课时间（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10分钟内注意力指数与时间的关系式为．10分钟以后注意力指数是时间的反比例函数． (1)求10分钟以后与的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，反比例函数和一次函数的应用，弄清题意是解题的关键； （1）先将代入，得，进而代入求出反比例函数关系式； （2）分别将代入两个关系式，即可求出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得， 设10分钟以后与的函数关系式为 将，代入，得， ∴反比例函数关系式为． （2）解：由（1）得反比例函数关系式为． 当时，，解得； 当时，，解得． ∴为了保证教学效果，本节课应该在时间段讲解这道题． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，P的值是（    ） A． B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为， 代入点得：，解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，． 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，根据杠杆平衡原理设计的装置，在左边固定的盘中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的盘中放置一定质量的砝码，使仪器水平平衡，改变盘与点之间的距离，记录相应的盘中的砝码质量，得到如下表格， 盘与点的距离 10 15 20 25 30 盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 当砝码的质量为时，则盘与点之间的距离为 ． 【答案】12.5 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式， 根据题意可知，即，再将代入求出答案即可． 【详解】解：根据表格中的数值可知， 则， 即． 当时，． 所以B盘与O点之间的距离是12.5cm． 故答案为：12.5． 4．（24-25九年级上·山东威海·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y与上课时间t（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，第3分钟时注意力指数为45，前10分钟内注意力指数y是时间t的一次函数．10分钟以后注意力指数y是时间t的反比例函数． (1)求y与t的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，求反比例函数关系式，求反比例函数自变量的值，弄清题意是解题的关键； 对于（1），先将两点的坐标代入直线关系式，求出第一段关系式，再令求出y，进而求出反比例函数关系式； 对于（2），分别将代入两个关系式，即可求出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：设一次函数的关系式为，反比函数关系式为， 将代入，得 ， 解得， ∴一次函数的关系式为； 当时，，将数值代入，得 ， ∴反比例函数关系式为． 所以函数关系式为； （2）解：当时，，解得； 当时，，解得． 所以当时，讲解这道题． 【考点36 平行四边形的性质】 1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】分别可证、为等腰三角形，得到、的长，进而得到，再根据计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， 又、分别是和的角平分线， ∴，． 又， ∴， 是等腰三角形，即． 同理可证是等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 4．已知如图，在中，点E、F分别在上，且，对角线交于点O，作与交于点G，连接． (1)求证：； (2)若的周长是20，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先由平行四边形得到，，然后结合已知条件，利用证明即可； （2）先证明垂直平分，则，然后由平行四边形的性质得到，再结合等量代换求解的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ； （2）解：∵在中，对角线交于点O， ，即点O是的中点， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 的周长是20，由（1）知， ， 的周长为， 即的周长是10． 【考点37 平行四边形的判定】 1．（25-26八年级下·北京·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、两组对角都不相等，不能判定是平行四边形，故A不符合题意； B、一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形，故B不符合题意； C、根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形，故C符合题意； D、根据，判定一组对边平行，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形，故D不符合题意． 2．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是______． 【答案】 【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由题目的已知条件可知添加，即可证明，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形． 【详解】解：条件是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 4．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 5．如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接，交于点，证明两条对角线互相平分即可． 【详解】解：连接，交于点， ， ， ， ， ， 故四边形是平行四边形． 6．如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）过点C作，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形. 【详解】（1）解：如图， 线段就是所求作的图形． （2）解：如图， 就是所求作的图形 【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【考点38 平行四边形的判定与性质】 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形判定和性质，勾股定理，关键是判定四边形是平行四边形，推出，由勾股定理得到． 过A作于H，由等腰三角形的性质推出，判定四边形AEDC是平行四边形，推出，由勾股定理得到定值． 【详解】解：过A作于H， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 设，， ，， 定值， 故选：B 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 3．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，再证，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点39 菱形的性质】 1．在菱形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，运用知识准确计算是解决问题的关键． 利用菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：在菱形中，， . 故选：A. 2．菱形的对角线，的长分别为和，则这个菱形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，解题的关键是利用菱形的性质；先根据菱形的性质得到直角，再根据勾股定理即可得到答案； 【详解】解：如图： 菱形的对角线，的长分别为和， ，，且， ． 故选：C． 3．如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，先根据点A和点B的坐标得到，再由菱形的性质得到，据此利用菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵，两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是菱形，且点C，D在坐标轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键．根据菱形的性质可得，，结合已知的 ，利用“ AAS”可证得，最后根据全等三角形的对应边相等即可． 【详解】证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ． 【考点40 菱形的判定】 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键；因此此题可根据菱形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：A、是的性质，不能作为菱形的判定条件，故不符合题意； B、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； C、当时，则是菱形，故符合题意； D、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； 故选C． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到，两部分，将展开后得到的平面图形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定和图形的展开与折叠，根据图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下及左、右四条边都相等，再由菱形的判定方法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下及左、右四条边都相等， ∴展开后得到的平面图形是菱形， 故答案为：菱形． 3．如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，根据甲、乙的方法分别画出图形，再证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：根据甲的作法作出图形，如下图所示．    四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 故甲的作法正确． 根据乙的作法作出图形，如下图所示．      ， ，． 平分，平分 ，， ，， ， ， ，且， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． 故乙的作法正确． 故选：C． 4．如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． (1)求证： (2)试判断四边形的形状，并说明理由 【答案】(1)见详解 (2)四边形是菱形，理由见详解 【分析】（1）由旋转的性质可知，，则有，，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵是由在平面内绕点B旋转而得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【考点41 菱形的判定与性质】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质，由作图可知：，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：． 【详解】解：由作图可知：， 四边形是菱形， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 则四边形的周长为． 故选：B ． 3．（2024·山东济宁·一模）如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是 ． 【答案】120 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理．证明，推出，判断出是菱形，利用勾股定理求得，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积是， 故答案为：120． 4．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分． （1）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论． （2）根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 【考点42 矩形的性质】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形中，对角线相交于点O， ，， ， ， ， 故选：D． 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，垂直且平分线段，垂足为点E，，则的长为（    ） A．7．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键；根据矩形的性质可得，根据垂直平分线的性质即可得解． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 垂直且平分线段， ， 故选：． 3．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理和直角三角形的性质算出对应的底和高．根据阴影部分的面积求解即可 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点M作， ∴， 则图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定等知识．先证明四边形是平行四边形．再证明，即可得到结论． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形． 四边形是矩形， ，，， ， 平行四边形是菱形． 【考点43 矩形的判定】 1．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是 ．（写出所有的可能，填写序号即可） 【答案】②③ 【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定方法是解题关键； 分别将①②③④作为补充条件判断即可． 【详解】解：补充①； ∵平行四边形， ∴平行四边形是菱形，不成立； 补充②； ∵平行四边形， ∴平行四边形是矩形，成立； 补充③； ∵平行四边形， ∴平行四边形是矩形，成立； 补充④； ∵平行四边形， ∴平行四边形是菱形，不成立； 故答案为：②③． 3．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， A、∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、∵时，又， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴平行四边形是菱形，无法判定其为矩形，故选项D符合题意． 故选：D． 4．（24-25九年级上·广东·期末）已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线，两线相交于点P，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，熟练掌握菱形的性质定理，矩形的判定定理是解题的关键．根据，，即可证出四边形是平行四边形，由菱形的性质得出，即可得出结论． 【详解】证明：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【考点44 矩形的判定与性质】 1．如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（    ） A．4 B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，ADBC，再证四边形ABFQ是矩形，得AB=FQ=DC=4，求出EQ=FQ=4，即可得出答案． 【详解】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQA=∠FQD=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，ADBC， ∴四边形ABFQ、四边形CDQF都是矩形， ∴AB=FQ=DC=4，QD=CF， 由题意得：AE=CF， ∴AE=QD， ∵ADBC， ∴∠QEF=∠BFE=45°， ∴△QEF是等腰直角三角形， ∴EQ=FQ=4， ∴AE=QD=×（10-4）=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查平移的性质及矩形的判定，理解题意，熟练掌握平移的性质是解题关键． 连接，根据 题意得出，，确定四边形是矩形，再由平移的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵平移， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由是菱形的性质得，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求出，，由勾股定理得出的长，再根据矩形面积公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【考点45 正方形的性质】 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）下列的性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，比较正方形和矩形的性质，找出正方形具备而矩形不一定具备的特征即可． 【详解】解：正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直；而正方形的对角线不仅相等、互相平分，还互相垂直， 因此“对角线互相垂直”是正方形具备而矩形不一定具备的性质． 故选：D． 2．如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形内角和定理，由正方形的性质并结合题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查全等图形，勾股定理，关键是由全等三角形的性质推出，由勾股定理求出的长． 由正方形的面积公式求出，由全等三角形的性质推出，求出，由勾股定理得到． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，勾股定理．由折叠的性质以及正方形的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 【考点46 正方形的判定】 1．如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.已知，，，点为轴上一动点，以为一边在右侧作正方形. （1）若点与点重合，请直接写出点的坐标. （2）若点在的延长线上，且，求点的坐标. （3）若，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）；（3），. 【分析】（1）与点重合则点E为（6，3） （2）作轴，证明：即则点E为（8，3） （3）分情况解答，在点右侧，过点作轴，证明：；在点左侧，点作轴，证明： 【详解】解：（1） 与点重合则点E再x轴的位置为2+4=6 . （2）过点作轴， ∵∠BAD=∠EMD=∠BDE=90°， ∴∠BDA+∠ABD=∠BDA+∠MDE, ∴∠ABD=∠MDE， ∵BD=DE， ，点在线段的中垂线上，. ,. . （3）①点在点右侧，如图， 过点作轴，同（2） 设，可得：， 求得：，（舍去） ②点在点左侧，如图， 过点作轴，同上得 设，可得：， ， 求得：，（舍去） 综上所述：， 【点睛】本题考查正方形的性质，解题关键在于分情况作出垂直线. 2．如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是 （只需添加一个）． 【答案】 【分析】由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出四边形是菱形，再由，即可判定四边形是正方形． 【详解】添加条件：，理由如下： 四边形是平行四边形， 四边形是菱形 四边形是正方形 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用①②进行判定． 【考点47 正方形的判定与性质】 1．如图所示，四边形ABCD，已知AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝BC＝2，CD．计算这个四边形的面积． 【答案】5 【分析】过点作，证明四边形是正方形，进而勾股定理求得，根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】如图，过点作， AB⊥BC，AB⊥AD， 四边形是矩形， AB＝BC， 四边形是正方形， ， CD， 在中， ， ， 四边形． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，添加辅助线是解题的关键． 2．如图，正方形的对角线，交于点，过点作，过点作，与交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据，，得到四边形是平行四边形，再根据正方形的性质得到，，最后得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 3．如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． (1)试判定四边形的形状，并说明理由； (2)已知，求的长． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)23 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，图形的旋转， （1）根据旋转的性质可得，即可求解； （2）根据正方形的性质可得，，再由旋转的性质可得：，设，则，，在中，根据勾股定理，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕A点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：在正方形中，， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 4．如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且， (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）结合题意易证，得到，，由易证即，从而证明结论； （2）由（1）和题意求得，利用勾股定理求得正方形边长，从而求得正方形周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴正方形EFMN的周长为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质、正方形的证明、勾股定理的应用；解题的关键是证明三角形全等，并用全等的性质求解． 【考点48 算术平均数】 1．为考查甲、乙两个品种西瓜的甜度，每个品种随机选取4个西瓜进行检测，得到甲品种西瓜甜度数据：34，26，31，25；乙品种西瓜甜度数据：33，32，30，22．则甜度平均数较小的一个品种是 ． 【答案】甲 【分析】本题考查平均数，根据平均数的计算公式，求出两种西瓜甜度的平均数，进行判断即可． 【详解】解：甲品种西瓜甜度数据的平均数为：； 乙品种西瓜甜度数据的平均数为：； 因为， 故甜度平均数较小的一个品种是甲； 故答案为：甲． 2．如果数据3、2、x、、1的平均数是2，那么x的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了算术平均数．解题的关键在于熟练掌握算术平均数的求解公式． 由题意知，计算求解即可． 【详解】解：由题意知, 解得 故答案为：7． 3．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）若一组数据的平均数是5，则数据的平均数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了利用已知的平均数求相关数据的平均数，正确掌握求平均数的公式是解题的关键．根据平均数的公式：，结合已知计算出即可． 【详解】解：∵，，，的平均数是5， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据众数和中位数的定义，确定数据中的各个数值，再计算平均数，即可求解． 【详解】解：∵一组正整数，5，，，8有唯一众数1， ∴1出现次数至少两次， ∵中位数是3， ∴排序后第三个数为3， ∴将数据从小到大排列为1，1，3，5，8， ∴总和为，平均数为， 故选：B． 【考点49 加权平均数】 1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）小明参加篮球技能大赛的两项得分情况如下表所示： 项目 控球技能 投球技能 得分 90 80 若综合成绩按控球技能占，投球技能占来计分，则小明的综合成绩为（    ） A．70分 B．86分 C．85分 D．84分 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法列式计算即可得． 【详解】解：由题意可得：小明的综合成绩为（分）， 故选：B． 2．一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【答案】C 【分析】设物理要考x分，根据加权平均数的计算公式得到方程，解方程即可． 【详解】设物理要考x分，由题意得： 解得：x=90 即物理最少要考90分，才能使综合得分最少达到84分 故选：C． 【点睛】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出方程解决，因此掌握加权平均数的计算公式是关键． 3．（24-25九年级上·云南保山·期中）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示： 应聘者 学历 经验 工作态度 甲 乙 丙 如果将学历、经验和工作态度三项得分按的比例确定三人的最终得分，并以此为依据录用得分最高者，那么被录用的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙的最终得分，即可得出答案． 【详解】解：甲的最终得分为： 乙的最终得分为： 丙的最终得分为： ∴乙的最终得分高，乙将被录用． 故选：B 4．某班40名学生的某次数学测验成绩统计表如下： 成绩（分） 50 60 70 80 90 100 人数（人） 2 x 10 y 4 2 若这个班的数学平均成绩是69分，则 . 【答案】18 【分析】本题考查了加权平均数，解二元一次方程组；由加权平均数及学生人数得到关于x与y的两个二元一次方程，联立解方程组即可． 根据题意可得两个方程①；②，解方程组可得x、y的值． 【详解】解：依题意得：， 即①， ， 即②， 将 得：． 故答案为：18． 【考点50 众数】 1．为了发扬中华传统文化，某校随机调查了50名学生一周进行中国古典文学阅读的时间（如下表），这些学生一周进行中国古典文学阅读时间的众数是 小时． 人数（人） 9 14 17 10 时间（小时） 7 8 9 10 【答案】9 【分析】本题考查众数，掌握众数的计算方法是解决问题的关键． 根据众数的意义求解即可． 【详解】解：这50名学生的文学阅读时间出现次数最多的是9小时，共出现17次， ∴众数是9小时， 故答案为：9． 2．某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数为（   ） A．9 B．10 C．8 D．8.4 【答案】A 【分析】本题考查众数的定义，理解他们的含义是本题关键．根据众数是出现次数最多的数求解即可． 【详解】解：小明同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10， 出现次数最多的数是9，所以众数为9， 故选：A． 3．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知一组数据：3，3，4，5，，6有唯一的众数，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了众数的定义，根据众数的定义，逐项进行验证即可确定使数据中出现次数最多的数唯一存在的x值． 【详解】解：原数据为3，3，4，5，x，6．已知3出现2次，4、5、6各出现1次． 选项A，当时，数据变为3，3，3，4，5，6．此时3出现3次，其他数各1次，3是唯一众数，符合条件． 选项B，当时，数据变为3，3，4，4，5，6．此时3和4均出现2次，出现两个众数，不符合条件． 选项C，当时，数据变为3，3，4，5，5，6．此时3和5均出现2次，出现两个众数，不符合条件． 选项D，当时，数据变为3，3，4，5，6，6．此时3和6均出现2次，出现两个众数，不符合条件． 综上，只有时满足唯一众数的条件， 故选A． 4．江津万达某品牌店，新进一批新款男士运动鞋，试销一周的情况如下： 码号（码） 38 39 40 41 42 43 件数（双） 2 4 7 18 5 1 你认为该店确定进货量时，应多进多少码的鞋子（   ） A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】C 【分析】本题主要考查统计中的众数概念．掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据成为解题的关键． 根据进货量应多进众数对应的码号，据此即可解答． 【详解】解：∵ 41码的销售件数为18双，高于其他码号的件数（38码2双、39码4双、40码7双、42码5双、43码1双）， ∴ 41码是众数，应多进41码的鞋子． 故选C． 【考点51 方差】 1．已知一组数据是：6，7，8，9，10，则这组数据的方差是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键． 根据方差的计算公式进行求解即可得． 【详解】解：∵一组数据是：6，7，8，9，10， ， 则这组数据的方差， 故答案为：2． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击次，甲的成绩单位：环为：，，，，，，乙的成绩单位：环为：，，，，，，这两名射击运动员的平均成绩均为环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是 填写“甲”或“乙”． 【答案】甲 【分析】该题考查了方差，通过计算方差比较稳定性，方差较小的运动员发挥更稳定． 【详解】解：甲的方差：， 乙的方差：， 由于 ，即 ，因此甲运动员发挥更稳定． 故答案为：甲． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）一组数据的方差计算如下：，则这组数据的方差 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平均数和方差，解题的关键是掌握方差及平均数的计算公式．根据题意先得到这组数据，再计算平均数，再根据方差的定义可得答案． 【详解】解：由， 得这组数据为：， 则， 则 ， 故答案为：. 4．（24-25八年级下·四川资阳·期末）某校为了参加市科技创新大赛，经过多次测试，甲、乙、丙、丁四位同学脱颖而出，其成绩的平均分和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均分 90 95 90 95 方差 1.2 1.2 1.6 1.6 若要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，则应选的同学是 ． 【答案】乙/乙同学 【分析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛． 【详解】解：∵乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大， ∴应从乙和丁同学中选， ∵乙同学的方差比丁同学的小， ∴乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学； 故答案为：乙． 【考点52 中位数】 1．已知一组数据：，，，，，则这组数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中位数定义，解题的关键是将 原始数据排序找到最中间的数，将数据排列找到最中间的一个数即可得到答案． 【详解】解：将数据，，，，从小到大排列为，，，，， 则最中间的一个数是3， ∴这组数据的中位数是． 故选：D． 2．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）一组数据1、2、3、4、x、7、8、9的中位数是5，则x是（    ） A．5 B．6 C．5.5 D．6.5 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵一组数据1、2、3、4、x、7、8、9的中位数是5， ∴当时，则位于中间位置的两个数为， 此时， ∴当时，则位于中间位置的两个数为， 此时， 解得， ∴当时，则位于中间位置的两个数为， 此时， 综上可得： 故选：B． 3．有十八位同学参加智力竞赛，且他们的分数互不相同，按分数高低选九位同学进入下一轮比赛．小华知道了自己的分数后，还需要知道哪个统计量，就能判断自己能否进入下一轮比赛．（   ） A．中位数 B．众数 C．方差 D．平均数 【答案】A 【分析】本题考查中位数的应用，根据总人数18及进入下一轮的人数9，可知需要知道的统计量为中位数． 【详解】解：将18位同学的分数从高到低排序，第9位和第10位的平均数是中位数， 他们的分数互不相同， 9位同学的分数比中位数高，9位同学的分数比中位数低， 按分数高低选九位同学进入下一轮比赛， 小华知道自己的分数和中位数后，才能判断自己能否进入下一轮比赛． 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义得到数据5，8，20，21，30中插入一个数x，共有6个数，最中间的数只能为x和20，然后根据计算它们的中位数为19，求出x． 【详解】解：∵5，8，20，21，30中插入一个数x， ∴数据共有6个数，20为中间的一个数， ∵该组数据的中位数是19， ∴， 解得． 故答案为：18． 【考点53 四分位数与箱线图】 1．（25-26八年级上·全国·期末）某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，，，则这组数据的上四分位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查四分位数，将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数． 【详解】解：将样本数据由小到大排列依次为：、、、1、2、3、3、5， ∵，第6个数是3，第7个数是3， ∴这组数据的上四分位数为． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明全班32人参加学校的英文听力测验，如图是全校与全班成绩的箱线图．若小明的成绩恰为全校的上四分位数，则下列关于小明在班上排名的叙述，正确的是（    ） A．在第2~7名之间 B．在第8~15名之间 C．在第16~21名之间 D．在第21~25名之间 【答案】A 【分析】本题主要考查箱线图，小明的成绩恰为全校的上四分位数大约为，再结合全班箱线图的大致位置判断即可． 【详解】解：根据全校成绩的箱线图得到：小明的成绩恰为全校的上四分位数大约为分， 对应全班成绩的箱线图发现在上四分线之上，第一名之下， 全班32人参加学校的英文听力测验，上四分线在从小到大排名的第名之上， ∴小明在班上排名至少超过24人，但不是第一名，即排名在第2~7名之间， 故选：A． 3．四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：．这一数据中第一四分位数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第一四分位数的定义，将8个数据按从小到大的顺序排列后，第2个与第3个数的平均数即为所求． 【详解】解：这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为： ， 则这组数据中第一四分位数是第2个与第3个数的平均数，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数，理解第一四分位数的定义是解题的关键． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 【答案】(1)第一组：；；第二组：，；第三组：， (2)因为，所以应当按照第一组排列，使平均数最大；因为 所以应当按照第三组排列，使方差最小 (3)见解析 【分析】本题考查条形统计图和箱线图、方差、中位数和平均数，会绘制箱线图是解答的关键． （1）根据平均数和方差公式求解即可； （2）根据（1）中求解数据，结合条形统计图可得结论； （3）先分别求得三组的中位数，下四分位数，上四分位数，以及最大值和最小值，然后分别画出箱线图，再根据箱线图的特点分析可得答案． 【详解】（1）解：第一组平均数（分）， 方差； 第二组：（分）， 方差； 第三组：（分）， 方差； （2）解：因为，所以第一组得高分的人数较多，应当按照第一组排列，使平均数最大； 因为所以第三组离平均分近的人数较多，应当按照第三组排列，使方差最小； （3）解：第一组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第二组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第三组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 三个小组得分的箱线图如图所示： 由图知，第一组的“箱体”靠近最大值，说明第一组的中高分较多，中位数和平均数较大； 第二组的“箱体”靠近最小值，说明第二组的中低分较多，得分的中位数和平均数较小； 第三组的“箱体”处于中间偏上位置，且得分集中在2分到3分之间，说明第三组的中档分较多，平均分略微高于中位数，方差小，得分较稳定． 【考点54 离差平方和】 1．（25-26八年级下·浙江·期中）某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（   ） A．70 B．75 C．150 D．350 【答案】D 【分析】先求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方的和即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为：， 则这组数据的离差平方和为： ． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和离差平方和，解题的关键是掌握以上两个公式． 先分别计算原6名队员与现5名队员身高的平均数，再计算两者的离差平方和，通过比较结果得出结论，用到平均数和离差平方和的定义和公式． 【详解】解：∵原6名队员身高总和为， ∴原平均数为； ∵去掉的队员后，5名队员身高总和为， ∴现平均数为； ∴平均数不变； ∵原离差平方和为 ； 现离差平方和为 ； ∴离差平方和不变； 综上，平均数不变，离差平方和不变， 故选：B． 3．（25-26八年级上·河北保定·期末）在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（   ） A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 【答案】D 【分析】本题考查统计量的计算，统计图表的读取，数据稳定性分析，准确提取数据是解题关键． 先从折线图中提取男、女生的投篮命中次数，再分别计算平均数、方差和中位数，然后对选项依次进行判断． 【详解】解：选项：男生投篮的平均数为，女生投篮的平均数为，则男生和女生的投篮水平一样，错误； 选项：男生投篮的离差平方和为，女生投篮的离差平方和为，则男生和女生投篮的离差平方和不一样，错误； 选项：男生的投篮数据为，，，，，中位数为，女生的投篮数据为，，，，，中位数为，男生和女生的中位数均为，错误； 选项：男生投篮的方差为，女生投篮的方差为，则男生和女生投篮成绩平均数相等，男生投篮的方差比女生高，故女生投篮更稳定，正确． 故选：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）两组数据，，与，，，的平均数都是，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的离差平方和是________． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是平均数的定义和离差平方和的计算．要先根据平均数的定义求出和的值，再根据离差平方和的定义计算合并后新数据的离差平方和． 【详解】解：∵两组数据，，与，，，的平均数都是， ∴， 解得， 故这两组数据合并成一组数据：， 计算每个数据与平均数8的离差平方： ， ， ， ， ， ， ， 离差平方和：， 故答案为：． 【考点55 数据的分组】 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【答案】A 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【详解】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 【答案】{7，9}，{12，13，15} 【分析】根据组内离差平方和越小，组内数据相差越小，得到第2个间隔组内离差平方和最小，据此解答即可． 【详解】解：将5名同学的引体向上个数从小到大排列为：7，9，12，13，15， 观察表格，4种分法中最小的组内离差平方和为， 因此，正确的分组是：{7，9}，{12，13，15}． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）某校组织七、八年级学生开展劳动技能知识比赛．为了解活动效果，从两个年级随机抽取部分学生成绩，进行如图统计分析： 收集数据 七年级共400人，八年级共500人，每个年级分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数） 整理数据 将抽取的学生比赛成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用x表示成绩）A组：，B组：，C组：，D组：．其中七年级20名学生的比赛成绩众数出现在B组，B的数据为：72，73，74，74，74，74，74，76，78；八年级20名学生的比赛成绩中C组的数据为：87，88，88，88，89，89，89，89 描述数据 根据统计数据，绘制成如图统计图： 分析数据： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 八年级 (1)_________，_________，_________． (2)你认为哪个年级劳动技能比赛的总体成绩较好，说明理由． (3)①该校授予劳动技能比赛成绩不低于分的学生“劳动小能手”称号估计七、八年级共_________名学生获此称号． ②七（1）班“乐学”小组五位组员在本次比赛中均未达到80分，成绩分别为：65，69，70，74，78．他们决定分成两人组或三人组合作学习，如表． 分法 分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组人，第二组人 第二种 第一组人，第二组人 22 为了达到“组内离差平方和最小”，请你计算并做出选择．_________，选第_________种分法． 【答案】(1)；； (2)八年级成绩总体较好，理由见解析 (3)①；②；二 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可； （2）分别从四个维度进行评价即可； （3）①根据样本中C、D两组的占比，分别估算出两个年级总体获奖人数，再相加即可； ②离差平方和是指每个数据与平均数之差的平方之和，根据定义计算出，与作比较后，得出结论． 【详解】（1）解：∵七年级学生的比赛成绩的众数出现在B组， 又∵B组成绩中分出现5次，出现的次数最多， ∴七年级学生的比赛成绩的众数为分， ∴， 七年级的成绩中，B组占比为， ∴C组占比为， ∴， 由条形统计图和八年级C组的数据可知，八年级学生的比赛成绩的第11名与第10名的成绩对应C组的分与分， ∴． （2）解：八年级的比赛成绩总体较好，理由如下； 虽然在平均分上八年级的比赛成绩略低于七年级，但八年级的中位数大幅高于七年级，说明八年级有一半成绩在分以上，而七年级低分段的学生较多．八年级的众数也远高于七年级，反映八年级大多数学生成绩集中在较高水平．另外八年级的方差更小，成绩更稳定，综合来看，八年级的成绩总体好于七年级（言之有理即可）． （3）解：①由统计的数据可知， 七年级获得“劳动小能手”称号的人约有（人）， 八年级获得“劳动小能手”称号的人约有（人）， （人）， ∴七、八年级约有名学生获得“劳动小能手”称号； ②，， ∴， ∵， ∴应该选第二种分法． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末复习易错题55个考点 【新教材华东师大版】 【考点1 分式的定义】 2 【考点2 分式有意义的条件】 2 【考点3 分式的值为零的条件】 3 【考点4 分式的值】 3 【考点5 分式的基本性质】 3 【考点6 约分与通分】 4 【考点7 最简分式】 5 【考点8 最简公分母】 5 【考点9 分式的乘除法】 5 【考点10 分式的加减法】 6 【考点11 分式的混合运算】 6 【考点12 分式的化简求值】 7 【考点13 科学记数法—表示较小的数】 8 【考点14 负整数指数幂】 8 【考点15 分式方程的定义】 8 【考点16 分式方程的解】 9 【考点17 解分式方程】 9 【考点18 由实际问题抽象出分式方程】 10 【考点19 分式方程的应用】 11 【考点20 平面直角坐标系中点的坐标特征】 12 【考点21 坐标与图形性质】 12 【考点22 函数的相关概念】 13 【考点23 一次函数的定义】 14 【考点24 一次函数的图象】 14 【考点25 一次函数的性质】 15 【考点26 一次函数图象上点的坐标特征】 16 【考点27 待定系数法求一次函数解析式】 16 【考点28 一次函数与方程（组）、不等式（组）】 17 【考点29 根据实际问题列一次函数关系式】 18 【考点30 一次函数的应用】 19 【考点31 反比例函数的定义】 20 【考点32 反比例函数的图象与性质】 21 【考点33 反比例函数中的几何意义与面积间的关系】 22 【考点34 待定系数法求反比例函数的解析式】 23 【考点35 反比例函数的应用】 24 【考点36 平行四边形的性质】 25 【考点37 平行四边形的判定】 26 【考点38 平行四边形的判定与性质】 27 【考点39 菱形的性质】 28 【考点40 菱形的判定】 29 【考点41 菱形的判定与性质】 30 【考点42 矩形的性质】 31 【考点43 矩形的判定】 32 【考点44 矩形的判定与性质】 33 【考点45 正方形的性质】 34 【考点46 正方形的判定】 35 【考点47 正方形的判定与性质】 35 【考点48 算术平均数】 36 【考点49 加权平均数】 37 【考点50 众数】 37 【考点51 方差】 38 【考点52 中位数】 39 【考点53 四分位数与箱线图】 39 【考点54 离差平方和】 40 【考点55 数据的分组】 41 【考点1 分式的定义】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在，，，，，中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）把 的盐溶在 的水中，那么在 这种盐水中的含盐量为 ． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，，，，…，根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）观察式子：根据你发现的规律知，第8个式子为 ． 【考点2 分式有意义的条件】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式有意义，则的值应满足 ． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．或 4．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围为 ． 【考点3 分式的值为零的条件】 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）当 时，分式的值为零． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若分式的值是零，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 【考点4 分式的值】 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则 ． 2．若分式的值是负数，则的取值范围是（    ）. A． B．或 C．且 D．或 3．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【考点5 分式的基本性质】 1．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 3．（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 4．阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 【考点6 约分与通分】 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列四个分式的化简运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）当时，的值是 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【考点7 最简分式】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 3．在分式中，最简分式有 个． 4．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 【考点8 最简公分母】 1．分式，的最简公分母是 ． 2．分式与的最简公分母是 ． 3．下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 4．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【考点9 分式的乘除法】 1．（24-25七年级上·上海松江·月考）计算： ． 2．计算： ． 3．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点10 分式的加减法】 1．化简结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）化简的结果是 ． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则 ． 【考点11 分式的混合运算】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算∶ 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简： ． 【考点12 分式的化简求值】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ……………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________； (2)请写出该分式化简的正确过程，并选择一个你喜欢的整数代入求值． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 3．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【考点13 科学记数法—表示较小的数】 1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）用科学记数法表示： ． 2．很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（   ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 3．（25-26八年级上·上海静安·期中）已知质量为的铁的体积是．现有一个体积为的铁钉，那么它的质量是 千克（结果用科学记数法表示）． 4．（2025·河南驻马店·一模）在国际单位制中，长度的基本单位是米（m），1m最早是由地球球面上经过巴黎经线南北两极点距离的两千万分之一定出的．“”用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【考点14 负整数指数幂】 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）计算： 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）计算： 【考点15 分式方程的定义】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 4．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点16 分式方程的解】 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如果关于x的分式方程无解；则a的值为 ． 4．已知关于x的方程：＝﹣3． (1)当方程的解为正整数时，求整数m的值； (2)当方程的解为正数时，求m的取值范围． 【考点17 解分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）解方程 (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为3，则的值为 ． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 4．（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 【考点18 由实际问题抽象出分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰．两个小组的攀登速度各是多少？设第二组的速度为，第一组的速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ． 4．解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 【考点19 分式方程的应用】 1．（2025九年级·安徽·专题练习）年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 4．（25-26九年级上·重庆江北·期中）某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【考点20 平面直角坐标系中点的坐标特征】 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为 ． 2．（24-25七年级下·海南·期末）已知点在轴上，则 ． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 4．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉祥点”；②第三象限内不存在“吉祥点”；③已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8；④已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，且它的纵坐标是，三角形的面积记为，则．其中正确的是有 ． 【考点21 坐标与图形性质】 1．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）平面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 3．（24-25七年级下·全国·期末）若点，点，点P在y轴上，且三角形的面积为4，则点P的坐标为 ． 4．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动 (1)求点的坐标． (2)当点移动4秒时，请求出点的坐标． (3)当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间． 【考点22 函数的相关概念】 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北沧州·期末）甲以每小时10的速度行驶时，他所走过的路程与时间之间可用公式来表示，则下列说法正确的是（   ） A．数10和s，t都是变量 B．s是常量，数10和t是变量 C．数10是常量，s和t是变量 D．t是常量，数10和s是变量 3．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）圆圆出门散步，从家出发走了到达离家的广场，看到广场有杂技表演，就停下来看了一会儿，在度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）中牟西瓜是河南中牟的水果类特产，享有“籽如宝石瓤如蜜，中牟西瓜甜到皮”的美誉．研究发现，某品种西瓜的甜度与每日的光照时长有如下关系： 每日光照（h） 4 5 6 7 8 9 10 11 12 西瓜甜度（） 则以下说法错误的是（    ） A．在这一变化过程中，每日光照时长是自变量，西瓜的甜度是因变量 B．随着光照时长的增加，西瓜的甜度越来越高 C．为了保证西瓜更甜，最适合的光照时长约为小时 D．估计当光照时长大于时，西瓜甜度小于 【考点23 一次函数的定义】 1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南南阳·期末）写出一个图象经过点的正比例函数解析式 ． 3．表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 4．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知函数是关于x的一次函数，则 ． 【考点24 一次函数的图象】 1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图像不经过第三象限 B．点在直线上 C．图像与直线平行 D．若点，在该函数图像上，则 3．已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 4．已知一次函数的图象不经过第一象限，当时，的最大值与最小值的差为5，则的值为 ． 【考点25 一次函数的性质】 1．（24-25八年级下·河北承德·期末）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点和点都在上，则a和b大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（24-25八年级下·上海静安·期末）如果是函数图象上不同的两点，那么的计算结果 ．（填“”、“”、“”或“不能确定”） 4．关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②随x的增大而增大； ③函数的图象与函数的图象的交点一定在第一象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则 上述结论正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．③④ D．①② 【考点26 一次函数图象上点的坐标特征】 1．若、、三点在一条直线上，则 ． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）已知正比例函数（k是常数，）的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．若点关于y轴的对称点在一次函数的图象上，则k的值为（） A． B． C．2 D． 4．将若干个正方形按如图所示方式放置，每个正方形有一个顶点在直线上，两个顶点在x轴上，则点的纵坐标是 ． 【考点27 待定系数法求一次函数解析式】 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点，，则将该图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为 ． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中过每两个点的一次函数图象，并得到对应的函数表达式为：，，．分别计算，，的值，其中最大的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)该函数经过一点，求出的值． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到，且过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)已知，是一次函数图象上的两点，且．比较与的大小，并说明理由． 【考点28 一次函数与方程（组）、不等式（组）】 1．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知直线过点和点，则关于x的方程的解为 ． 2．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线经过点，，直线与该直线交于点． (1)求两直线交点的坐标； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【考点29 根据实际问题列一次函数关系式】 1．节假日期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠”，在此活动中，小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品件（），应付款（元），则下列方程中正确的是（） A． B． C． D． 2．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3．如图，李爷爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【考点30 一次函数的应用】 1．“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A县的蔬菜200吨和B县的蔬菜300吨运往武汉的C区和D区．现确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨．已知从A、B两县运蔬菜到C、D两区的运费（元/吨）如下表所示，设A县运往C区的蔬菜为x吨， A B C 20 15 D 25 24 (1)用含x的代数式填空：A县运往D区的蔬菜吨数为________，B县运往C区的蔬菜吨数为________，B县运往D区的蔬菜吨数为________． (2)用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？ 2．芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示： 型号价格 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 35 B 35 42 该厂计划制造A，B两种型号芯片共40万件，设制造A种型号芯片m万件，制造这批芯片获得的总利润为w万元． (1)求这批芯片获得的总利润w（万元）与制造A种型号芯片m（万件）的函数关系式； (2)若B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，那么该厂制造A种型号芯片多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 3．甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的路程（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的路程（千米）与（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题： (1)直线的解析式为______； (2)轿车到达点开始加速，求轿车加速后的速度； (3)求轿车加速后，轿车追上货车时的值；轿车超出货车20千米时的值． 4．甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时（两车都到乙站停止计时），设时间为，两车之间的距离为，图中的折线是与之间的函数关系的一部分图象． 根据函数图像回答下列问题： (1)求慢车的速度； (2)求两车相遇，到快车到达乙站时，与的函数关系式；并指出取值范围； (3)试在图中补全点以后的图象． 【考点31 反比例函数的定义】 1．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）． 2．（25-26九年级上·重庆·期中）已知函数是反比例函数，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）下列数表中分别给出了变量与之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是（   ） A． 1 2 3 4 5 8 7 6 B． 1 2 3 4 8 5 4 3 C． 1 2 3 4 6 8 9 7 D． 1 2 3 4 1 4．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）已知函数是反比例函数，且图象在第一、第三象限内，则 ． 【考点32 反比例函数的图象与性质】 1．（25-26九年级上·广西北海·期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 2．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为 ． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，，在反比例函数的图象上，、、的大小关系是 ． 【考点33 反比例函数中的几何意义与面积间的关系】 1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，点A 在反比例函数 的图象上，过点 A 作轴于点B．若 C 为x 轴上任意一点，则的面积为 ． 2．（25-26九年级上·广西梧州·期中）如图，是反比例函数图像在第二象限上的一点，且矩形的面积为8，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 3．双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中，的解析式分别为，，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的图象于点，交轴于点，连接，．则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为6，则的值为 ． 【考点34 待定系数法求反比例函数的解析式】 1．（25-26九年级上·山东淄博·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数()的图象如图所示，则的值可能是 (填写其中一个答案即可)． 2．（25-26九年级上·广西梧州·期中）点在反比例函数的图象上，则时，的值为 ． 3．（25-26九年级上·重庆·期中）已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)当时，求的取值范围． 【考点35 反比例函数的应用】 1．（25-26九年级上·山东济宁·期中）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数与上课时间（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10分钟内注意力指数与时间的关系式为．10分钟以后注意力指数是时间的反比例函数． (1)求10分钟以后与的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，P的值是（    ） A． B．20 C．30 D．40 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，根据杠杆平衡原理设计的装置，在左边固定的盘中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的盘中放置一定质量的砝码，使仪器水平平衡，改变盘与点之间的距离，记录相应的盘中的砝码质量，得到如下表格， 盘与点的距离 10 15 20 25 30 盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 当砝码的质量为时，则盘与点之间的距离为 ． 4．（24-25九年级上·山东威海·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y与上课时间t（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，第3分钟时注意力指数为45，前10分钟内注意力指数y是时间t的一次函数．10分钟以后注意力指数y是时间t的反比例函数． (1)求y与t的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 【考点36 平行四边形的性质】 1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 3．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 4．已知如图，在中，点E、F分别在上，且，对角线交于点O，作与交于点G，连接． (1)求证：； (2)若的周长是20，求的周长． 【考点37 平行四边形的判定】 1．（25-26八年级下·北京·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是______． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 4．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 5．如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 6．如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 【考点38 平行四边形的判定与性质】 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 3．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 【考点39 菱形的性质】 1．在菱形中，，则（   ） A． B． C． D． 2．菱形的对角线，的长分别为和，则这个菱形的边长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的面积等于 ． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：．    【考点40 菱形的判定】 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到，两部分，将展开后得到的平面图形是 ． 3．如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 4．如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． (1)求证： (2)试判断四边形的形状，并说明理由 【考点41 菱形的判定与性质】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济宁·一模）如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是 ． 4．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【考点42 矩形的性质】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，垂直且平分线段，垂足为点E，，则的长为（    ） A．7．5 B．8 C．9 D．10 3．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．求证：四边形是菱形． 【考点43 矩形的判定】 1．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是 ．（写出所有的可能，填写序号即可） 3．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东·期末）已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线，两线相交于点P，求证：四边形是矩形． 【考点44 矩形的判定与性质】 1．如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（    ） A．4 B．3 C．5 D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【考点45 正方形的性质】 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）下列的性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 4．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【考点46 正方形的判定】 1．如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.已知，，，点为轴上一动点，以为一边在右侧作正方形. （1）若点与点重合，请直接写出点的坐标. （2）若点在的延长线上，且，求点的坐标. （3）若，求点的坐标. 2．如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是 （只需添加一个）． 【考点47 正方形的判定与性质】 1．如图所示，四边形ABCD，已知AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝BC＝2，CD．计算这个四边形的面积． 2．如图，正方形的对角线，交于点，过点作，过点作，与交于点．求证：． 3．如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． (1)试判定四边形的形状，并说明理由； (2)已知，求的长． 4．如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且， (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的周长． 【考点48 算术平均数】 1．为考查甲、乙两个品种西瓜的甜度，每个品种随机选取4个西瓜进行检测，得到甲品种西瓜甜度数据：34，26，31，25；乙品种西瓜甜度数据：33，32，30，22．则甜度平均数较小的一个品种是 ． 2．如果数据3、2、x、、1的平均数是2，那么x的值是 ． 3．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）若一组数据的平均数是5，则数据的平均数是 ． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（   ） A．3 B． C．4 D． 【考点49 加权平均数】 1．（24-25八年级下·云南丽江·期末）小明参加篮球技能大赛的两项得分情况如下表所示： 项目 控球技能 投球技能 得分 90 80 若综合成绩按控球技能占，投球技能占来计分，则小明的综合成绩为（    ） A．70分 B．86分 C．85分 D．84分 2．一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 3．（24-25九年级上·云南保山·期中）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示： 应聘者 学历 经验 工作态度 甲 乙 丙 如果将学历、经验和工作态度三项得分按的比例确定三人的最终得分，并以此为依据录用得分最高者，那么被录用的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 4．某班40名学生的某次数学测验成绩统计表如下： 成绩（分） 50 60 70 80 90 100 人数（人） 2 x 10 y 4 2 若这个班的数学平均成绩是69分，则 . 【考点50 众数】 1．为了发扬中华传统文化，某校随机调查了50名学生一周进行中国古典文学阅读的时间（如下表），这些学生一周进行中国古典文学阅读时间的众数是 小时． 人数（人） 9 14 17 10 时间（小时） 7 8 9 10 2．某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数为（   ） A．9 B．10 C．8 D．8.4 3．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知一组数据：3，3，4，5，，6有唯一的众数，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．江津万达某品牌店，新进一批新款男士运动鞋，试销一周的情况如下： 码号（码） 38 39 40 41 42 43 件数（双） 2 4 7 18 5 1 你认为该店确定进货量时，应多进多少码的鞋子（   ） A．39 B．40 C．41 D．42 【考点51 方差】 1．已知一组数据是：6，7，8，9，10，则这组数据的方差是 ． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击次，甲的成绩单位：环为：，，，，，，乙的成绩单位：环为：，，，，，，这两名射击运动员的平均成绩均为环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是 填写“甲”或“乙”． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）一组数据的方差计算如下：，则这组数据的方差 ． 4．（24-25八年级下·四川资阳·期末）某校为了参加市科技创新大赛，经过多次测试，甲、乙、丙、丁四位同学脱颖而出，其成绩的平均分和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均分 90 95 90 95 方差 1.2 1.2 1.6 1.6 若要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，则应选的同学是 ． 【考点52 中位数】 1．已知一组数据：，，，，，则这组数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）一组数据1、2、3、4、x、7、8、9的中位数是5，则x是（    ） A．5 B．6 C．5.5 D．6.5 3．有十八位同学参加智力竞赛，且他们的分数互不相同，按分数高低选九位同学进入下一轮比赛．小华知道了自己的分数后，还需要知道哪个统计量，就能判断自己能否进入下一轮比赛．（   ） A．中位数 B．众数 C．方差 D．平均数 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是 ． 【考点53 四分位数与箱线图】 1．（25-26八年级上·全国·期末）某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，，，则这组数据的上四分位数是 ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明全班32人参加学校的英文听力测验，如图是全校与全班成绩的箱线图．若小明的成绩恰为全校的上四分位数，则下列关于小明在班上排名的叙述，正确的是（    ） A．在第2~7名之间 B．在第8~15名之间 C．在第16~21名之间 D．在第21~25名之间 3．四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：．这一数据中第一四分位数是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 【考点54 离差平方和】 1．（25-26八年级下·浙江·期中）某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（   ） A．70 B．75 C．150 D．350 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 3．（25-26八年级上·河北保定·期末）在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（   ） A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）两组数据，，与，，，的平均数都是，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的离差平方和是________． 【考点55 数据的分组】 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）某校组织七、八年级学生开展劳动技能知识比赛．为了解活动效果，从两个年级随机抽取部分学生成绩，进行如图统计分析： 收集数据 七年级共400人，八年级共500人，每个年级分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数） 整理数据 将抽取的学生比赛成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用x表示成绩）A组：，B组：，C组：，D组：．其中七年级20名学生的比赛成绩众数出现在B组，B的数据为：72，73，74，74，74，74，74，76，78；八年级20名学生的比赛成绩中C组的数据为：87，88，88，88，89，89，89，89 描述数据 根据统计数据，绘制成如图统计图： 分析数据： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 八年级 (1)_________，_________，_________． (2)你认为哪个年级劳动技能比赛的总体成绩较好，说明理由． (3)①该校授予劳动技能比赛成绩不低于分的学生“劳动小能手”称号估计七、八年级共_________名学生获此称号． ②七（1）班“乐学”小组五位组员在本次比赛中均未达到80分，成绩分别为：65，69，70，74，78．他们决定分成两人组或三人组合作学习，如表． 分法 分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组人，第二组人 第二种 第一组人，第二组人 22 为了达到“组内离差平方和最小”，请你计算并做出选择．_________，选第_________种分法． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $