专题06 一次函数的应用与提升 3大高频考点（期末真题汇编）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦一次函数三大高频考点，汇编多地区期末真题，涵盖方程不等式综合、实际应用及几何结合，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|15题|一次函数图像与不等式解集（如两直线交点求解集）、几何图形与函数交点（如正方形与直线交点范围）|数形结合，注重图像信息提取| |填空题|18题|实际问题建模（如快递收费、充电电量关系）、几何计算（如直线与坐标轴围成面积）|联系生活情境，强调数学应用| |解答题|18题|一次函数解析式求解、实际方案设计（如房车购买费用最低）、几何动态问题（如动点与面积变化）|跨考点综合，突出逻辑推理与创新应用|

专题06 一次函数的应用与提升 3大高频考点概览 考点01一次函数与方程、不等式 考点02实际问题与一次函数 考点03一次函数与几何综合 地 城 考点01 一次函数与方程、不等式 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】通过观察函数图象经过的坐标点以及图象的升降趋势，结合一次函数中、的几何意义进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，直线经过点和，且随的增大而减小， ，故A选项说法正确； 图象与轴交于点， ，故B选项说法正确； 观察图象可知，当时，图象位于轴下方，即，故C选项说法错误； 当时，图象位于轴左侧，即，故D选项说法正确． 2．（24-25八年级下·吉林白山·期末）同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，结合一次函数与正比例函数的图象性质，运用数形结合思想，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察一次函数与正比例函数的图象， 得出这两直线的交点的横坐标为, 运用数形结合思想得关于的不等式的解集是， 故选：C． 3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线和交于P，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式． 根据图象，即可得满足题意的x的取值范围． 【详解】解：根据图象可知， 当时，x的取值范围是． 故选：D． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知一次函数与的图象相交于一点，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，两直线的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出这个交点的横坐标，再运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于一点， ∴ ∴ 解得 即这个交点的横坐标为， 观察函数图象得当时，则， 故选：C 5．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是以交点为分界．以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：函数和的图象相交于点， 不等式的解集为． 故选D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，一次函数（a，b为常数，）的图像分别与x轴，y轴交于点，B（0，1），则关于x的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数及图像与一元一次不等式．解题的关键是从函数图像的角度看，通过比较两函数图像的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．结合函数图像，写出一次函数图像不在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数（a，b为常数，）的图像与x轴交于点， 即时，， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，则的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：当时，， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∴的面积为． 故答案为：4． 8．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，两一次函数图象的交点满足两函数解析式．利用P点坐标满足两函数解析式，从而得到为关于x的方程的解． 【详解】解：一次函数与的图象交于点， 即时，， 关于x的方程的解为 故答案为： 9．（24-25八年级下·广东江门·期末）如图，若直线与直线相交于点，当时请写出x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想是解题关键．点代入求得P点的坐标，根据图象即可得出当时请写出x的取值范围． 【详解】解：直线与直线相交于点， ，解得， ， 由图象可知，当时x的取值范围为 故答案为： 10．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，一次函数与的图象交于点下列结论：①；②；③；④当时，；⑤正确的有______填写序号 【答案】③ 【分析】结合一次函数的性质、一次函数与系数的关系、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论． 本题是两条直线相交问题．考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键． 【详解】解：一次函数图象过第一、二、四象限， ，，故①错误； 一次函数的图象过第一、二、三象限， ，， ，故②错误； 一次函数与的图象交于点M，且M的横坐标为1， ， ，故③正确； 由图象可知，当时，，故④错误； 一次函数的图象过点， ， ，故⑤错误． 故答案为：③． 三、解答题 11．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B． (1)求B点坐标，以及该一次函数的解析式． (2)若该一次函数的图象与x轴交于D点；求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）利用正比例函数，求得点B坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）利用一次函数解析式求得点D坐标，即可求的面积． 【详解】（1）解：把代入中，得， 所以点的坐标为， 由图象可知， 设一次函数的解析式为， 把和代入， 得， 解得， 所以一次函数的解析式是； （2）解：在中，令，则， 解得， 则的坐标是， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·广东广州·期末）已知点，及第一象限的动点，且，设，的面积分别为，． (1)分别求出，关于的函数解析式，以及相应的取值范围； (2)请判断是否成立？如果成立，求此时点坐标；如果不成立，请说明理由； (3)画出的函数图象，并根据图象回答时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)成立， (3)图见解析， 【分析】本题考查一次函数的图象及性质． （1）根据三角形面积公式求解即可； （2）当时求出P点坐标即可； （3）画出函数图象，直接可得取值范围． 【详解】（1）， ； （2）成立，理由如下： 当时，， ； （3）由图可知，时， ． 13．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图所示，一次函数的图象经过点A，与函数的图象交于点B，点B的横坐标为1． (1)方程组的解是 ， ， ； (2)求代数式的值． 【答案】(1)，2，3； (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． （1）先利用直线确定B点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解；利用待定系数法求出直线即可； （2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后把m、n的值代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，，则B点坐标为， 所以方程组组的解是， 把，代入得， 解得； 故答案为：，2，3； （2）解： ， 当，时，原式． 14．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在平面内找一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)①；②或或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及一次函数与一元一次方程，一元一次不等式（组）的关系，等腰直角三角形的性质及应用等． （1）依据题意，利用直线与x轴交点即为时，对应x的值，进而得出答案； （2）依据题意，利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案； （3）①利用三角形面积公式求得即可； ②设，可得，，，分两种情况讨论：当为直角边时，，；当为直角边时，，．分别可得关于m、n的方程组，解方程组即可得D点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴关于x的方程的解是； ∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴观察图象可得关于x的不等式的解集是； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴观察图象可得关于x的不等式组的解集为， 故答案为：； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②设， ∵，， ∴，，， 分以下两种情况讨论： 当为直角边时，，， ∴， 解得或， ∴D的坐标为或； 当为直角边时，，， ∴， 解得或， ∴D的坐标为或； 综上所述，D的坐标为或或或． 15．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“新函数”，一次函数为“新函数”的“关联函数”．“新函数”的图象记为直线，它的“关联函数”的图象记为直线． 例如：“新函数”的“关联函数”为． (1)直接写出“新函数”的“关联函数”表达式； (2)请说明：直线，直线与y轴的交点是同一个点； (3)如图，若“新函数”的表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； (4)“新函数”的表达式为．若直线，直线与轴围成的图形面积为9，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点A的坐标为或 (4) 【分析】本题属于一次函数的综合题，平行四边形的判定与性质，涉及一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． （1）直接根据“新函数”写出表达式即可； （2）求出“新函数”与它的“新函数”与y轴的交点即可； （3）先求出直线，直线的交点为，当点A在点B上面时，当点A在点B的下面时，分别求解即可； （4）先求出“新函数”表达式为，它的“关联函数”表达式为，再证明四边形为平行四边形即可． 【详解】（1）解：根据“新函数”的“关联函数”的定义可知： “新函数”的“关联函数”为； （2）在“新函数” 中，令，则， ∴直线与y轴交点为， 在它的“关联函数”中，令x=0，则， ∴直线与y轴交点为， ∴直线，直线与y轴的交点为同一个点； （3）“新函数”的表达式为， “关联函数”的表达式为， 令，则， ∴直线，直线的交点为， ∵点在直线上， ∴设 ∵点B在直线上， 当点A在点B上面时， 轴， ， ， ， 当点A在点B的下面时， ， 综上所述，点A的坐标为或； （4）①∵“新函数”的表达式为 ∴它的“关联函数”为， 令， ， ∴直线，直线交点为， 如图，则 ，，， ，即， ， ∴“新函数”的表达式为，它的“关联函数”表达式为， ，轴交于点F， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴， ， ， 又，轴， ， ∴四边形为平行四边形， ． 【点睛】本题属于一次函数的综合题，平行四边形的判定与性质，涉及一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 地 城 考点02 实际问题与一次函数 一、单选题 1．（24-25八年级下·福建莆田·期末）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．为了了解其沸点，小聪先在锅中倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（）与油温（）对应关系如下表：当加热到时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（　　） 时间t/ 0 10 20 30 40 油温y/ 10 30 50 70 90 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用．由表格数据可知，油温随时间呈线性变化，设油温y与时间t的函数关系为，利用表格中数据求出k和b，再代入计算即可． 【详解】观察表格，可知油温随时间呈线性变化，设油温y与时间t的函数关系为， 将，代入得： ， 解得：， 即油温y与时间t的函数关系为， 将代入得， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）根据国家天然气价格形成机制的相关要求，某市居民用天然气价格已上调．调整后，居民每月用气费用元与每月用气量立方米之间的函数图象如图所示，其中段第一阶梯符合正比例函数模型，段第二阶梯符合一次函数模型，则下列说法不正确的是(    ) A．第一阶梯的单价是元/立方米 B．第二阶梯的单价是元/立方米 C．的值为 D．当月用气量为立方米时，费用为元 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，根据图象逐一判断即可，读懂题意，从图象中获取信息是解题的关键．A，B．分别根据图象计算即可；C．根据第二阶梯的单价列关于a的一元一次方程并求解即可；D．根据第二阶梯的单价计算即可． 【详解】解：第一阶梯的单价是(元/立方米)， ∴A正确，不符合题意； 第二阶梯的单价是(元/立方米)， ∴B正确，不符合题意； 根据图象，得， 解得， ∴C不正确，符合题意； 当月用气量为立方米时，费用为(元)， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相差100件时，此刻的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的实际应用．正确的识图，求出一次函数的解析式，是解题的关键． 求出甲乙两图象的函数解析式，分甲仓库比乙仓库多100件，和乙仓库比甲仓库多100件，两种情况，进行求解即可． 【详解】解：设甲图象的函数解析式为：，由图象可知： ，解得：， ∴， 设乙图象的函数解析式为：，由图象可知： ，解得：， ∴， 当甲仓库比乙仓库多100件时：，解得：， 即：此刻时间为； 当乙仓库比甲仓库多100件时：，解得：， 即：此刻时间为； 综上：当两仓库快递件数相差100件时，此刻的时间为或． 故选：D． 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，拉力与之间的函数表达式为 C．当时，此时石块完全浸入水中 D．当时，此时石块所受浮力不变 【答案】D 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、一次函数的应用等知识点，采用数形结合的思想解决函数图象问题是解决本题的关键． 结合所给函数图象以及一次函数的相关知识逐个选项分析判断即可解答． 【详解】解：从图象看，石块在下降时拉力不发生变化，对应的拉力为， 当时，此时石块还在水面上方，故A选项错误，不符合题意； 当时，设函数解析式为， ， 解得：， 拉力与之间的函数表达式为，故B选项错误，不符合题意； 从图象看：当时，石块所受的拉力为，拉力开始不变，此时石块完全浸入水中，故C选项错误，不符合题意； 当时，石块所受的拉力不变， 石块的重力为，， 石块所受浮力不变，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图是张老师复印资料时，剩余张数和工作时间的函数关系图象，根据图中提供的信息可以知道，张老师这次刚好复印完资料所需的工作时间为________分钟． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用．利用待定系数法求出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：剩余张数和工作时间的函数关系是一次函数关系， 设该函数解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为， 当时，， 解得：， 即张老师这次刚好复印完资料所需的工作时间为20分钟． 故答案为：20 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）本市歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过物品需付13元，以后每增加，需增加托运费1.5元．直接写出托运歇马杏的费用y（元）的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列一次函数关系．得到超过的歇马杏的托运费的表示方法是解决本题的关键．当时，托运费的费用超过的托运费用，把相关数值代入后整理即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·山西忻州·期末）某实验室测试新型太阳能充电器，将其置于恒定光照下，每隔两小时记录一次电池电量百分比，得到下表数据． 充电时间/小时 0 2 4 6 8 电池电量百分比 6 22 38 54 70 已知电池电量百分比（单位：）与充电时间（单位：小时）满足一次函数关系．当电池电量达到时，充电时间是_______小时． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解析式等知识，正确求得函数解析式，求出函数自变量或函数值是解决本题的关键．先求出一次函数，然后令时，解得的值即可得答案． 【详解】解：设电池电量百分比与充电时间表达式为：， 将点代入解析式中得： ， 解得：， ∴函数的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴当电池电量达到时，充电时间是10小时． 故答案为：10． 8．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图为某公司统计的停车场当日上班时间（8:30至17:30）内的停车数量（图中时间0对应上班时间8:30），已知场内最多可停放240辆汽车，则该停车场当日停满车辆的持续时间为______小时． 【答案】 【分析】本题考查函数图象，一次函数的应用．根据图象得到停车场停满车的起始时间与结束时间，进而该停车场当日停满车辆的持续时间． 【详解】解：如图： 设停车开始满时为时刻， 设， ，解得：， ， ， 设停车结束满的状态时为时刻， 8:30至17:30共9个小时，则， 设， ，解得：， ， ， 则该停车场当日停满车辆的持续时间为． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·北京石景山·期末）某校的一生物小组观察某种植物生长情况，得到该植物的高度(单位：)与观察时间(单位：天)的关系如图所示(是线段，射线平行于轴)．给出下面四个结论：    ①从开始观察起，天后该植物停止长高 ②当时，与的关系表达式为 ③观察第天时，该植物的高度为cm ④观察期间，该植物最高为． 上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了函数图像，求一次函数解析式． 根据函数图像可直接判断①；设与的关系表达式为，将，代入求出关系表达式即可判断②；分别将，代入关系表达式即可判断③、④． 【详解】解：由图可知，天后该植物停止长高，故①正确； 当时，设与的关系表达式为， 由函数图像可知经过，， ∴， 解得：， ∴当时，与的关系表达式为，故②正确； 当时，，故③正确； 当时，，故④错误； 故答案为：①②③． 10．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图像如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有______． ①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在地时距地面的高度为30米；③乙登山5.5分钟时追上甲：④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米． 【答案】①② 【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解④的关键是将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程． 根据速度等于高度除以时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度等于速度乘以时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值和t的值；求出甲登山全程中y关于x的函数关系式，和乙后半段中y关于x的函数关系式，确定高度差只在时，令二者做差等于即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：甲登山上升的速度是（米/分钟）， 乙提速后的速度为：（米/分钟）， ， ， 故①②正确； 设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为， ∴，解得， ∴函数关系式为． 同理求得段对应的函数关系式为， 当时，解得：， ∴乙登山分钟时追上甲，故③错误； 当时，高度差为， 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． 故登山4分钟、9分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米．故④错误； 故答案为：①②． 三、解答题 11．（24-25八年级下·吉林白山·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘松长高速某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务．甲、乙两组挖掘的长度之和甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲组每天挖掘_______米，乙组每天挖掘_______米； (2)求乙组停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【答案】(1)3，4 (2) (3)10天 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． （1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，结合工作量除以工作时间等于工作效率，进行列式计算即可； （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等，列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图象得，甲组每天挖（米）， 甲乙合作每天挖（米）， ∴乙组每天挖（米）， ∴甲组每天挖掘3米，乙组每天挖掘4米； （2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为， 将和两个点代入， 可得， 解得， ∴； （3）解：由（1）得甲组每天挖米，乙组每天挖米， 则乙组挖掘的总长度为（米） 设乙组已停工的天数为a， 则， 解得， 答：乙组已停工的天数为10天． 12．（24-25八年级下·云南保山·期末）“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价多10万元．用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等． (1)求甲型房车、乙型房车的单价分别是多少万元？ (2)若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆．为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少万元？ 【答案】(1)甲型房车的单价为20万元，乙型房车的单价为30万元 (2)应购买甲型房车12辆，乙型房车8辆时，最低总费用为480万元 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数求最值的运用． （1）设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为万元，结合题意，列分式方程求解即可； （2）设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车辆，根据购买乙型房车的数量不少于8辆，列出一元一次不等式，得到a的取值范围，设总费用为w元，由题意列出w关于a的一次函数关系式，根据一次函数求最值的方法即可求解． 【详解】（1）解：设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为万元， ∵用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴甲型房车的单价为20万元，乙型房车的单价为30万元； （2）解：设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车辆， ∵购买乙型房车的数量不少于8辆， ∴， 解得， 设总费用为w万元， 由题意可得：， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最小，此时，， 答：为使总费用最低，应购买甲型房车12辆，乙型房车8辆时，最低总费用为480万元． 13．（24-25八年级下·青海玉树·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每个便宜10元，某商家用3000元购进的肉粽礼盒和用2400元购进的豆沙粽礼盒数量相同． (1)求每个肉粽礼盒和每个豆沙粽礼盒的进价； (2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A、B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售． B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25个，超过的部分打7折． 该商家计划购买豆沙粽礼盒个，设去厂家购买应付元，去厂家购买应付元．其函数图象如图所示： ①分别求出、与之间的函数关系式； ②若该商家只在一个厂家购买，怎样购买划算？ 【答案】(1)每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元 (2)①；；②购买豆沙粽礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买豆沙粽礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买豆沙粽礼盒多于75盒，去厂家购买划算 【分析】本题考查分式方程和一次函数的实际应用，正确的列出分式方程和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元，列分式方程求解即可； （2）①根据售价与数量、单价间的关系即可列一次函数得解；②由得，解得，结合图象即可得解． 【详解】（1）解：设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元， ， 方程两边乘，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的解， ； 答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元． （2）解：①； 当，； 当，； ∴； ②当，时，； 解得：， 由图象可知：购买豆沙粽礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买豆沙粽礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买豆沙粽礼盒多于75盒，去厂家购买划算． 14．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）综合与实践 为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究.数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能原汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异.信息如表所示： 参数类型 燃油汽车 新能源汽车 经济类型 燃油 电能 能源容量 油箱容积：50升 电池电量：50千瓦时 能源价格 油价：8元/升 电价：1元/千瓦时 续航里程 500千米 250千米 行驶费用 元/千米 元/千米 据调查，燃油汽车和新能源汽车每年的其他费用分别为4800元和7500元年费用=年行驶费用+年其他费用 (1)设每年行驶里程为xkm，用燃油汽车时，年费用为元，用新能源汽车时，年费用为元.请分别写出，与x之间的关系式； (2)请你通过计算说明，选择哪种汽车的年费用更低？ 【答案】(1)， (2)当行驶里程不足4500千米时，选择燃油汽车年费用更低；当行驶里程为4500千米时，选择燃油汽车和新能源汽车年费用相等；当行驶里程超过4500千米时，选择新能源汽车年费用更低 【分析】分别根据年费用=年行驶费用年其他费用解答即可； 比较，的大小即可． 本题考查一次函数的应用，写出，与x之间的关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 与x之间的关系式为，与x之间的关系式为 （2）当时，得，解得， 当时，得，解得， 当时，得，解得， 当行驶里程不足4500千米时，选择燃油汽车年费用更低；当行驶里程为4500千米时，选择燃油汽车和新能源汽车年费用相等；当行驶里程超过4500千米时，选择新能源汽车年费用更低． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 【答案】(1)元，元 (2)购进“神舟”模型个、“天宫”模型个，利润最大，最大利润元； (3) 【分析】（1）设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个，列不等式组求出的取值范围，再根据利润单个利润模型数量，可得关于的一次函数，利用一次函数的性质求出最大利润； （3）根据利润单个利润模型数量，可得，根据一次函数的性质求出． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元． （2）解：设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个， 根据题意得：， 解得：， ， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，， （个）， 答：购进“神舟”模型个、“天宫”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元； （3）解：， ， 若，则，即， 随的增大而增大， 当时值最大，得， 解得：， 为让航模店最终获得的最大利润是元，的值为． 16．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1) (2)①25辆；②为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：①在中，当时，则，解得， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②当时，解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 地 城 考点03 一次函数与几何综合 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，边长为2，若直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．当直线过或时，求得，即可得到结论． 【详解】解：正方形的顶点的坐标为，边长为2， ， 当直线经过点时，，此时． 当直线经过点时，，此时． 所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是． 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·期末）如图①，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿C→A→B运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②，则的长为（    ） A．12 B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、勾股定理，读懂函数图象是解题关键． 结合图象求出，利用线段中点的性质得出，再结合图象得出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：结合图象②可知，点， 当时，， 此时，， ∵点D是的中点， ∴， 由图②可知，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：B． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、轴对称的性质，求一次函数的解析式时常用待定系数法，本题的解题关键是作定点的两个对称点． 作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，则，通过轴对称的性质可求出，待定系数法可求出 的直线方程，结合轴对称的性质可得当，在同一直线上时三角形周长最小，与 联立可求出E的坐标即可． 【详解】解：作 点关于直线的对称点，连接 ，于 轴的对称点 ，则 由题意知，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， 故，即 是等腰直角三角形， ∵关于对称， ∴， ∴ 轴，， ∴， 则 的周长， 根据两点之间线段最短可得，当 ， 在同一直线上时，三角形周长最小， 设直线 的解析式为， 则 解得 ， ∴直线 的解析式为， 与直线联立得 ， 解得，， ∴， 故选∶A． 4．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上， 且，， 若直线以每秒1个单位长度的速度向下平移，则经过（    ）秒该直线可将平行四边形的面积平分？ A．6秒 B．秒 C．5秒 D．3秒 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与几何变换，首先连接、，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过D且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移6个单位，进而可得答案． 【详解】解：连接、，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 设平移后的直线解析式为，且平移后的直线平行于， ∴， ∵平移后的直线经过点， ∴平移后的直线的解析式为， 把代入得，， ∴平移后的直线与轴交点坐标为， 同理：与轴交点坐标为， ∵， ∴直线要向下平移6个单位， ∴经过6秒该直线可将平行四边形的面积平分， 故选：A． 5．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点D的坐标为．其中正确的结论是（  ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征和折叠的性质． 先利用直线的解析式确定点，，则利用两点间的距离公式可计算出，则可对①进行判断；设，则，根据折叠的性质得到，，所以，在中利用勾股定理得到，解方程得到，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式为，则可对②进行判断；过D点作于H点，如图，利用面积法求出，再利用勾股定理计算出，从而得到，所以D点坐标为，于是可对③进行判断． 【详解】解：当时，， 解得， ， 当时，， ， ，所以①正确； 设，则， 线段沿翻折，点O落在边上的点D处， ，， ， 在中，， 解得， ， 设直线BC的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为，所以②正确； 过D点作于H点，如图， ，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 点坐标为，所以③错误． 故选：B 6．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用．先求出，再根据的面积被y轴平分，得出点P与点A的横坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得， 则， 作点A关于y轴的对称点，则 ∵的面积被y轴平分， ∴点P的横坐标为，如图，Q为与y轴的交点，则Q为的中点， ∵点P在直线上， ∴点P的坐标为． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，则直线的解析式为______． 【答案】或 【分析】首先表示出，，然后利用求解即可． 本题考查了求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，， ∴ 当时， 解得 ， ， ， 解得， 一次函数解析式为或． 故答案为：或． 8．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点．则点D的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质以及待定系数法求出一次函数解析式，通过构造全等三角形，求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出的长，过点C作轴于点E，易证≌，利用全等三角形的性质，可得出的长，进而可得出点C的坐标，由点A，C的坐标，利用待定系数法，可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点D的坐标． 【详解】解：当时，， 点A的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点B的坐标为， 过点C作轴于点E，如图所示． ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入 得：， 解得：， 直线的解析式为 当时，， 解得：， 点D的坐标为， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·山西大同·期末）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为，点B坐标为，点C是直线上的一个动点，若，则点C的坐标为______ 【答案】或． 【分析】分两种情况：当点C在y轴右侧时，由条件可判定，容易求得C点坐标；当点C在y轴左侧时，可设C点坐标为，过作直线交x轴于点D，可表示出直线的解析式，可表示出D点坐标，再根据勾股定理可表示出的长，由条件可得到，可得到关于a的方程，可求得C点坐标． 【详解】解：当点C在y轴右侧时，如图1，连接， ∵， ∴， ， ∴C点纵坐标为4， 又C点在直线上，把代入可求得， ∴C点坐标为； 当点C在y轴左侧时，过A、C作直线交x轴于点D，如图2， 设C点坐标为，设直线的解析式为 把A、C坐标代入可得，解得， ∴直线的解析式为，令可求得， ∴D点坐标为， ∵，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，经检验是分式方程的解， 则， ∴C点坐标为． 综上可知，C点坐标为或 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、分式方程、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、分类讨论思想等知识点．本题难度不大，注意考虑全面即可． 10．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与正方形交于，两点，与轴交于点，已知点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作轴于点，过作轴于点，，结合正方形的性质可证明，得到，，进而求出，再求出直线的解析式为，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过作轴于点， 则， ， ， ，， 四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．将坐标代入，求出b，从而求得反射光线的函数关系式，当时，求出对应x的值，从而求得点B的坐标；求出点C关于x轴的对称点的坐标，由光的反射定律可知，点在入射光线上，进而利用待定系数法求出入射光线的函数关系式即可． 【详解】解：将坐标代入，得，解得， 反射光线的函数关系式为， 当时，， 解得， ， 根据光的反射定律，点关于x轴的对称点在入射光线上， 设入射光线的函数关系式为（m、n为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 入射光线的函数关系式为． 12．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B为x轴上一点，菱形的边为长2，， 点D是边上一动点 （不与点 O， B重合）， 点E在边上， 且，下列结论：①； ②的大小随点D的运动而变化；③直线 的解析式为 ④的最小值为 其中错误的有__________．（填写序号） 【答案】② 【分析】根据菱形的边长为，，可得为等边三角形，又，可证；由，可以证出为等边三角形，所以大小不变；求出，的坐标可以求出直线的解析式为；根据垂线段最短，当时有最小值． 【详解】解：∵菱形的边长为，， ∴，为等边三角形， ∴，，， 在和中 ， ∴；（故①正确） ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的大小随点的运动而是不变化的；（故②不正确） 如图，过点作轴于， ∴， ∵四边形是菱形，且边长为，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为；（故③正确） 根据垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 即的最小值为．（故④正确）． 故答案为：②． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法确定一次函数的解析式，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 三、解答题 13．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图1，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)如图1，若点E是线段上一动点，过点E作y轴的平行线，交直线于点D，若的面积为5，求点E的坐标； (3)如图2，若点P是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，连接，在点P的运动过程中是否存在的情况，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）求出，，由点C与点A关于y轴对称，知，再用待定系数法得直线BC的函数解析式为； （2）设，则，求出，可得，解得； （3）分两种情况：①当点P在y轴左侧时，设，其中，则，证明，可得，即，即可解得；②当点P在y轴右侧时，设其中，同理可得，从而 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ，， 点C与点A关于y轴对称， ， 设直线的函数解析式为，将、代入得：， 解得， 直线的函数解析式为； （2）解：设，其中，则， ， ， 解得， ； （3）解：在点P的运动过程中存在的情况，理由如下： ①当点P在y轴左侧时，如图： 设，其中，则， 点C与点A关于y轴对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 解得； ； ②当点P在y轴右侧时，如图： 设其中，则， ，， ， ， ， ，，， ， 解得， ； 综上所述，Q的坐标为或 ． 14．（24-25八年级下·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于，，作线段的垂直平分线交轴于点，交轴于点，交于点． (1)如图1，求点坐标； (2)如图1，点是轴上的一个动点，是平面内任意一点，以，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，过点作轴的平行线，连接并延长交直线于点，，分别是直线和直线上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1) (2)点H的坐标为或或或 (3) 【分析】（1）由所对的直角边是斜边的一半得到，在中利用勾股定理求出，，进而得到，再利用特殊直角三角形求解即可； （2）先得到E的坐标，再分类讨论画出每种情况很容易求得点H的坐标； （3）要求周长和最小值，很明显是轴对称最短路径问题，只有F是定点，所以作点F关于的对称点C，作点F关于的对称点D，连接分别交直线和直线于P，Q，这样周长最小值就转移到求的长，再利用条件求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴．即． （2）过E作于S，则，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ①当是菱形的对角线时，点E和H关于y轴对称，此时点H的坐标为， ②当是菱形的边时，点H的坐标为或； 如图1，此时， ∴H坐标为， 如图2，此时， ∴H坐标为， 如图3，∵，， ∴， ∴， ∴H的坐标为， 综上：点H的坐标为或或或． （3）作点F关于的对称点C，作点F关于的对称点D，连接分别交直线和直线于P，Q，如图， ∴，，，，，， ∴， 由，得直线的解析式为： ， 当时，， ∴， ∵，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 同理，连接，也为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值即为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与性质、菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、轴对称最短路线问题等内容，熟练掌握相关知识和分类讨论思想是解题的关键． 15．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知函数（，为常数，），矩形的顶点坐标分别为，，，． (1)点在函数的图象上，则_______； (2)①如图1，若，且函数（，为常数，）图象与矩形交于，，，四点．请问函数图象是否经过定点？若经过，请求出定点坐标，若不经过，请说明理由； ②在①的条件下，若平分矩形的面积，求该函数的解析式； ③若且时，函数图象与矩形恰好有两个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①过定点，理由见解析；②函数不存在；③且或 【分析】（1）把代入函数解析式，进而得出结果； （2）当时，，故函数图象经过定点和；先求得矩形的对称中心是，从而得出函数图象过，将其坐标代入，进一步得出结果； ③根据图象观察得出结果． 本题考查了待定系数法求函数的解析式，数形结合的思想等知识，解决问题的关键是数形结合． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，， ∴函数图象经过定点和． ②， 矩形的对称中心是， 平分矩形的面积， 函数图象过， ， ∵， ， 当时， 函数图象与矩形只有三个公共点， 此时函数不存在； ③如图， 当时，函数图象与矩形恰好有两个公共点， 当函数图象经过点B时，， ， 当时，函数图象与矩形恰好有两个公共点， 综上所述：，且或． 16．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，且面积为5． (1)求直线的解析式； (2)若为轴上一个动点，在直线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】题目主要考查一次函数的综合问题，平行四边形的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，设点，结合题意确定，再由待定系数法求解即可； （2）设点，利用平行四边形的性质分三种情况分析：当以为对角线时，当以为一条边时，点A与点E相对，当以为一条边时，点A与点F相对，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴， 设点， ∴， ∵点，且面积为5． ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）存在， 设点， 由（1）得， ∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴分情况如下： 当以为对角线时， ，， 解得：， ∴ ∴； 当以为一条边时，点A与点E相对， ∴，， 解得：， ∴ ∴； 当以为一条边时，点A与点F相对， ∴，， 解得：， ∴ ∴； 综上可得：点的坐标为或 ． 17．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】本题主要考查一次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法求解析式及图形的平移性质是解题的关键． （1）由直线与直线平行，可设直线的解析式为，根据直线交轴于点，可求出解析式，再根据解析式求出点坐标即可； （2）四边形周长中和长度固定，所以求出长度后四边形周长由决定，将向右平移两个单位至，则，过轴作点的对称点，连接交轴于点，此时最小，即最小，求出直线的解析式，即可确定点坐标，进而确定点坐标； （3）由题意确定点坐标，再分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况分别计算出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴设直线的解析式为， ∵直线交轴于点， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线交于点， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：， ， 即， 则， 解得：， ， ∵与轴交于点， ， ∴， ∴， 当最小时，四边形的周长最小，将向右平移两个单位至，如图 1 ， 则， 过轴作点的对称点，连接交轴于点， 此时最小，即最小， 设直线的解析式为， 代入坐标，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得：， ， ． （3）解：存在，点的坐标为或或． 理由如下： 过作轴，图2， 由题知，， ， ， ， ， 设， 当为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ， 综上，点的坐标为或或． 18．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式 (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标：若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，点Q在直线上，当点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 (3)存在，或 【分析】（1）由直线：经过点，再利用待定系数法可得答案； （2）设，先求解，可得，，，结合是等腰三角形，再分类讨论即可； （3）如图，设，，当为对角线时，如图，当为对角线时，如图，当为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，设， ∵， 解得：， ∴， ∴，，， ∵是等腰三角形， 当时，， 解得：， ∴或， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴， 综上：或或或； （3）解：如图，∵点P在直线上，Q在直线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的几何应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数的应用与提升 3大高频考点概览 考点01一次函数与方程、不等式 考点02实际问题与一次函数 考点03一次函数与几何综合 地 城 考点01 一次函数与方程、不等式 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 2．（24-25八年级下·吉林白山·期末）同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线和交于P，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知一次函数与的图象相交于一点，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，一次函数（a，b为常数，）的图像分别与x轴，y轴交于点，B（0，1），则关于x的不等式的解集为___________． 7．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，则的面积为______． 8．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解为___________． 9．（24-25八年级下·广东江门·期末）如图，若直线与直线相交于点，当时请写出x的取值范围为______． 10．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，一次函数与的图象交于点下列结论：①；②；③；④当时，；⑤正确的有______填写序号 三、解答题 11．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B． (1)求B点坐标，以及该一次函数的解析式． (2)若该一次函数的图象与x轴交于D点；求的面积． 12．（24-25八年级下·广东广州·期末）已知点，及第一象限的动点，且，设，的面积分别为，． (1)分别求出，关于的函数解析式，以及相应的取值范围； (2)请判断是否成立？如果成立，求此时点坐标；如果不成立，请说明理由； (3)画出的函数图象，并根据图象回答时，的取值范围． 13．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图所示，一次函数的图象经过点A，与函数的图象交于点B，点B的横坐标为1． (1)方程组的解是 ， ， ； (2)求代数式的值． 14．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在平面内找一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点的坐标． 15．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“新函数”，一次函数为“新函数”的“关联函数”．“新函数”的图象记为直线，它的“关联函数”的图象记为直线． 例如：“新函数”的“关联函数”为． (1)直接写出“新函数”的“关联函数”表达式； (2)请说明：直线，直线与y轴的交点是同一个点； (3)如图，若“新函数”的表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； (4)“新函数”的表达式为．若直线，直线与轴围成的图形面积为9，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 地 城 考点02 实际问题与一次函数 一、单选题 1．（24-25八年级下·福建莆田·期末）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．为了了解其沸点，小聪先在锅中倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（）与油温（）对应关系如下表：当加热到时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（　　） 时间t/ 0 10 20 30 40 油温y/ 10 30 50 70 90 A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）根据国家天然气价格形成机制的相关要求，某市居民用天然气价格已上调．调整后，居民每月用气费用元与每月用气量立方米之间的函数图象如图所示，其中段第一阶梯符合正比例函数模型，段第二阶梯符合一次函数模型，则下列说法不正确的是(    ) A．第一阶梯的单价是元/立方米 B．第二阶梯的单价是元/立方米 C．的值为 D．当月用气量为立方米时，费用为元 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相差100件时，此刻的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，拉力与之间的函数表达式为 C．当时，此时石块完全浸入水中 D．当时，此时石块所受浮力不变 二、填空题 5．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图是张老师复印资料时，剩余张数和工作时间的函数关系图象，根据图中提供的信息可以知道，张老师这次刚好复印完资料所需的工作时间为________分钟． 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）本市歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过物品需付13元，以后每增加，需增加托运费1.5元．直接写出托运歇马杏的费用y（元）的函数关系式为_____． 7．（24-25八年级下·山西忻州·期末）某实验室测试新型太阳能充电器，将其置于恒定光照下，每隔两小时记录一次电池电量百分比，得到下表数据． 充电时间/小时 0 2 4 6 8 电池电量百分比 6 22 38 54 70 已知电池电量百分比（单位：）与充电时间（单位：小时）满足一次函数关系．当电池电量达到时，充电时间是_______小时． 8．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图为某公司统计的停车场当日上班时间（8:30至17:30）内的停车数量（图中时间0对应上班时间8:30），已知场内最多可停放240辆汽车，则该停车场当日停满车辆的持续时间为______小时． 9．（24-25八年级下·北京石景山·期末）某校的一生物小组观察某种植物生长情况，得到该植物的高度(单位：)与观察时间(单位：天)的关系如图所示(是线段，射线平行于轴)．给出下面四个结论：    ①从开始观察起，天后该植物停止长高 ②当时，与的关系表达式为 ③观察第天时，该植物的高度为cm ④观察期间，该植物最高为． 上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 10．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图像如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有______． ①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在地时距地面的高度为30米；③乙登山5.5分钟时追上甲：④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米． 三、解答题 11．（24-25八年级下·吉林白山·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘松长高速某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务．甲、乙两组挖掘的长度之和甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲组每天挖掘_______米，乙组每天挖掘_______米； (2)求乙组停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 12．（24-25八年级下·云南保山·期末）“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价多10万元．用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等． (1)求甲型房车、乙型房车的单价分别是多少万元？ (2)若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆．为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少万元？ 13．（24-25八年级下·青海玉树·期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每个便宜10元，某商家用3000元购进的肉粽礼盒和用2400元购进的豆沙粽礼盒数量相同． (1)求每个肉粽礼盒和每个豆沙粽礼盒的进价； (2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A、B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售． B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25个，超过的部分打7折． 该商家计划购买豆沙粽礼盒个，设去厂家购买应付元，去厂家购买应付元．其函数图象如图所示： ①分别求出、与之间的函数关系式； ②若该商家只在一个厂家购买，怎样购买划算？ 14．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）综合与实践 为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究.数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能原汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异.信息如表所示： 参数类型 燃油汽车 新能源汽车 经济类型 燃油 电能 能源容量 油箱容积：50升 电池电量：50千瓦时 能源价格 油价：8元/升 电价：1元/千瓦时 续航里程 500千米 250千米 行驶费用 元/千米 元/千米 据调查，燃油汽车和新能源汽车每年的其他费用分别为4800元和7500元年费用=年行驶费用+年其他费用 (1)设每年行驶里程为xkm，用燃油汽车时，年费用为元，用新能源汽车时，年费用为元.请分别写出，与x之间的关系式； (2)请你通过计算说明，选择哪种汽车的年费用更低？ 15．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 16．（24-25八年级下·上海·期末）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 地 城 考点03 一次函数与几何综合 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，边长为2，若直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·期末）如图①，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿C→A→B运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②，则的长为（    ） A．12 B． C． D．10 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上， 且，， 若直线以每秒1个单位长度的速度向下平移，则经过（    ）秒该直线可将平行四边形的面积平分？ A．6秒 B．秒 C．5秒 D．3秒 5．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点D的坐标为．其中正确的结论是（  ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 6．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，则直线的解析式为______． 8．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点．则点D的坐标为_____． 9．（24-25八年级下·山西大同·期末）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为，点B坐标为，点C是直线上的一个动点，若，则点C的坐标为______ 10．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与正方形交于，两点，与轴交于点，已知点，则点的坐标为______． 11．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为__________． 12．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B为x轴上一点，菱形的边为长2，， 点D是边上一动点 （不与点 O， B重合）， 点E在边上， 且，下列结论：①； ②的大小随点D的运动而变化；③直线 的解析式为 ④的最小值为 其中错误的有__________．（填写序号） 三、解答题 13．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图1，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)如图1，若点E是线段上一动点，过点E作y轴的平行线，交直线于点D，若的面积为5，求点E的坐标； (3)如图2，若点P是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，连接，在点P的运动过程中是否存在的情况，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25八年级下·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于，，作线段的垂直平分线交轴于点，交轴于点，交于点． (1)如图1，求点坐标； (2)如图1，点是轴上的一个动点，是平面内任意一点，以，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，过点作轴的平行线，连接并延长交直线于点，，分别是直线和直线上的动点，求周长的最小值． 15．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知函数（，为常数，），矩形的顶点坐标分别为，，，． (1)点在函数的图象上，则_______； (2)①如图1，若，且函数（，为常数，）图象与矩形交于，，，四点．请问函数图象是否经过定点？若经过，请求出定点坐标，若不经过，请说明理由； ②在①的条件下，若平分矩形的面积，求该函数的解析式； ③若且时，函数图象与矩形恰好有两个公共点，直接写出的取值范围． 16．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，且面积为5． (1)求直线的解析式； (2)若为轴上一个动点，在直线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式 (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标：若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，点Q在直线上，当点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $