专题02 期末复习易错题55个考点（举一反三期末专项训练）八年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 聚焦期末易错题，以55个考点系统覆盖统计与概率、四边形、因式分解、分式、二次根式五大模块，通过分层题型强化概念理解与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计与概率|10考点|选择/填空/解答|从调查方法到数据图表分析，逐步构建概率计算模型| |四边形|12考点|证明/计算|从平行四边形到特殊四边形，性质与判定螺旋递进| |因式分解|8考点|概念辨析/方法应用|提公因式法到公式法，渗透转化与整体思想| |分式|15考点|运算/方程/应用|定义→性质→运算→方程，强化代数变形能力| |二次根式|10考点|性质/运算/应用|从定义到化简求值，培养数感与符号意识|

专题02 期末复习易错题55个考点 【新教材苏科版】 【考点1 普查与抽样调查】 3 【考点2 总体、个体、样本、样本容量】 5 【考点3 统计表】 7 【考点4 条形统计图】 9 【考点5 扇形统计图】 11 【考点6 折线统计图】 14 【考点7 频数分布直方图】 16 【考点8 随机事件】 19 【考点9 简单概率的计算】 20 【考点10 频率与概率】 22 【考点11 平行四边形的性质】 25 【考点12 平行四边形的判定】 28 【考点13 平行四边形的判定与性质】 34 【考点14 菱形的性质】 39 【考点15 菱形的判定】 41 【考点16 菱形的判定与性质】 45 【考点17 矩形的性质】 48 【考点18 矩形的判定】 51 【考点19 矩形的判定与性质】 53 【考点20 正方形的性质】 58 【考点21 正方形的判定】 60 【考点22 正方形的判定与性质】 65 【考点23 三角形的中位线】 69 【考点24 因式分解的相关概念】 73 【考点25 公因式】 76 【考点26 因式分解—提公因式法】 77 【考点27 因式分解—运用公式法】 78 【考点28 因式分解—提公因式法与公式法的综合】 80 【考点29 公式法—十字相乘法】 81 【考点30 公式法—分组分解法】 82 【考点31 因式分解的应用】 83 【考点32 分式的定义】 86 【考点33 分式有意义的条件】 88 【考点34 分式的值为零的条件】 89 【考点35 分式的值】 91 【考点36 分式的基本性质】 93 【考点37 约分与通分】 95 【考点38 最简分式】 97 【考点39 最简公分母】 98 【考点40 分式的乘除法】 100 【考点41 分式的加减法】 101 【考点42 分式的混合运算】 103 【考点43 分式的化简求值】 106 【考点44 分式方程的定义】 110 【考点45 分式方程的解】 111 【考点46 解分式方程】 113 【考点47 由实际问题抽象出分式方程】 117 【考点48 分式方程的应用】 118 【考点49 二次根式的定义】 122 【考点50 二次根式有意义的条件】 123 【考点51 二次根式的性质与化简】 124 【考点52 最简二次根式】 126 【考点53 二次根式的运算】 127 【考点54 二次根式的大小比较】 129 【考点55 二次根式的应用】 131 【考点1 普查与抽样调查】 1．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）下列调查中，适合采用普查（普查）方式的是（   ） A．对我市中学生观看电影《南京照相馆》情况的调查 B．调查琼江河的水质情况 C．调查某班学生视力情况 D．调查全国初一中学生的平均身高 【答案】C 【分析】本题考查了普查，普查（普查）适用于调查对象数量较少、易于全面进行的情况．选项C中，某班学生数量有限，适合普查；其他选项调查范围广、对象多，适合抽样调查． 【详解】解：∵普查需要对所有调查对象进行逐一调查， ∴适用于对象数量少、调查简便的情况． 选项A（全市中学生）、B（整条河流）、D（全国初一中学生）对象数量多或范围广，普查成本高、难度大，不适合；选项C（某班学生）对象数量少，易于普查， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（   ） A．了解我校七年级（1）班全体同学周末时间安排情况 B．乘坐飞机时对旅客行李的检查 C．调查某班名同学的视力情况 D．了解一批汽车的抗撞击能力 【答案】D 【分析】本题考查抽样调查与普查的适用情况，掌握相关知识是解决问题的关键．普查适用于对象数量少、精确要求高或非破坏性调查；抽样调查适用于对象数量多、破坏性调查或普查不现实的情况． 【详解】解： A：班级人数较少，宜采用普查； B：行李检查涉及安全，必须全面检查； C：班级人数较少，宜采用普查； D：抗撞击能力测试具有破坏性，宜采用抽样调查． 故选：D． 3．木王森林公园位于商洛市镇安县境内，是秦岭南坡仅有的两个国家森林公园之一，被誉为“植物的世界，动物的王国”．为调查园内的水质情况，管理人员适合采用 调查．（填“全面”或“抽样”） 【答案】抽样 【分析】本题考查的是抽样调查和普查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：为调查园内的水质情况，管理人员适合采用抽样调查． 故答案为：抽样． 4．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）下列调查：①调查洗衣机的使用寿命；②调查“神舟十四号载人飞船”的零部件；③调查人们保护地球环境的意识；④调查全国初中生的视力情况．其中适合普查的是（填序号） ． 【答案】② 【分析】本题考查的是抽样调查和普查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：①调查洗衣机的使用寿命，适合抽样调查； ②调查“神舟十四号载人飞船”的零部件，适合普查； ③调查人们保护地球环境的意识，适合抽样调查； ④调查全国初中生的视力情况，适合抽样调查； 所以适合普查的是②． 故答案为：②． 【考点2 总体、个体、样本、样本容量】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）为了了解我县参加中考的名学生的体重情况，随机抽取了其中名学生的体重进行统计分析，下面叙述正确的有（    ）个 ①总体是3000名学生； ②样本是200名学生的体重； ③样本容量是200； ④以上是抽样调查． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查总体、个体、样本、以及普查和抽样调查，根据题意，利用总体、个体、样本的意义进行判断即可． 【详解】解：总体是名学生的体重，原说法错误； 样本是名学生的体重，说法正确； 样本容量是，说法正确； 以上是抽样调查，说法正确． 所以叙述正确的有个． 故选：C． 2．为了解全校九年级300名学生的视力情况，从中抽取50名九年级学生进行视力测量调查，在这个调查中，样本容量是 ． 【答案】50 【分析】本题考查了样本容量的定义，指一个样本中包含的个体数目，本题中，总体是九年级300名学生的视力情况，样本是从中抽取的50名学生的视力情况，从而得出样本容量． 【详解】解：样本为抽取的50名学生的视力情况， 样本容量是50， 故答案为：50． 3．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）为了掌握我校七年级男同学身高情况，从中抽测了50名男同学的身高，这个问题中的样本是 ． 【答案】抽测的50名男同学的身高 【分析】本题考查统计知识的样本概念，根据总体是所要考查对象的全体，样本是从总体中抽取的部分个体，即可解答． 【详解】∵为了掌握我校七年级男同学身高情况，从中抽测了50名男同学的身高， ∴这个问题中的样本是抽测的50名男同学的身高． 故答案为：抽测的50名男同学的身高． 4．为了解我市中学生中15岁女生的身高状况，随机抽查了10个学校的200名15岁女生的身高，则下列表述正确的是 A．总体指我市全体15岁的女中学生 B．个体是200名女生的身高 C．个体是10个学校的女生 D．抽查的200名女生的身高是总体的一个样本 【答案】D 【分析】本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象．本题中的研究对象是：我市中学生中15岁女生的身高． 【详解】解：本题中的总体是某总体指我市全体15岁的女中学生的身高状况，不是指“我市全体15岁的女中学生”故A错误； 个体是这10个学校中每名15岁女生的身高，而非指“10个学校的女生“，故B和C错误． 故选D． 【点睛】本题考查的是确定总体、个体和样本．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”A、B、C对概念理解不准确． 【考点3 统计表】 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（　　） 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 39 41 33 40 47 A．120 B．200 C．6960 D．9600 【答案】D 【分析】本题考查的是统计表，用样本估计总体，求出不低于4.8的人数所占的百分比是解决此题的关键．求出不低于4.8的人数所占的百分比再乘16000即可求出结论． 【详解】解：， ∴视力不低于4.8的人数是9600， 故选：D． 2．为了解学生心理健康情况，某学校在全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，根据竞赛成绩将各年级合格人数绘制了如图所示的统计表，则下列说法正确的是（    ） 各年级合格人数统计表 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数（人） 337 330 322 A．七年级学生的合格率最高 B．九年级学生的合格人数最少 C．八年级学生的人数为330人 D．九年级学生的合格率为 【答案】B 【分析】本题考查统计应用，涉及百分比、合格率计算，读懂题意，结合选项逐项判断即可得到答案，掌握统计知识的应用是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知： A、由于全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，无法计算七年级学生的合格率，该选项说法错误，不符合题意； B、由表可知，九年级学生的合格人数最少，该选项说法正确，符合题意； C、由于全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，无法计算八年级学生的人数，该选项说法错误，不符合题意； D、由于全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，无法计算九年级学生的合格率，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）下面是A，B两球从不同高度自由下落到地面后反弹高度的统计表．小明想要购买弹性较大的球，他应该选择 球． 起始高度 24 32 45 67 78 96 A球反弹高度 11 21 31 48 53 58 B球反弹高度 16 26 40 57 64 70 【答案】B 【分析】本题考查了统计表，正确阅读统计表信息是解答本题的关键．根据统计表数据判断即可． 【详解】解：由统计表可知，在起始高度相同的情况下，B球反弹高度比A球高， 所以小明想要购买弹性较大的球，他应该选择B球． 故答案为：B． 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）在曲阳县2025年中学生运动会跳高比赛中，各年龄组的参赛人数情况如下表所示：若小明所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的，则小明所在的年龄组是 年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁 参赛人数 5 19 12 14 【答案】14岁 【分析】本题主要考查数据统计与调查，关键是根据表格得到各年龄组的参赛人数，然后进行求解即可． 设小明所在年龄组的参赛人数为，则可根据题中的等量关系列出一元一次方程，解之即可． 【详解】解：根据各年龄组的参赛人数情况表可知： 参赛总人数， 设小明所在年龄组的参赛人数为， 根据题意可得：， 去分母，得：， 故小明所在的年龄组是岁， 故答案为：14岁． 【考点4 条形统计图】 1．（24-25六年级上·山东泰安·期末）学校期中考试后，随机抽取部分同学测试的成绩为样本（成绩为整数），绘制的成绩统计图如图所示，若这次测试成绩80分以上（不含80分）为优秀，则优秀率为 %． 【答案】 【分析】此题考查了条形统计图的相关知识，用优秀人数除以总人数并乘以即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 即优秀率为， 故答案为：． 2．某校随机调查了若干名家长与中学生对中学生带手机进校园的态度，并绘制了如图所示的统计图，已知调查家长的人数与调查学生的人数相等，则家长反对学生带手机进校园的人数有（   ） A．140 B．120 C．220 D．100 【答案】C 【分析】本题考查的是条形统计图．根据调查家长的人数与调查学生的人数相等，进而解答即可． 【详解】解：因为调查家长的人数与调查学生的人数相等，所以家长反对学生带手机进校园的人数有：（人）， 故选：C． 3．（24-25六年级下·上海青浦·期末）2024届巴黎奥运会落下帷幕，中国健儿斩获了境外奥运会的最好成绩．获奖情况如图所示，获得的金牌数占总奖牌数的 （填百分之几，百分号前保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题考查了条形统计图，根据图中信息得总奖牌数为，依题意，计算，即可作答． 【详解】解：由图得出，总奖牌数 ∴ 即获得的金牌数占总奖牌数的， 故答案为：． 4．某次考试中，某班级的数学成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图．下列说法错误的是（    ） A．得分在70～80分之间的人数最多 B．及格（不低于60分）的人数为26 C．得分在90～100分之间的人数占总人数的5% D．该班的总人数为40 【答案】B 【分析】根据频数分布直方图得出各分数段内的人数，再据此对各选项逐一判断即可． 【详解】A．得分在70～80分之间的人数最多，有14人，故此选项正确，不符合题意， B．及格（不低于60分）的人数为12＋14＋8＋2＝36（人），故此选项错误，符合题意， C．∵总人数为4＋12＋14＋8＋2＝40（人），得分在90～100分之间的人数为2人， ∴得分在90～100分之间的人数占总人数的百分比为×100%＝5%，故此选项正确，不符合题意； D．该班的总人数为40，故此选项正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查条形统计图，正确提取图中信息是解题关键． 【考点5 扇形统计图】 1．某班学生最喜欢的一项球类运动的统计表和扇形统计图如图所示，其中统计表不小心被撕掉一部分，下列推断不正确的是（   ） A．足球所在扇形的圆心角度数为 B．该班喜欢乒乓球的人数占总人数的 C．m与n的和为52 D．该班喜欢羽毛球的人数不超过13人 【答案】D 【分析】本题考查了扇形统计图与统计表信息关联，从扇形统计图与统计表中获取信息是解题的关键．根据乒乓球的人数与扇形统计图圆心角的度数求得总人数，根据足球的人数比上总人数，即可判断B选项，判断出足球所在扇形的圆心角度数，即可判断出A选项， 足球与乒乓球的人数的占比即可判断C选项，根据扇形统计图可知，进而即可判断D选项． 【详解】解：乒乓球的人数有14人，扇形统计图中圆心角的度数为，则总人数为：人， ，故B选项正确 足球有10人，则足球所在扇形的圆心角度数为，故A选项正确， ∴，故C选项正确， 根据扇形统计图可知， 所以该班喜欢羽毛球的人数超过人，故D选项不正确， 故选D． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）某学校全体学生来自A、B、C三个街道，其人数比为1：2：2．如图用扇形统计图来表示来自三个街道的学生所占的百分比，则来自A街道对应扇形的圆心角度数为 【答案】 【分析】本题考查了求扇形统计图的圆心角，根据乘以来自A街道对应的占比，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．幸福街道组织45岁以上居民进行慢性病筛查，根据筛查所得数据绘制的扇形统计图如图所示，其中患高血脂的有171人，该区45岁以上参加这次慢性病筛查的人中，患高血压的比患高血脂的多 人． 【答案】741 【分析】本题考查了扇形统计图，先求出患高血脂人占总调查人数的比例为，据此得出这次调查的总人数，进而可求出患高血压的比患高血脂的多的人数． 【详解】解：∵患高血脂的有171人，占总调查人数的比例为：， ∴这次调查的总人数为：（人）， ∴患高血压的比患高血脂的多的人数为：（人）， 故答案为：741． 4．某学校开设多门课外活动，为了解学生参与情况，进行了随机抽查．现将数据收集并整理后，绘制出如下不完整的统计图．经调查发现，选择面塑和中国结的学生人数相同，共40人，以下结论错误的是（     ） A． B．样本容量为100 C．选择中国结所对应的扇形圆心角为 D．选择面塑的学生比选择打印的学生数少10人 【答案】D 【分析】本题考查扇形统计图，根据统计图中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵选择面塑和中国结的学生人数相同，共40人，即选择面塑和中国结的学生人数均为20人， ∴样本容量为，故B选项正确； ，即，故A选项正确； 选择中国结所对应的扇形圆心角为，故C选项正确； 选择面塑的学生比选择打印的学生数少人，故D选项错误， 故选：D． 【考点6 折线统计图】 1．某购物中心对今年7-12月份中顾客使用“支付宝支付”和“微信支付”这两种支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线统计图．根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中说法不合理的是（   ） A．6个月中11月份使用手机支付的总次数最多 B．6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多 C．6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大 D．9月份平均每天使用手机支付的次数为0.314万次 【答案】C 【分析】本题考查了折线统计图；从折线统计图中得到每个月使用“微信支付”的次数、使用“支付宝支付”的次数，计算后即可判断． 【详解】解：月份每月使用手机支付的总次数分别为万次，万次，万次，万次，万次，万次， 月份使用手机支付的总次数最多，A项说法合理； 由折线统计图可看出， 个月中使用“微信支付”的总次数为（万次）， 个月中使用“支付宝支付”的总次数为（万次）， 所以个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多，B项说法合理； 从统计图中不能得到消费总额的信息，C项说法不合理； 月份平均每天使用手机支付的次数为（万次），D项说法合理 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图是某地某日至的气温变化趋势图，由此可估计当天时的气温约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折线统计图的运用，根据折线图信息，可估计当天时的气温约为，从折线图中得到必要的信息是解题的关键． 【详解】解：某地某日至的气温变化趋势图，由此可估计当天时的气温约为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是某班学生一周参加体育锻炼情况的折线统计图，则一周参加体育锻炼时间中人数最多的锻炼时间是 小时． 【答案】9 【分析】本题考查了折线统计图，从统计图中获取信息是解题的关键．折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况． 根据折线统计图可得一周参加体育锻炼人数最多的锻炼时间是9小时． 【详解】解：由图可知，一周参加体育锻炼的人数最多的锻炼时间是9小时， 故答案为：9． 4．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）甲、乙两家汽车销售公司2022年到2024年的销售量分别如图：从2022年到2024年的变化趋势可以得出，这两家公司销售量增长较快的是 公司． 【答案】甲 【分析】本题考查折线统计图的应用，关键是通过读取统计图中对应年份的销售量数据，计算增长量来比较增长快慢，折线统计图能直观反映数据的变化趋势．要判断甲、乙两家公司销售量增长快慢，需分别计算两家公司2022年到2024年销售量的增长量，通过比较增长量大小确定增长较快的公司． 【详解】甲公司销售量增长量 ：2022年销售量为100辆，2024年销售量为500辆， 增长量 2024年销售量 2022年销售量（辆）； 乙公司销售量增长量 ：观察乙公司统计图，2022年销售量为100辆，2024年销售量为400辆，增长量 2024年销售量 2022年销售量（辆）； 甲公司增长量为400辆，乙公司增长量为300辆，因为 ， 甲公司销售量增长较快． 故答案为：甲． 【考点7 频数分布直方图】 1．新冠肺炎在我国得到有效控制后，各校相继开学．为了检测学生在家学习情况，在开学初，我校进行了一次数学测试，如图是某班数学成绩的频数分布直方图，则由图可知，得分在分以上(包括分)的人数占总人数的百分比为 ． 【答案】 【分析】计算出总人数及成绩在70分以上（含70）的学生人数，列式计算即可． 【详解】解：∵总人数=4+12+14+8+2=40， 成绩在70分以上（含70）的学生人数=14+8+2=24， ∴成绩在70分以上（含70）的学生人数占全班总人数的百分比为 ． 故答案是：． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力及对信息进行处理的能力． 2．校运会前夕，校医对某班所有参加比赛的运动员进行了体检，这些运动员的身高（精确到）数据的频数分布直方图如图所示，据图可知下列说法正确的是（   ） A．参加比赛运动员人数为18人 B．参加比赛运动员身高最高段有8人 C．参加比赛运动员人数最多段有2人 D．参加比赛运动员身高最高段有2人 【答案】D 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 从频数分布直方图中获取信息分析即可． 【详解】解：A、（人），故本选项不符合题意； B、参加比赛运动员身高最高段有2人，故本选项不符合题意； C、参加比赛运动员人数最多段有8人，故本选项不符合题意； D、参加比赛运动员身高最高段有2人，故本选项符合题意， 故选：D． 3．（24-25七年级下·重庆巫山·期末）小明调查了全校同学近视度数的情况，他可以使用（　　）来表示情况． A．条形统计图 B．折线统计图 C．频数分布直方图 D．扇形统计图 【答案】C 【分析】本题考查了统计图的选择，频数（率）分布直方图，频数（率）分布折线图，选择合适的统计图需根据数据类型和展示需求，近视度数为连续数据，需展示不同区间的分布情况． 【详解】解：A、条形统计图：适用于比较不同类别的数据（如各班级人数），但近视度数为连续变量，需分组处理，条形图不适用； B、折线统计图：用于反映数据变化趋势（如温度随时间变化），而本题需展示分布，非趋势，故不适用； C、频数分布直方图：专用于连续数据的分组频数展示（如不同度数区间的人数），能直观体现数据分布特征，符合题意； D、扇形统计图：用于显示各部分占整体的比例（如各类支出占比），无法具体呈现各区间频数，故不适用． 故选：C． 4．（24-25七年级下·山西大同·期末）为了解赛跑后学生心率的分布情况，体育委员统计了全班50名学生赛跑后一分钟的脉搏次数，并根据收集到的数据画出如图所示的频数分布直方图．由于不小心，有一个长方形被墨水盖住了．根据统计图可知，下列说法中正确的是（   ）    A．脉搏次数在160~165之间的人数是11人 B．脉搏次数在155~160之间的人数占全班总人数的16% C．脉搏次数在165~170之间的人数最少 D．脉搏次数在130~150之间的人数有20人 【答案】A 【分析】本题主要考查频数分布直方图的性质，结合已知条件分别分析每个选项． 【详解】解：已知全班共有50名学生，从频数分布直方图中可以看出，除被墨水盖住的长方形（160∼165这一组）外，其他组的频数分别为： 130∼135组的频数是1；135∼140组的频数是2；140∼145组的频数是4；145∼150组的频数是6；150∼155组的频数是8；155∼160组的频数是16；165∼170组的频数是2； ∴160∼165组的频数人，故A选项正确． 由前面分析可知155∼160组的频数是16，全班总人数是50人， 则脉搏次数在155∼160之间的人数占全班总人数的百分比为​，故B选项错误． 由前面分析可知各小组的频数可知， 130∼135组：1人；是最少，故C选项错误． 130∼150包含130∼135、135∼140、140∼145、145∼150这四组， 这四组的频数分别为1，2，4，6，则人数共有人，故D选项错误． 故选A． 【考点8 随机事件】 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下列事件是随机事件的是（   ） A．在标准大气压下，水在时沸腾 B．当湘江水位高于橘子洲亲水平台，江水必然会漫上洲岸 C．在同一平面内任意画一个三角形，它的内角和为 D．使用手机绿色出行小程序，在一次碳积分抽奖中赢得奖励 【答案】D 【分析】本题主要考查事件的分类，掌握随机事件的定义，关键区分事件是否具有确定性． 随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，选项A、B、C描述的事件都是必然发生的，属于必然事件；选项D描述的事件具有不确定性，属于随机事件． 【详解】解：∵ A：在标准大气压下，水在时沸腾是必然事件； B：当水位高于平台时，江水漫上洲岸是必然事件； C：三角形内角和恒为是必然事件； D：抽奖赢得奖励可能发生也可能不发生，是随机事件． 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）生活中“水涨船高”描述的事件是 ．（填“不可能事件”，“随机事件”或“必然事件”） 【答案】必然事件 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，可能发生，可能不发生的事件叫做随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可． 【详解】解：生活中“水涨船高”描述的事件是必然事件， 故答案为：必然事件． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下面四个事件中，不可能发生的是（   ） A．某运动员跳高的最好成绩是米 B．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C．在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【分析】本题考查不可能事件的概念，熟练掌握概念是解决问题的关键．根据不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、运动员跳高成绩可能为米，为可能事件； B、图钉抛掷时钉尖可能着地，为可能事件； C、两条线段可能相交，为可能事件； D、因为袋子中只有白球和红球，没有黄球，所以摸出黄球是不可能事件． 故选：D． 4．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）事件“若a是有理数，则”属于 事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”） 【答案】不可能 【分析】本题考查了事件的分类，正确掌握必然事件，不可能事件及随机事件的定义是解题的关键．一定发生的事件是必然事件，一定不能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，根据定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：∵a是有理数， ∴当时，；当时，； ∴事件“若a是有理数，则”属于不可能事件． 故答案为：不可能． 【考点9 简单概率的计算】 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某饮料厂举办促销活动，在一箱（24瓶）饮料中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种饮料，但连续打开4瓶均未中奖，那么他打开下一瓶中奖的概率是 ． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键；由于前4瓶打开均未中奖，剩余饮料中中奖瓶数仍为4瓶，总剩余瓶数为20瓶，因此下一瓶中奖的概率为剩余中奖瓶数与剩余总瓶数的比值，然后问题可求解． 【详解】解：已打开4瓶均未中奖，则剩余饮料瓶数为瓶，其中中奖瓶数仍为4瓶， 故打开下一瓶中奖的概率为； 故答案为． 2．（25-26九年级上·广东河源·期中）龙川县历史悠久，是广东最早立县的四个古邑之一，有“千年古县”之称，龙川县有许多旅游景点，如佗城景区，霍山景区，九龙湾景区．周末，小明与小佳两人准备从这个景区随机选一个景区前往游览，他们恰好选择同一景区的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查可能事件的概率．通过计算所有可能的选择组合和满足条件的组合数，利用概率公式求解． 【详解】解：∵小明从个景区中随机选择个，有种选择；小佳同样有种选择， ∴总共有种可能的选择组合，   ∵他们选择同一景区的情况有种（都选佗城、都选霍山或都选九龙湾）， ∴概率为． 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查计算几何概率，掌握相关知识是解决问题的关键．用符合条件的图形面积总面积来计算概率． 【详解】解：图中四个扇形的面积都相等，其中偶数数字占两个扇形面积， ∴． 故选：D． 4．用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 【答案】B 【分析】 由概率公式求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】 解：A、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，概率和为1，可以成功； B、摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是，概率和为，肯定不能成功； C、摸到黄球、红球、白球的概率是，概率和为1，可以成功； D、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率和为1，可以成功． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查对于概率的理解，一件事情发生所有情况的概率和为1，掌握相关基础知识是解题的关键． 【考点10 频率与概率】 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为 ． 【答案】75 【分析】本题考查了用频率估计概率，几何概率，理解题意是解题的关键．根据题意可知，黑色部分的面积占正方形二维码面积的，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴估计黑色部分的面积约为． 故答案为：75． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一个不透明的口袋中装有14个白球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到蓝球的频率稳定在，则估计口袋中蓝球的个数为（   ） A．18个 B．16个 C．6个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式． 根据频率估计概率，摸到蓝球的频率稳定在，即概率为，设蓝球个数为，利用概率公式列方程求解． 【详解】解：设蓝球个数为，则总球数为， ∵摸到蓝球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴蓝球个数为6个． 故选：C． 3．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，简单的概率计算等知识点，解题的关键是熟练掌握简单概率的计算． 利用概率公式逐项进行求概率，然后对比图中概率，即可得出结果． 【详解】解：A. 小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； B. 任意写一个整数，它能被2整除的概率为，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率为，接近图中概率，该选项符合题意； D. 是绿球的概率为，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到） 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 用频率估计概率的方法计算即可． 【详解】解：由题意得针与直线相交的概率为， 由此估计的近似值为， 【考点11 平行四边形的性质】 1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】分别可证、为等腰三角形，得到、的长，进而得到，再根据计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， 又、分别是和的角平分线， ∴，． 又， ∴， 是等腰三角形，即． 同理可证是等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 4．已知如图，在中，点E、F分别在上，且，对角线交于点O，作与交于点G，连接． (1)求证：； (2)若的周长是20，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先由平行四边形得到，，然后结合已知条件，利用证明即可； （2）先证明垂直平分，则，然后由平行四边形的性质得到，再结合等量代换求解的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ； （2）解：∵在中，对角线交于点O， ，即点O是的中点， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 的周长是20，由（1）知， ， 的周长为， 即的周长是10． 【考点12 平行四边形的判定】 1．（25-26八年级下·北京·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、两组对角都不相等，不能判定是平行四边形，故A不符合题意； B、一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形，故B不符合题意； C、根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形，故C符合题意； D、根据，判定一组对边平行，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形，故D不符合题意． 2．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是______． 【答案】 【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由题目的已知条件可知添加，即可证明，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形． 【详解】解：条件是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 4．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 5．如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接，交于点，证明两条对角线互相平分即可． 【详解】解：连接，交于点， ， ， ， ， ， 故四边形是平行四边形． 6．如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）过点C作，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形. 【详解】（1）解：如图， 线段就是所求作的图形． （2）解：如图， 就是所求作的图形 【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【考点13 平行四边形的判定与性质】 1．如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的周长是，可以求出，根据中位线定理可知，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：点，，，分别是，，，的中点， 、分别是和的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， ， ， 又点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， . 故选：A. 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形判定和性质，勾股定理，关键是判定四边形是平行四边形，推出，由勾股定理得到． 过A作于H，由等腰三角形的性质推出，判定四边形AEDC是平行四边形，推出，由勾股定理得到定值． 【详解】解：过A作于H， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 设，， ，， 定值， 故选：B 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 4．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，再证，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点14 菱形的性质】 1．在菱形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，运用知识准确计算是解决问题的关键． 利用菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：在菱形中，， . 故选：A. 2．菱形的对角线，的长分别为和，则这个菱形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，解题的关键是利用菱形的性质；先根据菱形的性质得到直角，再根据勾股定理即可得到答案； 【详解】解：如图： 菱形的对角线，的长分别为和， ，，且， ． 故选：C． 3．如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，先根据点A和点B的坐标得到，再由菱形的性质得到，据此利用菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵，两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是菱形，且点C，D在坐标轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键．根据菱形的性质可得，，结合已知的 ，利用“ AAS”可证得，最后根据全等三角形的对应边相等即可． 【详解】证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ． 【考点15 菱形的判定】 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键；因此此题可根据菱形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：A、是的性质，不能作为菱形的判定条件，故不符合题意； B、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； C、当时，则是菱形，故符合题意； D、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； 故选C． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到，两部分，将展开后得到的平面图形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定和图形的展开与折叠，根据图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下及左、右四条边都相等，再由菱形的判定方法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下及左、右四条边都相等， ∴展开后得到的平面图形是菱形， 故答案为：菱形． 3．如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，根据甲、乙的方法分别画出图形，再证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：根据甲的作法作出图形，如下图所示．    四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 故甲的作法正确． 根据乙的作法作出图形，如下图所示．      ， ，． 平分，平分 ，， ，， ， ， ，且， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． 故乙的作法正确． 故选：C． 4．如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． (1)求证： (2)试判断四边形的形状，并说明理由 【答案】(1)见详解 (2)四边形是菱形，理由见详解 【分析】（1）由旋转的性质可知，，则有，，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵是由在平面内绕点B旋转而得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【考点16 菱形的判定与性质】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质，由作图可知：，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：． 【详解】解：由作图可知：， 四边形是菱形， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 则四边形的周长为． 故选：B ． 3．（2024·山东济宁·一模）如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是 ． 【答案】120 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理．证明，推出，判断出是菱形，利用勾股定理求得，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积是， 故答案为：120． 4．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分． （1）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论． （2）根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 【考点17 矩形的性质】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形中，对角线相交于点O， ，， ， ， ， 故选：D． 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，垂直且平分线段，垂足为点E，，则的长为（    ） A．7．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键；根据矩形的性质可得，根据垂直平分线的性质即可得解． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 垂直且平分线段， ， 故选：． 3．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理和直角三角形的性质算出对应的底和高．根据阴影部分的面积求解即可 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点M作， ∴， 则图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定等知识．先证明四边形是平行四边形．再证明，即可得到结论． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形． 四边形是矩形， ，，， ， 平行四边形是菱形． 【考点18 矩形的判定】 1．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是 ．（写出所有的可能，填写序号即可） 【答案】②③ 【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定方法是解题关键； 分别将①②③④作为补充条件判断即可． 【详解】解：补充①； ∵平行四边形， ∴平行四边形是菱形，不成立； 补充②； ∵平行四边形， ∴平行四边形是矩形，成立； 补充③； ∵平行四边形， ∴平行四边形是矩形，成立； 补充④； ∵平行四边形， ∴平行四边形是菱形，不成立； 故答案为：②③． 3．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， A、∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、∵时，又， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴平行四边形是菱形，无法判定其为矩形，故选项D符合题意． 故选：D． 4．（24-25九年级上·广东·期末）已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线，两线相交于点P，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，熟练掌握菱形的性质定理，矩形的判定定理是解题的关键．根据，，即可证出四边形是平行四边形，由菱形的性质得出，即可得出结论． 【详解】证明：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【考点19 矩形的判定与性质】 1．如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（    ） A．4 B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，ADBC，再证四边形ABFQ是矩形，得AB=FQ=DC=4，求出EQ=FQ=4，即可得出答案． 【详解】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQA=∠FQD=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=4，ADBC， ∴四边形ABFQ、四边形CDQF都是矩形， ∴AB=FQ=DC=4，QD=CF， 由题意得：AE=CF， ∴AE=QD， ∵ADBC， ∴∠QEF=∠BFE=45°， ∴△QEF是等腰直角三角形， ∴EQ=FQ=4， ∴AE=QD=×（10-4）=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查平移的性质及矩形的判定，理解题意，熟练掌握平移的性质是解题关键． 连接，根据 题意得出，，确定四边形是矩形，再由平移的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵平移， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由是菱形的性质得，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求出，，由勾股定理得出的长，再根据矩形面积公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，求△OEC的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）1 【分析】（1）证出∠BAD＝∠BCD，得出四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝OD，证出AC＝BD，即可解决问题； （2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． （2）解：作OF⊥BC于F，如图所示． ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∴BF＝FC， ∴OF＝CD＝1， ∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝45°， 在Rt△EDC中，EC＝CD＝2， ∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型． 【考点20 正方形的性质】 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）下列的性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，比较正方形和矩形的性质，找出正方形具备而矩形不一定具备的特征即可． 【详解】解：正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直；而正方形的对角线不仅相等、互相平分，还互相垂直， 因此“对角线互相垂直”是正方形具备而矩形不一定具备的性质． 故选：D． 2．如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形内角和定理，由正方形的性质并结合题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查全等图形，勾股定理，关键是由全等三角形的性质推出，由勾股定理求出的长． 由正方形的面积公式求出，由全等三角形的性质推出，求出，由勾股定理得到． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，勾股定理．由折叠的性质以及正方形的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 【考点21 正方形的判定】 1．如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.已知，，，点为轴上一动点，以为一边在右侧作正方形. （1）若点与点重合，请直接写出点的坐标. （2）若点在的延长线上，且，求点的坐标. （3）若，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）；（3），. 【分析】（1）与点重合则点E为（6，3） （2）作轴，证明：即则点E为（8，3） （3）分情况解答，在点右侧，过点作轴，证明：；在点左侧，点作轴，证明： 【详解】解：（1） 与点重合则点E再x轴的位置为2+4=6 . （2）过点作轴， ∵∠BAD=∠EMD=∠BDE=90°， ∴∠BDA+∠ABD=∠BDA+∠MDE, ∴∠ABD=∠MDE， ∵BD=DE， ，点在线段的中垂线上，. ,. . （3）①点在点右侧，如图， 过点作轴，同（2） 设，可得：， 求得：，（舍去） ②点在点左侧，如图， 过点作轴，同上得 设，可得：， ， 求得：，（舍去） 综上所述：， 【点睛】本题考查正方形的性质，解题关键在于分情况作出垂直线. 2．如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是 （只需添加一个）． 【答案】 【分析】由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出四边形是菱形，再由，即可判定四边形是正方形． 【详解】添加条件：，理由如下： 四边形是平行四边形， 四边形是菱形 四边形是正方形 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用①②进行判定． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，的对角线交于点的中点是，下列说法不正确的是（　　） A．当时，是矩形 B．当时，是菱形 C．当是矩形时，平分 D．当时，是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，三角形中位线定理，当时，可证明垂直平分，则，再结合平行四边形的性质得到，据此可判断A；当时，则可证明，再结合平行四边形的性质可推出为的中位线，则，即可证明，据此可判断B；根据矩形对角线互相平分得到，由三线合一定理即可判断C；当时，无法证明是正方形，据此可判断D． 【详解】解：A、当时，∵E是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是矩形，故A说法正确，不符合题意； 当时，∵E是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴是菱形，故B说法正确，不符合题意； C、当是矩形时，则， ∵E是的中点， ∴平分，故C说法正确，不符合题意； D、当时，无法证明是正方形，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 4．如图，在中，，，点、分别为、的中点，连接，将绕点旋转得到．试判断四边形的形状，并证明． 【答案】正方形，见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，旋转的性质，正方形的判定，难度适中．先由中位线的性质得出，则，再根据旋转的性质得出，则四边形是矩形，又，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出四边形是正方形． 【详解】解：四边形是正方形． 证明如下： 点、点分别是、的中点， ，是的中位线， ， ． 又是由绕点旋转而得， ，点、、在一条直线上， 四边形是矩形． ，， ， 四边形是正方形． 【考点22 正方形的判定与性质】 1．如图所示，四边形ABCD，已知AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝BC＝2，CD．计算这个四边形的面积． 【答案】5 【分析】过点作，证明四边形是正方形，进而勾股定理求得，根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】如图，过点作， AB⊥BC，AB⊥AD， 四边形是矩形， AB＝BC， 四边形是正方形， ， CD， 在中， ， ， 四边形． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，添加辅助线是解题的关键． 2．如图，正方形的对角线，交于点，过点作，过点作，与交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据，，得到四边形是平行四边形，再根据正方形的性质得到，，最后得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 3．如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． (1)试判定四边形的形状，并说明理由； (2)已知，求的长． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)23 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，图形的旋转， （1）根据旋转的性质可得，即可求解； （2）根据正方形的性质可得，，再由旋转的性质可得：，设，则，，在中，根据勾股定理，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕A点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：在正方形中，， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 4．如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且， (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）结合题意易证，得到，，由易证即，从而证明结论； （2）由（1）和题意求得，利用勾股定理求得正方形边长，从而求得正方形周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴正方形EFMN的周长为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质、正方形的证明、勾股定理的应用；解题的关键是证明三角形全等，并用全等的性质求解． 【考点23 三角形的中位线】 1．如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先由三角形的中位线的性质求得，再根据平行线的性质得到，，再根据平行线的性质与角平分线定义得到，从而得到，然后由求解即可． 【详解】解：∵，分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定条件寻找使平行四边形有一个角为直角的四边形的条件． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 结合图形，要使平行四边形为矩形，需有一个内角为． A选项，若，则，平行四边形为菱形，不符合题意； B选项，若，无法得到的内角为直角，不符合题意； C选项，若，无法得到内角为直角，不符合题意； D选项，若，则，平行四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 3．如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为_________，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则______________． 【答案】 6 【分析】利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得和的长；再先后求得，，，然后利用圆的面积公式即可求解. 【详解】解：作于点N，连接， ∵， ∴， ∵点A是线段的中点， ∴， ∵， ∴点B是的中点， ∴是的中位线， 在中，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴， 过点A和作的垂线，垂足分别为和， 由题意得，同理是的中位线， ∴， 同理， ∴， 故答案为：，6. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线上的性质，等腰三角形的性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点G，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：与的数量关系是：．理由如下： 如图：延长交于点G， 由题意，知，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴点G为的中点，且， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ， ∴． ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点24 因式分解的相关概念】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的定义，判断每个选项的变形是否满足定义． 【详解】根据因式分解要求左边是多项式，右边是整式的乘积， 选项A：左边是乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 选项B：左边是多项式，右边是乘积形式，且等式成立，符合因式分解的定义，故符合题意； 选项C：左边是乘积，右边是乘积，但属于恒等变形，并非因式分解，故不符合题意； 选项D：右边不是乘积形式，而是和的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式的整数解问题，灵活运用因式分解和整数的性质是解题的关键．由等式右边展开得 ，与左边比较系数，得 和 ．由于 、 为整数，枚举所有整数对 满足 ，计算 ，即可确定 的可能值． 【详解】， 比较系数，得 ，， 、 为整数，且 ， 所有整数对 为： ，； ，； ，； ，； ，； ，。 （其余对为重复值，略） 的可能值为 ． 选项不在可能值中，故不可能． 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，因式分解的概念及完全平方公式．甲同学看错常数项但一次项系数正确，乙同学看错一次项系数但常数项正确，分别从两者的因式分解结果中求出正确的a和b，再对正确多项式进行因式分解． 【详解】解：甲同学因式分解结果为，展开得，由于看错了常数项b，但一次项系数a正确，故； 乙同学因式分解结果为，展开得，由于看错了一次项系数a，但常数项b正确，故； 因此，原多项式为，因式分解得． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若是多项式的一个因式，且，试求m、n的值，并将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键： （1）根据是多项式的一个因式，得到时，，进行求解即可； （2）根据是多项式的一个因式，得到时，，结合，求出的值，再利用十字相乘法，进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴时，， ∴； 解得； （2）∵是多项式的一个因式， ∴时，， 则，① 又，② 由①②可得：．     ∴多项式． 【考点25 公因式】 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）多项式分解因式时应提取的公因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握找公因式的要点是解题的关键． 找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．根据找公因式的要点解题即可． 【详解】解：多项式分解因式时应提取的公因式为：， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）多项式和的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式求解，准确的计算是解决本题的关键． 通过因式分解发现其含有因式，且能整除自身，则可判断． 【详解】解：∵，且， ∴是公因式． 故选D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是 ． 【答案】 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母或多项式因式的最低指数次幂，从而确定公因式即可． 本题主要考查了公因式，解题关键是熟练掌握公因式的定义． 【详解】解：与公因式是， 故答案为：． 4．多项式与的公因式是 ． 【答案】 【分析】把每个多项式先因式分解，然后选出公有的因式即可． 【详解】解：， ， 多项式与的公因式是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，公因式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 【考点26 因式分解—提公因式法】 1．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，掌握知识点是解题的关键． 根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）已知，则代数式的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为： 4．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案． 【详解】解：当时， 原式= =． 故答案为：． 【考点27 因式分解—运用公式法】 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握和是解答本题的关键． 公式法因式分解指使用平方差公式或完全平方公式．选项C符合完全平方公式，其他选项均无法用公式法分解． 【详解】解： 选项A： 为平方和，无法用公式法因式分解； 选项B：，无法用公式法因式分解； 选项C：，符合完全平方公式，能用公式法因式分解； 选项D：，使用提公因式法，无法公式法因式分解． 故选C． 2．（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式时首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．利用平方差公式：，进行两次分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 【答案】12 【分析】本题考查了平方差公式，提公因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 原式利用平方差公式变形，再提公因式，即可解答． 【详解】解： ． ∴一定能被最大的正整数12整除． 故答案为：12 4．（24-25九年级下·云南临沧·月考）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．先根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【考点28 因式分解—提公因式法与公式法的综合】 1．（25-26七年级下·河北·单元测试）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，观察表达式，发现与互为相反数，可统一提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式中提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式，然后利用完全平方公式法因式分解即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2025·山东聊城·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可； （2）先凑出公因式，然后提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【考点29 公式法—十字相乘法】 1．若，则p，q的值分别为（    ） A．p＝3，q＝4 B．p＝－3，q＝4 C．p＝3，q＝－4 D．p＝－3，q＝－4 【答案】B 【分析】根据因式分解，进而即可求得的值 【详解】解： ， p，q的值分别为 故选：B 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 2．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次三项式的因式分解-十字相乘法，将多项式视为关于x的二次三项式，通过寻找两个数使其和为一次项系数，积为，利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·四川内江·月考）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 将看成一个整体，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要查了多项式的因式分解．先利用十字相乘法因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可． 【详解】解： 【考点30 公式法—分组分解法】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式． 此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键． 【详解】解： 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解—分组分解法，先把原式中一二两项分成一组，三四两项分成一组，每组分别提取公因式，最后组与组之间提取公因式即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 4．分解因式：= ． 【答案】 【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【考点31 因式分解的应用】 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【答案】8104 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为，其中n为正整数，第2025个智慧优数为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 2．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 3．（25-26九年级上·重庆·期中）已知a,b,c是的三边长. (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由. 【答案】(1) (2)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，平方式的非负性等知识点． （1）先利用完全平方公式将其配方成非负数和的模型，再求出，即可根据三角形的三边关系求解； （2）先将其因式分解得到，则或，再根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 则， 解得， ∴，； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ∴或（不符合三角形三边关系，舍） ∴是等腰三角形． 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． （1）根据示例，先利用添项法把配成完全平方式，再分解因式即可， （2）根据示例，可得，再根据积等于0，则必有因式等于即可得出的值． 【详解】（1）解： ． ． （2） ． 所以，使等式，则或， 故或． 【考点32 分式的定义】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在，，，，，中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，熟记分式定义是解题关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子称为分式），逐一判断各式即可． 【详解】∵ 分式的定义是分母中含有字母， 的分母是常数，不含字母，∴ 不是分式； 的分母是，含字母，∴ 是分式； 的分母是常数，不含字母，∴ 不是分式； 是整式，无分母，∴ 不是分式； 的分母是，含字母，∴ 是分式； 的分母是，含字母和，∴ 是分式； ∴ 分式有3个． 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）把 的盐溶在 的水中，那么在 这种盐水中的含盐量为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，先表示出盐在盐水所占的比例，从而可求解． 【详解】解：在 这种盐水中的含盐量为：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，，，，…，根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）观察式子：根据你发现的规律知，第8个式子为 ． 【答案】 【分析】本题主考查分式的定义、分式的规律等知识点，发现分式的分子、分母的指数的规律是解题的关键． 分别找出分子指数规律和分母指数规律，再运用规律即可解答． 【详解】解：∵ ∴分母是以a为底数，指数为1，2，3，……，n；分子是以b为底数，指数为2，4，6，……，， ∴第8个式子为 ． 故答案为：． 【考点33 分式有意义的条件】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式有意义，则的值应满足 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到，求解即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，依次需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：选项A的分母为，当时，，分母可能为零； 选项B的分母为，当时，，分母可能为零； 选项C的分母为，因为，所以，分母恒不为零； 选项D的分母为，当时，，分母可能为零； 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不为零．根据分式有意义的条件，得到，即可求得答案． 【详解】解：分式 有意义， 分母 ， ， ． 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是准确列出不等式． 根据分式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：且， 故答案为：且． 【考点34 分式的值为零的条件】 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）当 时，分式的值为零． 【答案】1 【分析】本题考查分式值为零的条件，需同时满足分子为零且分母不为零． 要使分式的值为零，需分子为零且分母不为零． 【详解】解：由题意，令分子，解得：． 当时，分母，满足条件． 故答案为：1． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式的值为0需分子为0且分母不为0求解． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且． 解得， 即或． 又∵， ∴． ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若分式的值是零，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为零的条件和分式有意义的条件，先根据分式的值为零的条件和分式有意义的条件得出分子且分母，再求出答案即可． 【详解】解：∵ 分式的值为零， ∴ 分子且分母， 由得， ∴ 或， 当时，分母，不符合条件， ∴ ， 故选：D． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】根据当时，分式无意义，得；当时，此分式的值为0，得到，代入解答即可． 【详解】解：根据当时，分式无意义，得，解得； 当时，此分式的值为0，得到，解得， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零，分式无意义的条件，求代数式的值，有理数的乘方，熟练掌握条件是解题的关键． 【考点35 分式的值】 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的求值，异分母分式的加减运算，将转化为，整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 2．若分式的值是负数，则的取值范围是（    ）. A． B．或 C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可． 【详解】∵是负数， ∴或 ∴或. 故选D. 【点睛】此题考查分式的值，解题关键在于掌握运算法则 3．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意， ，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 4．（25-26七年级上·上海·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的计算．先化简分式，再求使该式为整数的整数，同时考虑分母不为零的限制条件． 【详解】解： ， 原分式分母不为零，则， 原分式除式不为零，则， ∴， 原式化简为，要使式子的值为整数，则必须为2的约数，即或，解得．又由排除后，仅满足条件．故满足条件的的值有1个． 故答案为：1． 【考点36 分式的基本性质】 1．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐个判断即可． 【详解】解：A.，故选项A化简错误，不符合题意； B、，故选项B化简错误，不符合题意； C、，故选项C化简错误，不符合题意； D、，原选项化简正确，符合题意． 故选：D． 2．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：=== 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 3．（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 4．阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 【答案】（1）③；①②④；（2）；（3）. 【分析】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式； （2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式； （3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式． 【详解】（1）①，是假分式； ②，是假分式. ③是真分式； ④，是假分式； （2）====， （3）. 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题． 【考点37 约分与通分】 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则，是解题的关键．根据分式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列四个分式的化简运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简运算，需根据分式的加减乘除法则和平方差公式逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、∵ ，∴ A错误，不符合题意； B、∵ ，∴ B错误，不符合题意； C、∵，∴ C正确，符合题意； D、∵ 与无必然相等关系，例如取，则 ，∴ D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【答案】，， 【分析】根据约分的定义，先将，的分子分母分别分解因式，再约去它们的公因式，将两个分式化成最简分式，再根据通分的定义，将两个分式化成同分母的分式，最后根据同分母分式相加减的法则，将两个分式相加，把最后结果化成最简分式即可；本题考查了分式的约分、通分以及同分母分式相加减，熟练掌握约分、通分的概念以及同分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以这两个分式的最简公分母是， 所以， 所以． 【考点38 最简分式】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最简分式的概念，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题的关键． 通过逐项检查各选项的分子和分母是否能约分即可判断． 【详解】选项A：分子在实数范围内不能因式分解，与分母无公因式，因此是最简分式； 选项B：，可约分，不是最简分式； 选项C：分子，分母，有公因子2，可约分，不是最简分式； 选项D：分子，分母，有公因式，可约分，不是最简分式； 故选：A． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式，根据分式的分母一定含有字母，且最简分式的分子和分母没有公因式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，中必须有字母，且分子分母不能还有公因式， 选项B、C中没有字母，代入后表达式不是分式，故排除； 选项D代入后，分式为，分子分母有公因式4，不是最简分式，故排除． 只有选项A满足题意． 故选A． 3．在分式中，最简分式有 个． 【答案】2 【分析】根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即可得． 【详解】解： 是最简分式，故有2个. 故答案为：2 【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．本题的关键是找出分子分母的公因式． 4．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式的值不为及分式有意义的条件，根据题意写出符合条件的最简分式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个最简分式可以是， 故答案为：． 【考点39 最简公分母】 1．分式，的最简公分母是 ． 【答案】12x2y2 【分析】根据最简公分母的定义求解． 【详解】解：分式，的最简公分母为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 2．分式与的最简公分母是 ． 【答案】x(x+2)(x-2) 【分析】先对分式的分母进行因式分解，根据确定最简公分母的方法即可求出最简公分母． 【详解】∵x2+2x=x(x+2)，x2-4=(x+2)(x-2)， ∴分式与的最简公分母是x(x+2)(x-2)， 故答案为：x(x+2)(x-2) 【点睛】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 3．下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确实最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母； 【详解】分式 、 、 的分母分别是 、 、 ， 故最简公分母是， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；正确掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 4．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据确定最简公分母的方法逐项分析即可，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】∵两个分式的分母分别是：x2-x=x(x-1)，x2+x=x(x+1)， ∴最简公分母是x(x-1)(x+1) 故选：B 【点睛】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母. 【考点40 分式的乘除法】 1．（24-25七年级上·上海松江·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除法运算法则． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 3．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得： ， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 【考点41 分式的加减法】 1．化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同分母分式的加减法，运用同分母分式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C 2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据分式的乘除法、分式的加减法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选B． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的加减法则． 将原式通分后合并，并利用平方差公式和提取公因式进行化简． 【详解】解： ． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式恒等式求解参数，二元一次方程组的应用；将等式右边通分后与左边比较分子，得到关于m和n的方程，通过比较系数建立方程组，求解m和n后计算差值； 【详解】解：右边通分得： 与左边比较分子得： 展开左边得： ∴ 比较系数得： 解得： ∴. 故答案为：1. 【考点42 分式的混合运算】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，正确计算是解题的关键． （1）利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算∶ 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 通过观察，发现从第二项开始的分母均为连续整数的乘积，进而根据分式的混合运算的法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握二阶行列式的运算规定以及分式的混合运算法则是解此题的关键．． 按二阶行列式的运算方法先列出算式，再利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【考点43 分式的化简求值】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ……………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________； (2)请写出该分式化简的正确过程，并选择一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】(1) 二；去括号时未变号 (2) 正确过程见解析；当时，值为 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是正确运用分式运算法则（通分、因式分解、约分），注意去括号时的符号处理． （1）观察化简步骤，判断错误步骤及符号处理的错误原因； （2）先对括号内分式通分并正确化简分子，再将除法转化为乘法，约分得到最简分式，选择使分式有意义的整数代入求值． 【详解】（1）解：第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时符号处理错误，未将中的变为； 故答案为：二；去括号时未变号； （2）解：原式 ． 选 ，代入得：原式． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 【答案】(1)， (2)，6 【分析】本题考查分式的混合运算； （1）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相减，再计算分式除法，得出结果后，最后代入求值即可； （2）按照运算顺序，先计算括号里的异分母分式相加，再计算分式除法，最后整体代入求值即可. 【详解】（1）解： . 将代入得：原式. （2）解： . ∵， ∴， ∴原式. 3．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，将化为，，，然后代入，推出，可得结论．掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 4．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由给定的三个等式可得其倒数，，，再将三个分式的分子拆分后相加可得的值，因所求式子的倒数为，所以求得的倒数即可解答； 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， ，， ①+②+③，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，当分式的分子较简单，分母中的各项与分子存在一定的倍数关系时，可利用取倒数的方法（即将分式的分子和分母的位置颠倒），将繁杂的分式化成简单的式子，使问题化难为易，从而降低解题难度． 【考点44 分式方程的定义】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 【详解】解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 4．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：①、⑤不是等式，故不符合题意； ②，⑥，是数字不是未知数，是一元一次方程，故不符合题意； ③，④是分式方程，故符合题意； 故选：A． 【考点45 分式方程的解】 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，将已知解代入分式方程求解即可． 【详解】∵关于的分式方程的解是， ∴代入得， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解的情况列不等式及考虑分母不为0是解题的关键． 先解分式方程，再根据方程的解为正数及分母不为0列不等式求解即可． 【详解】解：解方程得：， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，解得：； ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且 ． 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如果关于x的分式方程无解；则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程无解问题，先把去分母整理得，根据无解得，即可作答． 【详解】解：依题意，方程去分母得， 整理得， 当，即时，方程无解； 当时，， ∵分式方程无解， ∴， 此方程无解，故舍去， 综上，a的值为3， 故答案为：3 4．已知关于x的方程：＝﹣3． (1)当方程的解为正整数时，求整数m的值； (2)当方程的解为正数时，求m的取值范围． 【答案】(1)﹣1或3 (2)m＜4且m≠ 【分析】（1）先求出分式方程的解，然后结合方程的解是整数，即可得到答案； （2）先求出分式方程的解，然后结合方程的解是整数，即可得到答案； 【详解】（1）解： 去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2）， 解得：x＝， ∵方程的解为正整数，且x≠2， ∴4﹣m＝5或4﹣m＝1且4﹣m≠2 解得：m＝﹣1或3，且m≠2， ∴整数m的值为﹣1或3； （2）解： 去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2）， 解得：x＝， ∵方程的解为正数且x≠2， ∴＞0且≠2， 解得：m＜4，且m≠， ∴m的取值范围为m＜4且m≠． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是掌握解分式方程的步骤进行计算． 【考点46 解分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】此题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键， （1）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可； （2）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可 【详解】（1）解：两边同时乘，得： ， 解得， 经检验，是原方程的根， 原方程的解为． （2）解：两边同时乘得， ， 解得， 经检验是原方程的增根，原方程无解． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为3，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，分类讨论；分两种情况，解分式方程即可． 【详解】解：当时，， 解得：， 经检验是原方程的解； 当时，， 解得：， 经检验是原方程的解； 综上，x的值为或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了新运算的定义、解分式方程等知识，根据题意新定义运算将方程转化为分式方程并求解，检验即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又 ∵， ∴ ，解得， 经检验，是该方程的解， ∴x的值为． 故选：C． 4．（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 【答案】(1)或 (2)或，过程见解析 (3)或 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将方程转化为的形式． （1）由可得，根据题意可得； （2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判断能否是方程两边相等即可； （3）先将原方程转化为的形式，然后得到或，然后解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该方程的解为：或； 故答案为：或； （2）解：方程的解为：或， 检验：当时，左边右边，故是方程的解， 当时，左边右边，故也是方程的解； （3）解：将方程左边整理得： ； 方程右边整理为： ； ∴原方程可化为：， ∴或， 解得，或． 【考点47 由实际问题抽象出分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，甲单价为，乙单价为，根据卖得钱数相同即可得方程． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意得， 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰．两个小组的攀登速度各是多少？设第二组的速度为，第一组的速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意，两个小组攀登同一座高的山，第一组速度是第二组的1.2倍，且比第二组早15分钟到达，设第二组的速度为，则第一组的速度是，利用时间差建立方程即可． 【详解】解：设第二组的速度为，则第一组的速度是， 由题意，得． 故选：A． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ． 【答案】 【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同，即可列出方程. 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据题意可得方程：； 故答案为：. 4．解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 【答案】． 【分析】设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米，根据提前24小时完成任务，列出方程即可． 【详解】设原计划每小时清除公路冰雪x米，则实际每小时清除（x+20）米， 由题意得，． 【考点48 分式方程的应用】 1．（2025九年级·安徽·专题练习）年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、正确列出分式方程是解题的关键． 设该货车在原国道上行驶的速度为，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设该货车在原国道上行驶的速度为， 由题意可得，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：该货车在原国道上行驶的速度为． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 【答案】(1)A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米 (2)A施工队每天的费用是1200元 【分析】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得，解答即可； （2）设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程组，分式方程是解题的关键． 【详解】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得， 解得， 答：A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米． （2）解：设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元， 根据题意，得， 解得（元）， 答：A施工队每天的费用是1200元． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）由题意可知，每支中性笔的价格为元．根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）由题意可知，每支中性笔的价格为元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时购买圆珠笔的数量为（支）， ∵购买圆珠笔的数量为整数， ∴不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故整数m的值为3． 4．（25-26九年级上·重庆江北·期中）某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【答案】(1)每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； (2)10个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个，根据甲、乙数量之和及倍数关系列一元一次方程求解； （2）设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个，设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，根据生产各120个和总天数6天列分式方程求解． 【详解】（1）解：设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个． 根据题意，， 解得， 所以， 答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； （2）解：设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个， 升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个， 设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则， 生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个， 由，得， 由，得， 代入，得， 即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 答：每天生产甲材料包的增加数量为10个． 【考点49 二次根式的定义】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，若被开方数为负数，则不属于二次根式，据此依次判断即可. 【详解】解：选项A：，被开方数，不符合题意； 选项B：，无论取何值，，故， 不符合题意； 选项C：，被开方数为（，故），符合题意； 选项D：，被开方数， 不符合题意. 故选：C. 2．当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可. 【详解】将代入二次根式可得： ， 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键. 3．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 4．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【考点50 二次根式有意义的条件】 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足， 解得， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知、都是实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件，可求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件列出不等式组，然后解不等式组即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 故选：C． 4．已知实数满足，求的值是多少？ 【答案】2009 【分析】根据二次根式有意义的条件求出a取值范围，再将等式边形即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴a-2009≥0，即a≥2009， ∴2008-a≤-1＜0， ∴a-2008+=a，解得=2008， 等式两边平方，整理得a-20082=2009． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 【考点51 二次根式的性质与化简】 1．（25-26八年级上·全国·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值． 根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：， 根据二次根式性质 ， 即或； ， 根据二次根式性质 ； 当时，； 当时，． 的值为1或11，此结果对应选项． 故选：C． 3．把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，先根据二次根式的意义确定a的符号，再化简求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ = ． 故选：D． 4．已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据，判断出，将化简再进行加减运算，最后将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 当，，原式， 故答案为：8． 【考点52 最简二次根式】 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，不含分母，进行判断即可． 【详解】解：A、 ，可化简，不是最简二次根式； B、 ，可化简，不是最简二次根式； C、，5和x均无平方因子，不可化简，是最简二次根式； D、 ，可化简，不是最简二次根式． 故选：C． 2．若最简二次根式和能合并，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴被开方数相同，即， 解得：， 当时，，是最简二次根式，且被开方数与相同，故能合并． 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 【答案】0或1或3或4或5或7或9 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：∵都是最简二次根式，而，，， ∴均不是最简二次根式， 故答案为：0或1或3或4或5或7或9． 4．若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是 ． 【答案】2 【分析】让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【考点53 二次根式的运算】 1．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法、同类二次根式的概念是解题的关键．依次对每个选项依据二次根式的运算规则进行分析判断． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误． 与不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项正确． 故选：D． 3．已知，，则（　　） A． B． C．2 D．－2 【答案】B 【分析】根据二次根式的加法、乘法及分式的运算可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算及分式的运算，熟练掌握二次根式及分式的运算是解题的关键． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的除法、乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【考点54 二次根式的大小比较】 1．若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 【答案】a＜b＜c 【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可． 【详解】解：∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4004=2000+2×1002， 1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004． ∴a＜b＜c． 故答案为：a＜b＜c. 【点睛】这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式． 2．（25-26八年级上·上海长宁·月考）比较大小： （请填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键． 将两数分别平方后，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键． 通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小． 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 4．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解： ， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 【考点55 二次根式的应用】 1．一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．根据正方形和矩形的面积公式可得到结论． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， 剩余木板的面积为：； 故答案为：18． 2．（24-25八年级下·广西钦州·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．将代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得：当时，， 即从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为， 故选：A． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的应用．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，且的三边长分别为，，， ，，， ∴的面积为： ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）代入和到，即可求解； （2）根据题意，分别求出广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径，两者相比即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， 答：广州塔发射节目信号的传播半径为； （2）解：∵广州塔的高度是，另一座塔高为， ∴广州塔发射节目信号的传播半径为，另外一塔发射节目信号的传播半径为， ∴广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为， 答：广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末复习易错题55个考点 【新教材苏科版】 【考点1 普查与抽样调查】 2 【考点2 总体、个体、样本、样本容量】 3 【考点3 统计表】 3 【考点4 条形统计图】 4 【考点5 扇形统计图】 5 【考点6 折线统计图】 7 【考点7 频数分布直方图】 8 【考点8 随机事件】 10 【考点9 简单概率的计算】 10 【考点10 频率与概率】 11 【考点11 平行四边形的性质】 12 【考点12 平行四边形的判定】 13 【考点13 平行四边形的判定与性质】 14 【考点14 菱形的性质】 16 【考点15 菱形的判定】 16 【考点16 菱形的判定与性质】 17 【考点17 矩形的性质】 19 【考点18 矩形的判定】 19 【考点19 矩形的判定与性质】 20 【考点20 正方形的性质】 21 【考点21 正方形的判定】 22 【考点22 正方形的判定与性质】 24 【考点23 三角形的中位线】 25 【考点24 因式分解的相关概念】 26 【考点25 公因式】 26 【考点26 因式分解—提公因式法】 27 【考点27 因式分解—运用公式法】 27 【考点28 因式分解—提公因式法与公式法的综合】 27 【考点29 公式法—十字相乘法】 27 【考点30 公式法—分组分解法】 28 【考点31 因式分解的应用】 28 【考点32 分式的定义】 29 【考点33 分式有意义的条件】 29 【考点34 分式的值为零的条件】 29 【考点35 分式的值】 30 【考点36 分式的基本性质】 30 【考点37 约分与通分】 31 【考点38 最简分式】 31 【考点39 最简公分母】 32 【考点40 分式的乘除法】 32 【考点41 分式的加减法】 32 【考点42 分式的混合运算】 33 【考点43 分式的化简求值】 33 【考点44 分式方程的定义】 34 【考点45 分式方程的解】 34 【考点46 解分式方程】 35 【考点47 由实际问题抽象出分式方程】 36 【考点48 分式方程的应用】 36 【考点49 二次根式的定义】 37 【考点50 二次根式有意义的条件】 38 【考点51 二次根式的性质与化简】 38 【考点52 最简二次根式】 38 【考点53 二次根式的运算】 38 【考点54 二次根式的大小比较】 39 【考点55 二次根式的应用】 39 【考点1 普查与抽样调查】 1．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）下列调查中，适合采用普查（普查）方式的是（   ） A．对我市中学生观看电影《南京照相馆》情况的调查 B．调查琼江河的水质情况 C．调查某班学生视力情况 D．调查全国初一中学生的平均身高 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（   ） A．了解我校七年级（1）班全体同学周末时间安排情况 B．乘坐飞机时对旅客行李的检查 C．调查某班名同学的视力情况 D．了解一批汽车的抗撞击能力 3．木王森林公园位于商洛市镇安县境内，是秦岭南坡仅有的两个国家森林公园之一，被誉为“植物的世界，动物的王国”．为调查园内的水质情况，管理人员适合采用 调查．（填“全面”或“抽样”） 4．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）下列调查：①调查洗衣机的使用寿命；②调查“神舟十四号载人飞船”的零部件；③调查人们保护地球环境的意识；④调查全国初中生的视力情况．其中适合普查的是（填序号） ． 【考点2 总体、个体、样本、样本容量】 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）为了了解我县参加中考的名学生的体重情况，随机抽取了其中名学生的体重进行统计分析，下面叙述正确的有（    ）个 ①总体是3000名学生； ②样本是200名学生的体重； ③样本容量是200； ④以上是抽样调查． A．个 B．个 C．个 D．个 2．为了解全校九年级300名学生的视力情况，从中抽取50名九年级学生进行视力测量调查，在这个调查中，样本容量是 ． 3．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）为了掌握我校七年级男同学身高情况，从中抽测了50名男同学的身高，这个问题中的样本是 ． 4．为了解我市中学生中15岁女生的身高状况，随机抽查了10个学校的200名15岁女生的身高，则下列表述正确的是 A．总体指我市全体15岁的女中学生 B．个体是200名女生的身高 C．个体是10个学校的女生 D．抽查的200名女生的身高是总体的一个样本 【考点3 统计表】 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（　　） 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 39 41 33 40 47 A．120 B．200 C．6960 D．9600 2．为了解学生心理健康情况，某学校在全校七、八、九三个年级共1000名学生中开展心理健康知识竞赛活动，根据竞赛成绩将各年级合格人数绘制了如图所示的统计表，则下列说法正确的是（    ） 各年级合格人数统计表 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数（人） 337 330 322 A．七年级学生的合格率最高 B．九年级学生的合格人数最少 C．八年级学生的人数为330人 D．九年级学生的合格率为 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）下面是A，B两球从不同高度自由下落到地面后反弹高度的统计表．小明想要购买弹性较大的球，他应该选择 球． 起始高度 24 32 45 67 78 96 A球反弹高度 11 21 31 48 53 58 B球反弹高度 16 26 40 57 64 70 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）在曲阳县2025年中学生运动会跳高比赛中，各年龄组的参赛人数情况如下表所示：若小明所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的，则小明所在的年龄组是 年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁 参赛人数 5 19 12 14 【考点4 条形统计图】 1．（24-25六年级上·山东泰安·期末）学校期中考试后，随机抽取部分同学测试的成绩为样本（成绩为整数），绘制的成绩统计图如图所示，若这次测试成绩80分以上（不含80分）为优秀，则优秀率为 %． 2．某校随机调查了若干名家长与中学生对中学生带手机进校园的态度，并绘制了如图所示的统计图，已知调查家长的人数与调查学生的人数相等，则家长反对学生带手机进校园的人数有（   ） A．140 B．120 C．220 D．100 3．（24-25六年级下·上海青浦·期末）2024届巴黎奥运会落下帷幕，中国健儿斩获了境外奥运会的最好成绩．获奖情况如图所示，获得的金牌数占总奖牌数的 （填百分之几，百分号前保留一位小数）． 4．某次考试中，某班级的数学成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图．下列说法错误的是（    ） A．得分在70～80分之间的人数最多 B．及格（不低于60分）的人数为26 C．得分在90～100分之间的人数占总人数的5% D．该班的总人数为40 【考点5 扇形统计图】 1．某班学生最喜欢的一项球类运动的统计表和扇形统计图如图所示，其中统计表不小心被撕掉一部分，下列推断不正确的是（   ） A．足球所在扇形的圆心角度数为 B．该班喜欢乒乓球的人数占总人数的 C．m与n的和为52 D．该班喜欢羽毛球的人数不超过13人 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）某学校全体学生来自A、B、C三个街道，其人数比为1：2：2．如图用扇形统计图来表示来自三个街道的学生所占的百分比，则来自A街道对应扇形的圆心角度数为 3．幸福街道组织45岁以上居民进行慢性病筛查，根据筛查所得数据绘制的扇形统计图如图所示，其中患高血脂的有171人，该区45岁以上参加这次慢性病筛查的人中，患高血压的比患高血脂的多 人． 4．某学校开设多门课外活动，为了解学生参与情况，进行了随机抽查．现将数据收集并整理后，绘制出如下不完整的统计图．经调查发现，选择面塑和中国结的学生人数相同，共40人，以下结论错误的是（     ） A． B．样本容量为100 C．选择中国结所对应的扇形圆心角为 D．选择面塑的学生比选择打印的学生数少10人 【考点6 折线统计图】 1．某购物中心对今年7-12月份中顾客使用“支付宝支付”和“微信支付”这两种支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线统计图．根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中说法不合理的是（   ） A．6个月中11月份使用手机支付的总次数最多 B．6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多 C．6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大 D．9月份平均每天使用手机支付的次数为0.314万次 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图是某地某日至的气温变化趋势图，由此可估计当天时的气温约为 ． 3．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是某班学生一周参加体育锻炼情况的折线统计图，则一周参加体育锻炼时间中人数最多的锻炼时间是 小时． 4．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）甲、乙两家汽车销售公司2022年到2024年的销售量分别如图：从2022年到2024年的变化趋势可以得出，这两家公司销售量增长较快的是 公司． 【考点7 频数分布直方图】 1．新冠肺炎在我国得到有效控制后，各校相继开学．为了检测学生在家学习情况，在开学初，我校进行了一次数学测试，如图是某班数学成绩的频数分布直方图，则由图可知，得分在分以上(包括分)的人数占总人数的百分比为 ． 2．校运会前夕，校医对某班所有参加比赛的运动员进行了体检，这些运动员的身高（精确到）数据的频数分布直方图如图所示，据图可知下列说法正确的是（   ） A．参加比赛运动员人数为18人 B．参加比赛运动员身高最高段有8人 C．参加比赛运动员人数最多段有2人 D．参加比赛运动员身高最高段有2人 3．（24-25七年级下·重庆巫山·期末）小明调查了全校同学近视度数的情况，他可以使用（　　）来表示情况． A．条形统计图 B．折线统计图 C．频数分布直方图 D．扇形统计图 4．（24-25七年级下·山西大同·期末）为了解赛跑后学生心率的分布情况，体育委员统计了全班50名学生赛跑后一分钟的脉搏次数，并根据收集到的数据画出如图所示的频数分布直方图．由于不小心，有一个长方形被墨水盖住了．根据统计图可知，下列说法中正确的是（   ）    A．脉搏次数在160~165之间的人数是11人 B．脉搏次数在155~160之间的人数占全班总人数的16% C．脉搏次数在165~170之间的人数最少 D．脉搏次数在130~150之间的人数有20人 【考点8 随机事件】 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下列事件是随机事件的是（   ） A．在标准大气压下，水在时沸腾 B．当湘江水位高于橘子洲亲水平台，江水必然会漫上洲岸 C．在同一平面内任意画一个三角形，它的内角和为 D．使用手机绿色出行小程序，在一次碳积分抽奖中赢得奖励 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）生活中“水涨船高”描述的事件是 ．（填“不可能事件”，“随机事件”或“必然事件”） 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下面四个事件中，不可能发生的是（   ） A．某运动员跳高的最好成绩是米 B．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C．在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 4．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）事件“若a是有理数，则”属于 事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”） 【考点9 简单概率的计算】 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某饮料厂举办促销活动，在一箱（24瓶）饮料中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种饮料，但连续打开4瓶均未中奖，那么他打开下一瓶中奖的概率是 ． 2．（25-26九年级上·广东河源·期中）龙川县历史悠久，是广东最早立县的四个古邑之一，有“千年古县”之称，龙川县有许多旅游景点，如佗城景区，霍山景区，九龙湾景区．周末，小明与小佳两人准备从这个景区随机选一个景区前往游览，他们恰好选择同一景区的概率（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 4．用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 【考点10 频率与概率】 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为 ． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一个不透明的口袋中装有14个白球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到蓝球的频率稳定在，则估计口袋中蓝球的个数为（   ） A．18个 B．16个 C．6个 D．4个 3．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到） 【考点11 平行四边形的性质】 1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 3．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 4．已知如图，在中，点E、F分别在上，且，对角线交于点O，作与交于点G，连接． (1)求证：； (2)若的周长是20，求的周长． 【考点12 平行四边形的判定】 1．（25-26八年级下·北京·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是______． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 4．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 5．如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 6．如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 【考点13 平行四边形的判定与性质】 1．如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 4．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 【考点14 菱形的性质】 1．在菱形中，，则（   ） A． B． C． D． 2．菱形的对角线，的长分别为和，则这个菱形的边长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的面积等于 ． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：．    【考点15 菱形的判定】 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到，两部分，将展开后得到的平面图形是 ． 3．如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 4．如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． (1)求证： (2)试判断四边形的形状，并说明理由 【考点16 菱形的判定与性质】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济宁·一模）如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是 ． 4．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【考点17 矩形的性质】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，垂直且平分线段，垂足为点E，，则的长为（    ） A．7．5 B．8 C．9 D．10 3．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，矩形中，，边，于点，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．求证：四边形是菱形． 【考点18 矩形的判定】 1．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是 ．（写出所有的可能，填写序号即可） 3．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东·期末）已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线，两线相交于点P，求证：四边形是矩形． 【考点19 矩形的判定与性质】 1．如图，将一矩形纸片沿着虚线剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边的长是（    ） A．4 B．3 C．5 D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，求△OEC的面积． 【考点20 正方形的性质】 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）下列的性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，正方形由四个全等的直角三角形（），和中间一个小正方形组成，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 4．如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【考点21 正方形的判定】 1．如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.已知，，，点为轴上一动点，以为一边在右侧作正方形. （1）若点与点重合，请直接写出点的坐标. （2）若点在的延长线上，且，求点的坐标. （3）若，求点的坐标. 2．如图，平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形成为正方形，则添加条件可以是 （只需添加一个）． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，的对角线交于点的中点是，下列说法不正确的是（　　） A．当时，是矩形 B．当时，是菱形 C．当是矩形时，平分 D．当时，是正方形 4．如图，在中，，，点、分别为、的中点，连接，将绕点旋转得到．试判断四边形的形状，并证明． 【考点22 正方形的判定与性质】 1．如图所示，四边形ABCD，已知AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝BC＝2，CD．计算这个四边形的面积． 2．如图，正方形的对角线，交于点，过点作，过点作，与交于点．求证：． 3．如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． (1)试判定四边形的形状，并说明理由； (2)已知，求的长． 4．如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且， (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的周长． 【考点23 三角形的中位线】 1．如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 2．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为_________，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则______________． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【考点24 因式分解的相关概念】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 3．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若是多项式的一个因式，且，试求m、n的值，并将多项式进行因式分解． 【考点25 公因式】 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）多项式分解因式时应提取的公因式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）多项式和的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是 ． 4．多项式与的公因式是 ． 【考点26 因式分解—提公因式法】 1．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ． 2．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）已知，则代数式的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 3．因式分解： ． 4．若，则 ． 【考点27 因式分解—运用公式法】 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 4．（24-25九年级下·云南临沧·月考）因式分解： ． 【考点28 因式分解—提公因式法与公式法的综合】 1．（25-26七年级下·河北·单元测试）因式分解： ． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）把多项式分解因式的结果是 ． 3．（2025·山东聊城·三模）因式分解： ． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【考点29 公式法—十字相乘法】 1．若，则p，q的值分别为（    ） A．p＝3，q＝4 B．p＝－3，q＝4 C．p＝3，q＝－4 D．p＝－3，q＝－4 2．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 3．（24-25九年级下·四川内江·月考）分解因式： ． 4．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【考点30 公式法—分组分解法】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：． 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ． 4．分解因式：= ． 【考点31 因式分解的应用】 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 2．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 3．（25-26九年级上·重庆·期中）已知a,b,c是的三边长. (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由. 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 【考点32 分式的定义】 1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在，，，，，中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）把 的盐溶在 的水中，那么在 这种盐水中的含盐量为 ． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，，，，…，根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）观察式子：根据你发现的规律知，第8个式子为 ． 【考点33 分式有意义的条件】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式有意义，则的值应满足 ． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．或 4．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围为 ． 【考点34 分式的值为零的条件】 1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）当 时，分式的值为零． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若分式的值是零，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 【考点35 分式的值】 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则 ． 2．若分式的值是负数，则的取值范围是（    ）. A． B．或 C．且 D．或 3．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【考点36 分式的基本性质】 1．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 3．（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 4．阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 【考点37 约分与通分】 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列四个分式的化简运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）当时，的值是 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【考点38 最简分式】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 3．在分式中，最简分式有 个． 4．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 【考点39 最简公分母】 1．分式，的最简公分母是 ． 2．分式与的最简公分母是 ． 3．下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 4．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【考点40 分式的乘除法】 1．（24-25七年级上·上海松江·月考）计算： ． 2．计算： ． 3．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点41 分式的加减法】 1．化简结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）化简的结果是 ． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则 ． 【考点42 分式的混合运算】 1．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算∶ 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简： ． 【考点43 分式的化简求值】 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ……………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________； (2)请写出该分式化简的正确过程，并选择一个你喜欢的整数代入求值． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中x，y满足． 3．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【考点44 分式方程的定义】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 4．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点45 分式方程的解】 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）关于的分式方程的解是．那么的值是（　　） A．4 B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如果关于x的分式方程无解；则a的值为 ． 4．已知关于x的方程：＝﹣3． (1)当方程的解为正整数时，求整数m的值； (2)当方程的解为正数时，求m的取值范围． 【考点46 解分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）解方程 (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为3，则的值为 ． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 4．（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 【考点47 由实际问题抽象出分式方程】 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早到达顶峰．两个小组的攀登速度各是多少？设第二组的速度为，第一组的速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ． 4．解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务．为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务．若设原计划每小时清除公路冰雪x米，则可列出方程 【考点48 分式方程的应用】 1．（2025九年级·安徽·专题练习）年月日是中国共产党成立的第周年，初心如磐，使命在肩．在国家发展的新时期，为了加快建设高效交通网，某市将要新建一批高速公路项目．已知甲、乙两地原国道长度为，改为高速公路后长度缩短为，高速公路通车后，一辆货车在高速公路上行驶的速度比在国道上行驶的速度提高了，时间上是原来在国道行驶时间的，求该货车在原国道上行驶的速度． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 4．（25-26九年级上·重庆江北·期中）某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【考点49 二次根式的定义】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值是 ． 3．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 4．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【考点50 二次根式有意义的条件】 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知、都是实数，且，则 ． 3．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知实数满足，求的值是多少？ 【考点51 二次根式的性质与化简】 1．（25-26八年级上·全国·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 3．把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为 ． 【考点52 最简二次根式】 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若最简二次根式和能合并，则a的值为 ． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 4．若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是 ． 【考点53 二次根式的运算】 1．计算：等于（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（　　） A． B． C．2 D．－2 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【考点54 二次根式的大小比较】 1．若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 2．（25-26八年级上·上海长宁·月考）比较大小： （请填、或）． 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 4．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【考点55 二次根式的应用】 1．一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 2．（24-25八年级下·广西钦州·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $