精品解析：江西省吉安县立中学2024-2025学年高一下学期2月重点班检测数学试题

绝密★启用前 吉安县立中学2024-2025学年第二学期高一2月重点班检测 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设是两个集合，则“且”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即得. 【详解】因“且”“” “”， 故“且”是“”的充要条件. 故选：A 2. 已知向量满足：，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的运算律，结合模长公式求解即可. 【详解】由 由，得， 所以， 故选：D． 3. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理求得，可得为等腰直角三角形，可求得. 【详解】由，得，即， 所以，则，则为等腰直角三角形， 所以， 故选：B． 4. 对于二维形式的柯西不等式，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式证明，例如取，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：利用基本不等式即可求得结果；方法二：根据柯西不等式即可求出. 【详解】方法一：， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为． 方法二：， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 故选：B 5. 设，下列关于的说法正确的是（ ） A. 是偶函数，是奇函数 B. 的零点相同，都是 C. 的单调递增区间是 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、零点、复合函数单调性以及值域等相关概念，通过对函数和的性质分析来判断各个选项的正误. 【详解】已知，其定义域为，关于原点对称. 且，所以是奇函数. ，，所以是偶函数，故A选项错误. 令，即，也就是，因为，所以，解得，则的零点是. 令，则，由前面计算可知，所以的零点也是. 函数的零点是一个数，而不是一个点，所以B选项错误. 令，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，则在上单调递增. ，当时，单调递增. 当时，，且在上单调递增， 所以且单调递增，根据复合函数“同增异减”的原则， 在上单调递增，故C选项错误. 令，则，那么. 将进行配方可得， 所以，成立，故D选项正确. 故选：D. 6. 设，命题的定义域是R，命题的值域是R，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别分析命题和命题成立时的取值范围，再根据命题，中至少有一个是真命题，求出的取值范围. 【详解】命题：，的定义域是， 即对于任意，恒成立. 当时，不恒成立. 当时，二次函数要恒大于， 则需满足. 解不等式，可得. 所以当命题为真时，. 命题：，的值域是， 这意味着能取遍所有大于的值. 当时，能取遍所有大于的值. 当时，二次函数的图象开口向上， 要使其能取遍所有大于的值，则需， 解不等式可得，即. 当时，二次函数的图象开口向下，不能取遍所有大于的值， 所以当命题为真时，. 命题，中至少有一个是真命题的反面是，都为假命题. 当为假命题时，；当为假命题时，或. 所以，都为假命题时，. 那么命题，中至少有一个是真命题时，，即. 故选：D. 7. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，其中，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中， 即， 所以，， 又因为，则，，其中、均为正数， 且有， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故则的最小值是. 故选：A. 8. 设，则关于函数的性质中，下列说法错误的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 图象的一个对称中心可以是 C. 的一个单调递增区间可以是 D. 图象的一条对称轴可以是 【答案】C 【解析】 【分析】先用向量夹角公式和三角函数的辅助角公式对函数化简，再结合周期计算、对称轴与对称中心的判断以及单调性的分析判定选项. 【详解】， 对于A，最小正周期为，故A正确； 由于 ，故B、D表述正确， 对于C，，，而函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性法则可知，的一个单调递减区间可以是，所以C错误， 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，把向量的起点移到同一个点，设，以为邻边构造平行四边形，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量是 D. 平行四边形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用向量的模、向量夹角的余弦值、投影向量以及向量构成图形面积的相关知识，通过向量的坐标运算来分别判断各个选项的正确性. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，在上的投影向量是，故C错误； 对于D，所求面积为，故D正确． 故选：ABD. 10. 在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据三角形各心的性质结合向量的加减法则即可求得. 【详解】A选项：为垂心，为高线的交点，则，选项A正确． B选项：，选项B正确； C选项：，选项C正确； D选项：，选项D错误； 故选：ABC 11. 抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主，曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则存在实数，使得 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知A错误；根据向量数量积的坐标运算可知B正确；根据新定义运算可知C正确；根据新定义以及数量积的坐标运算可知D正确. 【详解】对于A，因为不共面，所以这样的实数不存在，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，， 所以，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标公式，结合同角的三角函数关系式，通过换元，将其化简为二次函数，根据二次函数的单调性即可求得. 【详解】由， 设，由正弦函数的性质知 ， 故当，即或时，的最大值是. 故答案为：. 13. 设的三边满足关系，则面积的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合基本不等式，先求的取值范围，再利用余弦定理，求的取值范围，进而得的取值范围，最后结合三角形的面积公式可求三角形面积的最大值. 【详解】因为，所以（当且仅当时取“”）. 由余弦定理得：，故， 所以（当且仅当时取“”）. 故答案为： 14. 在我们的中还有这样一些有趣的性质，比如射影定理：，证明它的最直接的方法是利用余弦定理，或者是作一条高并利用锐角三角函数有关知识即可证明，若，则是________（“锐角”，“钝角”，“直角”）三角形． 【答案】锐角 【解析】 【分析】将已知条件转化为边长之比，再结合余弦定理计算即可. 【详解】， 故我们只需要考虑角是锐角、直角还是钝角即可， 注意到，故角是锐角． 故答案为：锐角. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，求： （1）的值域，周期； （2）的对称轴、对称中心； （3）的单调区间． 【答案】（1）值域：，周期：，且； （2）对称轴为直线，；对称中心为，； （3）单调递增区间为；单调递减区间为. 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示，利用辅助角公式整理可得正弦型函数，利用整体思想，根据正弦函数的值域、周期、对称轴、对称中心以及单调区间，分别建立方程与不等式，可得答案. 【小问1详解】 由， 则， 易知，最小正周期，则周期为，且. 【小问2详解】 由（1）可得， 令，，解得，； 令，，解得，. 所以函数的对称轴为直线，；对称中心为，. 【小问3详解】 由（1）可知， 令，，解得，； 令，，解得， 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为． 16. 三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花! （1）如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值. （2）如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，根据直角三角形和圆的性质可由求出的值，再分析得点为中点，从而求解. （2）根据平面向量线性运算法则得到， 再由点分所成的比为，得到，即可得到，设，则，最后由基本不等式计算可得. 【小问1详解】 设，则，， 又， 所以， 又， 所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为 ， 又点分所成的比为，即，所以， 则， 设，则， 当或时， 当时 ，当且仅当，即时取等号． 即的最小值为． 17. 三角形中，分别是角的对边，已知点是AB的中点，点在线段上，且，线段CD与线段交， （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若点是三角形的重心，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得； （2）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值； （3）结合图形和条件将化简成，通过两边取平方，将化为，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故， 因为，所以. 【小问2详解】 如图， 由题意可得， 因为三点共线，故可设 ， 又因三点共线，故， 所以，故. 【小问3详解】 因为 所以， 因为，所以， 于是，两边平方化简得： ，当且仅当时取等号， 所以，即. 所以的最小值为. 18. 在中，点在线段上，平分． （1）尝试利用等面积法或者正弦定理证明角平分线定理，即请证明：； （2）若，，则是多少？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别在和中，利用正弦定理得出等式，借助于诱导公式化简，将两式作比即得； （2）根据（1）推得，由向量运算得到，再利用向量模的运算律计算即得. 【小问1详解】 利用正弦定理证明：设，则，， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 因，两式相比，可得：； 【小问2详解】 由（1）得，故,于是, 两边平方得：， 故. 19. 设定义域为，若对于任意的，存在唯一的使得，则称在定义域上是“可逆函数”． （1）设，判断是否是“可逆函数”，并说明理由； （2）若在上是“可逆函数”，求实数的值； （3）若，使得在定义域上是“可逆函数”，求证：． 【答案】（1）是“可逆函数”；不是“可逆函数”，理由见解析‘ （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用“可逆函数”定义即可判断； （2）利用函数的单调性与值域之间的包含关系以及“可逆函数”定义即可求得结果； （3）对参数a分情况讨论，再对对称轴讨论即可证明结论. 【小问1详解】 已知，定义域为,对于任意的， 设，由，得，因为对于任意， 且唯一，所以是“可逆函数”； 已知，定义域，令，则， 由，即，得，那么，即， 判别式，方程无解，所以不是“可逆函数” 【小问2详解】 由题意对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“可逆函数”， 则在定义域上是“可逆函数”当且仅当对任意，存在唯一，使得； 即当且仅当的值域是的值域的子集， 定义的值域、的值域分别为， 所以在定义域上是“可逆函数”当且仅当； 由题意在上是可逆函数， 首先当时，单调递减，此时， 由可逆函数定义可知，不包含0，即（1）； 从而在时的值域为， 由题意， 所以要满足题意，还需满足（2）； 只需（1）（2）式子同时成立即可，所以当且仅当，解得， 【小问3详解】 情形一：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是可逆函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形二：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是可逆函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形三：当时，注意到的对称轴为，则， （i）当时，， 由二次函数性质可知存在使得，即此时， 若在定义域上是可逆函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； （ii）当时，由二次函数性质可知， 即此时，注意到， 若在定义域上是可逆函数， 首先，其次结合，可得应该满足； 结论得证； 【点睛】方法点睛：新定义函数的思考方向：首先，深入理解新定义，逐字逐句分析其内涵，明确所涉及的概念、规则等关键信息.其次，将新定义与熟悉的函数知识建立联系，例如函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性等）、函数的图像特征（如开口方向，对称轴、最值点等）以及函数的运算规律.再者，运用分类讨论思想，根据题目条件和参数的不同取值范围，分别进行分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 吉安县立中学2024-2025学年第二学期高一2月重点班检测 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设是两个集合，则“且”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知向量满足：，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 10 3. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 对于二维形式的柯西不等式，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式证明，例如取，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 设，下列关于的说法正确的是（ ） A. 是偶函数，是奇函数 B. 的零点相同，都是 C. 的单调递增区间是 D. 6. 设，命题的定义域是R，命题的值域是R，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 设，则关于函数的性质中，下列说法错误的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 图象的一个对称中心可以是 C. 的一个单调递增区间可以是 D. 图象的一条对称轴可以是 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，把向量的起点移到同一个点，设，以为邻边构造平行四边形，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量是 D. 平行四边形的面积为 10. 在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主，曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则存在实数，使得 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则的最大值是________． 13. 设的三边满足关系，则面积的最大值是________． 14. 在我们的中还有这样一些有趣的性质，比如射影定理：，证明它的最直接的方法是利用余弦定理，或者是作一条高并利用锐角三角函数有关知识即可证明，若，则是________（“锐角”，“钝角”，“直角”）三角形． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，求： （1）的值域，周期； （2）的对称轴、对称中心； （3）的单调区间． 16. 三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花! （1）如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值. （2）如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值. 17. 三角形中，分别是角的对边，已知点是AB的中点，点在线段上，且，线段CD与线段交， （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若点是三角形的重心，求的最小值. 18. 在中，点在线段上，平分． （1）尝试利用等面积法或者正弦定理证明角平分线定理，即请证明：； （2）若，，则是多少？ 19. 设定义域为，若对于任意的，存在唯一的使得，则称在定义域上是“可逆函数”． （1）设，判断是否是“可逆函数”，并说明理由； （2）若在上是“可逆函数”，求实数的值； （3）若，使得在定义域上是“可逆函数”，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $