专题03 平行四边形 4大高频考点（期末真题汇编）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 平行四边形专题汇编，涵盖4大高频考点，精选多地区期末真题，基础题与综合题梯度分布，适配八年级下册期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|25题|多边形内角和、平行四边形性质与判定、中位线|结合景观花坛、古建筑空窗等情境，考查概念辨析| |填空|16题|对角线性质、折叠问题、中点连线|涉及角度计算、面积转化，注重几何直观| |解答|22题|判定证明、动点问题、中位线应用|包含动态几何、跨考点综合题，如折叠与平行四边形判定结合|

专题03 平行四边形 4大高频考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02平行四边形的性质 考点03平行四边形的判定 考点04 三角形的中位线 地 城 考点01 多边形及其内角和 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）学校计划在校园内修建一个景观花坛，若该花坛的平面示意图为正n边形，且一个外角是，则n的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的外角． 根据正多边形的外角和为，结合已知外角度数求解边数． 【详解】解：∵正n边形的一个外角为， ∴ 故选：C． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，则这个多边形是（    ）边形 A．三 B．四 C．五 D．六 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，根据多边形内角与外角互补的性质，结合题意得出每个外角的度数，再利用外角和定理计算边数． 【详解】解： 设每个外角为，则相邻的内角也为． ∴，解得． ∵多边形外角和为， ∴多边形的边数． ∴该多边形是四边形， 故选B． 3．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（    ） A．9 B．6 C．18 D．12 【答案】A 【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的外角和定理和对角线的数量，掌握多边形的外角和定理和对角线数量的公式是解题的关键． 先根据正多边形外角和为360°，求出边数n，再利用对角线公式计算． 【详解】正多边形每个外角为60°，外角和为360°，故边数 ． 正n边形的对角线总数为 ．代入 ，得： 因此，该正六边形共有9条对角线， 故选：A． 4．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形边数为（   ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，根据多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解． 【详解】解：设多边形的边数为．根据题意，得 ， 解得：， ∴这个多边形的边数为8． 故选：D． 5．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）已知一个多边形的内角和为，这个多边形的边数是（   ） A．十二 B．十三 C．十四 D．十五 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和，利用多边形内角和公式求解边数即可． 【详解】解：设多边形的边数为，根据多边形内角和公式得： ， 两边同时除以，得： ， 解得：， 因此，这个多边形的边数为十四． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知一个多边形的内角和与它的外角和相加等于，则这个多边形的边数是__________． 【答案】4 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合. 设这个多边形的边数为n，然后根据多边形内角和公式、所有多边形外角和都为360度并结合已知条件列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：， 解得， ∴这个多边形的边数为4． 故答案为：4． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若一个八边形的每个外角都相等，则它的一个内角等于________ 度． 【答案】135 【分析】本题考查的是多边形的外角和与内角，邻补角，熟练掌握多边形外角的特点是解题的关键． 根据多边形的外角和是，再用除以边数可得外角度数，利用邻补角的定义，即可解答． 【详解】 解：∵八边形的外角和是，这个八边形的每个外角都相等， ∴这个八边形的每个外角是， ∴它的一个内角等于． 故答案为：135． 8．（24-25八年级下·广东佛山·期末）如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗．八边形的内角和度数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，掌握公式是本题解题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：正八边形的内角和为：． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知一个多边形的边数为，它的内角和与外角和的度数之比为，则____________． 【答案】11 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和是是解题关键．根据多边形的内角和公式和外角和等于，列出方程求解可得答案． 【详解】解：根据题意，得： ， 解得：， 故这个多边形的边数为11． 故答案为：11． 10．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，直线与正五边形的边（端点除外）分别交于点F，G，则的度数等于_____________． 【答案】/144度 【分析】本题主要考查了正五边形的内角、多边形内角和、对顶角等知识点，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 先根据正多边形内角和公式确定，进而可得的值，再根据对顶角相等的性质可知即可解答． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 地 城 考点02 平行四边形的性质 一、单选题 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，，和分别是和的角平分线，交于点E和点F，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定，根据平行四边形的性质得出，，，根据等腰三角形的判定得出，，最后得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵和分别是和的角平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（　　） A．13 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，然后由，根据在中勾股定理可求得的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，平分交于点，若，则的长为（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质．通过平行四边形的性质结合角平分线的定义求得，求得，据此求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 4．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，，延长至点，延长至点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补．由在中，，可求得的度数，继而求得的度数，然后由三角形的外角的性质，求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 故选：C． 5．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，直角三角形的两锐角互余．由平行四边形的性质证明，结合，得到，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∵， ． ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级下·福建莆田·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，经过点O，交于E，交于F，若，，，则四边形的周长为（　　）   A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质推出，得出，，再结合，即可求解． 【详解】解：， ，，，， ， 又， ， ，， ， 的周长为20， 四边形的周长 ． 故选：C． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，连接．若平行四边形的周长为16，则的周长为（    ）． A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，由平行四边形的性质可得，且，可得，即可得到的周长． 【详解】解：∵对角线，相交于点O， ∴，， 又∵， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 8．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点，则图中一定是等腰三角形的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行四边形的性质，先由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义推出，进而由三线合一定理推出，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ，， 平分， ， ， ∴，即是等腰三角形； ， ， ， ∴，即是等腰三角形；，即是等腰三角形；，即是等腰三角形； ∴共有四个等腰三角形．分别是， 故选：B． 9．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，是以的对角线为边的等边三角形，点与点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，关于轴对称的点的坐标变化，平行四边形的性质，勾股定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 记与x轴相交于F点，，求解，求解，可得，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：记与x轴相交于F点，， ∵D与点E关于x轴对称，， ∴，即，，， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 则． 故选D 10．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，四边形中，，，，边上一点E满足，连接D，E．现将沿折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则点E到边的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查四边形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题的关键是掌握翻折的性质． 过D作于F，证明四边形是平行四边形，可得，，即可得，求出，，故，设点E到边的距离为h，即可得，解得． 【详解】解：过D作于F，如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点C恰好落在边上的点处， ∴， 设点E到边的距离为h，由可知点到边的距离为h， ∴， ∴， 解得， ∴点E到边的距离为； 故选：B． 二、填空题 11．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在▱中，若，则的度数是______． 【答案】/45度 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，则，则，再根据，求出，，最后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与性质，先求出，根据平行四边形的性质得出，进而得出点D的横坐标为，纵坐标与A相同为2，即可得出答案． 【详解】解：∵平行四边形的顶点，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标与A相同为2， ∴点的坐标为 故答案为：． 13．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，的对角线，相交于点E．若，的周长比的周长小，则的长度为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是牢记平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分． 根据平行四边形对角线互相平分可得，再由的周长比的周长小，可以求出，根据即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 的周长比的周长小， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质是关键． 根据平行四边形的性质得到，由折叠得到，结合题意得到，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 解得，， ∴， 在中，， 故答案为： ． 15．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，平行四边形的面积为7，对角线交于点O，线段经过点O，交于点E，交于点F，则阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．利用平行四边形的性质（对角线互相平分、对边平行），证明三角形全等，将阴影部分面积转化为平行四边形中一个三角形的面积，再根据平行四边形对角线分面积的规律求解 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 阴影部分面积， 平行四边形对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，平行四边形中，，点O是和的平分线的交点，过点O作，分别交于E、F两点，连接．以下结论： ①； ②点O是的中点； ③四边形的周长是四边形的周长的2倍； ④． 其中正确的结论有__________ （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．也考查了等腰三角形的判定与性质．利用平行四边形的性质得到，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出，则，于是可对①进行判断；利用平行线的性质证明得到，再证明四边形为平行四边形得到，所以，则可对②进行判断；设，，则，则可对③进行判断；证明，，可对④进行判断． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是和的角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴， ∴，所以①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，即O点为的中点，所以②正确； ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长不是四边形的周长的2倍；所以③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，所以④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题 17．（17-18八年级下·全国·单元测试）如图所示，在中，，，垂足分别为，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂线的定义，全等三角形的判定与性质． 由四边形是平行四边形，得到，继而证明，利用，易证得，然后由全等三角形的性质，证得结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形 在和中， ， ． 18．（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，在平行四边形中，，交BC于点E，且，F为的中点，连接交于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长交于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据等腰三角形的判定和性质以及垂直的定义，得出相等的角，进而得出，最后可得结论； （2）根据（1）得出的结论，得出为等腰直角三角形和为等腰直角三角形，假设，利用勾股定理表示出相关的边长，最后进行比较可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴为等腰三角形， ∵F为的中点， ∴垂直平分线段， ， ∵， ， ， ， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）得， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， 假设， 由勾股定理得， 由（1）得垂直平分线段， ， ， ∴， ， ， ∴． 19．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若平分，，过点F作，垂足为H．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）先根据平行四边形的性质得，，，再证明得，则，即可得出结论； （2）先由角平分线的定义和平行四边形的性质推出，则，再证明是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质得，由（1）知，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 由（1）知， ∴． 20．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）追本溯源：题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2） （1）如图1，在中，平分，交于点，过点作的平行线，交于点，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点． ①图2中一定是等腰三角形的有________个，分别是：________． ②已知，，可以借助①中的结果求出的长（写出过程）． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析；（2）①4，分别是：，，，；②2，过程见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的性质． （1）由角平分线的定义得出，由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）①由等腰三角形的判定可得出结论； ②由①可知，是等腰三角形，则，再结合，根据等腰三角形的性质得，证出，则可得出答案． 【详解】解：（1）是等腰三角形，理由如下： 平分 是等腰三角形 （2）①图2中共有4个等腰三角形，分别是：，，，， 故答案为：4，，，，； ②∵在中，  ， ，， 由①得，是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ， ． 21．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于； (3)当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)或15秒 (3)秒或秒 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）由题意已知，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，然后利用时间、路程、速度的关系求解即可； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，点P、Q分别沿运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即，因为Q、P点的速度已知，的长度已知，用t可分别表示的长，即可求得时间t； （3）当时，点P向点C运动，使是等腰三角形，可分三种情况，即；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴ ∴P从B运动到C，即：，， ∴，解得：， ∴当秒时，四边形是平行四边形； （2）解：若点P、Q分别沿运动时，，，， ∴，解得：（秒）； 若点P返回时，，， ∴，解得：（秒）． 故当或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等； （3）解：如图：当时，作于H，则，， ∵， ∵， ∴，解得： 秒； 当时，， ∵， ∴，解得（秒）； 当时，， ∵， ∴，即， ∵， ∴方程无实根， 综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形． 22．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，，点为直线上的动点（点不与点C、D重合），连接，将射线绕点顺时针旋转与直线交于点． (1)当点在线段上时，若． ①如图1，求证； ②如图2，连接，若，当是以为底的等腰三角形时，求线段的长； (2)若，请求出线段的长． 【答案】(1)①见解析② (2)的长为或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出图形是解题的关键． （1）过点P作的延长线于点M，作于点N．先证明是等腰直角三角形，可推导出四边形是正方形，得到，则，即可解答． ②先求出，设正方形的边长为x，可得，，，，由得到，求出x，即可解答． （2）分类讨论：①当点P在的延长线上时，②当点P在线段之间时，③当点P在的延长线上时，逐一分析讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①过点P作的延长线于点M，作于点N．如图 ∴ ∵，四边形是平行四边形，， ∴ ∴ ∴，是等腰直角三角形 ∴ ∴四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． ②∵ ∴ 即 或（不合题意，舍去） ∴ 设正方形的边长为x，则 ∴，， ∵，四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∵是以为底的等腰三角形， ∴ ∴ 即， 解得， ∴， ∴． （2）①当点P在的延长线上时，过点A作于点M，延长至点F，使，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴是等边三角形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴． ②当点P在线段之间时，过点A作于点M，在上截取点F，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． ③当点P在线段的延长线上时，如图 有， ∴，不符合题意，舍去． 综上所述，的长为或． 地 城 考点03 平行四边形的判定 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，．若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解∶A．当，时， 四边形可能为等腰梯形，故不能判断四边形为平行四边形； B．当时， ，故不能判断四边形为平行四边形； C．当，时，不满足一组对边平行且相等， 故不能判断四边形为平行四边形； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断四边形为平行四边形； 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定出四边形为平行四边形，故A选项不符合题意； ∵，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定出四边形为平行四边形，故B选项不符合题意； ∵，，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定出四边形为平行四边形，故C选项不符合题意； ∵，，根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形不能判定出四边形为平行四边形，故D选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 4．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的条件是（   ） A．一组对边相等且平行 B．两条对角线互相平分 C．一组对边平行另一组对边相等 D．两组对边分别相等 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、∵一组对边相等且平行的四边形是平行四边形， ∴选项不符合题意； B、∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴选项不符合题意； C、∵一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形或等腰梯形， ∴选项符合题意； D、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形， ∴选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，已知线段，线段和射线，且，在射线上找一点C，使四边形是平行四边形，关于甲、乙的作法，下列判断正确的是（   ） 甲：过点D作，与交于点C； 乙：以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 A．只有甲的作法一定可行 B．只有乙的作法一定可行 C．甲、乙的作法都一定可行 D．甲、乙的作法都不可行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定． 根据平行四边形的判定方法对两种方法进行判断． 【详解】解：甲：由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以甲的做法可行； 乙：由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以乙的做法不一定可行． 故选：A． 6．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，平行四边形的两条对角线，相交于点，点E，F分别是，上的点，连接，，，，添加下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是添加条件判断平行四边形，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 根据平行四边形的性质与全等三角形的性质逐一分析，结合平行四边形的判定方法可得结论． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意； ， ， ， ∵， ， ∴四边形是平行四边形，故C不符合题意； ∵， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，故D不符合题意； 当，此时不能判定四边形是平行四边形，故B符合题意； 故选：B． 二、解答题 7．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出点（点在小正方形的顶点上），使以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中确定点（点在小正方形的顶点上），连接，使，且四边形面积为9，请在图中标出点的位置，则 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，， 【分析】本题考查平移，平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质： （1）利用平移思想，将点向右移动2个单位，再向下移动一个单位，得到点即可（或将点向左移动2个单位，再向上移动一个单位，也可得到点），此时，故四边形为平行四边形； （2）构造等腰三角形，利用三线合一，结合四边形面积为9，可得面积等于2，由此即可得到点在点下方第4个格点处．再根据勾股定理求出. 【详解】（1）解：如图，四边形（或）即为所求；   或 （2）如图，点即为所求；    由图可知四边形的面积为：． ， 8．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图（1），． (1)请利用无刻度的直尺和圆规，在平面内找一点D，使四边形为平行四边形； (2)如图（2），如果平行四边形的面积为c，在上取任意一点E，在上任取一点F，连接，，，，设与交于点G，与交于点H，如果的面积为a，的面积为b，则和的面积和为多少？（用含c、a和b的式子表示） 【答案】(1)详见解析 (2)． 【分析】（1）先作线段的垂直平分线交于，延长至，使，连接，则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得即为所求； （2）连接，因为四边形是平行四边形，所以，根据两平行线间的距离处处相等，进而得到等底等高的两三角形面积相等，易证的面积和的面积相等，进一步即可解决． 【详解】（1）解：如图（答案不唯一），即为所求． ； （2）解：如图： 连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， 同理， ，， 四边形的面积， ∴和的面积和为； 【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，平行四边形的判定与性质，三角形的面积的计算，熟练的作图是解本题的关键. 9．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在四边形中，，过点A作于点E，过点C作于点F，且． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，连接，，连接交于点O，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个与四边形面积相等的三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)，，， 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，根据“”证明是解题的关键． （1）由于点，于点，得，而，，即可根据“”证明，得，则，即可证明四边形是平行四边形； （2）由于点，于点，得，由全等三角形的性质得，则四边形是平行四边形，所以，可证明，设，，则，所以，可知与四边形面积相等的四个三角形分别是，，，． 【详解】（1）证明：于点，于点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，，，， 理由：于点，于点， ， 由（1）得， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 设，，则， ， ， ， 与四边形面积相等的四个三角形分别是，，，． 10．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，，延长到点，使过点作∥交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）证明，推出可得结论； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 且， ， ． 四边形是平行四边形； （2）解：， ，． ， ． ， ． ， 在中，， 在 中，． ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 11．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，且C为的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若、、、求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）证明，即可； （2）利用等腰三角形三线合一的性质证明，再利用勾股定理求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴、， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 12．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】（1）甲方案：如图，连接，根据平行四边形的性质得，，再根据中点的定义得，即可得出四边形为平行四边形； 乙方案：根据平行四边形的性质得，，即可得，再根据“角角边”证明，可得，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）根据平行四边形的性质得，，可得，再说明 ，，然后根据 ，可得 ，进而根据得出答案． 【详解】（1）证明：甲方案：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，． ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∴． ∵ ， ∴， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 答：的面积为． 13．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在中，点D是的中点，过点A作，连接，． (1)如图1，连接，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，连接交于点O，过点O作，垂足为O，交于点G，连接，且，如图2所示，已知，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据，得，再证明，又因为点D是的中点，得，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形； （2）先得出，再运用平行四边形的性质得，，然后得出是线段的垂直平分线，则，因为，所以，算出，得，则，因为，，则代入数值得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形； ∴， ∵连接交于点O， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， 连接，如图， ∴， ∵过点O作，垂足为O，交于点G，连接， 又∵， ∴， ∴， 过点G作， 如图， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，， ∴， 即， 解得， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，垂直平分线的定义与性质，勾股定理，30度角所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）【问题呈现】 如图，是等边三角形，是边上的高，点E在的延长线上，连接，，过点A作与的延长线交于点F，连接，，． 【问题发现】 （1）根据题意可知，当时，的长度为______； 【求知探究】 （2）求证：四边形为平行四边形； 【深入探索】 （3）若，求出四边形的周长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由与的延长线交于点F，得，而，，所以，于是得到问题的答案； （2）证明：由是等边三角形，是边上的高，得，，则，，所以，则，再证明是等边三角形，则，所以，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形为平行四边形． （3）由，求得，可证明，则，求得，则，即可求得四边形的周长为． 【详解】（1）解：∵与的延长线交于点F， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵是等边三角形，是边上的高， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （3）解：∵， ∴， ∵，，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 15．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点重合，，，． (1)【问题初探】 如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)【类比分析】 如图2，连接，，若是的中点，连接并延长到，使，连接，． ①求证：四边形是平行四边形； ②求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，延长至点，满足，连接，，当，，绕点旋转得到，，三点共线时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）①利用对角线互相平分的四边形为平行四边形的判定定理解答即可； ②利用平行四边形的性质和同角的补角相等的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用等量代换的性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当在的左侧时，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可；②当在的右侧时，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：与的数量关系为，理由： ， ， 在和中， ， ， ； （2）①证明：是的中点， ， ， 四边形是平行四边形； ②证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）①当在的左侧时，过点作于点，如图， ，，      是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； ②当在的右侧时，过点作于点，如图， ，，      是等腰直角三角形， ， ， ， ， 综上，绕点旋转得到，，三点共线时，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，分类讨论的思想方法，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 地 城 考点04 三角形的中位线 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在中，E是边的中点，F是对角线的中点，若，则的长为（   ） A．10 B．9 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查求线段长，涉及三角形中位线判定与性质、平行四边形性质等知识，熟记三角形中位线判定与性质、平行四边形性质是解决问题的关键．由题意，根据三角形的中位线定理可得，再由平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：在中，是边的中点，是对角线的中点，则是的中位线， ∴，解得， 在中，， 故选：A． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，准确计算是解题的关键． 利用三角形中位线定理计算即可； 【详解】解：、为，的中点， 是的中位线， ， ， ． 故选． 3．（24-25八年级下·广东汕头·期末）若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是矩形，则四边形的两条对角线一定是（　　） A．互相平分 B．相等 C．互相平分且相等 D．互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理．根据中点四边形为矩形，得到四边形的对角线互相垂直，即可得出结果． 【详解】解：如图，H，G，F，E分别为的中点，四边形为矩形， 则，， 四边形为矩形， ， ， 四边形的两条对角线一定是互相垂直, 故选D． 4．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O．点E、F分别是，的中点，且，则的长度为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，先判断出是的中位线，求出的长度，再根据矩形性质得到从而求出结果 【详解】解：点E、F是，的中点， 是的中位线， ， ， 四边形为矩形， ， 故选：D 5．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数． 【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，平分交于点．且，连接，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明是等边三角形，，再利用30度的直角三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确， ，， ，故②正确， ， ，故④错误， 假设，则垂直平分线段，推出，推出，与题目条件矛盾，故③错误． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，为矩形的对角线，的平分线交于点．是上的点，于点，是的中点，连接．若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识点，说明是等腰三角形成为解答本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质证得是等腰三角形，再利用三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 的平分线交于点，于点， 是等腰三角形， ，， ， 点是的中点， 是的中位线， ， ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在中，点D、点E分别为线段中点，点F在线段上，且，若，，则的长度为________ ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，再计算即可． 【详解】解：∵点D、点E分别为线段中点，， ∴是的中位线， ∴， 在中，，点E是的中点，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 【答案】 【分析】由矩形的性质可证是等边三角形，可得 ，由三角形中位线定理可得，可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E、F、G分别为中点， ∴， ∴， ∵四边形周长为8 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 10．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长度为____． 【答案】 【分析】连接并延长交于P，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的判定与性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于P，连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵E，F分别是边，的中点，，， ∴， ， ∵， ∴， ∵H是的中点， ∴ ∵在与中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵点G是的中点，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题 11．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，E、F、G、H分别为、、、的中点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质； （1）由平行四边形的性质得出，，再由中点的定义得出是的中位线，是的中位线，即可得到，，然后证出四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知， ∵，， ，， ∴平行四边形的周长是； 12．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到，再根据菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：、、、分别是四条边、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：、分别是四条边、的中点， 为的中位线， ， 当时，，则平行四边形是菱形． 13．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，进而得到是的中位线，推出，证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质性质可知，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， 点为的中点， 点为中点， 为的中位线， ， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 为矩形． （2）四边形为菱形， ，， ， 又点为的中点， ， 四边形为矩形，， ，， ， ， 在中，． ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，中位线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 14．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，，分别是，的中点，延长至点，使得，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）证明是的中位线，得出，，再推出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）先求出、的长，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后由平行四边形的性质和三角形面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：、分别是、的中点， 是的中位线， ，， 延长至点，使得， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：点是的中点， ， 由（1）得：， ， ， 是直角三角形， 由（1）得：四边形是平行四边形， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理的逆定理是解题的关键． 15．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）（1）如图1，在四边形中，与相交于点，，分别是的中点，连接，分别交于点，是中点，连接，判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形中，分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点．求证：． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析（2）见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）易得分别是，的中位线，再结合中位线的性质以及，得出，根据等边对等角，得出，即可作答． （2）连接，取的中点H，连接分别是，的中位线，再结合中位线的性质以及，根据等边对等角以及角的等量代换，即可作答． 【详解】解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵E，F分别是的中点，是中点， ∴分别是，的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）如图，连接，取的中点H，连接 ∵E，F分别是的中点， ∴分别是，的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 16．（24-25八年级下·江西吉安·期末）【课本再现】 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （1）请你完成以下证明： 已知：如图，是的中位线．求证：，． 【类比迁移】 （2）如图，是线段的中点，点在上，交于点，且，试判断线段和的数量关系并说明理由．小明发现可以类比以上思路进行证明：如图，延长至点，使，连接，易证…… 请你完成以上证明过程． 【方法运用】 （3）如图，在中，，，为射线上一个动点（在点右侧），把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，是的中点，连接，，，． 请你判断线段和的数量关系并说明理由； 若，，请直接写出的长． 【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；（），理由见解析；的长为或． 【详解】（）延长至，使，连接证明，则有，，然后证明四边形是平行四边形，所以，，从而有，； （）延长至点，使，连接，同（）理，则，，然后证明，故有，从而求证； （）延长至点，使，连接，，先证，得，，则，由线段绕点逆时针旋转得到线段，，再证得，，然后证是等边三角形，即可得出结论； 分两种情况，当为的中位线时；当不是的中位线时两种情况分析即可． 解：（）证明：如图，延长至，使，连接， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （）， 理由如下：如图，延长至点，使，连接， 同（）理， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）．理由如下： 如图，延长至点，使，连接，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即； 解：由题意知，， 分是的中位线和不是的中位线两种情况求解， 当是的中位线时，， ∴； 当不是的中位线时，如图，取中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上可知：的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，旋转的性质，平行四边形的性质，中位线，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等角对等边，旋转的性质，平行四边形的性质，中位线，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 平行四边形 ☆4大高频考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02平行四边形的性质 考点03平行四边形的判定 考点04三角形的中位线 目地城点1 多边形及其内角和 一、单选题 1.(24-25八年级下·山东济南期末)学校计划在校园内修建一个景观花坛，若该花坛的平面示意图为正 边形，且一个外角是45°，则的值为() A.6 B.7 C.8 D.9 2.(24-25八年级下·四川成都·期末)一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，则这个多边形是( )边形 A.三 B.四 C.五 D.六 3.(24-25八年级下·湖南娄底期末)若一个正多边形的每个外角是60°，则它共有几条对角线() A.9 B.6 C.18 D.12 4.(24-25八年级下河北邯郸期末)一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形边数为() A.14 B.12 C.10 D.8 5.(24-25八年级下·陕西渭南期末)已知一个多边形的内角和为2160°，这个多边形的边数是() A.十二 B.十三 C.十四 D.十五 二、填空题 6.(24-25八年级下·陕西咸阳期末)已知一个多边形的内角和与它的外角和相加等于720°，则这个多边 形的边数是 7.(24-25八年级下·浙江杭州期末)若一个八边形的每个外角都相等，则它的一个内角等于 度 8.(24-25八年级下广东佛山期末)如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗.八边形的内角和度数是 1/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(24-25八年级下·四川成都期末)已知一个多边形的边数为n,它的内角和与外角和的度数之比为9：2 则n= 10.(24-25八年级下·四川成都期末)如图，直线I与正五边形ABCDE的边BC,AE(端点除外)分别交 于点F,G,则∠I+∠2的度数等于 G 2 B E D 目地 城点02 平行四边形的性质 一、单选题 1.(24-25八年级下·浙江金华期末)如图，在ABCD中，AB=8cm,AD=5cm,AE和BF分别是 ∠BAD和∠ABC的角平分线，交CD于点E和点F,则线段EF的长度为() B A.3cm B.2cm C.1cm D.2.5cm 2.(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点， AB LAC,若AB=8,AC=12,则BD的长是() 2/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.13 B.20 C.21 D.22 3.(24-25八年级下·甘肃酒泉期末)如图，在口ABCD中，CD=12,BE平分∠ABC交AD于点E,若 AE=2ED,则BC的长为(） A E A.24 B.18 C.12 D.6 4.(24-25八年级下河北邯郸期末)如图，在口ABCD中，∠B=120°，延长AD至点F,延长CD至点E, 连接EF,则∠E+∠F的度数为() E D A.30° B.50° C.60° D.120° 5.(24-25八年级下·云南昆明期末)如图，在平行四边形ABCD中，CELAB于点E,∠D=42°，则 ∠BCE的度数是() D A.42° B.48 C.52 D.58 6.(24-25八年级下·福建莆田·期末)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,EF经过点O, 交AD于E,交BC于F,若AB=4,BC=5,OE=2.5,则四边形CDEF的周长为() 3/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A.10 B.12 C.14 D.16 7.(24-25八年级下·陕西咸阳期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点 O作OE⊥AC,交BC于点E,连接AE.若平行四边形ABCD的周长为16，则△ABE的周长为()· A D A.10 B.9 C.8 D.6 8.(24-25八年级下河北张家口期末)如图，在口ABCD中，BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A 作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G,则图中一定是等腰三角形的有() A E D B A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 9.(24-25八年级下·辽宁丹东期末)如图，△DBE是以口ABCD的对角线BD为边的等边三角形，点D与 点E关于x轴对称，若D点的坐标是5,25) 则C点的坐标为() VA E A,(1,0) B.(2,0) c.(3,0) D.(40) 10.(24-25八年级下广东深圳期末)如图，四边形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,∠B=∠C,BC 4/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 边上一点E满足BE=AD,连接D,E.现将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C处.若 CE=2,DE=3,则点E到AB边的距离为() E B 4V2 2v3 A.√2 B.3 C.3 D. 3 二、填空题 11.(24-25八年级下江苏扬州期末)在口ABCD中，若∠B=3∠A,则∠A的度数是 12.(24-25八年级下青海海东期末)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形4BCD的顶点 (-3,2) B(-1,-2)C(3,-2 ,则点D的坐标为 A D B 13.(2425八年级下·广东汕头期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点E.若AB=5cm, △ABE的周长比△CBE的周长小3cm,则AD的长度为 D E B 14.(24-25八年级下·宁夏中卫期末)如图，将口ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD 5/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 于点F,若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD,则∠BAC的度数为 15.(2425八年级下广东深圳期末)如图，平行四边形ABCD的面积为7，对角线AC,BD交于点O, 线段EF经过点O,交AD于点E,交BC于点F,则阴影部分面积为 A E D B 16.(2425八年级下广东广州期末)如图，平行四边形ABCD中，3AB=2BC,点O是∠BAD和 ∠CBA的平分线的交点，过点O作EF∥AB,分别交ADBC于E、F两点，连接OD、OC.以下结论： ①AO⊥BO: ②点O是EF的中点： ③四边形CDEF的周长是四边形ABFE的周长的2倍； 。4oB+S.cop=2S,B0C ④ 其中正确的结论有」 (填写所有正确结论的序号)· A E D B 三、解答题 17.(17-18八年级下·全国单元测试)如图所示，在口ABCD中，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E, F,求证：BE=DF. 6/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 18.(24-25八年级下·重庆合川期末)如图，在平行四边形ABCD中，AC=BC,AE⊥BC交BC于点 E,且AE=CE,F为AB的中点，连接CF交AE于点G. D D G E 图1 图2 (1)如图1，求证：AB=CG； (2)如图2，连接BG并延长交AD于点H,求证：DH=2EG 19.(2425八年级下·辽宁葫芦岛期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长CB至点E,使 BE=CB,连接DE交AC于点F,交AB于点G. A G B 1 (1)求证： BG=CD 2 (②)若AC平分∠BAD,∠ADE=∠ACB,过点F作FH⊥AD,垂足为H.求证：AG=AH. 20.(2425八年级下河南平顶山~期末)追本溯源：题(1)来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方 法并完成题(2) (I)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线，交AB于点E,请 判断△BDE的形状，并说明理由. 方法应用： (2)如图2，在口ABCD中，BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F, 交BC于点G ①图2中一定是等腰三角形的有 个，分别是： 、 7/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②已知AB=3,BC=5,可以借助①中的结果求出CF的长（写出过程）. E B G 图1 图2 21.(24-25八年级下·广东深圳期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=16cm, AB=12cm,BC=2lcm.动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点 Icm D P O 从点4出发，在线段D上以每秒m的速度向点P运动，点P,O分别从点8,4同时出发，当点2运 B.A 动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为（秒)· 》D B C D D P E (1)当0<t<10.5时，是否存在点P,使四边形PQDC是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的t的 值；若不存在，请说明理由. (2)当t为何值时，以C,D,Q,P为顶点的四边形面积等于60cm: (3)当0<t<10.5时，是否存在点P,使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若 不存在，请说明理由 22.(24-25八年级下·四川成都期末)在口ABCD中，AD=BD,点P为直线CD上的动点（点P不与点 C、D重合)，连接AP,将射线PA绕P点顺时针旋转m与直线DB交于点E. 8/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B P D P D 图1 图2 备用图 (1)当点P在线段CD上时，若∠C=45,m=90」 ①如图1，求证PA=PE: ②如图2，连接CE,若AB=2,当△PEC是以CE为底的等腰三角形时，求线段BE的长： 2若2C=60,m=60,AD=25,AP=2 请求出线段BE的长。 目地 城着点03 平行四边形的判定 一、单选题 1,(24-25八年级下四川成都期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC.若添加一个条件，使四边形 ABCD为平行四边形，则下列正确的是() B A.AB=CD B.∠DAC=∠ACBC.AD=AB D.∠B=∠D 2.(24-25八年级下·山东德州期末)如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是() D A.AB∥CD,AD∥BC B.AD∥BC,AD=BC C.∠A=∠C,∠B=∠D D.AB∥CD,AD=BC 3.(24-25八年级下陕西汉中期末)如图，口ABCD中，EF∥AB,GH∥AD,则图中共有平行四边形的个 数为() 9/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A H M B F A.9个 B.8个 C.7个 D.6个 4.(24-25八年级下·湖南娄底·期末)下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边相等且平行 B.两条对角线互相平分 C.一组对边平行另一组对边相等 D.两组对边分别相等 5.(24-25八年级下·河北张家口·期末)如图，已知线段AB,线段AD和射线BP,且AD∥BP,在射线 BP上找一点C,使四边形ABCD是平行四边形，关于甲、乙的作法，下列判断正确的是() 甲：过点D作DC∥AB,与BP交于点C; 乙：以点D为圆心，AB长为半径画弧，与BP交于点C,连接CD A.只有甲的作法一定可行 B.只有乙的作法一定可行 C.甲、乙的作法都一定可行 D.甲、乙的作法都不可行 6.(24-25八年级下河南平顶山期末)如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,点 E,F分别是AO,CO上的点，连接BE,BF,DE,DF,添加下列条件不能判定四边形BFDE为平行 四边形的是() A.AF=CE B.BD=EF C.∠FDB=∠EBDD.DE∥BF 10/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、解答题 7.(24-25八年级下陕西西安期末)如图，在8×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点均在小正方形的顶点上， 图1 图2 (I)在图1中画出点D(点D在小正方形的顶点上)，使以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形： (②)在图2中确定点E(点E在小正方形的顶点上)，连接EA,EB,EC,使∠CAE=∠CAB,且四边形 ABCE面积为9，请在图中标出点E的位置，则BE=_ 8.(24-25八年级下河南郑州期末)如图(1)，△ABC. 图(1) 图(2) (I)请利用无刻度的直尺和圆规，在平面内找一点D,使四边形ABCD为平行四边形： (2)如图(2)，如果平行四边形ABCD的面积为c,在AD上取任意一点E,在BC上任取一点F,连接AF, DF,BE,CE,设AF与BE交于点G,DF与CE交于点H,如果△ABG的面积为a,△DHC的面积为 b,则△BGF和△FHC的面积和为多少？（用含C、a和b的式子表示） 9.(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨期末)已知：在四边形ABCD中，AB=CD,过点A作AE⊥BD于点 E,过点C作CF⊥BD于点F,且BE=DF 图1 图2 (1)如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)如图2，连接AF,CE,连接AC交BD于点O,BE=2OE,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写 出图2中四个与四边形AECF面积相等的三角形 10.(24-25八年级下·辽宁阜新期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD L BC,延长DC到点E,使 11/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE=BD.过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F,连接AE,DF. D (I)求证：四边形ADFE是平行四边形： (2)若∠BAE=∠BCA,BD=2,求AF的长. 1L.(2425八年级下陕西西安期末)如图，在四边形ABFD中，△ABE≌△FCE,且C为DF的中点. D E (I)求证：四边形ABCD是平行四边形. (2)若AD=AF、AB=5、BC=13、求AC的长. 12.(24-25八年级下·山东聊城期末)如图，在口ABCD中，点0是对角线AC的中点.某数学学习小组 要在AC上找两点E,F,使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 B 分别取A0,CO的中点 作BE⊥AC于点E, DF⊥AC于点F E,F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明。 (2)若EF=2 AE SAAED=6 求ABCD 的面积. 12/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(24-25八年级下·陕西咸阳期末)在△ABC中，点D是BC的中点，过点A作AE∥BC,连接AD, BE 图1 图2 (I)如图1，连接CE,交AD于点F,且AF=DF.求证：四边形AEBD是平行四边形： (2)在(1)的条件下，连接DE交AB于点O,过点O作OM⊥AB,垂足为O,交AD于点G,连接DM, 且AD-BD=DM=2,如图2所示，己知∠ADC=120°，BE=6,求AG的长. 14.(24-25八年级下陕西咸阳期末)【问题呈现】 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E在AB的延长线上，连接ED,∠AED=30°，过点 A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F,连接BF,CF,CE, 【问题发现】 (I)根据题意可知，当4F=V2时 时， EF的长度为一 【求知探究】 (2)求证：四边形BECF为平行四边形： 【深入探索】 (3)若AB=6,求出四边形BECF的周长. 15.(2425八年级下·辽宁沈阳·期末)数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角△ABC和 △ADE 摆在一起，其中直角顶点重合，MB=1C,AD=AE∠BAC=∠DB=90 13/19 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 图3 (1)【问题初探】 如图1，连接BD,CE,判断BD与CE的数量关系，并说明理由： (2)【类比分析】 如图2，连接BE,CD,若F是BE的中点，连接AF并延长AF到G,使FG=AF,连接BG,EG. ①求证：四边形ABGE是平行四边形： ②求证：CD=2AF: (3)【拓展延伸】 如图3，延KC4至点F,满是4厂=1C,连接DF,E,当4B=25,D=2,△4DE绕4旋转得 到D,E,F三点共线时，求线段DF的长 目地 城赠点04 三角形的中位线 一、单选题 1.(24-25八年级下·广西河池期末)如图，在口ABCD中，E是BC边的中点，F是对角线AC的中点， 若EF=5,则DC的长为() A D A.10 B.9 C.5 D.2.5 2.(24-25八年级下·云南红河期末)如图所示，某数学小组为测量池塘两侧A、B两点之间的距离，在 空地上另取一点C,并找到AC,BC的中点D,E,通过测量得DE=60m,则AB=() 14/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.30m B.60m c.75m D.120m 3.(24-25八年级下·广东汕头期末)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是矩形，则四边 形ABCD的两条对角线AC,BD一定是() A.互相平分 B.相等 C.互相平分且相等D.互相垂直 4.(24-25八年级下·四川南充期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.点E、F分 别是CD,OD的中点，且EF=2.5,则BD的长度为() D A.5 B.8 C.9 D.10 5.(24-25八年级下·湖南怀化期末)如图，在四边形ABCD中，点G是对角线BD的中点，点E、F分 别是BC、AD的中点，AB=DC,∠ABD=100°，∠BDC=40°.则∠GEF的度数为() A.10° B.20 C.30° D.40° 6.(24-25八年级下·陕西西安期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AE 平分∠BAD交BC于点E.且乙ADC=60,4B-C,连按OB,则下列结论：①SEm=5CD: 2 @0E=BC:@BD1ME:④0D=60E.正稀的个数是(） 4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 15/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25八年级下·湖北宜昌·期末)如图，AC为矩形ABCD的对角线，∠BAC的平分线交BC于点E. F是AC上的点，BF⊥AE于点P,H是BC的中点，连接PH.若AB=6,BC=8,则PH的长为 D E H 8.(24-25八年级下四川广安期末)如图，在△ABC中，点D、点E分别为线段ACBC中点，点F在 线段DE上，且∠BFC=90°，若BC=4,AB=9,则DF的长度为， B 9.(24-25八年级下·上海浦东新期末)如图，矩形ABCD对角线相交于点O,AC与BD的夹角为60°， 点E、R、G分别为AO,AB,BO中点，当四边形EFGO周长为8时，则矩形ABCD的面积是一 D E B 10.(2425八年级下·广东惠州期末)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC的中点，连 接EC,FD,点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH,若AB=6,BC=10,则GH的长度为一 A E G 三、解答题 11.(2425八年级下·内蒙古赤峰期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点 O,E、R、G、H分别为OA、OB、OC、OD的中点，AB=3cm,BC=4cm. 16/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (I)求证：四边形EFGH为平行四边形： (2)求四边形EFGH的周长， 12.(24-25八年级下·湖北武汉期末)如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边AB、 BC、CD、DA的中点，AC、BD是对角线，连接EF、FG、GH、HE. H A (1)证明：四边形EFGH为平行四边形； (2)若 则四边形EFGH是菱形.请从①AC⊥BD,②AC=BD这两个选项中选择一个作为条件，使 结论成立.（填序号） 13.(2425八年级下·山东滨州期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点， EF⊥AB交AB于点F,OG⊥AB交AB于点G. D C (I)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若AB=20,OG=8,求BG的长 14.(2425八年级下广西南宁·期末)如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AC的中点，延长BA至点 p,使得F=,连接DE,AD:Er 2 17/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F D (I)求证：四边形ADEF是平行四边形： (2)若AB=6,AC=8,AD=5,求四边形ADEF的面积. 15.(2425八年级下·河北邯郸期末)(1)如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O, AB=CD E,F BC,A 分别是 的中点，连接F,分别这C份于点从N,”是D中点，连接 FH,EH ，判断aO 的形状，并说明理由； M M H F 图1 图2 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=CD,E,F分别是AD,BC的中点，连接FE并延长，分别与BA,CD 的延长线交于点M,N.求证：∠BME=∠CWE. 16.(24-25八年级下江西吉安·期末)【课本再现】 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. (1)请你完成以下证明： 已知：如图①：DE是a4BC的中位线.求证：DE/BC,DE=BC, 2 【类比迁移】 (2)如图②，D是线段BC的中点，点E在AC上，BE交AD于点F,且AE=EF,试判断线段AC和 的数量关系并说明理由。小明发现可以类比以上思路进行证明：如图②，延长D至点M,使 BF 18/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MD=FD,连接MC,易证△BDF兰△CDM. 请你完成以上证明过程. 【方法运用】 (3)如图③，在口ABCD中，AB=BC,∠D=60°，E为射线BC上一个动点（在点C右侧），把线段 EC绕点E逆时针旋转I2O°得到线段EC',连接BC,F是BC'的中点，连接AE,CF,EF,AC AE EF 请你判断线段“和 的数量关系并说明理由； ②若MB=4,CF=2CE,请直接写出CF的长. D A D B D M- 图1 图2 图3 备用图 19/19