专题04 特殊平行四边形 3大高频考点（期末真题汇编）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 专题聚焦特殊平行四边形三大核心考点，汇编多地区八年级下期末真题，题型涵盖选择、填空、解答，注重基础性质与折叠、动点等综合应用结合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|20|矩形性质与判定、菱形边长计算、正方形判定|结合刻度尺、坐标系等情境，考查几何直观| |填空题|16|矩形对角线、菱形面积、正方形动点问题|设置折叠、角平分线等条件，强化空间观念| |解答题|30|矩形折叠证明、菱形动态探究、正方形综合计算|设计多问递进式大题，如矩形翻折求长度、菱形动点证菱形，适配期末综合能力考查|

专题04 特殊平行四边形 3大高频考点概览 考点01矩形 考点02菱形 考点03正方形 地 城 考点01 矩形 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形中，对角线相交于点O， ，， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出的长度，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形为矩形， ． 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质． 根据矩形的性质，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接，根据点B的坐标得 ，再根据矩形性质即可得出的长． 此题主要考查了点的坐标，矩形的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 点B的坐标是， ， 四边形是矩形， 故选： 5．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，在矩形中，，，将沿翻折，使得点D落在边上的点F处，则的长是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据矩形的性质及折叠的性质可得，，然后利用勾股定理求出的长，进而即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， 将沿翻折，点D落在边上F处， ∴， ∴在中， ， ． 故选：B 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在点处，若，，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理，解题的关键是利用折叠性质找到相等的线段和角，结合矩形性质与勾股定理求解． 过作于．，利用折叠性质得出，再结合矩形性质、勾股定理求出等线段长度，进而求出的长． 【详解】解：过作于． 由翻折变换可知， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 7．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出选项A正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出选项B正确；求出，，证明，可得，判断出选项C正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，整理得，判断出选项D错误． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分， 故选项A正确，不符合题意； ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故选项B正确；不符合题意； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，， 故选C正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的两条对角线交于点，且，，则矩形的对角线长为__． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质解决问题是本题的关键． 根据矩形的性质可证△是等边三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， 且， △是等边三角形 ， ， ， ， ， 矩形的对角线长为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为___________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造辅助线． 利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出直角，证明四边形是矩形，然后再利用矩形的性质得出的长，即可作答． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，连接, ∵四边形是平行四边形， ， ， 又∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴ 同理 ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：5． 11．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一点（不与A，B两点重合），过点P分别作，边的垂线，垂足分别为M，N，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，先证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和面积法求出的最小值，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时，的面积, ∴， ∴的最小值为． 12．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，平分交于点，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，由矩形的性质可得，，进而可得是等腰直角三角形，即得，再证明，得到，利用勾股定理求出即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 又∵， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图，点是矩形的边上一点，连结，沿折叠矩形得到，的延长线刚好经过点，若，，则的长是______． 【答案】/ 【分析】本题考查折叠的性质、勾股定理、矩形的性质，解题关键是熟练运用等量代换，把条件和问题转化到一个直角三角形中去解决． 先运用矩形性质得到，，再设，则，，最后在中，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠的性质知：，，，， 在中，， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点E是上一点，且，将沿折叠，点A的对应点F恰好落在上．若，则的长是______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了矩形和折叠的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 首先根据题意求出，然后根据折叠的性质得到，，、，易证是等边三角形，进而求出，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵对折矩形纸片使与重合，得到折痕， ∴，， ∴， ∵将沿折叠，点A的对应点F恰好落在上， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为3． 三、解答题 15．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在矩形中． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交于点E，F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）由线段垂直平分线的性质．由矩形的性质得．设，则，在中，由勾股定理得，代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：∵直线为线段的垂直平分线， ∴． ∵四边形为矩形， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ∴的长为5． 16．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理， （1）由平行四边形的性质推出，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 17．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形，延长至点E，使，与交于点O，点F、G在直线上（F，A，D，G依次排列），连接、，． (1)求证：； (2)若四边形为矩形，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质． （1）先根据矩形的性质证明，，从而证明，得到，进而求出答案即可； （2）根据（1）中所证条件证明，求出，设，则，在和中，由勾股定理求出，，，再根据平行线分线段成比例定理求出和，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：如图，和交于点M， 由（1）可知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图（1），在矩形中，，是的中点，过点作于点，的延长线交于点． (1)求的度数； (2)如图②，延长至点，使得，连接，，．证明：； (3)设，且，在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，解答即可； （2）连接，交于点，根据矩形，得是，的中点，根据线段的中点是唯一的，得M与重合，利用三角形中位线定理证明即可． （3）先证明，得到，，， ，代入计算即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形中， ∴ ∵是的中点， ∴, ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，连接，交于点， ∵矩形， ∴是，的中点， ∵线段的中点是唯一的， ∴M与重合， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴． （3）解：根据（2）得是中位线， ∴， ∵， ∴， 根据（1）得是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理，得， ∵， ∴     解得， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴     解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，点M为边中点，动点P从点A开始，在折线上以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为直角边，在右侧作等腰直角，使，设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在边上运动不与点D重合时，则的长度为___________；用含t的代数式表示 (2)当点P在边上运动时，求证：点Q到直线的距离始终不变； (3)当点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍时，求t的值； (4)连接，当时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据，点的运动的路程为，求得结果； （2）作于E，可证得≌，从而，从而得出结果； （3）可判断出点P在上，作于F，作于E，类比可得≌，从而，从而，进一步得出结果； （4）分两种情形：当点P在AD上时，作，交于F，可求得，从而得出的值，从而得出，从而得出结果；当点P在上，作于W，作于V，作于G，同样方法得出结果． 【详解】（1）解：，由题意，点的运动的路程为， ， 故答案为：； （2）解：如图1， 是的中点，， ， 作于E， ， ， 四边形是矩形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 当点P在边上运动时，点Q到直线的距离为，，始终不变； （3）解：如图2， 由（2）知，当点P在时，Q到的距离是3，到的距离是1，不符合题意， ∴点P在上， 作于F，作于E， 点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍， ， 由（2）知， ， ， ， 点运动的路程是， ； （4）解：如图3， 当点P在上时，作，交于F， 由（2）知，， ， ， ， ， 如图4， 当点P在上，作于W，作于V，作于G， 由（2）知，， ， ， ， ， 点P运动的路程是， ， 综上所述：或． 20．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践： 折叠问题是初中数学中的一个几何题型．折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕所在的直线是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题． 问题情境： 如图1，在长方形纸片中，，，，点P是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． （1）如图2，连接，当点Q落在上时，的长为__________． 深入探究： （2）如图3，点M是的中点，连接．当点Q落在上时，求的长． 拓展应用： （3）如图4，点M是的中点，连接，． ①的最小值为__________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②或4 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据轴对称的性质得到，求得； （2）由点是的中点，得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，求得，连接，根据勾股定理得到； （3）①通过，可得出点的运动轨迹，是以点为圆心， 4 为半径长度的圆弧，从而可知，的连线上的点为最短的长度； ②通过分类讨论，来求得对应的的坐标即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ， ， ， ∵是由沿翻折所得到的图形， ， ， 故答案为：； （ 2 ）∵点是的中点， ， ， ， ∵是由沿翻折所得到的图形， ， ， 连接， ， ， ； （3）如图2， ①∵， ∴点的运动轨迹，是以为圆心， 4 为半径的圆弧， ∴的最小值在的连线上，如图，即为所求， ∵是中点，， ， ， 故答案为：； ②如图， 设，则， ， 当时，， ， ， ； 当时，如图，若点在上， 则， ， ， ， ， ； 综上，的长为或 4 ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 地 城 考点02 菱形 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）四边形是平行四边形，对角线相交于点下列条件中，不能判定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定定理．根据菱形的判定条件，逐一分析各选项是否符合菱形的定义或判定定理． 【分析】如图， A．一组邻边相等的平行四边形是菱形，选项说法正确，不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项说法正确，不符合题意； C．，此时平行四边形有一个角为直角，说明其为矩形，但不能判定为菱形，符合题意． D．∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为菱形，不符合题意． 故选C． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）将一菱形ABCD的对角线AC按照如图所示的方式放置在数轴上，其中点A表示数，点C表示数6．若的长为6，则该菱形的边长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】此题重点考查数轴、菱形的性质、勾股定理等知识，连接交于点F，正确地求出的长和的长是解题的关键． 根据坐标求出的长度，利用菱形的性质和勾股定理即可求出菱形的边长． 【详解】解：连接交于点F， ∵点A，点C都在数轴上，点A表示数，点C表示数6， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ， ∴该菱形的边长为5， 故选：A． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点．，，过点作的平行线交的延长线于点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及菱形的性质，先判断出四边形是平行四边形，从而得出的长度，根据菱形的性质求出的长度，利用勾股定理的逆定理可得出是直角三角形，计算出面积即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， 是直角三角形， 在中，， ∴， 又， ． 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，连接．若，，则菱形的面积为（     ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出，掌握菱形的面积公式． 由菱形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出，于是得到菱形ABCD的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 菱形的面积， 故选：A． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，，垂足为，连接若，则的长为（　　） A．4 B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．先依据菱形的性质得出相关边和角的关系，确定为等边三角形，再结合直角三角形斜边中线性质求出的长度，进而得到和的长度，最后利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故选： 6．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在菱形中，，为边上一点，将菱形的一部分沿折叠后，点恰好落在的中点处，则线段的长为(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质，折叠的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．延长、相交于点，证明，则，，求出即可． 【详解】解：延长、相交于点， 由折叠可知，，， ， ，，， ， ， 是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，四边形是菱形，已知相交于点O，那么菱形的面积为_______． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的面积公式，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：菱形的面积为：， 故答案为：24． 8．（24-25八年级下·山西朔州·期末）两张宽度均为的纸条如图所示交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，得出四边形是菱形是解题的关键．作交的延长线于点E，交的延长线于点F，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解四边形的周长． 【详解】解：如图，作交的延长线于点E，交的延长线于点F， 四边形是两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起的重合部分， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长为， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，菱形中，是对角线上的一点，连接，，，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题通过连接菱形对角线 ，利用菱形性质构建特殊三角形（等边三角形、等腰直角三角形 ），结合直角三角形边角关系，设未知数列方程求解 长度． 【详解】解：连接 ，交 于点 ． 四边形 是菱形， ， 是等边三角形，，，． ． 又 是等腰直角三角形，设 ． 在 中， ，． ，，，且 ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形性质、等边三角形判定与性质、等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握菱形对角线垂直且平分一组对角，以及利用特殊角度（、 ）在直角三角形中建立边的数量关系是解题关键． 10．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______． 【答案】 【分析】证四边形是菱形，得，连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，， ， 连接，如图所示： ， ， 即， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点E在上，点F在上）． 作法：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点F； ②以B为圆心，长为半径作弧，交于点E； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形．    (1)根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)证明：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是正确作出图形，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）解：图形如图所示：    （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 12．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，是的中线，点是中点，过作交的延长线于，连． (1)直接写出与的关系__________； (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)且 (2)四边形是菱形，理由见详解 【分析】（1）证明，得到，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 可得四边形为平行四边形，进而可得且； （2）由，是边上的中线，可得，然后结合四边形是平行四边形，可得四边形是菱形． 【详解】（1）∵点E是中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴． ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴且． 故答案为：且． （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等可得，由线段中点的定义可推出，则可证明四边形是平行四边形；再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）由菱形的性质得到，则由等边对等角和已知条件证明，得到；则可证明四边形是平行四边形；证明，进而可证明，则可证明平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵E、F分别是边和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：由（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； ∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 14．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 15．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图所示，在中，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当t为10或16时，为直角三角形． 【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，首先要表示出两个动点在时间t时的路程，弄清动点的运动路径，再根据其运动所形成的特殊图形列式计算；同时，所构成的直角三角形因为直角顶点不确定，所以要分情况进行讨论． （1）根据时间和速度表示出和的长，利用所对的直角边等于斜边的一半求出的长为，则，再证明即可解决问题； （2）根据（1）的结论可以证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可； （3）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，如图3，②当时，如图4，③当不成立；分别找出等量关系列方程可以求出t的值． 【详解】（1）证明：由题意得：，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形能够成为菱形，理由是： 由（1）可知，四边形为平行四边形， 若，则为菱形， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴当时，，即四边形能够成为菱形； （3）解：分三种情况： ①当时，如图3， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由（1）可知，四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②当时，如图4， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ③当，点重合，点重合，此情况不成立； 综上所述：当t为10或16时，为直角三角形． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，E，F分别为，的中点，是对角线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若四边形是矩形，求证：四边形是菱形； (3)若，四边形是菱形，则四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，因为，所以，即可根据“”证明； （2）由，E、F分别为边的中点，得，推导出，则四边形是平行四边形，由矩形的性质得，则，即可证明四边形是菱形； （3）由交的延长线于点G，得，则四边形是平行四边形，所以，则，由菱形的性质推导出，则，可证明，而，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，E、F分别为边的中点， ∴，， ∴， 在和中，， ∴； （2）证明：∵，E、F分别为边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）解：∵交的延长线于点G， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，推导出是解题的关键． 17．（24-25八年级下·广东广州·期末）小天和小河在学完《平行四边形》之后，研究教材的数学活动；折纸做，，角．学习了以下折法：如图1，先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段，把纸片展平．两人对此展开了命题研究和折纸拓展，提出了以下3道由易到难的数学题．请你解答． (1)已知矩形纸片中，，．以点为原点建立平面直角坐标系，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，分别设直线，，的解析式为，，．得到以下四个结论，其中正确的是（   ） A．  B．  C．  D． (3)在图1的折法基础上，两人再次动手操作：如图2，若将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，把纸片再次展平，连接．试证明四边形是菱形． 【答案】(1) (2)A、C、D (3)见解析 【分析】本题考查矩形的折叠，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定． （1）根据矩形的性质得到，于是得到； （2）根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，待定系数法求得直线，，的解析式分别为，，，于是得到结论； （3）根据折叠的性质，则，，根据三线合一，则，根据菱形的判定和性质，即可推出结论． 【详解】（1）解：如图所示； 四边形是矩形， ， ，． ； （2）解：由折叠的性质得，，， ∴， ， ，； 把，，代入，得，解得， ∴设直线的解析式为， 把，代入，得，解得， ∴直线的解析式为； 把，代入，得，解得， 直线的解析式分别为， ∴A．，正确； B．，错误； C．，正确； D．，正确； 故正确的是A，C，D， 故答案为：A，C，D； （3）证明：连接， 为折痕， 垂直平分， ， 由折叠所得， ， ，， ， 为等边三角形， ， ； ， ， ， 是等边三角形， ， 沿折叠得到， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 18．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）在菱形中，，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，连接．          (1)如图1，当点E落在对角线上时，请求出的长； (2)点E的位置随点P的位置变化而变化，如图2，求证：，； (3)如图3，当点P在线段的延长线上时，连接，若，求的面积． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形和等边三角形的性质得到，，再由角直角三角形的性质得到，则，最后对运用勾股定理建立方程求解； （2）连接，根据菱形和等边三角形的判定与性质证明，则，，故，则； （3）如图，连接交于点O，作于点H，先根据勾股定理求出，则，可得是的垂直平分线，则，由三线合一可得，在中由勾股定理求得，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵ ∴在中，由勾股定理得， 解得（舍负）， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形 ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接交于点O，作于点H， ∵四边形是菱形， ∴，平分，，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 由（2）知， ∵， ∴， 同理可得：是等边三角形， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵等边中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得： 由（2）知， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质等知识点，正确构造全等三角形是解题的关键． 地 城 考点03 正方形 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南郑州·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是真命题； B．对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题； C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故原命题是假命题； D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题是假命题； 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，正方形的边长为8，M为线段上一动点，于点P，于点Q，关于结论1和2，下列判断正确的是（    ） 结论1：四边形是矩形； 结论2：当的长最小时，四边形的面积为12． A．只有结论1正确 B．只有结论2正确 C．结论1和2都正确 D．结论1和2都不正确 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，连接与交于点O，连接，由正方形的边长为8，可得再结合，即可证明四边形是矩形，则，当O与M重合时的长最小，此时，，求出，可得四边形的面积为． 【详解】解：正方形的边长为8，如图，连接与交于点O，连接， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，故结论1正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴当O与M重合时的长最小，此时，， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， ∴结论2错误， 综上所述，只有结论1正确， 故选：A． 3．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在正方形中，，P是边上的动点，于点E，于点F，则的值为（　　） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先由勾股定理求出，证明四边形是矩形，根据是等腰直角三角形得，，由此即可得出的值． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，在正方形中，平分于点F．若，则此正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，由正方形的性质得，推出为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，由角平分线的性质得，进而得正方形的边长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， 为等腰直角三角形， 设， ，即， ，即， 平分， ， 故选：A． 5．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，正确作出辅助线是解本题的关键． 过E作于点M，作于N，证明四边形是正方形，根据勾股定理求出，再证明，得即可解答． 【详解】解：过E作于点M，作于N， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵在正方形中，平分， 又， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，点D，E，F分别在三边，，上（不与顶点重合），且满足，，连接．下列说法一定正确的是（   ） A．四边形为平行四边形 B．当平分时，四边形为矩形 C．当时，四边形为菱形 D．当为等腰直角三角形时，四边形为正方形 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．根据平行四边形的判定、矩形的判定定理、菱形的判定定理、等腰直角三角形的性质逐一进行判断即可得到结论． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形，故A正确，符合题意； 平分， ， ， ， ， 四边形为菱形，故B错误，不符合题意； ， ， 四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 为等腰直角三角形， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 即为等腰直角三角形时，只能证明四边形为矩形，故D错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，D在x轴上，顶点B，C分别在直线和直线上，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 由条件可设，根据正方形性质可得，据此求出即可． 【详解】解：∵正方形的顶点A，D在x轴上，顶点B，C分别在直线和直线上， ∴ ∴设， 则， ∴ 故答案为：． 8．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，以为边在第一象限作正方形，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握辅助线的作法是解题的关键． 过点作轴于点，证出，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，则，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【答案】 3 或 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案． 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 10．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，为对角线，的交点，，分别为边，上的点，，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，先求出，再证明，根据全等三角形对应边相等，可得：，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，再证明，在中，由勾股定理得，据此即可得出的长． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 在正方形中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 11．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，正方形的边长为8，点E，F是对角线上的两点，且，则四边形的面积是____． 【答案】32 【分析】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，三角形的面积公式是解决问题的关键． 连接AC交BD于点O，根据正方形性质及勾股定理求出，则，根据得，由三角形面积公式得，继而可得出四边形AECF的面积． 【详解】解：连接交于点O，如图所示： 四边形是正方形，且边长为8， ，，，，， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ，， ，， ， ， ，， 故答案为： 12．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在边长为的正方形中，的顶点，分别在，边上，且，连接分别交，于点，其中，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，可知，，根据正方形的性质得到，，，进而得到，证明，，，，根据勾股定理求出，设，由勾股定理求出即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，如图所示： ，， 在正方形中，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且，与相交于点G．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据正方形性质得，，由此可依据“”判定和全等； （2）根据全等三角形性质得，再根据得，由此可得出，据此即可得出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， ∴． 14．（24-25八年级下·福建厦门·期末）【问题解决】如图1，在正方形中，点E，F分别在上，于点G． （1）请直接写出线段与线段的数量关系； （2）延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比迁移】 （3）如图2，在菱形中，点E，F分别在上，与相交于点G，，，，，求的长． 【答案】（1）；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）的长为． 【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）利用证明得到，即可得出结论； （3）延长至H，使，连接，通过菱形性质证明，得到是等边三角形，过D作于M，通过勾股定理即可得出结果． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）如图，延长至H，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过D作于M， 则， 在中，， ， ∴， 即的长为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 15．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，在正方形中，E是上的一个动点（E不与B，C重合），F是上的一个动点（F不与D，C重合）． (1)如图1，当E，F分别是的中点时，连接．求证：； (2)如图2，当时，连接，判断三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，M是上的一个动点，连接，当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得到； （2）延长至点N，使，连接，证明，得到，，再证明，即可得到； （3）过点A作，与相交于点G，延长到点K，使，连接，证明，得到，，再证明，在、和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E，F分别是的中点， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴； （2）解：三条线段的数量关系为， 理由如下：延长至点N，使，连接． ∵， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三条线段的数量关系为； （3）解：过点A作，与相交于点G，延长到点K，使，连接． ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M在上，G，E在上， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，由勾股定理得： ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得， ∴． 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 16．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）先利用正方形的性质，矩形的性质，说明O为中点，G为中点，从而可得是中位线，根据中位线的性质可得，从而可得， 故答案为： （2）先证明四边形是正方形，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，进面可得； （3）先根据正方形的性质得出，，再设，从而可用表示出，借助勾股定理可用表示出，再用表示出，即可求得． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，即O为中点， ∵四边形是矩形， ∴，即G为中点， ∴是中位线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点P作于点M，于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，平分，垂直平分， ，， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点P作于点M，于点N， 由（2）得，四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质综合（），解题关键是掌握上述知识点求解． 17．（24-25八年级下·陕西安康·期末）综合与探究 习题再现： 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：． 数学思考： （1）兴趣小组的作法：如图，取的中点H，连接．请你根据此辅助线写出证明过程． 深入探究： （2）智慧小组提出问题：如图，若点E是线段上任意一点，延长到G使，连接，其它条件不变． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②若正方形的边长为6，E为的三等分点，请你直接写出的长为 ． 【答案】（1）详见解析 （2）①四边形为正方形，理由见解析；②或 【分析】（1）取中点，连接，得出，，进而得到为等腰直角三角形即可得出的值，再利用补角的性质得出，然后根据角平分线的性质求出，最后根据性质判定和全等即可得出答案； （2）①在边上取一点P使，连接，利用证明，得，再证明，得，，所以，进而可得四边形为正方形； ②分两种情况讨论：当时，当时，过点F作的延长线于点H，然后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：取中点，连接， 又为的中点，四边形是正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， 又交正方形外角的平分线于点F， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①四边形为正方形， 理由：在边上取一点P使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴， ∵为正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； ②当时，如图，过点F作的延长线于点G， ∵正方形的边长， ∴， ∵为正方形外角的平分线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴（负值已经舍去）， ∴； 当时，如图，过点F作的延长线于点， ∵正方形的边长， ∴， ∵为正方形外角的平分线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴（负值已经舍去）， ∴； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 18．（24-25八年级下·吉林·期末）正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接． 【初步探究】 （1）如图1，则与的数量关系是___________，与的位置关系为___________； 【探索发现】 （2）点在线段上运动时，如图1，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； （3）点在线段的延长线上运动时，如图2，则线段，和三者之间的数量关系为：___________； 【拓展延伸】 （4）如图3，连接，若，，直接写出四边形的面积___________． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）；（4）10 【分析】（1）由可证，可得，，即可求解； （2）由（1）可得，由直角三角形的性质可得结论； （3）由可证，可得，可得结论； （4）利用全等三角形的性质和勾股定理可求，，的长，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）当点P在线段上运动时，，理由如下： 当点P在线段上运动时，如图1，由（1）可得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ， ∴； （3）当点P在线段的延长线上运动时，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 特殊平行四边形 3大高频考点概览 考点01矩形 考点02菱形 考点03正方形 地 城 考点01 矩形 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 5．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，在矩形中，，，将沿翻折，使得点D落在边上的点F处，则的长是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在点处，若，，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（　　） A．平分 B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的两条对角线交于点，且，，则矩形的对角线长为__． 10．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知的四个内角的平分线相交组成四边形，连结，，如果，那么的长为___________． 11．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一点（不与A，B两点重合），过点P分别作，边的垂线，垂足分别为M，N，连接，则的最小值是______． 12．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，平分交于点，，则的长为______． 13．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图，点是矩形的边上一点，连结，沿折叠矩形得到，的延长线刚好经过点，若，，则的长是______． 14．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点E是上一点，且，将沿折叠，点A的对应点F恰好落在上．若，则的长是______． 三、解答题 15．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在矩形中． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交于点E，F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的长． 16．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求证：． 17．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形，延长至点E，使，与交于点O，点F、G在直线上（F，A，D，G依次排列），连接、，． (1)求证：； (2)若四边形为矩形，，求证：． 18．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图（1），在矩形中，，是的中点，过点作于点，的延长线交于点． (1)求的度数； (2)如图②，延长至点，使得，连接，，．证明：； (3)设，且，在（2）的条件下，求的值． 19．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，点M为边中点，动点P从点A开始，在折线上以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为直角边，在右侧作等腰直角，使，设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在边上运动不与点D重合时，则的长度为___________；用含t的代数式表示 (2)当点P在边上运动时，求证：点Q到直线的距离始终不变； (3)当点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍时，求t的值； (4)连接，当时，直接写出t的值． 20．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践： 折叠问题是初中数学中的一个几何题型．折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕所在的直线是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题． 问题情境： 如图1，在长方形纸片中，，，，点P是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． （1）如图2，连接，当点Q落在上时，的长为__________． 深入探究： （2）如图3，点M是的中点，连接．当点Q落在上时，求的长． 拓展应用： （3）如图4，点M是的中点，连接，． ①的最小值为__________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 地 城 考点02 菱形 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）四边形是平行四边形，对角线相交于点下列条件中，不能判定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）将一菱形ABCD的对角线AC按照如图所示的方式放置在数轴上，其中点A表示数，点C表示数6．若的长为6，则该菱形的边长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点．，，过点作的平行线交的延长线于点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，连接．若，，则菱形的面积为（     ） A．30 B．40 C．50 D．60 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，，垂足为，连接若，则的长为（　　） A．4 B．3 C． D．6 6．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在菱形中，，为边上一点，将菱形的一部分沿折叠后，点恰好落在的中点处，则线段的长为(    ) A．1 B． C． D．2 二、填空题 7．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，四边形是菱形，已知相交于点O，那么菱形的面积为_______． 8．（24-25八年级下·山西朔州·期末）两张宽度均为的纸条如图所示交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分四边形的周长为______． 9．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，菱形中，是对角线上的一点，连接，，，若，则的长为_____． 10．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______． 三、解答题 11．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点E在上，点F在上）． 作法：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点F； ②以B为圆心，长为半径作弧，交于点E； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形．    (1)根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)证明：四边形是菱形． 12．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，是的中线，点是中点，过作交的延长线于，连． (1)直接写出与的关系__________； (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由． 13．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 14．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 15．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图所示，在中，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，E，F分别为，的中点，是对角线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若四边形是矩形，求证：四边形是菱形； (3)若，四边形是菱形，则四边形的面积为______． 17．（24-25八年级下·广东广州·期末）小天和小河在学完《平行四边形》之后，研究教材的数学活动；折纸做，，角．学习了以下折法：如图1，先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段，把纸片展平．两人对此展开了命题研究和折纸拓展，提出了以下3道由易到难的数学题．请你解答． (1)已知矩形纸片中，，．以点为原点建立平面直角坐标系，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，分别设直线，，的解析式为，，．得到以下四个结论，其中正确的是（   ） A．  B．  C．  D． (3)在图1的折法基础上，两人再次动手操作：如图2，若将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，把纸片再次展平，连接．试证明四边形是菱形． 18．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）在菱形中，，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，连接．          (1)如图1，当点E落在对角线上时，请求出的长； (2)点E的位置随点P的位置变化而变化，如图2，求证：，； (3)如图3，当点P在线段的延长线上时，连接，若，求的面积． 地 城 考点03 正方形 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南郑州·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，正方形的边长为8，M为线段上一动点，于点P，于点Q，关于结论1和2，下列判断正确的是（    ） 结论1：四边形是矩形； 结论2：当的长最小时，四边形的面积为12． A．只有结论1正确 B．只有结论2正确 C．结论1和2都正确 D．结论1和2都不正确 3．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在正方形中，，P是边上的动点，于点E，于点F，则的值为（　　） A．4 B． C． D．2 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，在正方形中，平分于点F．若，则此正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D． 6．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，点D，E，F分别在三边，，上（不与顶点重合），且满足，，连接．下列说法一定正确的是（   ） A．四边形为平行四边形 B．当平分时，四边形为矩形 C．当时，四边形为菱形 D．当为等腰直角三角形时，四边形为正方形 二、填空题 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，D在x轴上，顶点B，C分别在直线和直线上，则k的值为______． 8．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，以为边在第一象限作正方形，则点的坐标为________． 9．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 10．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，为对角线，的交点，，分别为边，上的点，，连接．若，，则的长为______． 11．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，正方形的边长为8，点E，F是对角线上的两点，且，则四边形的面积是____． 12．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在边长为的正方形中，的顶点，分别在，边上，且，连接分别交，于点，其中，则 ______． 三、解答题 13．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且，与相交于点G．    (1)求证：； (2)求的度数． 14．（24-25八年级下·福建厦门·期末）【问题解决】如图1，在正方形中，点E，F分别在上，于点G． （1）请直接写出线段与线段的数量关系； （2）延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比迁移】 （3）如图2，在菱形中，点E，F分别在上，与相交于点G，，，，，求的长． 15．（24-25八年级下·云南德宏·期末）如图，在正方形中，E是上的一个动点（E不与B，C重合），F是上的一个动点（F不与D，C重合）． (1)如图1，当E，F分别是的中点时，连接．求证：； (2)如图2，当时，连接，判断三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，M是上的一个动点，连接，当，，时，求的长． 16．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 17．（24-25八年级下·陕西安康·期末）综合与探究 习题再现： 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：． 数学思考： （1）兴趣小组的作法：如图，取的中点H，连接．请你根据此辅助线写出证明过程． 深入探究： （2）智慧小组提出问题：如图，若点E是线段上任意一点，延长到G使，连接，其它条件不变． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②若正方形的边长为6，E为的三等分点，请你直接写出的长为 ． 18．（24-25八年级下·吉林·期末）正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接． 【初步探究】 （1）如图1，则与的数量关系是___________，与的位置关系为___________； 【探索发现】 （2）点在线段上运动时，如图1，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； （3）点在线段的延长线上运动时，如图2，则线段，和三者之间的数量关系为：___________； 【拓展延伸】 （4）如图3，连接，若，，直接写出四边形的面积___________． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $