专题05 不等式与不等式组 4大高频考点（期末真题汇编）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组四大高频考点，精选全国多地七年级下册期末真题，通过基础辨析、解法应用及实际问题建模，实现从知识理解到能力迁移的梯度训练。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|16|不等式性质、解法及应用|结合武汉、厦门等地期末真题，考查性质辨析（如第2题推理正确性判断）| |填空题|10|解集表示、参数取值|设置开放题（如第6题写满足条件的m值），强化逆向思维| |解答题|24|解法综合、实际应用|含新定义运算（第22题）、跨学科情境（第45题体育器材购买）及方案设计（第50题义卖利润最大化），突出建模能力|

专题05 不等式与不等式组 4大高频考点概览 考点01不等式及其性质 考点02一元一次不等式的解法 考点03一元一次不等式组的解法 考点04一元一次不等式的实际应用 地 城 考点01 不等式及其性质 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）若，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知三个数、、满足，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）若时，，则的值可能是___（写出一个即可）． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）关于x的一元一次不等式的解集是．写出一个满足条件的m的值______________ ． 7．（24-25七年级下·山东滨州·期末）若，则______．（填“”“”或“”） 8．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）语句“与的和是非负数”用不等式表示为：______． 三、解答题 9．（24-25七年级下·山东临沂·期末）阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算： 例如：已知可得；已知，可得；已知，可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么▲． 证明：∵，∴． ∵，∴______， ∴▲． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空） (2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______ (3)已知，，请直接写出的取值范围． 10．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在六一游园活动中，一个摸卡片比大小的数学游戏引起了同学们的兴趣，其游戏规则是：有30张相同的卡片，卡片上分别写有1，2，3，4，…，30，将卡片打乱顺序后正面朝下放在桌面上，参与者从中抽取四张不同的卡片给主持人，根据主持人报出的若干个两张卡片上的数字之和推出这四张卡片的大小．若这四张卡片分别记为A，B，C，D，其中若干个两张卡片上的数字之和如下表所示． 卡片编号 A，B B，C C，D D，B 两数和 m 【备注：卡片的大小指的是卡片上的数的大小】 (1)比较卡片A和C的大小，说明理由； (2)请推断出哪张卡片最大，并说明理由． 地 城 考点02 一元一次不等式的解法 一、单选题 11．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·山东济宁·期末）已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x不等式有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 二、填空题 15．（24-25七年级下·吉林长春·期末）不等式的所有正整数解之和为______． 16．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）点在第四象限，则的取值范围是_____． 17．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）不等式的解集中最大的整数是_______． 三、解答题 18．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 20．（24-25七年级下·福建厦门·期末）先解不等式：，再判断是否为该不等式的解，并说明理由． 21．（24-25七年级下·贵州黔西南·期末）已知关于，的方程组（是常数）， (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值； (2)若，满足，试化简：． 22．（24-25七年级下·河南南阳·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 地 城 考点03 一元一次不等式组的解法 一、单选题 23．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）不等式组，则m的取值范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·山东德州·期末）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）不等式组 的解集是（ ） A． B． C． D．无解 26．（21-22八年级下·河北保定·期末）若不等式组无解，则m的值可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 27．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）已知点在平面直角坐标系的第三象限，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）已知点在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 29．（24-25七年级下·福建厦门·期末）关于x的不等式组中各不等式的解集在数轴上分别如图所示，则该不等式组的解集为______． 30．（24-25七年级下·吉林·期末）不等式组所有整数解的和为________． 三、解答题 31．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）按要求完成下列计算： (1)解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． (2)解不等式组：． 32．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）（1）已知关于x，y的方程组，若的值为非负数，的值为正数，求的取值范围． （2）已知，，且，求的取值范围． 33．（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 34．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求m的值； (2)若点到坐标轴距离相等，求m的值； (3)判断是否可能在第三象限，如果可能，求出m的取值范围，若不可能，请说明理由． 35．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之当n为非负整数时，如果，则例如：，，，，…，解决下列问题： (1)填空：①______（为圆周率）； ②如果，则实数的取值范围为______； (2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求的取值范围． 36．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 37．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若一个不等式（组）A有解且解集为（），则称为A的“界中值”，若A的界中值是不等式（组）B的解（即界中值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A“界中包含”． (1)已知关于x的不等式组①：，②，③以及不等式M：，则不等式M对于不等式组①___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组②___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组③___________（是/不是）“界中包含”． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C“界中包含”，求m的取值范围． (3)关于x的不等式组E：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E“界中包含”，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 地 城 考点04 一元一次不等式的实际应用 一、单选题 38．（24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 39．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）限速通常是指对一定长度距离内的路段规定一定数值范围内的行车速度，主要目的是保证安全，提醒司机在该路段的行驶速度不得超过规定时速．如图为设立在某小区门口的限速牌，则通过该小区的车辆的速度x（单位：）的取值范围应为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 41．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一题，则扣3分，要使总分不低于70分，则至少应答对的题数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 42．（24-25七年级下·广东广州·期末）小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车已知搭公交车每移动公里产生的碳排放量为公斤，驾驶汽车每移动公里产生的碳排放量为公斤假设小玲每天上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为公里，与驾驶汽车相比，要使减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，则她至少要搭公交车上下班（    ）天． A． B． C． D． 二、填空题 43．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）某工程队计划在10天内共栽1500棵树，开始4天，受天气影响，每天只能完成105棵树．后来天气转好，为了按期或提前完成，天气转好后平均每天至少要栽种__棵树． 44．（24-25七年级下·河北承德·期末）体质指数（）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w为体重（单位：），h为身高（单位：m），成年人的正常范围是．有一位成年人体重为，根据公式计算得出他的值为，属于超重范围．若想要值不超过，他至少应减重______． 三、解答题 45．（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 46．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种： 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数） (1)若时，选择方案①的总费用为___________元，选择方案②的总费用为___________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ (3)方案一比方案二最多优惠___________元． 47．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 48．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 49．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 50．（24-25七年级下·四川南充·期末）根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 不等式与不等式组 4大高频考点概览 考点01不等式及其性质 考点02一元一次不等式的解法 考点03一元一次不等式组的解法 考点04一元一次不等式的实际应用 地 城 考点01 不等式及其性质 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意， 由得，则B成立，不符合题意， 若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意， 若，当时，，则D不一定成立，符合题意． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】本题考查不等式性质与正负数大小比较．结合各选项中a、b的正负条件，通过举反例或正负数性质判断推理是否恒成立． 【详解】解：A、取，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，又∵，正数大于负数，∴，故该选项符合题意； C、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）若，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式左右两边都加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，即可做出判断． 【详解】解：A、因为，所以，本选项不符合题意； B、因为，所以，本选项符合题意； C、因为，所以，本选项不符合题意； D、因为，所以，本选项不符合题意． 故选：B． 4．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知三个数、、满足，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A：由，两边同时减，根据不等式的性质，不等号方向不变，即，因此A错误； B：由，根据不等式的性质，当时，两边乘以负数，不等号方向改变，即，因此，B错误； C：当时，，则，则错误，因此，C错误； D：由得，，则，因此，D正确． 故选D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）若时，，则的值可能是___（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质确定的取值范围后写出一个符合题意的值即可． 【详解】解：若时，， 则， 那么可以是， 故答案为：答案不唯一． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）关于x的一元一次不等式的解集是．写出一个满足条件的m的值______________ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的性质3解答即可．解不等式要依据不等式的性质3：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵关于x的一元一次不等式的解集是． ∴， ∴满足条件的m值可以是. 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25七年级下·山东滨州·期末）若，则______．（填“”“”或“”） 【答案】＞ 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 故答案为：． 8．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）语句“与的和是非负数”用不等式表示为：______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次不等式，正确理解题意是解题关键．根据和运算、非负数的定义：大于或等于0的数，列出不等式即可得． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·山东临沂·期末）阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算： 例如：已知可得；已知，可得；已知，可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么▲． 证明：∵，∴． ∵，∴______， ∴▲． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空） (2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______ (3)已知，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据题干信息的提示，猜想结果即可； （2）根据不等式的性质可得，，可推出，由此即可证明结论； （3）先求出，再根据（2）的结论，即可得到答案. 【详解】（1）解：根据题干例子可知，材料中“▲”处空缺的内容为：； 故答案为：； （2）证明：， ．（依据：不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变） ， ， ． 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 10．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在六一游园活动中，一个摸卡片比大小的数学游戏引起了同学们的兴趣，其游戏规则是：有30张相同的卡片，卡片上分别写有1，2，3，4，…，30，将卡片打乱顺序后正面朝下放在桌面上，参与者从中抽取四张不同的卡片给主持人，根据主持人报出的若干个两张卡片上的数字之和推出这四张卡片的大小．若这四张卡片分别记为A，B，C，D，其中若干个两张卡片上的数字之和如下表所示． 卡片编号 A，B B，C C，D D，B 两数和 m 【备注：卡片的大小指的是卡片上的数的大小】 (1)比较卡片A和C的大小，说明理由； (2)请推断出哪张卡片最大，并说明理由． 【答案】(1)卡片A小于卡片C，理由见解析 (2)B卡片最大，理由见解析 【分析】本题考查整式的加减，不等式的性质，掌握“求差法”比较大小是解题的关键． （1）由题意可得，，将得到即可求解； （2）同（1）思路，比较出，，即可解答． 【详解】（1）解：卡片A小于卡片C，理由如下： 由题意可得，， ，得， ∴ （2）解：B卡片最大，理由如下： 由题意可得，， ∵，， ∴，得，即， ，得，即， 由（1）由， ∴， ∴B卡片最大． 地 城 考点02 一元一次不等式的解法 一、单选题 11．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： ． 故选：A． 12．（24-25七年级下·山东济宁·期末）已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 根据系数化为1时，不等号的方向改变可知，然后可得答案． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故选：D． 13．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x不等式有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据不等式有且只有2个负整数解得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式有且只有2个负整数解， ∴负整数解有：， ∴， 解得：， 故选：A． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，一元一次方程的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、解得，解方程得，则方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、解得，由，则是不等式的一个解，故原说法错误； C、解得，由，则是不等式的一个解，故原说法正确； D、解得，由，则是不等式的一个解，不是不等式的解集，故原说法错误； 故选：C． 二、填空题 15．（24-25七年级下·吉林长春·期末）不等式的所有正整数解之和为______． 【答案】 【分析】先解得不等式的解集为，则不等式的所有正整数解为，，，然后把它们相加即可． 【详解】解：解不等式， 得， 所以不等式的所有正整数解为，，， 所以所有正整数解之和． 16．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）点在第四象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标为负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）不等式的解集中最大的整数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先解不等式，再从不等式的解集中找出符合条件的最大整数即可，熟练掌握一元一次不等式解法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴解集中最大的整数是， 故答案为：． 三、解答题 18．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，画数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 将解集表示在数轴上如下： 19．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】；见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化成1，进行计算，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集表示在数轴上如下： 20．（24-25七年级下·福建厦门·期末）先解不等式：，再判断是否为该不等式的解，并说明理由． 【答案】，不是，理由见解析； 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，先按照解一元一次不等式的步骤求解，再结合判定结果即可． 【详解】解： ， ； ∵， ∴不是该不等式的解． 21．（24-25七年级下·贵州黔西南·期末）已知关于，的方程组（是常数）， (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值； (2)若，满足，试化简：． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，掌握解二元一次方程组与不等式组是解题的关键． （1）联立得出，代入原方程组的第二个方程，得到关于的一元一次方程，即可求解； （2）根据加减消元法求得，根据题意列出不等式，得到，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 代入得， ， 解得：； （2）解：， 得，， 解得：， 将代入①得， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ． 22．（24-25七年级下·河南南阳·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是或 【分析】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据的定义，可得，求解即可； （2）根据题意，分情况讨论，即时和时，分别求解即可； 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：； （2）解：分情况讨论： ①当，即时， ， 解得：； ②当，即时， ， 解得：， 综上，的取值范围是或． 地 城 考点03 一元一次不等式组的解法 一、单选题 23．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）不等式组，则m的取值范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组的解集以及在数轴上的表示，解题关键是理解解集的概念，本题根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”求出解集并在数轴上表示即可． 【详解】解：不等式组的解集为， 利用大小小大取中间，且包括3和4，取实心点， 故选：D ． 24．（24-25七年级下·山东德州·期末）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：． 25．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）不等式组 的解集是（ ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．求出每个不等式的解集，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则找出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 故选：C． 26．（21-22八年级下·河北保定·期末）若不等式组无解，则m的值可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的判定方法．核心是理解不等式组解集的几何意义，即两个解集在数轴上无重叠区域时，不等式组无解． 首先分别解出不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解的条件，即两个不等式没有公共部分，来确定m的取值范围，进而判断选项中哪个值符合要求． 【详解】解：对不等式进行求解， 可得，即． 对不等式进行求解， 可得，即． 因为不等式组无解， 所以，解得． 选项A中，，满足． 选项B中，，不满足． 选项C中，，不满足． 选项D中，，不满足． 故选：A ． 27．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）已知点在平面直角坐标系的第三象限，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，根据第三象限的符号特征，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第三象限， ∴，解得：； 故选B． 28．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）已知点在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 根据第四象限内点的坐标特点列出关于m的不等式组，求出m的取值范围，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：点在第四象限， ， 由①得，； 由②得，， 在数轴上表示为： 故选：B． 二、填空题 29．（24-25七年级下·福建厦门·期末）关于x的不等式组中各不等式的解集在数轴上分别如图所示，则该不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．根据“同小取小”可得答案． 【详解】解：由数轴知该不等式组的解集为． 故答案为：． 30．（24-25七年级下·吉林·期末）不等式组所有整数解的和为________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及其整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键； 分别求出两个不等式的解集，再求出其公共部分得不等式组的解集，从而可确定所有整数解，继而求得所有整数解的和． 【详解】解：解不等式，得：； 解不等式，得：； 所以不等式组的解集为， 则整数解为，其和为； 故答案为：． 三、解答题 31．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）按要求完成下列计算： (1)解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． (2)解不等式组：． 【答案】(1)，数轴上表示见解析，原不等式的正整数解为，，，， (2) 【分析】（1）解一元一次不等式按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1（不等号变向）的步骤求解，再标注数轴并找出正整数解； （2）分别解不等式组中的两个一元一次不等式，按“同小取小”的口诀即可确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 将解集在数轴上表示如图： ∴原不等式的正整数解为，，，，； （2）解：， 解，得， 解，得， ∴原不等式组的解集是． 32．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）（1）已知关于x，y的方程组，若的值为非负数，的值为正数，求的取值范围． （2）已知，，且，求的取值范围． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，能根据题意求出方程组的解、准确求解不等式组的解集是解题的关键． （1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可； （2）根据，可得，可求，即可求解． 【详解】解：（1）解方程组得：， 的值为非负数，的值为正数， ， 解得：； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ． 33．（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)任务一：①不等式的性质2∶不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②一；任务二：；任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变（答案不唯一）； (2)；数轴见解析． 【分析】（1）任务一根据不等式的性质即可得出答案； 根据题干中的解题步骤进行判断即可； 任务二：将错误之处改正并解不等式即可； 任务三：根据解不等式需要注意的细节写出一条即可； （2）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】（1）解：任务一由解题过程可得去分母的依据是不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变， 故答案为：不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； 由解题步骤可得从第一步开始出错； 任务二：原不等式去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边都除以得； 任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变； （2）解不等式得， 解不等式得， 故原不等式组的解集为， 在数轴上表示其解集如下图所示： ． 34．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求m的值； (2)若点到坐标轴距离相等，求m的值； (3)判断是否可能在第三象限，如果可能，求出m的取值范围，若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不可能 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，点的坐标等知识点， （1）根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）到x轴的距离是该点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是该点的横坐标的绝对值，根据点P到两坐标轴距离相等，即可列式作答； （3）根据若点在第三象限，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：∵点到坐标轴距离相等， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：不可能，理由如下： 若点P在第三象限，则， 解得， ∴m无解， ∴点P不可能在第三象限． 35．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之当n为非负整数时，如果，则例如：，，，，…，解决下列问题： (1)填空：①______（为圆周率）； ②如果，则实数的取值范围为______； (2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）①利用对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的值；②利用对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的取值范围； （2）首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意，； ②， ， ， 故答案为：①3；②； （2）解：由题意，解不等式组得：， 由不等式组整数解恰有3个，得， ， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 37．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若一个不等式（组）A有解且解集为（），则称为A的“界中值”，若A的界中值是不等式（组）B的解（即界中值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A“界中包含”． (1)已知关于x的不等式组①：，②，③以及不等式M：，则不等式M对于不等式组①___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组②___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组③___________（是/不是）“界中包含”． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C“界中包含”，求m的取值范围． (3)关于x的不等式组E：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E“界中包含”，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 【答案】(1)是，是，不是； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了两数的界中值、解一元一次不等式组、不等式的解，解题的关键是学会解一元一次不等式（组）． （1）先求不等式组的解集，然后求得的界中值，最后判断； （2）先求不等式组的解集和不等式组的解集，然后求得的界中值，最后根据定义求得的取值范围； （3）先求不等式组和的解集，再求得界中值，然后根据定义得到和不等式，最后通过的条件求出的取值范围． 【详解】（1）解：（1）由题意，①解不等式组得， “界中值”为，故不等式对于不等式组①是“界中包含”． ②解不等式组得． “界中值”为，故不等式对于不等式组②是“界中包含”． ③解不等式组得． “界中值”为，故不等式对于不等式组③不是“界中包含”． 故答案为：是，是，不是． （2）解：∵“D对于不等式组‘界中包含’ ”， 不等式组和不等式组有解， 解不等式组：得． 解不等式组：得， ， 解得， 当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为， 的界中值为， 对于不等式组“界中包含”， ， ∴， 又， ． （3）解：解不等式组：得，，解不等式组：得，， 的界中值为， 不等式组对于不等式组“界中包含”， ， 解得：． 所有符合要求的整数m之和为14， 整数可取、、、，或整数可取、、、、、、， 或． 地 城 考点04 一元一次不等式的实际应用 一、单选题 38．（24-25七年级下·全国·期末）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打（      ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利润率不低于，即利润要大于或等于元，设打折，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求出的范围，即可得解． 【详解】解：设至多打折， 则， 解得， 因为要求折扣力度最大， 所以售价应最低，应取最小值，故至多可打七折， 故选：B． 39．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）限速通常是指对一定长度距离内的路段规定一定数值范围内的行车速度，主要目的是保证安全，提醒司机在该路段的行驶速度不得超过规定时速．如图为设立在某小区门口的限速牌，则通过该小区的车辆的速度x（单位：）的取值范围应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，从图中获取相关信息是解题的关键．根据图可得，进而可求解． 【详解】解：由图得：x的取值范围是． 故选：D． 40．（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 【答案】B 【分析】本题考查用一元一次不等式解决实际问题，解题关键是根据题意列出不等式．设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名，由“保证植树总数不少于220棵”列出不等式求解即可． 【详解】解：设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名， 由题意得， ， 解得，， ∴八年级学生参加活动的人数至少需45名． 故选：B． 41．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一题，则扣3分，要使总分不低于70分，则至少应答对的题数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是假设未知数，找出不等关系，列出不等式求解． 设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意，总得分不低于70分，列出不等式并求解，确定的最小整数值． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意得， 总得分为：， 解不等式得， 即 因为整数，故最小为13， 因此至少需答对13道题， 故选：C． 42．（24-25七年级下·广东广州·期末）小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车已知搭公交车每移动公里产生的碳排放量为公斤，驾驶汽车每移动公里产生的碳排放量为公斤假设小玲每天上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为公里，与驾驶汽车相比，要使减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，则她至少要搭公交车上下班（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设改搭公交车上下班x天，利用减少产生的碳排放量每天减少产生的碳排放量改搭公交车上下班的天数，结合减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设改搭公交车上下班x天，根据题意得： ， 解得：， 又∵x正整数， ∴x的最小值为308， ∴至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量． 故选：C． 二、填空题 43．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）某工程队计划在10天内共栽1500棵树，开始4天，受天气影响，每天只能完成105棵树．后来天气转好，为了按期或提前完成，天气转好后平均每天至少要栽种__棵树． 【答案】180 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用．根据题意结合按期或提前完成任务得出不等关系，进而求出答案． 【详解】解：设天气好转后平均每天栽种x棵，根据题意可得： ， 解得：． 答：为了按期或提前完成任务，至少每天要栽种180棵． 故答案为：180． 44．（24-25七年级下·河北承德·期末）体质指数（）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w为体重（单位：），h为身高（单位：m），成年人的正常范围是．有一位成年人体重为，根据公式计算得出他的值为，属于超重范围．若想要值不超过，他至少应减重______． 【答案】15 【分析】本题考查了不等式的运用，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：有一位成年人体重为，根据公式计算得出他的值为， ∴， 解得，， 当他的值不超过时，， 解得，， 设他至少应减重 ∴， 解得，， ∴至少应减重 故答案为： ． 三、解答题 45．（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元； (2)最多可以购买个篮球． 【分析】设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元，根据购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买个篮球，则购买足球个，根据学校购买篮球和足球的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元， 依题意得， 解得， 答：购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元． （2）解：设购买个篮球，则购买足球个， 依题意得， 解得：， 答：最多可以购买个篮球． 46．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种： 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数） (1)若时，选择方案①的总费用为___________元，选择方案②的总费用为___________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ (3)方案一比方案二最多优惠___________元． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、列代数式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，方案①：会员证280元每次20元，可得，总费用为元；方案②：根据题意可得总费用为元，进而得解； （2）依据题意，分时、时，和时，分别计算可以得解； （3）依据题意，分、和时，分别分析计算可以得解． 【详解】（1）解：方案①：会员证280元每次20元， ∴x为次数，总费用为元； 方案②：前30次费用元超过30次部分（次），每次元， ∴总费用为元； 故答案为：；； （2）解：①当时， 方案①费用：； 方案②费用：， 令， ∴． 当时，，方案②更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案①更优惠； ②当时，方案①费用：；方案②费用：； 令， ∴． 当时，，方案①更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案②更优惠； （3）解：方案一比方案二最多优惠的金额优惠额方案②费用方案①费用，需找优惠额的最大值： 当时，方案②更便宜，优惠额为负（无优惠）； 当时，优惠额（随x增大而增大）， 时，优惠额元； 当时，优惠额（随x增大而减小），最大值小于20元． 综上，方案一比方案二最多优惠20元． 故答案为：20． 47．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 48．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)他们选择活动2更合算，理由见解析 (3)共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 【分析】此题考查了二元一次方程组，有理数的混合运算的实际应用和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）分别按照活动1和活动2的方式计算，然后比较求解即可； （3）设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元， 根据题意得， 解得； （2）解：活动1：（元）， 活动2：（元）， ∵， ∴他们选择活动2更合算； （3）解：设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯， 根据题意得， 解得 ∵a是正整数 ∴或29或30 ∴或21或20 ∴共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 49．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 50．（24-25七年级下·四川南充·期末）根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 【答案】任务1：甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用． 任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元，列二元一次方程组求解即可； 任务2：设购买甲类diy材料包z套，则购买乙类diy材料包套，根据题意列一元一次不等式组计算即可； 任务3：先求出A、B两种装饰摆件的单件利润，再根据利润高的越多获利越大结合任务2作答即可． 【详解】解：任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元， ∵购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元， ∴， 解得：， ∴甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：设购买甲类diy材料包z套， ∵制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包， ∴制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件共需diy材料包50套， ∴购买乙类diy材料包套， ∵共筹集到资金310元，B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍 ∴， 解得：， 即共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：∵A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件， ∴A种装饰摆件利润为元/件，B种装饰摆件元/件， 可知A种装饰摆件利润更大，即A种装饰越多利润越大， ∴制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是（元）． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $