专题02 期末复习易错题62个考点（举一反三期末专项训练）八年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 聚焦期末易错题，以62个考点构建几何与代数知识网络，通过典型题例强化易错点突破，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何|32考点（三角形/变换/平行四边形）|选择/填空/证明，含动态与实际应用|从三角形基本性质到特殊图形判定，逻辑递进；图形变换与中位线结合，体现空间观念| |代数|30考点（不等式/因式分解/分式）|计算/应用/辨析，含参数与实际问题|从概念到运算再到应用，层层深入；分式与方程结合，强化模型意识与运算能力|

专题02 期末复习易错题62个考点 【新教材北师大版】 【考点1 三角形的内角和定理】 2 【考点2 三角形的外角性质】 3 【考点3 等腰三角形的性质—等边对等角】 4 【考点4 等腰三角形的性质—三线合一】 5 【考点5 等腰三角形的判定—等角对等边】 6 【考点6 等腰三角形的判定与性质】 7 【考点7 等边三角形的性质】 9 【考点8 等边三角形的判定】 10 【考点9 等边三角形的判定与性质】 11 【考点10 含30°角的直角三角形的性质】 12 【考点11 反证法】 13 【考点12 直角三角形的性质】 14 【考点13 利用HL证明三角形全等】 15 【考点14 勾股定理】 16 【考点15 勾股定理的证明】 16 【考点16 勾股定理的应用】 18 【考点17 勾股数/树】 19 【考点18 勾股定理逆定理的计算与证明】 20 【考点19 线段垂直平分线的性质及判定】 21 【考点20 尺规作线段垂直平分线】 22 【考点21 角的平分线的性质及判定】 23 【考点22 尺规作角平分线】 24 【考点23 认识不等式】 25 【考点24 不等式的基本性质】 26 【考点25 一元一次不等式（组）的定义】 26 【考点26 一元一次不等式（组）的解法】 27 【考点27 一元一次不等式（组）的整数解】 27 【考点28 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 27 【考点29 一元一次不等式（组）的应用】 28 【考点30 图形的平移】 29 【考点31 图形的旋转】 31 【考点32 中心对称和中心对称图形】 32 【考点33 图案设计】 34 【考点34 因式分解的相关概念】 35 【考点35 公因式】 36 【考点36 因式分解—提公因式法】 36 【考点37 因式分解—运用公式法】 36 【考点38 因式分解—提公因式法与公式法的综合】 37 【考点39 公式法—十字相乘法】 37 【考点40 公式法—分组分解法】 37 【考点41 因式分解的应用】 37 【考点42 分式的定义】 38 【考点43 分式有意义的条件】 38 【考点44 分式的值为零的条件】 39 【考点45 分式的值】 39 【考点46 分式的基本性质】 39 【考点47 约分与通分】 40 【考点48 最简分式】 41 【考点49 最简公分母】 41 【考点50 分式的乘除法】 41 【考点51 分式的加减法】 42 【考点52 分式的混合运算】 42 【考点53 分式的化简求值】 43 【考点54 分式方程的定义】 43 【考点55 分式方程的解】 44 【考点56 解分式方程】 44 【考点57 由实际问题抽象出分式方程】 45 【考点58 分式方程的应用】 46 【考点59 平行四边形的性质】 47 【考点60 平行四边形的判定】 48 【考点61 平行四边形的判定与性质】 49 【考点62 三角形的中位线】 50 【考点1 三角形的内角和定理】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·月考）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【考点2 三角形的外角性质】 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，是的角平分线，，．求的度数． 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 3．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）把一块直尺与一块直角三角板如图放置，则的度数为 4．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，中，，，、、、、…都在的延长线上，、、、、…分别在、、、、…上，且满足，，，，…依次类推， ． 【考点3 等腰三角形的性质—等边对等角】 1．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在线段的延长线上大小为 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图所示，已知，．如果，， ． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 4．（2024·陕西西安·一模）如图，的边与的边在一条直线上，点A恰好在边的延长线上，且，求证：． 【考点4 等腰三角形的性质—三线合一】 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（    ） A． B．9 C．18 D．36 2．（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线，她这样做的依据是（   ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形“三线合一” D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是边上的高，点E，F是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影部分的面积是 ． 4．如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为 ． 【考点5 等腰三角形的判定—等角对等边】 1．如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在Rt中，，，点是边上一点且不与点重合，点是边上一点且不与点重合，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【考点6 等腰三角形的判定与性质】 1．（25-26八年级上·广东江门·期中）在中，，点是和平分线的交点，点在外且满足，，设． (1)证明：． (2)证明：． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：； (3)在（2）的条件下， ①尺规作图：作的平分线，与边相交于点；（要求保留作图痕迹，不用写作图过程） ②在①的基础上，探索，，之间的数量关系，并证明． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当等于多少时，，请说明理由： (2)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求度数．若不可以，请说明理由． 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：． 【考点7 等边三角形的性质】 1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，，在．上分别取点，，使，连接，交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点是延长线上一点，在右侧作等边，连接，若，则的长为 ． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为 ． 4．（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【考点8 等边三角形的判定】 1．下列条件中，不能得到等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 2．已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    3．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点F，交于点H，连接．求证： (1)； (2)； (3)是等边三角形． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动 探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形． 数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程； 如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线． 求证：是等边三角形． 探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形． 下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明． 【考点9 等边三角形的判定与性质】 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在中，，以为边向外作等边三角形，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，且，，三点共线，若，，求的度数与的长． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，是等边三角形外部一点，连接，，且，过点作交于点，交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)连接，若，，求的长． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在中，，，点是边上一点，点为边上一点，连接，．    (1)如图1，，点为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点，延长至点，使，连接． ①依题意补全图形；判定的形状，并说明理由； ②直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【考点10 含30°角的直角三角形的性质】 1．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在等边三角形中，， 与交于点P，，垂足为Q．的度数为 ，若，，则的长为 ． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，为边上的高，点从点出发在射线上以的速度移动，设运动时间为，当时，的值为 ． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，线段，点C是线段上一动点，以为边作等边，以为底边作等腰，则最小值为 ． 【考点11 反证法】 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）请用反证法证明：已知：，求证：． 4．（25-26七年级上·上海·期末）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【考点12 直角三角形的性质】 1．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）在中，，当锐角 °时，为直角三角形． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【考点13 利用HL证明三角形全等】 1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是___________．（用含代数式表示） 3．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） (2)若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 【考点14 勾股定理】 1．如图， 则的长为(   ) A．5 B．13 C．17 D．19 2．已知是直角三角形，直角边，斜边，则边（   ） A． B． C． D．或 3．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为 ． 4．定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在中， ，且，如果是奇异三角形，那么 . 【考点15 勾股定理的证明】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 2．如图，由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么： 3．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 【考点16 勾股定理的应用】 1．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 2．如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则 米．    3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 4．如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是　　．    A．4 B．5 C．6 D． 【考点17 勾股数/树】 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 2．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 3．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． (1)当时，求，的值 (2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 4．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，其中阴影部分的面积是    【考点18 勾股定理逆定理的计算与证明】 1．如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为 ． 3．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 4．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【考点19 线段垂直平分线的性质及判定】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 4．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【考点20 尺规作线段垂直平分线】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，等腰中，，． (1)请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）． ①作线段的垂直平分线； ②在直线上确定一点P，使得点P到两边的距离相等． (2)点Q是第（1）题中的直线上一点，则两线段的长度之和最小值等于 ．用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在△中，是边上一点．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，作的平分线交于点； (2)在图2中，在上找一点，使得． 4．（25-26八年级上·上海宝山·期中）操作与探究： 定义：已知两点、位于直线的同侧，在直线上存在一点，使，则点称为两点、的“等距点”．在直线上存在一点，使的和最短，则点称为两点、的“最佳观测点”． (1)在左图和右图中分别作出“等距点”点和“最佳观测点”点（要求尺规作图，保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； (2)如图，在直线上存在一点，使点既是两点、的“等距点”又是两点、的“最佳观测点”，求证：此时两点、所在的直线和直线平行． 【考点21 角的平分线的性质及判定】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的平分线上的一点，，垂足为，且，是射线上一动点，则长的最小值为 ． 2．（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是（    ）． A．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上 D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，点是△内一点，且到三边的距离相等，，则，则 ． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，、交于点E，连接．    (1)说明与的关系并证明； (2)求的度数． 【考点22 尺规作角平分线】 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有 ． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接BF并延长交于点P． (1)以上作图得到的和数量上有什么关系？请进行证明； (2)若，求的度数． 4．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，为的外角． (1)求作射线，使其平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若所作射线与平行，且，，求的周长． 【考点23 认识不等式】 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 3．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 4．据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【考点24 不等式的基本性质】 1．如果，则a b（填“＞”、“＜”、“＝”）； 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）若，下列不等式变形正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，，当时，A与B的大小关系是 ． 【考点25 一元一次不等式（组）的定义】 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 4．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【考点26 一元一次不等式（组）的解法】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的一元一次方程的解是负数，求的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【考点27 一元一次不等式（组）的整数解】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【考点28 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 2．某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是（   ） A． B． C． D． 3．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 4．某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： 型 型 价格（万无台） 12 10 月污水处理能力（吨月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是　　 A． B． C． D． 【考点29 一元一次不等式（组）的应用】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【考点30 图形的平移】 1．（25-26七年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，将沿着某P方向平移一定的距离得到，则下列结论不成立的是（　　）    A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海虹口·期末）“方胜”是中国古代的一种发饰图案，象征同心吉祥，由两个相同的正方形交错叠合而成、如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图如果平移距离为3，且，那么点到点的距离是_____． 3．（25-26七年级下·河南濮阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形经过平移后得到三角形，点P的对应点为． (1)写出D，E，F三点的坐标； (2)画出三角形DEF； (3)求三角形DEF的面积． 4．（21-22七年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【考点31 图形的旋转】 1．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 3．在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转得到，旋转角为α，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．    (1)如图,当时，连接、，并延长交于点F，则 ; (2)当时，请画出图形并求出的长； (3)在旋转过程中，过点D作垂直于直线，垂足为点G，连接．当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由． 【考点32 中心对称和中心对称图形】 1．（25-26九年级上·河南商丘·期中）以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（　　） A．乒乓球 B．篮球 C．排球 D．冲浪 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)若将绕点顺时针旋转与重合，则点的坐标为 ． 【考点33 图案设计】 1．如图①是正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有 种 2．小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（25-26九年级上·山西大同·期中）图1和图2都是由连接正八边形部分顶点或部分对边中点构成的图案，每个图案可看作由4个全等的直角三角形、8个全等的小矩形和4个全等的小正方形组成．按下列要求涂阴影． (1)在图1中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图2中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 4．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【考点34 因式分解的相关概念】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若是多项式的一个因式，且，试求m、n的值，并将多项式进行因式分解． 【考点35 公因式】 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）多项式分解因式时应提取的公因式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）多项式和的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是 ． 4．多项式与的公因式是 ． 【考点36 因式分解—提公因式法】 1．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ． 2．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）已知，则代数式的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 3．因式分解： ． 4．若，则 ． 【考点37 因式分解—运用公式法】 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 4．（24-25九年级下·云南临沧·月考）因式分解： ． 【考点38 因式分解—提公因式法与公式法的综合】 1．（25-26七年级下·河北·单元测试）因式分解： ． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）把多项式分解因式的结果是 ． 3．（2025·山东聊城·三模）因式分解： ． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【考点39 公式法—十字相乘法】 1．若，则p，q的值分别为（    ） A．p＝3，q＝4 B．p＝－3，q＝4 C．p＝3，q＝－4 D．p＝－3，q＝－4 2．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 3．（24-25九年级下·四川内江·月考）分解因式： ． 4．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【考点40 公式法—分组分解法】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：． 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ． 4．分解因式：= ． 【考点41 因式分解的应用】 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 2．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 3．（25-26九年级上·重庆·期中）已知a,b,c是的三边长. (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由. 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 【考点42 分式的定义】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在，，，，，中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）把 的盐溶在 的水中，那么在 这种盐水中的含盐量为 ． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，，，，…，根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）观察式子：根据你发现的规律知，第8个式子为 ． 【考点43 分式有意义的条件】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式有意义，则的值应满足 ． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．或 4．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围为 ． 【考点44 分式的值为零的条件】 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）当 时，分式的值为零． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若分式的值是零，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 【考点45 分式的值】 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则 ． 2．若分式的值是负数，则的取值范围是（    ）. A． B．或 C．且 D．或 3．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【考点46 分式的基本性质】 1．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 3．（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 4．阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 【考点47 约分与通分】 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列四个分式的化简运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）当时，的值是 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【考点48 最简分式】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 3．在分式中，最简分式有 个． 4．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 【考点49 最简公分母】 1．分式，的最简公分母是 ． 2．分式与的最简公分母是 ． 3．下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 4．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【考点50 分式的乘除法】 1．（24-25七年级上·上海松江·月考）计算： ． 2．计算： ． 3．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点51 分式的加减法】 1．化简结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）化简的结果是 ． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则 ． 【考点52 分式的混合运算】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算∶ 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简： ． 【考点53 分式的化简求值】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ……………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________； (2)请写出该分式化简的正确过程，并选择一个你喜欢的整数代入求值． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 3．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【考点54 分式方程的定义】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 4．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点55 分式方程的解】 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如果关于x的分式方程无解；则a的值为 ． 4．已知关于x的方程：＝﹣3． (1)当方程的解为正整数时，求整数m的值； (2)当方程的解为正数时，求m的取值范围． 【考点56 解分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）解方程 (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为3，则的值为 ． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 4．（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 【考点57 由实际问题抽象出分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰．两个小组的攀登速度各是多少？设第二组的速度为，第一组的速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ． 4．解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 【考点58 分式方程的应用】 1．（2025九年级·安徽·专题练习）年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 4．（25-26九年级上·重庆江北·期中）某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【考点59 平行四边形的性质】 1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 3．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 4．已知如图，在中，点E、F分别在上，且，对角线交于点O，作与交于点G，连接． (1)求证：； (2)若的周长是20，求的周长． 【考点60 平行四边形的判定】 1．（25-26八年级下·北京·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是______． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 4．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 5．如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 6．如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 【考点61 平行四边形的判定与性质】 1．如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 4．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 【考点62 三角形的中位线】 1．如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 2．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为_________，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则______________． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末复习易错题62个考点 【新教材北师大版】 【考点1 三角形的内角和定理】 2 【考点2 三角形的外角性质】 5 【考点3 等腰三角形的性质—等边对等角】 8 【考点4 等腰三角形的性质—三线合一】 11 【考点5 等腰三角形的判定—等角对等边】 14 【考点6 等腰三角形的判定与性质】 17 【考点7 等边三角形的性质】 23 【考点8 等边三角形的判定】 28 【考点9 等边三角形的判定与性质】 32 【考点10 含30°角的直角三角形的性质】 37 【考点11 反证法】 40 【考点12 直角三角形的性质】 42 【考点13 利用HL证明三角形全等】 44 【考点14 勾股定理】 48 【考点15 勾股定理的证明】 50 【考点16 勾股定理的应用】 54 【考点17 勾股数/树】 57 【考点18 勾股定理逆定理的计算与证明】 60 【考点19 线段垂直平分线的性质及判定】 63 【考点20 尺规作线段垂直平分线】 67 【考点21 角的平分线的性质及判定】 72 【考点22 尺规作角平分线】 76 【考点23 认识不等式】 81 【考点24 不等式的基本性质】 82 【考点25 一元一次不等式（组）的定义】 84 【考点26 一元一次不等式（组）的解法】 85 【考点27 一元一次不等式（组）的整数解】 88 【考点28 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 90 【考点29 一元一次不等式（组）的应用】 92 【考点30 图形的平移】 97 【考点31 图形的旋转】 101 【考点32 中心对称和中心对称图形】 107 【考点33 图案设计】 111 【考点34 因式分解的相关概念】 114 【考点35 公因式】 116 【考点36 因式分解—提公因式法】 117 【考点37 因式分解—运用公式法】 119 【考点38 因式分解—提公因式法与公式法的综合】 120 【考点39 公式法—十字相乘法】 122 【考点40 公式法—分组分解法】 123 【考点41 因式分解的应用】 124 【考点42 分式的定义】 127 【考点43 分式有意义的条件】 129 【考点44 分式的值为零的条件】 130 【考点45 分式的值】 132 【考点46 分式的基本性质】 133 【考点47 约分与通分】 136 【考点48 最简分式】 137 【考点49 最简公分母】 139 【考点50 分式的乘除法】 140 【考点51 分式的加减法】 142 【考点52 分式的混合运算】 143 【考点53 分式的化简求值】 147 【考点54 分式方程的定义】 150 【考点55 分式方程的解】 152 【考点56 解分式方程】 154 【考点57 由实际问题抽象出分式方程】 157 【考点58 分式方程的应用】 159 【考点59 平行四边形的性质】 162 【考点60 平行四边形的判定】 166 【考点61 平行四边形的判定与性质】 172 【考点62 三角形的中位线】 176 【考点1 三角形的内角和定理】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·月考）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，小高说：“知道的度数，就能求出的度数”，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可知：，，进而可得出，进而可得出，再根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：在中，， 则， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，理解准互余三角形定义是解题关键． （1）根据题意求出，根据内角和即可求解； （2）根据角平分线和外角的性质即可解答． 【详解】（1）解： 为“准互余三角形”， ，和是“准互余角”， ， 根据内角和可得； 故答案为：； （2）证明：平分， ， 是的外角，， ， ， 是“准互余三角形”． 【考点2 三角形的外角性质】 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，是的角平分线，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义及三角形内角和定理，解题的关键是利用外角性质求出，再结合角平分线与内角和计算． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 答：的度数为． 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，结合三角形内角和定理可得，再求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵与是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）把一块直尺与一块直角三角板如图放置，则的度数为 【答案】/270度 【分析】本题考查三角形外角的性质． 由三角形外角的性质推出，，即可求出． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，中，，，、、、、…都在的延长线上，、、、、…分别在、、、、…上，且满足，，，，…依次类推， ． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，找到到角度的变化规律是解题的关键．由题意得；根据得，结合得，以此类推，即可找到一般规律． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 同理可得：，，，， ∴， 故答案为：． 【考点3 等腰三角形的性质—等边对等角】 1．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在线段的延长线上大小为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求解是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图所示，已知，．如果，， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）由等边对等角得，再证，即可得出； （2）由得，结合，可得． 【详解】（1）证明：， ， 为中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， 又， ， ． 4．（2024·陕西西安·一模）如图，的边与的边在一条直线上，点A恰好在边的延长线上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明，得出即可． 【详解】证明：， ， 又， ， 在和中，， ， ． 【考点4 等腰三角形的性质—三线合一】 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（    ） A． B．9 C．18 D．36 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，则，根据垂直的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而计算的面积即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点 、 在和中 ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线，她这样做的依据是（   ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形“三线合一” D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）． 根据等腰三角形“三线合一”作答即可． 【详解】解：在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线， 她这样做的依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：C． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是边上的高，点E，F是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三线合一定理，三角形中线的性质，根据三线合一定理得到，则由三角形中线平分三角形面积可得；可证明，则根据图形面积之间的关系可得． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考据等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ， ∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形， ， ， ， 故答案为：． 【考点5 等腰三角形的判定—等角对等边】 1．如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线，平行线的性质，可得是等腰三角形，将的周长转换为的长，由此即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，即， ∴的周长是， 故选：． 【点睛】本题主要考查角平分线，平行线，等腰三角形的综合，掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·期中）将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质和等腰三角形的判定，掌握折叠的性质和等角对等边是解题的关键． 首先根据平行线的性质得出，然后根据折叠的性质得出，通过等量代换得出，从而得出，最后利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ∵点到距离为， 则． 故答案为：12． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义，利用平行线与角平分线推出是解题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，再由等角对等边得，则的周长，由此即可解决问题． 【详解】解：在中，与的平分线相交于点， ， ， ， ， ， 的周长是：， ∵， ． 故选：B． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在Rt中，，，点是边上一点且不与点重合，点是边上一点且不与点重合，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，外角的性质． （1）先由直角三角形的性质得，再由等边对等角得，进而得，即可得出结论； （2）先由等腰直角三角形的性质得，再利用外角的性质得，再结合（1）的结论得，最后根据外角的性质得，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ； （2）解：在中，， ， ， 由（1）得，， ， ． 【考点6 等腰三角形的判定与性质】 1．（25-26八年级上·广东江门·期中）在中，，点是和平分线的交点，点在外且满足，，设． (1)证明：． (2)证明：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据已知设，则，利用角平分线定义，等边对等角，可表示出和，再利用三角形内角和分别表示出与，即可得出结论； （2）在上取，结合（1）中的结论，证明，可以推导出，从而得到． 【详解】（1）证明：， 设，则， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ； （2）证明：如图，在上取， 由（1）得，， ， 在与中， ， ，， ，， ， ， ． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：； (3)在（2）的条件下， ①尺规作图：作的平分线，与边相交于点；（要求保留作图痕迹，不用写作图过程） ②在①的基础上，探索，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据，得出，根据，，，得出，从而得，即可证明； （2）根据，得出，设，则，则，根据三角形内角和定理求出，即可得； （3）①根据尺规作图方法作图即可． ②在上取点，使，根据作图得出，证明，得出，，再证明，即可得． 【详解】（1）证明：， ， ，，， ， ， ； （2）解：， ， ， 设，则， ， ， ； （3）解：①如图所示 ②． 在上取点，使， 平分， ， ， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】该题考查了全等三角形的性质和判定，尺规作图，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当等于多少时，，请说明理由： (2)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)当时，，理由见解析 (2)可以；当的度数为或时，的形状是等腰三角形 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识： （1）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． （2）分三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴； （2）解：可以；当的度数为或时，的形状是等腰三角形， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 此时，点D与点B重合，不合题意； 当时，， ∴． 综上，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答． （2）过点A作，垂足为H，利用等腰三角形的三线合一性质得出，利用余角的性质证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：过点A作，垂足为H． ∵， ∴． ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 即． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，掌握等腰三角形的判定及性质是解决问题的关键． 【考点7 等边三角形的性质】 1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，，，在．上分别取点，，使，连接，交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是等边三角形，得，再证明，运用三角形的外角性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ， ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点是延长线上一点，在右侧作等边，连接，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】考查等边三角形的性质、全等三角形的判定（）与性质．解题关键是利用等边三角形的边、角条件，通过“角的和差”构造全等三角形的对应角，进而证明全等实现线段转化；易错点是混淆全等三角形的对应边、对应角，或遗漏角的和差推导步骤． 先根据等边三角形的性质，得到、及；再通过角的和差关系，推出，满足全等条件；然后证明，利用全等对应边相等得；最后结合的线段和关系，代入已知长度计算出． 【详解】已知和均为等边三角形，因此： ，； ． 由，可得： ． 在和中： ， ． ． 又；，且，因此： 结合，得． 故答案为：5． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】证明，则，得到，则，求出，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵以为边向右侧作等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 当时，， ∴， 综上可知，的度数为或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、多边形内角和、等边对等角、等边三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 4．（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 【考点8 等边三角形的判定】 1．下列条件中，不能得到等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、有两个内角是的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； B、三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； C、有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； D、反例：若两个外角都为，则此等腰三角形三个角，此等腰三角形不是等边三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    【答案】等边 【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到，再证明可得到，进而证明为等边三角形． 【详解】解：∵中，，，于点， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴为等边三角形． 故答案为：等边 3．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点F，交于点H，连接．求证： (1)； (2)； (3)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据题意可得，，，从而得到，即可求证； （2）根据点，，在同一条直线上以及可得，从而得到，即可求证； （3）由（2）可得，，即可求证． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）证明：由（2）可得，， ∴是等边三角形． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动 探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形． 数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程； 如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线． 求证：是等边三角形． 探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形． 下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定，解题的关键是利用已知条件推导等腰三角形的腰与底边相等． （1）利用中线性质得线段相等，结合高的垂直性质证明三角形全等，进而推出腰与底边相等，判定等边三角形； （2）根据三角形面积公式或全等三角形判定，由高相等推导腰与底边相等，再结合等腰三角形性质判定等边三角形． 【详解】探究（1） 证明：∵是上的中线， ∴． ∵是上的高， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． 探究（2） 解：已知：在中，，是腰上的高，是底边上的高，且， 求证：是等边三角形． 证明：∵是上的高，是上的高， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． 【考点9 等边三角形的判定与性质】 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在中，，以为边向外作等边三角形，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，且，，三点共线，若，，求的度数与的长． 【答案】；5 【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的性质，通过图形旋转得到等边三角形是解题的关键．由旋转的性质可得出，，进而可得出为等边三角形以及，可得出；由点，，在一条直线上可得出，根据旋转的性质可得出，结合，可得出的长度，再根据等边三角形的性质即可得出的长度． 【详解】解： 绕着点D按顺时针方向旋转后得到， ，， 为等边三角形， ， ， 点，，在一条直线上， ， 绕着点D按顺时针方向旋转后得到， ， ， 为等边三角形， ． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，是等边三角形外部一点，连接，，且，过点作交于点，交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定，关键是灵活运用知识点进行论证求解； （1）根据三个角都是的三角形是等边三角形进行论证即可； （2）利用全等可得平分，进而可得，从而得到． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在中，，，点是边上一点，点为边上一点，连接，．    (1)如图1，，点为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点，延长至点，使，连接． ①依题意补全图形；判定的形状，并说明理由； ②直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①图见解析，为等边三角形，理由见解析；② 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先根据线段中点的定义可得，计算，再由含角的直角三角形的性质可得，从而可得的长； （2）①依题意补全图形即可；先证明 ，则可证明，继而可证明，又因为，则可判断的形状； ②利用可证明 ，即可得到，又因为，由代换可得． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， 为中点， ， ， ， ， ； （2）解：①如图所示：为等边三角形   ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； ②解：，证明如下：    ∵是等边三角形， ，， ∴ ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【考点10 含30°角的直角三角形的性质】 1．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在等边三角形中，， 与交于点P，，垂足为Q．的度数为 ，若，，则的长为 ． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，三角形外角的性质， 先根据等边三角形的性质证明，可得，再证明，然后根据三角形外角的性质求出；先根据直角三角形的性质求出，进而得出，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，7． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，为边上的高，点从点出发在射线上以的速度移动，设运动时间为，当时，的值为 ． 【答案】1或5 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是求出；先根据含30度角的直角三角形的性质求出，再分两种情况求出的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点E在线段上时， ∵， ∴， ∴； 当点E在线段延长线上时， ∴， ∴； 故答案为：1或5． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过作于，过作于，则可求和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于， ， 则中，()， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为()， 故选：A． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，线段，点C是线段上一动点，以为边作等边，以为底边作等腰，则最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．连接，利用证明，求得，推出点在的角平分线上，当时，取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵等边，以为底边的等腰， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴当时，取得最小值，则的最小值， 故答案为：6． 【考点11 反证法】 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的否定即可． 【详解】解：∵ 反证法第一步需假设原结论不成立，原命题结论为， ∴ 结论的否定为，即第一步应假设． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________． 【答案】点与点重合 【分析】本题考查反证法，掌握反证法的意义与使用步骤是关键． 根据反证法的步骤，第一步是假设结论不成立，由此作答． 【详解】解：用反证法证明点与点不重合，则第一步应假设点与点重合． 故答案为：点与点重合． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）请用反证法证明：已知：，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法的应用，解题的关键是熟练掌握反证法的证明步骤． 先假设，然后根据绝对值的性质推出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】假设， 当时，， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 4．（25-26七年级上·上海·期末）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，包括反证法的逻辑步骤、三角形内角和定理．先通过反设结论(假设三个内角都大于)，推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而肯定原命题成立． 【详解】解：已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 【考点12 直角三角形的性质】 1．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）在中，，当锐角 °时，为直角三角形． 【答案】20 【分析】本题主要考查直角三角形的两个锐角互余，直角三角形中有一个角为，结合和为锐角，可知，从而求出. 【详解】解：在中，， 若为直角三角形，则必有一个角为， 由于为锐角，因此， 即， 解得， 故答案为：20. 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A，，是直角三角形，不合题意； B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意； C，，则，是直角三角形，不合题意； D，，则，是直角三角形，不合题意； 故选B． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 【考点13 利用HL证明三角形全等】 1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形判定方法“”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是___________．（用含代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，， ， 是等边三角形， ，， 平分，， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为． 3．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） (2)若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 【答案】(1)角平分线的性质，； (2)见解析；日影的长为米． 【分析】（）由角平分线的性质可得，然后通过“”即可求证； （）由是等边三角形，可得，则，通过角平分线的定义可得，所以，从而得，然后通过垂直平分线的判定即可求证； 通过角所对直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴（角平分线的性质） 在和中， ， ∴， 故答案为：角平分线的性质，； （2）解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； 在中，， ∴米， 由（）知米， ∴（米）， ∴日影的长为米． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，角平分线的定义，直角三角形的性质等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 【考点14 勾股定理】 1．如图， 则的长为(   ) A．5 B．13 C．17 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．首先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 2．已知是直角三角形，直角边，斜边，则边（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的计算，准确计算是解题的关键． 直接利用勾股定理计算即可； 【详解】在中，直角边，斜边， （）． 故选：． 3．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用表示出、、，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴． 故选：A． 4．定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在中， ，且，如果是奇异三角形，那么 . 【答案】1：： 【分析】由△ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2＝a2＋b2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a2＝b2＋c2，记作②，或2b2＝a2＋c2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值． 【详解】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∴根据勾股定理得：c2＝a2＋b2，记作①， 又Rt△ABC是奇异三角形， ∴2a2＝b2＋c2，②， 将①代入②得：a2＝2b2，即a＝b（不合题意，舍去）， ∴2b2＝a2＋c2，③， 将①代入③得：b2＝2a2，即b＝a， 将b＝a代入①得：c2＝3a2，即c＝a， 则a：b：c＝1：：． 故答案为：1：：． 【点睛】此题考查了新定义的知识，勾股定理．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用． 【考点15 勾股定理的证明】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的几何验证，解题的关键是熟知勾股定理的运用． 根据图形及勾股定理的验证得到，故四边形的面积等于四边形的面积加上四边形的面积，再根据六边形的面积为14，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵六边形的面积为14， ∴ 解得，（舍去）， 根据图形及勾股定理的验证得到， ∴四边形的面积=四边形的面积加上四边形的面积． 故选：B． 2．如图，由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么： 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，第一种方法，这个图形的面积等于三个直角三角形的面积；第二种方法，可证明，进而推出B、C、D三点共线，则这个图形的面积等于梯形的面积，两种方法分别表示出这个图形的面积即可得到答案． 【详解】解；这个图形的面积等于三个直角三角形的面积，即为； 如图所示，∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴B、C、D三点共线， ∴这个图形的面积等于梯形的面积，即为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析； (2)该飞镖状图案的面积是； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 则． （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，正方形面积公式，三角形面积公式，由正方形面积公式，三角形面积公式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ，不能证明，不符合题意； ，能证明，符合题意； ，能证明，符合题意； 不能证明，不符合题意； 综上可知：能证明， 故选：． 【考点16 勾股定理的应用】 1．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 2．如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则 米．    【答案】1.5/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中， 由勾股定理得到（米），    故答案为：1.5． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 【答案】19 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作交延长线于点D，则， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 故答案为：19． 4．如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是　　．    A．4 B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设km，则， 在中， ， 在中， ， 由题意可知：， ∴， 解得：． 所以，=． 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据题意构造方程，是本题的关键． 【考点17 勾股数/树】 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 2．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意； D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； 故选：B． 3．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． (1)当时，求，的值 (2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)10，24，26是勾股数，见解析 【分析】（1）先观察已有的勾股数，得到，再利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：观察已有的勾股数可得， ∴， 把代入， 解得（负值已舍掉）， ∴； （2）10，24，26是勾股数． ∵． 又∵10，24，26都是正整数 根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数． 【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键． 4．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，其中阴影部分的面积是    【答案】56 【分析】先利用勾股定理求出，再利用勾股定理计算出，根据计算即可． 【详解】解：如图，    在中，， 在中，， ∴ ， 故答案为：56． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题． 【考点18 勾股定理逆定理的计算与证明】 1．如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理， 首先求出，然后证明出，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵，D是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 3．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 4．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长至，使得，连接，可证，可得，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 【考点19 线段垂直平分线的性质及判定】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据题意得到，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（如）以及垂直平分线的性质是解题的关键． （1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用ASA证明，从而证得． （2）利用和推出是的垂直平分线，结合全等三角形的性质得到，再结合，证明垂直平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）连接， 证明：，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又， ∴点在的垂直平分线上， 垂直平分． 4．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，等边对等角，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定和性质． （1）根据三角形内角和定理得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，求出，最后求出结果即可； （2）连接、、，根据线段垂直平分线的性质得出，从而得出，根据线段垂直平分线的判定得出点在线段的垂直平分线上． 【详解】（1）解：， ， 垂直平分垂直平分， ， ， ， ； （2）证明：连接、、， 垂直平分垂直平分， ， ， 点在线段的垂直平分线上． 【考点20 尺规作线段垂直平分线】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质与作图步骤是解题关键． 分别作出线段的中垂线，作角平分线，进而得出其交点P即为所求，为加油站位置． 【详解】解：如图所示，P点即为所求，为加油站位置． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，等腰中，，． (1)请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）． ①作线段的垂直平分线； ②在直线上确定一点P，使得点P到两边的距离相等． (2)点Q是第（1）题中的直线上一点，则两线段的长度之和最小值等于 ．用无刻度直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）①利用尺规作出线段的垂直平分线即可；②利用尺规作出的角平分线，交于点P，点P即为所求； （2）直线与的交点即为点Q，最小值为的长． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求； ②如图，由角平分线的性质得点P到两边的距离相等，故点P即为所求； （2）解：直线与的交点即为点Q， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴ ∴最小值， ∴点Q即为所求作的点， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作垂直平分线和角平分线，角平分线的性质定理，线段垂直平分线定理，三角形的三边关系等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在△中，是边上一点．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，作的平分线交于点； (2)在图2中，在上找一点，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，尺规作线段垂直平分线． （1）作的角平分线交于点E，则为所求线段； （2）作的垂直平分线交于M，则点M满足条件． 【详解】（1）解：即为所求作线段； （2）解：作的垂直平分线交于M，如下图： 则， ， ∴点M即为所求作． 4．（25-26八年级上·上海宝山·期中）操作与探究： 定义：已知两点、位于直线的同侧，在直线上存在一点，使，则点称为两点、的“等距点”．在直线上存在一点，使的和最短，则点称为两点、的“最佳观测点”． (1)在左图和右图中分别作出“等距点”点和“最佳观测点”点（要求尺规作图，保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； (2)如图，在直线上存在一点，使点既是两点、的“等距点”又是两点、的“最佳观测点”，求证：此时两点、所在的直线和直线平行． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的作法与性质，对称的性质，正确作图是解答本题的关键． （1）作出线段的垂直平分线交直线于点，则点为两点、的“等距点”．作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点为两点、的“最佳观测点”． （2）证明，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可得． 【详解】（1）解：如图，点为两点、的“等距点”． 作法：连接，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，过作直线交直线于点，则点为两点、的“等距点”． 如图，点为两点、的“最佳观测点” 作法：过点作直线的垂线，垂足为，截取，连接交直线于点，则点为两点、的“最佳观测点”； （2）解：连接，延长交过点与直线垂直的直线于点， ∵点是两点、的“等距点”， ∴， ∴， 又点是两点、的“最佳观测点”， ∴直线垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∵， ∴． 【考点21 角的平分线的性质及判定】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的平分线上的一点，，垂足为，且，是射线上一动点，则长的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、垂线段最短，作于点，由角平分线的性质定理可得，再由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时长的最小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ， ∵是的平分线上的一点，，垂足为，且，于点， ∴， 由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时长的最小，为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是（    ）． A．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上 D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，理解角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 过两把直尺的交点P作，根据题意可得，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】解：如图：过两把直尺的交点P作， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）． 故选C． 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，点是△内一点，且到三边的距离相等，，则，则 ． 【答案】/124度 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．过点作于点，于点，于点，依题意得，由此得点是和平分线的交点，则，在△中，由三角形内角和定理得，则，然后在△中，由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：过点作于点，于点，于点，如图所示： 点是△内一点，且到三边的距离相等， ， 点是和平分线的交点， ，， ， 在△中，， ， ， 在△中，． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，、交于点E，连接．    (1)说明与的关系并证明； (2)求的度数． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和的性质，角平分线的判定定理，解题的关键是证明平分． （1）证明，得，再根据全等三角形的性质和三角形内角和的性质，证明，即可得答案； （2）过点O作于点M，于点N，根据全等三角形的面积相等，证明，得平分，即可得答案． 【详解】（1）解：如下图，线段、相交于点F，   和都是等腰三角形， ，， ， ， 即， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）过点O作于点M，于点N，   ， ，， ， 平分， ， ， ， ． 【考点22 尺规作角平分线】 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的性质和证明，选择适当条件证明三角形全等进而证明是解题关键． ①由图可知，，，，据此证明即可． ②由图可知，，垂直平分，据此证明即可． ③由图可知，，，，依次证明， ，即可． ④由图可知，，，据此证明即可． 【详解】解：①有图可知， ， ， ， 射线是的角平分线； ②由图可知， ，， ， ， ， 射线是的角平分线； ③由图可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线； ④由图可知， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线． 故答案为：①②③④． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质及其尺规作图，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过D作于点H，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：过D作于点H， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ，， ， 又， ． 故选：A． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接BF并延长交于点P． (1)以上作图得到的和数量上有什么关系？请进行证明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用即可； （2）先根据等边对等角求得，再结合（1）求得． 【详解】（1）解：相等， 理由：连结，， ∵以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E， ∴， ∵大于的长为半径画弧，两弧交于点F， ∴， 又， ， ， 即以上作图得到的和数量上有相等关系； （2）， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等的性质和综合（），等边对等角，作角平分线(尺规作图)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 4．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，为的外角． (1)求作射线，使其平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若所作射线与平行，且，，求的周长． 【答案】(1)作图见解析 (2)周长是6.5 【分析】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据平行线的性质，以及角平分线的定义，可得，则是等腰三角形，即可求的周长． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）平分， ． ， ，． ． ． 的周长． 【考点23 认识不等式】 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是代数式，该选项不合题意； 、是等式，该选项不合题意； 、是不等式，该选项符合题意； 、是代数式，该选项不合题意； 故选：． 2．用不等式可将“a与b的和的平方为非负数”表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于 0 的数）以及代数式的正确表示；解题的关键是准确拆解文字表述中的数量关系，先确定 “a 与 b 和的平方” 对应的代数式，再结合 “非负数” 的符号特征列出不等式． 先分析文字表述：“a 与 b 的和” 表示为，“和的平方” 即对整体平方，为；“非负数” 表示该式的值大于等于 0，即，由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案． 【详解】解：A、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为非负数”，并非 “a 与 b 和的平方”，此选项不符合题意； B、选项表示 “a 与 b 和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意； C、选项表示 “a 的平方与 b 的平方的和为正数”，既不是 “和的平方” 也排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； D、选项表示 “a 与 b 的和的平方为正数”，虽为 “和的平方” 但排除了非负数中的 0，此选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．正确的识图，是解题的关键． 根据题意，列出不等式即可． 【详解】解：由图可知：； 故答案为：． 4．据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意列出不等式即可求出答案，解题的关键是正确理解不等式的定义． 【详解】由于最高气温是，最低气温是， ∴， 故答案为：． 【考点24 不等式的基本性质】 1．如果，则a b（填“＞”、“＜”、“＝”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不改变是解题的关键． 根据不等式的基本性质直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）若，下列不等式变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】A．由可得，原不等式变形错误； B．由可得，即，原不等式变形错误； C．当时，，原不等式变形错误； D．由可得，即，原不等式变形正确； 故选：D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）若，，当时，A与B的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算的应用，不等式的性质，利用作差法求解是解此题的关键． 利用作差法求得，然后根据利用不等式的性质求解即可． 【详解】解： ∴当时， ∴ ∴． 故答案为：． 【考点25 一元一次不等式（组）的定义】 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 2．下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 4．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 【考点26 一元一次不等式（组）的解法】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的一元一次方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据原方程的解为负数，得到，解出m的取值范围即可． 【详解】解：， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， ∵的一元一次方程的解是负数， ∴， 即， 解得． 答：的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于、的方程满足方程组 (1)用含的代数式表示； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为9，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用加减消元法，解得，即可作答． （2）由，且根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（1）的结论代入可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， ，得， 解得， 综上所述：，； （2）解：由（1）得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为9，最小值为． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的整数解，熟练掌握“根据不等式解集的符号确定系数的范围，结合方程组的整数解条件分析未知数的取值”是解题的关键． 先根据不等式的解集确定的范围，再解方程组得到的表达式，结合解为整数的条件确定的可能值，最后计算这些的积． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴， 解得， 解方程组，得，， ∵ 方程组的解为整数， ∴ 是整数，且是整数，故是4的倍数 ∵ ， ∴ ，即是负整数， 又∵ 是整数且为4的倍数， ∴ 是8的负约数，且是4的倍数， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（不是4的倍数），舍去， 当时，，（不是4的倍数），舍去， ∴符合条件的整数为、， ∴ 它们的积为， 故答案为：． 【考点27 一元一次不等式（组）的整数解】 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，先求出不等式组的解集，再根据只有四个整数解的条件确定a的取值范围． 【详解】解：∵， 由①得： ； 由②得： ，即 ． ∴不等式组的解集为 ． 由于只有四个整数解，且，因此整数解为 1， 0， ， ． 为确保解集包含 但不包含 ， ∴． 故答案为： 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，解题的关键是先解不等式，再根据正整数解的个数确定不等式的取值范围． 1．解不等式，得到； 2．根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式； 3．解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解： 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． 且 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 故选C． 4．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示出来，根据整数解的和就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：解不等式组得， 不等式组的所有整数解的和是18， 不等式组的整数解为6、5、4、3或6、5、4、3、2、1、0、、， 或 ， 故选：C． 【考点28 由实际问题抽象出一元一次不等式（组）】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 故选：C． 2．某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用——销售问题．熟练掌握打折销售，“利润售价进价”，运用不等关系列不等式，是解决问题的关键． 根据打x折销售，利润率不低于，列出不等式即可． 【详解】∵这种品牌的运动鞋售价为每双300元，打折销售， ∴打折后实际售价为每双元， ∵利润率不低于， ∴利润不低于元， ∴能正确表示该商店的促销方式的不等式是：． 故选：B． 3．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 4．某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： 型 型 价格（万无台） 12 10 月污水处理能力（吨月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可． 【详解】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据题意，得： ， 故选A． 【点睛】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组． 【考点29 一元一次不等式（组）的应用】 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）甲、乙两家复印社复印纸张的收费标准如下： 甲复印社：无论复印多少页，每页收费0.2元． 乙复印社：当复印的页数不超过20页时，每页收费0.3元；当复印的页数超过20页时，超过的部分每页收费0.15元． (1)若要复印50页，请问选择哪家复印社比较省钱，并说明理由； (2)设复印的页数为x页（x超过20页），分别求出甲、乙两家复印社的收费（用含x的代数式表示）； (3)当复印的页数超过______页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 【答案】(1)选择甲复印社比较省钱，因为甲收费10元，乙收费10.5元。 (2)甲复印社收费：元；乙复印社收费：元。 (3)60 【分析】此题考查了一元一次不等式及列代数式的应用，找出题中的数量关系是解本题的关键． （1）根据甲、乙两家复印社收费标准即可求解； （2）根据题意，分别求出甲、乙两家复印社的收费即可； （3）根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：复印50页时： 甲复印社收费：(元) 乙复印社收费：前20页每页0.3元，超过部分每页0.15元， 即(元)， 因为， 所以选择甲复印社比较省钱． （2）解：设复印张数为页 甲复印社收费：元． 乙复印社收费：元． （3）解：要使乙复印社收费比甲便宜，需满足： 解不等式得： 所以当复印的页数超过60页时，乙复印社的收费会比甲复印社便宜． 故答案为：60． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)至少应安排15名工人去制造乙种零件 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）先求出有名工人制造乙种零件，再根据利润计算公式即可得； （2）根据建立不等式，解不等式，从而求出，由此即可得． 【详解】（1）解：车间每天安排名工人制造甲种零件，则有名工人制造乙种零件， 则此车间每天所获利润， ∵， ∴， 所以此车间每天所获利润元与名工人之间的函数表达式为（，且x为整数）． （2）解：由题意得：，即， 解得， 则， 答：至少应安排15名工人去制造乙种零件． 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） A礼盒 150 220 B礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个 (2)该超市有8种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A礼盒的数量），再将其代入中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量； （2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超市共有8种进货方案． 【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒个，由题意得： 解得， 则 答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个； （2）解：由题意得 解得， ∴该超市有8种进货方案． 【考点30 图形的平移】 1．（25-26七年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，将沿着某P方向平移一定的距离得到，则下列结论不成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平移对应边、对应角相等、平行线的性质可求解． 【详解】解：∵沿着某P方向平移一定的距离得到， ∴，，，， ∴． 故选:C． 【点睛】本题主要考查了图形的平移、三角形的性质以及平行线的性质等知识点，是题目中常见的考点，要灵活运用． 2．（25-26七年级上·上海虹口·期末）“方胜”是中国古代的一种发饰图案，象征同心吉祥，由两个相同的正方形交错叠合而成、如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图如果平移距离为3，且，那么点到点的距离是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：由平移可得， 所以， 所以， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·河南濮阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形经过平移后得到三角形，点P的对应点为． (1)写出D，E，F三点的坐标； (2)画出三角形DEF； (3)求三角形DEF的面积． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)7 【分析】（1）直接利用点平移变换规律得出答案； （2）直接利用各对应点位置进而得出答案； （3）利用三角形所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）解：为上的点，点平移后得到，表示点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位； ∴，，先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，分别得到，，； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解： ． 4．（21-22七年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)；； (2)秒后，轴 (3)当点P在线段上时，；当点P在的延长线上时，；当点P在的延长线上时， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平行线的性质，平移的性质： （1）根据平移的性质求解； （2）设t秒后轴，根据轴，得到点M与点N的纵坐标相同，据此构建方程求解即可； （3）分三种情形：①如图1中，当点P在线段上时，②如图2中，当点P在的延长线上时，③如图3中，当点P在的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴，， 故答案为：；； （2）解：设t秒后轴， ∵轴， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， 解得， ∴秒后，轴； （3）解：①如图1中，当点P在线段上时， 作交于点E， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ②如图2中，当点P在的延长线上时， 作， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ③如图3中，当点P在的延长线上时，． 作，同②可证． 【考点31 图形的旋转】 1．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是利用旋转得到对应边与角相等，结合等腰三角形的角的关系推导角度． 【详解】解：由旋转的性质得，，． ∵， ∴，设，则． ∵， ∴，又，故． 在中，，由三角形内角和得，即，解得． ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、，由正方形的性质得，，则，，由旋转得，，，则点在上，所以，，则，可证明，则，所以，求得四边形的周长是，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 四边形是边长为5的正方形， ，， ， ， 把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E， ，，， ，点在上， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长是， 故选：D． 3．在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转得到，旋转角为α，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．    (1)如图,当时，连接、，并延长交于点F，则 ; (2)当时，请画出图形并求出的长； (3)在旋转过程中，过点D作垂直于直线，垂足为点G，连接．当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3)四边形为菱形，理由见解析 【分析】（1）证明是等边三角形，得到点B、E在的中垂线上，进而求解； （2）依据题意画图，如图1，证明，得到，，即可求解； （3）证明，，则四边形为平行四边形，而，从而可得出结论． 【详解】（1）解：∵绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴点B、E在的中垂线上， ∴是的中垂线， ∵点F在的延长线上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：依据题意画图如图1，过点E作于点G，过点C作于点H，    ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，, 则； （3）解：如图，    ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 【考点32 中心对称和中心对称图形】 1．（25-26九年级上·河南商丘·期中）以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（　　） A．乒乓球 B．篮球 C．排球 D．冲浪 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，解题的关键是依据“绕某点旋转180°后与原图形重合的图形是中心对称图形”逐一判断． 根据中心对称图形的定义，依次判断各选项图标绕某点旋转180°后是否与原图形重合，找出不重合的选项． 【详解】解：选项A（乒乓球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项B（篮球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项C（排球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项D（冲浪）：绕某点旋转180°后，图形的“叶片”方向与原图形不一致，无法重合，不是中心对称图形． 故选D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称和关于原点对称，设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接，则，利用勾股定理求出的长；设，根据轴对称的性质得到，，则点D和点E关于原点对称，故三点共线，可推出，则当时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 设， ∵点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为， ∴，， ∴点D和点E关于原点对称， ∴三点共线， ∴， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 4．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)若将绕点顺时针旋转与重合，则点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称变换； （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点即可； （3）作和的垂直平分线，交点即为所求的点． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点P即为所求，． 故答案为：． 【考点33 图案设计】 1．如图①是正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有 种 【答案】6 【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案．根据折叠图形的性质可得可以添加的图形有6种不同的情况. 【详解】解：得到的不同图案有： 共6种． 故答案为：6． 2．小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】把这四种搭配进行组合，可得出如图的九个空格的形状，即为本题的选项． 【详解】解：∵将搭配①②③④组合在一起，正好能组合成九个空格的形状， ∴恰好能放入的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识． 3．（25-26九年级上·山西大同·期中）图1和图2都是由连接正八边形部分顶点或部分对边中点构成的图案，每个图案可看作由4个全等的直角三角形、8个全等的小矩形和4个全等的小正方形组成．按下列要求涂阴影． (1)在图1中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图2中，选择两个直角三角形、两个小矩形和两个小正方形涂上阴影，使阴影部分组成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题考查图形设计，熟记轴对称图形、中心对称图形的定义是解决问题的关键． （1）由轴对称图形、中心对称图形的定义来设计即可得到答案； （2）由轴对称图形、中心对称图形的定义来设计即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示（答案不唯一）： ； （2）解：如图所示（答案不唯一）： ． 4．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影． (1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形． (2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形． （请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； 【分析】本题考查了利用轴对称和中心对称设计图案，掌握轴对称和中心对称图形的概念是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可（答案不唯一）； （2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）； 【详解】（1）组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示， （2）组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示， 【考点34 因式分解的相关概念】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的定义，判断每个选项的变形是否满足定义． 【详解】根据因式分解要求左边是多项式，右边是整式的乘积， 选项A：左边是乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 选项B：左边是多项式，右边是乘积形式，且等式成立，符合因式分解的定义，故符合题意； 选项C：左边是乘积，右边是乘积，但属于恒等变形，并非因式分解，故不符合题意； 选项D：右边不是乘积形式，而是和的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式的整数解问题，灵活运用因式分解和整数的性质是解题的关键．由等式右边展开得 ，与左边比较系数，得 和 ．由于 、 为整数，枚举所有整数对 满足 ，计算 ，即可确定 的可能值． 【详解】， 比较系数，得 ，， 、 为整数，且 ， 所有整数对 为： ，； ，； ，； ，； ，； ，。 （其余对为重复值，略） 的可能值为 ． 选项不在可能值中，故不可能． 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，因式分解的概念及完全平方公式．甲同学看错常数项但一次项系数正确，乙同学看错一次项系数但常数项正确，分别从两者的因式分解结果中求出正确的a和b，再对正确多项式进行因式分解． 【详解】解：甲同学因式分解结果为，展开得，由于看错了常数项b，但一次项系数a正确，故； 乙同学因式分解结果为，展开得，由于看错了一次项系数a，但常数项b正确，故； 因此，原多项式为，因式分解得． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若是多项式的一个因式，且，试求m、n的值，并将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键： （1）根据是多项式的一个因式，得到时，，进行求解即可； （2）根据是多项式的一个因式，得到时，，结合，求出的值，再利用十字相乘法，进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴时，， ∴； 解得； （2）∵是多项式的一个因式， ∴时，， 则，① 又，② 由①②可得：．     ∴多项式． 【考点35 公因式】 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）多项式分解因式时应提取的公因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握找公因式的要点是解题的关键． 找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．根据找公因式的要点解题即可． 【详解】解：多项式分解因式时应提取的公因式为：， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）多项式和的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式求解，准确的计算是解决本题的关键． 通过因式分解发现其含有因式，且能整除自身，则可判断． 【详解】解：∵，且， ∴是公因式． 故选D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是 ． 【答案】 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母或多项式因式的最低指数次幂，从而确定公因式即可． 本题主要考查了公因式，解题关键是熟练掌握公因式的定义． 【详解】解：与公因式是， 故答案为：． 4．多项式与的公因式是 ． 【答案】 【分析】把每个多项式先因式分解，然后选出公有的因式即可． 【详解】解：， ， 多项式与的公因式是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，公因式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 【考点36 因式分解—提公因式法】 1．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，掌握知识点是解题的关键． 根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）已知，则代数式的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为： 4．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案． 【详解】解：当时， 原式= =． 故答案为：． 【考点37 因式分解—运用公式法】 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握和是解答本题的关键． 公式法因式分解指使用平方差公式或完全平方公式．选项C符合完全平方公式，其他选项均无法用公式法分解． 【详解】解： 选项A： 为平方和，无法用公式法因式分解； 选项B：，无法用公式法因式分解； 选项C：，符合完全平方公式，能用公式法因式分解； 选项D：，使用提公因式法，无法公式法因式分解． 故选C． 2．（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式时首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．利用平方差公式：，进行两次分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 【答案】12 【分析】本题考查了平方差公式，提公因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 原式利用平方差公式变形，再提公因式，即可解答． 【详解】解： ． ∴一定能被最大的正整数12整除． 故答案为：12 4．（24-25九年级下·云南临沧·月考）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．先根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【考点38 因式分解—提公因式法与公式法的综合】 1．（25-26七年级下·河北·单元测试）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，观察表达式，发现与互为相反数，可统一提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式中提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式，然后利用完全平方公式法因式分解即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2025·山东聊城·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可； （2）先凑出公因式，然后提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【考点39 公式法—十字相乘法】 1．若，则p，q的值分别为（    ） A．p＝3，q＝4 B．p＝－3，q＝4 C．p＝3，q＝－4 D．p＝－3，q＝－4 【答案】B 【分析】根据因式分解，进而即可求得的值 【详解】解： ， p，q的值分别为 故选：B 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 2．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次三项式的因式分解-十字相乘法，将多项式视为关于x的二次三项式，通过寻找两个数使其和为一次项系数，积为，利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·四川内江·月考）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 将看成一个整体，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要查了多项式的因式分解．先利用十字相乘法因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可． 【详解】解： 【考点40 公式法—分组分解法】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式． 此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键． 【详解】解： 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解—分组分解法，先把原式中一二两项分成一组，三四两项分成一组，每组分别提取公因式，最后组与组之间提取公因式即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 4．分解因式：= ． 【答案】 【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【考点41 因式分解的应用】 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【答案】8104 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为，其中n为正整数，第2025个智慧优数为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 2．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 3．（25-26九年级上·重庆·期中）已知a,b,c是的三边长. (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由. 【答案】(1) (2)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，平方式的非负性等知识点． （1）先利用完全平方公式将其配方成非负数和的模型，再求出，即可根据三角形的三边关系求解； （2）先将其因式分解得到，则或，再根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 则， 解得， ∴，； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ∴或（不符合三角形三边关系，舍） ∴是等腰三角形． 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． （1）根据示例，先利用添项法把配成完全平方式，再分解因式即可， （2）根据示例，可得，再根据积等于0，则必有因式等于即可得出的值． 【详解】（1）解： ． ． （2） ． 所以，使等式，则或， 故或． 【考点42 分式的定义】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在，，，，，中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，熟记分式定义是解题关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子称为分式），逐一判断各式即可． 【详解】∵ 分式的定义是分母中含有字母， 的分母是常数，不含字母，∴ 不是分式； 的分母是，含字母，∴ 是分式； 的分母是常数，不含字母，∴ 不是分式； 是整式，无分母，∴ 不是分式； 的分母是，含字母，∴ 是分式； 的分母是，含字母和，∴ 是分式； ∴ 分式有3个． 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）把 的盐溶在 的水中，那么在 这种盐水中的含盐量为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，先表示出盐在盐水所占的比例，从而可求解． 【详解】解：在 这种盐水中的含盐量为：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，，，，…，根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）观察式子：根据你发现的规律知，第8个式子为 ． 【答案】 【分析】本题主考查分式的定义、分式的规律等知识点，发现分式的分子、分母的指数的规律是解题的关键． 分别找出分子指数规律和分母指数规律，再运用规律即可解答． 【详解】解：∵ ∴分母是以a为底数，指数为1，2，3，……，n；分子是以b为底数，指数为2，4，6，……，， ∴第8个式子为 ． 故答案为：． 【考点43 分式有意义的条件】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式有意义，则的值应满足 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到，求解即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，依次需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：选项A的分母为，当时，，分母可能为零； 选项B的分母为，当时，，分母可能为零； 选项C的分母为，因为，所以，分母恒不为零； 选项D的分母为，当时，，分母可能为零； 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不为零．根据分式有意义的条件，得到，即可求得答案． 【详解】解：分式 有意义， 分母 ， ， ． 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是准确列出不等式． 根据分式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：且， 故答案为：且． 【考点44 分式的值为零的条件】 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）当 时，分式的值为零． 【答案】1 【分析】本题考查分式值为零的条件，需同时满足分子为零且分母不为零． 要使分式的值为零，需分子为零且分母不为零． 【详解】解：由题意，令分子，解得：． 当时，分母，满足条件． 故答案为：1． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式的值为0需分子为0且分母不为0求解． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且． 解得， 即或． 又∵， ∴． ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若分式的值是零，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为零的条件和分式有意义的条件，先根据分式的值为零的条件和分式有意义的条件得出分子且分母，再求出答案即可． 【详解】解：∵ 分式的值为零， ∴ 分子且分母， 由得， ∴ 或， 当时，分母，不符合条件， ∴ ， 故选：D． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】根据当时，分式无意义，得；当时，此分式的值为0，得到，代入解答即可． 【详解】解：根据当时，分式无意义，得，解得； 当时，此分式的值为0，得到，解得， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零，分式无意义的条件，求代数式的值，有理数的乘方，熟练掌握条件是解题的关键． 【考点45 分式的值】 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的求值，异分母分式的加减运算，将转化为，整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 2．若分式的值是负数，则的取值范围是（    ）. A． B．或 C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可． 【详解】∵是负数， ∴或 ∴或. 故选D. 【点睛】此题考查分式的值，解题关键在于掌握运算法则 3．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意， ，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 4．（25-26七年级上·上海·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的计算．先化简分式，再求使该式为整数的整数，同时考虑分母不为零的限制条件． 【详解】解： ， 原分式分母不为零，则， 原分式除式不为零，则， ∴， 原式化简为，要使式子的值为整数，则必须为2的约数，即或，解得．又由排除后，仅满足条件．故满足条件的的值有1个． 故答案为：1． 【考点46 分式的基本性质】 1．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐个判断即可． 【详解】解：A.，故选项A化简错误，不符合题意； B、，故选项B化简错误，不符合题意； C、，故选项C化简错误，不符合题意； D、，原选项化简正确，符合题意． 故选：D． 2．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：=== 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 3．（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 4．阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 【答案】（1）③；①②④；（2）；（3）. 【分析】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式； （2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式； （3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式． 【详解】（1）①，是假分式； ②，是假分式. ③是真分式； ④，是假分式； （2）====， （3）. 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题． 【考点47 约分与通分】 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则，是解题的关键．根据分式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列四个分式的化简运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简运算，需根据分式的加减乘除法则和平方差公式逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、∵ ，∴ A错误，不符合题意； B、∵ ，∴ B错误，不符合题意； C、∵，∴ C正确，符合题意； D、∵ 与无必然相等关系，例如取，则 ，∴ D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【答案】，， 【分析】根据约分的定义，先将，的分子分母分别分解因式，再约去它们的公因式，将两个分式化成最简分式，再根据通分的定义，将两个分式化成同分母的分式，最后根据同分母分式相加减的法则，将两个分式相加，把最后结果化成最简分式即可；本题考查了分式的约分、通分以及同分母分式相加减，熟练掌握约分、通分的概念以及同分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以这两个分式的最简公分母是， 所以， 所以． 【考点48 最简分式】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最简分式的概念，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题的关键． 通过逐项检查各选项的分子和分母是否能约分即可判断． 【详解】选项A：分子在实数范围内不能因式分解，与分母无公因式，因此是最简分式； 选项B：，可约分，不是最简分式； 选项C：分子，分母，有公因子2，可约分，不是最简分式； 选项D：分子，分母，有公因式，可约分，不是最简分式； 故选：A． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式，根据分式的分母一定含有字母，且最简分式的分子和分母没有公因式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，中必须有字母，且分子分母不能还有公因式， 选项B、C中没有字母，代入后表达式不是分式，故排除； 选项D代入后，分式为，分子分母有公因式4，不是最简分式，故排除． 只有选项A满足题意． 故选A． 3．在分式中，最简分式有 个． 【答案】2 【分析】根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即可得． 【详解】解： 是最简分式，故有2个. 故答案为：2 【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．本题的关键是找出分子分母的公因式． 4．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式的值不为及分式有意义的条件，根据题意写出符合条件的最简分式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个最简分式可以是， 故答案为：． 【考点49 最简公分母】 1．分式，的最简公分母是 ． 【答案】12x2y2 【分析】根据最简公分母的定义求解． 【详解】解：分式，的最简公分母为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 2．分式与的最简公分母是 ． 【答案】x(x+2)(x-2) 【分析】先对分式的分母进行因式分解，根据确定最简公分母的方法即可求出最简公分母． 【详解】∵x2+2x=x(x+2)，x2-4=(x+2)(x-2)， ∴分式与的最简公分母是x(x+2)(x-2)， 故答案为：x(x+2)(x-2) 【点睛】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 3．下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确实最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母； 【详解】分式 、 、 的分母分别是 、 、 ， 故最简公分母是， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；正确掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 4．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据确定最简公分母的方法逐项分析即可，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】∵两个分式的分母分别是：x2-x=x(x-1)，x2+x=x(x+1)， ∴最简公分母是x(x-1)(x+1) 故选：B 【点睛】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母. 【考点50 分式的乘除法】 1．（24-25七年级上·上海松江·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除法运算法则． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 3．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得： ， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 【考点51 分式的加减法】 1．化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同分母分式的加减法，运用同分母分式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C 2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据分式的乘除法、分式的加减法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选B． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的加减法则． 将原式通分后合并，并利用平方差公式和提取公因式进行化简． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式恒等式求解参数，二元一次方程组的应用；将等式右边通分后与左边比较分子，得到关于m和n的方程，通过比较系数建立方程组，求解m和n后计算差值； 【详解】解：右边通分得： 与左边比较分子得： 展开左边得： ∴ 比较系数得： 解得： ∴. 故答案为：1. 【考点52 分式的混合运算】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，正确计算是解题的关键． （1）利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算∶ 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 通过观察，发现从第二项开始的分母均为连续整数的乘积，进而根据分式的混合运算的法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握二阶行列式的运算规定以及分式的混合运算法则是解此题的关键．． 按二阶行列式的运算方法先列出算式，再利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【考点53 分式的化简求值】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ……………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________； (2)请写出该分式化简的正确过程，并选择一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】(1) 二；去括号时未变号 (2) 正确过程见解析；当时，值为 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是正确运用分式运算法则（通分、因式分解、约分），注意去括号时的符号处理． （1）观察化简步骤，判断错误步骤及符号处理的错误原因； （2）先对括号内分式通分并正确化简分子，再将除法转化为乘法，约分得到最简分式，选择使分式有意义的整数代入求值． 【详解】（1）解：第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时符号处理错误，未将中的变为； 故答案为：二；去括号时未变号； （2）解：原式 ． 选 ，代入得：原式． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 【答案】(1)， (2)，6 【分析】本题考查分式的混合运算； （1）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相减，再计算分式除法，得出结果后，最后代入求值即可； （2）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相加，再计算分式除法，最后整体代入求值即可. 【详解】（1）解： . 将代入得：原式. （2）解： . ∵， ∴， ∴原式. 3．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，将化为，，，然后代入，推出，可得结论．掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 4．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由给定的三个等式可得其倒数，，，再将三个分式的分子拆分后相加可得的值，因所求式子的倒数为，所以求得的倒数即可解答； 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， ，， ①+②+③，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，当分式的分子较简单，分母中的各项与分子存在一定的倍数关系时，可利用取倒数的方法（即将分式的分子和分母的位置颠倒），将繁杂的分式化成简单的式子，使问题化难为易，从而降低解题难度． 【考点54 分式方程的定义】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 【详解】解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 4．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：①、⑤不是等式，故不符合题意； ②，⑥，是数字不是未知数，是一元一次方程，故不符合题意； ③，④是分式方程，故符合题意； 故选：A． 【考点55 分式方程的解】 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，将已知解代入分式方程求解即可． 【详解】∵关于的分式方程的解是， ∴代入得， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解的情况列不等式及考虑分母不为0是解题的关键． 先解分式方程，再根据方程的解为正数及分母不为0列不等式求解即可． 【详解】解：解方程得：， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，解得：； ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且 ． 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如果关于x的分式方程无解；则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程无解问题，先把去分母整理得，根据无解得，即可作答． 【详解】解：依题意，方程去分母得， 整理得， 当，即时，方程无解； 当时，， ∵分式方程无解， ∴， 此方程无解，故舍去， 综上，a的值为3， 故答案为：3 4．已知关于x的方程：＝﹣3． (1)当方程的解为正整数时，求整数m的值； (2)当方程的解为正数时，求m的取值范围． 【答案】(1)﹣1或3 (2)m＜4且m≠ 【分析】（1）先求出分式方程的解，然后结合方程的解是整数，即可得到答案； （2）先求出分式方程的解，然后结合方程的解是整数，即可得到答案； 【详解】（1）解： 去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2）， 解得：x＝， ∵方程的解为正整数，且x≠2， ∴4﹣m＝5或4﹣m＝1且4﹣m≠2 解得：m＝﹣1或3，且m≠2， ∴整数m的值为﹣1或3； （2）解： 去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2）， 解得：x＝， ∵方程的解为正数且x≠2， ∴＞0且≠2， 解得：m＜4，且m≠， ∴m的取值范围为m＜4且m≠． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是掌握解分式方程的步骤进行计算． 【考点56 解分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】此题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键， （1）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可； （2）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可 【详解】（1）解：两边同时乘，得： ， 解得， 经检验，是原方程的根， 原方程的解为． （2）解：两边同时乘得， ， 解得， 经检验是原方程的增根，原方程无解． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为3，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，分类讨论；分两种情况，解分式方程即可． 【详解】解：当时，， 解得：， 经检验是原方程的解； 当时，， 解得：， 经检验是原方程的解； 综上，x的值为或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了新运算的定义、解分式方程等知识，根据题意新定义运算将方程转化为分式方程并求解，检验即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又 ∵， ∴ ，解得， 经检验，是该方程的解， ∴x的值为． 故选：C． 4．（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 【答案】(1)或 (2)或，过程见解析 (3)或 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将方程转化为的形式． （1）由可得，根据题意可得； （2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判断能否是方程两边相等即可； （3）先将原方程转化为的形式，然后得到或，然后解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该方程的解为：或； 故答案为：或； （2）解：方程的解为：或， 检验：当时，左边右边，故是方程的解， 当时，左边右边，故也是方程的解； （3）解：将方程左边整理得： ； 方程右边整理为： ； ∴原方程可化为：， ∴或， 解得，或． 【考点57 由实际问题抽象出分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，甲单价为，乙单价为，根据卖得钱数相同即可得方程． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意得， 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰．两个小组的攀登速度各是多少？设第二组的速度为，第一组的速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意，两个小组攀登同一座高的山，第一组速度是第二组的1.2倍，且比第二组早15分钟到达，设第二组的速度为，则第一组的速度是，利用时间差建立方程即可． 【详解】解：设第二组的速度为，则第一组的速度是， 由题意，得． 故选：A． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ． 【答案】 【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同，即可列出方程. 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据题意可得方程：； 故答案为：. 4．解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 【答案】． 【分析】设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米，根据提前24小时完成任务，列出方程即可． 【详解】设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米， 由题意得，． 【考点58 分式方程的应用】 1．（2025九年级·安徽·专题练习）年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、正确列出分式方程是解题的关键． 设该货车在原国道上行驶的速度为，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设该货车在原国道上行驶的速度为， 由题意可得，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：该货车在原国道上行驶的速度为． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 【答案】(1)A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米 (2)A施工队每天的费用是1200元 【分析】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得，解答即可； （2）设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程组，分式方程是解题的关键． 【详解】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得， 解得， 答：A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米． （2）解：设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元， 根据题意，得， 解得（元）， 答：A施工队每天的费用是1200元． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）由题意可知，每支中性笔的价格为元．根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）由题意可知，每支中性笔的价格为元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时购买圆珠笔的数量为（支）， ∵购买圆珠笔的数量为整数， ∴不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故整数m的值为3． 4．（25-26九年级上·重庆江北·期中）某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【答案】(1)每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； (2)10个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个，根据甲、乙数量之和及倍数关系列一元一次方程求解； （2）设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个，设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，根据生产各120个和总天数6天列分式方程求解． 【详解】（1）解：设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个． 根据题意，， 解得， 所以， 答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； （2）解：设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个， 升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个， 设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则， 生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个， 由，得， 由，得， 代入，得， 即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 答：每天生产甲材料包的增加数量为10个． 【考点59 平行四边形的性质】 1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】分别可证、为等腰三角形，得到、的长，进而得到，再根据计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， 又、分别是和的角平分线， ∴，． 又， ∴， 是等腰三角形，即． 同理可证是等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 4．已知如图，在中，点E、F分别在上，且，对角线交于点O，作与交于点G，连接． (1)求证：； (2)若的周长是20，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先由平行四边形得到，，然后结合已知条件，利用证明即可； （2）先证明垂直平分，则，然后由平行四边形的性质得到，再结合等量代换求解的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ； （2）解：∵在中，对角线交于点O， ，即点O是的中点， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 的周长是20，由（1）知， ， 的周长为， 即的周长是10． 【考点60 平行四边形的判定】 1．（25-26八年级下·北京·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、两组对角都不相等，不能判定是平行四边形，故A不符合题意； B、一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形，故B不符合题意； C、根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形，故C符合题意； D、根据，判定一组对边平行，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形，故D不符合题意． 2．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是______． 【答案】 【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由题目的已知条件可知添加，即可证明，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形． 【详解】解：条件是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 4．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 5．如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接，交于点，证明两条对角线互相平分即可． 【详解】解：连接，交于点， ， ， ， ， ， 故四边形是平行四边形． 6．如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）过点C作，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形. 【详解】（1）解：如图， 线段就是所求作的图形． （2）解：如图， 就是所求作的图形 【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【考点61 平行四边形的判定与性质】 1．如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的周长是，可以求出，根据中位线定理可知，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：点，，，分别是，，，的中点， 、分别是和的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， ， ， 又点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， . 故选：A. 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形判定和性质，勾股定理，关键是判定四边形是平行四边形，推出，由勾股定理得到． 过A作于H，由等腰三角形的性质推出，判定四边形AEDC是平行四边形，推出，由勾股定理得到定值． 【详解】解：过A作于H， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 设，， ，， 定值， 故选：B 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 4．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，再证，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点62 三角形的中位线】 1．如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先由三角形的中位线的性质求得，再根据平行线的性质得到，，再根据平行线的性质与角平分线定义得到，从而得到，然后由求解即可． 【详解】解：∵，分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定条件寻找使平行四边形有一个角为直角的四边形的条件． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 结合图形，要使平行四边形为矩形，需有一个内角为． A选项，若，则，平行四边形为菱形，不符合题意； B选项，若，无法得到的内角为直角，不符合题意； C选项，若，无法得到内角为直角，不符合题意； D选项，若，则，平行四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 3．如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为_________，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则______________． 【答案】 6 【分析】利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得和的长；再先后求得，，，然后利用圆的面积公式即可求解. 【详解】解：作于点N，连接， ∵， ∴， ∵点A是线段的中点， ∴， ∵， ∴点B是的中点， ∴是的中位线， 在中，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴， 过点A和作的垂线，垂足分别为和， 由题意得，同理是的中位线， ∴， 同理， ∴， 故答案为：，6. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线上的性质，等腰三角形的性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点G，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：与的数量关系是：．理由如下： 如图：延长交于点G， 由题意，知，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴点G为的中点，且， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ， ∴． ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $