期末计算题组10天训练（计算题专项训练）数学北师大版新教材八年级下册

八下数学期末计算题组10天训练（计算题专项训练） 【适用版本：北师大版新教材；训练范围：全册】 第1天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的方程有增根，则a的值是　 　 ． 2．将下列各式分解因式： ①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1）； ②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9． 3．按要求完成计算： （1）解不等式：； （2）解不等式组，并通过数轴确定解集． 4．按要求完成下列各题 （1）解方程：； （2）化简：． 5．先化简：，然后x在﹣2，﹣1，0，1，2五个数中选一个你认为合适的数代入求值． 6．【阅读材料】 我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1（此处可看作在原式上添加“+4﹣4”，也可看作将3拆分为“+4﹣1”）＝（x+2）2﹣12＝（x+2+1）（x+2﹣1）＝（x+3）（x+1）． 【解决问题】 （1）用配方法将x2﹣6x﹣16分解因式； （2）用配方法将x2+2xy+y2+10x+10y+16分解因式； （3）已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，求该等腰三角形的周长． 第2天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则（5a+1）（b﹣2）的值为　 　 ． 2．分解因式： （1）4x2﹣36； （2）x4﹣8x2y2+16y4． 3．解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 4．（1）化简：； （2）解分式方程：． 5．先化简，再求值：，其中﹣3＜a＜2且a为整数，请你选一个合适的整数a并求值． 6．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与；因为，，所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式 　 　 （填“是”或“不是”）分式的“可存异分式”． （2）已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值． （3）若关于x的分式是关于x的分式的“可存异分式”，求m+n的值． 第3天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 　 ． 2．因式分解： （1）x3﹣6x2+9x； （2）a4﹣16． 3．计算： （1）解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组，并求出它的整数解． 4．（1）解方程：； （2）计算：． 5．先化简，再求值：，其中，b＝1． 6．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足0＜x+y＜2，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：（3x+y）+（x+3y）＝（1+a）+3得4x+4y＝4+a，进而，又∵0＜x+y＜2．代入得：，，﹣4＜a＜4，即a的取值范围为﹣4＜a＜4． 你能用小明的方法解决下问题吗？ 已知方程组的解满足﹣1＜x+y≤2． （1）求a的取值范围； （2）求a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？请直接写出a的整数值　 　 ． 第4天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围是 　 ． 2．分解因式： （1）16﹣b2； （2）3ax2﹣6axy+3ay2． 3．（1）解不等式，并把解集表示在数轴上：； （2）解不等式组，并写出所有的整数解：． 4．（1）化简：； （2）解方程：． 5．已知分式． （1）化简这个分式； （2）若a为整数，且A的值也是整数，请你求符合条件的所有a值的和． 6．【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值． 第5天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知分式的值为整数，若a是非负整数，则a的值是　 　 ． 2．因式分解 （1）x3﹣4x2+4x （2）a2（x﹣y）﹣4（x﹣y） 3．解不等式（组），并将解集表示在数轴上： （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 4．（1）化简：； （2）解方程：． 5．已知分式：，，． （1）要使分式有意义，则x的取值范围为 　 ； （2）化简（C+B）÷A，并从1，3，0，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 6．定义：对于两个多项式A、B，若进行因式分解后，有且只有一个公共的一次因式C，则称A、B为“唯一公因式对”．已知：A＝2x2﹣2，B＝x2+2x﹣3． （1）判断A与B是否为“唯一公因式对”，并说明理由． （2）化简代数式：． （3）若x为整数，且（2）中化简后的代数式的值为正整数，求所有满足条件的整数x． 第6天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x的不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是　 　 ． 2．因式分解： （1）a2﹣25； （2）4x3﹣4x2y+xy2． 3．解下列不等式或不等式组： （1）解不等式：5x﹣6≥2x+6，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 4．计算： （1）计算：； （2）解方程： 5．先化简，再求值：，请在﹣1，0，2中选择一个合适的数代入求值． 6．若一个不等式组A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组B对于不等式组A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式组B：﹣1＜x≤5， ①A的解集中点值为　 　 ． ②不等式组B对于不等式组A　 　 （填“是’或“不是”）中点包含． （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之积为120，求n的取值范围． 第7天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的分式方程无解，则m的值为　 　 ． 2．因式分解： （1）4x2﹣64； （2）2x3y+4x2y2+2xy3． 3．回答下列小题： （1）解不等式：． （2）解不等式组：． 4．计算： （1）； （2）． 5．先化简，再求值：，其中2x2+2x﹣3＝0． 6．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． （1）将假分式化为一个整数与一个真分式的和； （2）若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； （3）若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若A＝4a﹣9，B＝b﹣10，求a2+b2+ab的最小值． 第8天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣7，则m的取值范围为　 　 ． 2．分解因式： （1）2a3+8a2+8a； （2）x2（x﹣y）﹣（x﹣y）． 3．解下列不等式（组）： （1）解不等式； （2）解不等式组． 4．分式的计算及解方程： 计算：（1）； 解方程：（2）． 5．先化简，再求值：，其中a满足等式2a2﹣6a﹣3＝0． 6．观察下面的因式分解过程： am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b） 利用这种方法解决下列问题： （1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm （2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状． 第9天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若a≥﹣4，且关于x的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为　 　 ． 2．因式分解： （1）ax2﹣2axy+ay2； （2）m2（m﹣n）+（n﹣m）． 3．解不等式（组）： （1）1，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 4．计算： （1）解方程：； （2）化简：． 5．先化简：，再从﹣1，0，1，2选一个合适的a的值代入求值． 6．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式，，M+N＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k． （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4． ①求G； ②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为　 　 ． 第10天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x的不等式组． （1）若a＝﹣1，则不等式组的整数解是 　 ． （2）若不等式组有解且每一个x的值均不在﹣2≤x≤2的范围中，则a的取值范围是 　 ． 2．因式分解： （1）﹣a2c2﹣c4+2ac3； （2）4（a﹣2b）2﹣16b2． 3．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 4．计算： （1）化简：； （2）解分式方程：． 5．先化简，再求值：，其中． 6．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为（a+b），所以关于x的方程xa+b的解为x1＝a，x2＝b． （1）理解应用：方程的解为：x1＝　5　 ，x2＝　　 ； （2）知识迁移：若关于x的方程x7的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值； （3）拓展提升：若关于x的方程k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+4t3的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八下数学期末计算题组10天训练（计算题专项训练） 【适用版本：北师大版新教材；训练范围：全册】 第1天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的方程有增根，则a的值是　 　 ． 【解答】解：原方程去分母得：a＝4+x﹣2， 即a＝x+2， ∵原方程有增根， ∴x﹣2＝0， ∴x＝2， ∴a＝2+2＝4， 故答案为：4． 2．将下列各式分解因式： ①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1）； ②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9． 【解答】解：①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1） ＝（x﹣1）（x2﹣16） ＝（x﹣1）（x+4）（x﹣4）； ②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9 ＝（m﹣n）2+6（m﹣n）+9 ＝（m﹣n+3）2． 3．按要求完成计算： （1）解不等式：； （2）解不等式组，并通过数轴确定解集． 【解答】解：（1）； 去分母得3（x+1）﹣2（2x﹣3）≥6， 去括号得3x+3﹣4x+6≥6， 移项合并得﹣x≥﹣3， 解得x≤3； （2）， 解不等式2x+4＞0得x＞﹣2， 解不等式3x﹣4≤2+x得x≤3， 在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3． 4．按要求完成下列各题 （1）解方程：； （2）化简：． 【解答】解：（1）方程两边同乘x﹣2，得1＝x﹣1﹣3（x﹣2），即1＝x﹣1﹣3x+6， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0，x＝2是增根， 所以原方程无解； （2） ． 5．先化简：，然后x在﹣2，﹣1，0，1，2五个数中选一个你认为合适的数代入求值． 【解答】解： ， • ， ∵x+2≠0，x+1≠0，x﹣2≠0， ∴x≠﹣2，﹣1，2， ∴当x＝0时，原式1； 当x＝1时，原式． 6．【阅读材料】 我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1（此处可看作在原式上添加“+4﹣4”，也可看作将3拆分为“+4﹣1”）＝（x+2）2﹣12＝（x+2+1）（x+2﹣1）＝（x+3）（x+1）． 【解决问题】 （1）用配方法将x2﹣6x﹣16分解因式； （2）用配方法将x2+2xy+y2+10x+10y+16分解因式； （3）已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，求该等腰三角形的周长． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣6x+9）﹣9﹣16 ＝（x﹣3）2﹣25 ＝（x﹣3）2﹣52 ＝（x﹣3﹣5）（x﹣3+5） ＝（x﹣8）（x+2）； （2）原式＝[（x+y）2+10（x+y）+25]﹣25+16 ＝（x+y+5）2﹣9 ＝（x+y+5）2﹣32 ＝（x+y+5﹣3）（x+y+5+3） ＝（x+y+2）（x+y+8）； （3）由条件可得（a2﹣4a+4）+（b2﹣2b+1）﹣4﹣1+5＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0， ∵（a﹣2）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴（a﹣2）2＝0，（b﹣1）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝2，b＝1， 若该等腰三角形的三边长为2，1，1， ∵1+1＝2，不满足三角形的三边关系， ∴不能构成三角形，舍去； 若该等腰三角形的三边长为2，2，1， ∵2+1＞2， ∴可构成三角形， ∴此时等腰三角形的周长为2+2+1＝5． 第2天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则（5a+1）（b﹣2）的值为　 　 ． 【解答】解：由3x﹣a＜7， 得x； 由x﹣2b＞﹣3， 得x＞2b﹣3． ∴2b． 又∵﹣1＜x＜2， ∴2b﹣3＝﹣1， 2， 解得b＝1，a＝﹣1 ∴（5a+1）（b﹣2）＝﹣4×（﹣1）＝4． 故答案为：4． 2．分解因式： （1）4x2﹣36； （2）x4﹣8x2y2+16y4． 【解答】解：（1）原式＝4（x2﹣9） ＝4（x+3）（x﹣3）； （2）原式＝（x2﹣4y2）2 ＝（x+2y）2（x﹣2y）2． 3．解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【解答】解：（1）去分母，得3（x﹣2）≥2（7﹣x）， 去括号，得3x﹣6≥14﹣2x， 移项，得3x+2x≥14+6， 合并同类项，得5x≥20， 系数化为1，得x≥4， 在数轴上表示如下： （2）， 解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得x≥﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 在数轴上表示如下： 4．（1）化简：； （2）解分式方程：． 【解答】解：（1）原式 ； （2）两边都乘以3（x+1）得，3x＝2x+3x+3， 解得x， 经检验，x是原方程的解， 所以原方程的解为x． 5．先化简，再求值：，其中﹣3＜a＜2且a为整数，请你选一个合适的整数a并求值． 【解答】解：原式 ＝a﹣2， ∵a≠1，﹣2，﹣3＜a＜2且a为整数， ∴当a＝﹣1时，原式＝﹣3；当a＝0时，原式＝﹣2．（选一个即可）． 6．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与；因为，，所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式 　 　 （填“是”或“不是”）分式的“可存异分式”． （2）已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值． （3）若关于x的分式是关于x的分式的“可存异分式”，求m+n的值． 【解答】解：（1）， ∴分式是分式的“可存异分式”， 故不是的“可存异分式”， 故答案为：不是； （2）①∵A﹣B＝AB， ∴（1﹣B）A＝B， ∴A2； ②∵A为正整数， ∴2为正整数， ∴2，且为整数， ∴x＝1或3或﹣3， 当x＝1时，A＝25； 当x＝3时，A＝23； 当x＝﹣3时，A＝21； 综上，A的值为5或3或1； （3）由题可知B，A， 1+A， ∵A﹣B＝AB， ∴B•， ∴， ∴m﹣n＝3， m2﹣n2﹣（m﹣n）＝（m﹣n）（m+n﹣1）＝﹣1， ∴3（m+n﹣1）＝﹣1 ∴m+n． 第3天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 　 ． 【解答】解：原方程去分母得3x﹣2＝m+x+1， 移项得3x﹣x＝m+1+2， 合并同类项得2x＝m+3， 系数化为1得： ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且． ∴m＜﹣3且m≠﹣5． 故答案为：m＜﹣3且m≠﹣5． 2．因式分解： （1）x3﹣6x2+9x； （2）a4﹣16． 【解答】解：（1）x3﹣6x2+9x ＝x（x2﹣6x+9） ＝x（x﹣3）2； （2）a4﹣16 ＝（a2+4）（a2﹣4） ＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）． 3．计算： （1）解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组，并求出它的整数解． 【解答】解：（1）， 6x﹣1+2≤4x﹣6， 6x﹣4x≤﹣6+1﹣2， 2x≤﹣7， x≤﹣3.5， 将解集表示在数轴上如下： （2）， 由①得：x≥﹣2， 由②得：x＜1， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜1， ∴该不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0． 4．（1）解方程：； （2）计算：． 【解答】解：（1）原方程两边同乘（x﹣3）（x+3）得x（x+3）﹣（x﹣3）（x+3）＝1， 即x2+3x﹣（x2﹣9）＝1， x2+3x﹣x2+9＝1， 3x+9＝1， 3x＝1﹣9， 3x＝﹣8， ， 检验：当时，， ∴原方程的解为； （2）原式 ． 5．先化简，再求值：，其中，b＝1． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 6．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足0＜x+y＜2，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：（3x+y）+（x+3y）＝（1+a）+3得4x+4y＝4+a，进而，又∵0＜x+y＜2．代入得：，，﹣4＜a＜4，即a的取值范围为﹣4＜a＜4． 你能用小明的方法解决下问题吗？ 已知方程组的解满足﹣1＜x+y≤2． （1）求a的取值范围； （2）求a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？请直接写出a的整数值　 　 ． 【解答】解：（1）将方程组两个方程相加：（2x﹣y）+（x+4y）＝（1+2a）+（2+a）， 得 3x+3y＝3+3a，进而x+y＝1+a， 已知﹣1＜x+y≤2， 代入得：﹣1＜1+a≤2， 不等式三边同时减1，得﹣2＜a≤1； （2）整理不等式得x（2a﹣1）＞2a﹣1， 因为不等式的解集为x＜1， 不等号方向改变，根据不等式性质，可得2a﹣1＜0，解得． 结合（1）中a的范围﹣2＜a≤1，得，其中整数为﹣1，0． 故答案为：﹣1，0． 第4天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围是 　 ． 【解答】解：由3x﹣4＞2得，x＞2； 由2x+1＞2a+3得，x＞a+1， 因为关于x的不等式组的解集为x＞2， 所以a+1≤2，即a≤1． 故答案为：a≤1． 2．分解因式： （1）16﹣b2； （2）3ax2﹣6axy+3ay2． 【解答】解：（1）原式＝（4+b）（4﹣b）； （2）原式＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2． 3．（1）解不等式，并把解集表示在数轴上：； （2）解不等式组，并写出所有的整数解：． 【解答】解：（1）， 8﹣7x+1≥6x﹣4， ﹣7x﹣6x≥﹣4﹣8﹣1， ﹣13x≥﹣13， x≤1， 数轴表示如下： ； （2）解不等式3（x﹣2）≥x﹣4得，x≥1， 解不等式得，x＜4， 所以不等式组的解集为1≤x＜4， 则不等式组的整数解为1，2，3． 4．（1）化简：； （2）解方程：． 【解答】解：（1） ； （2）， 方程两边乘3（x+1），得 3x﹣2x＝3（x+1）， 解得， 检验：把代入3（x+1）≠0， ∴分式方程的解为． 5．已知分式． （1）化简这个分式； （2）若a为整数，且A的值也是整数，请你求符合条件的所有a值的和． 【解答】解：（1）由题意得， ； （2）由（1）可得：， ∵a为整数，且A的值也是整数， ∴a＝0或﹣1或2或3， ∴符合条件的所有a值的和为﹣1+0+2+3＝4． 6．【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值． 【解答】解：（1）原式＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1）； （2）原式＝x2+8x+16﹣9 ＝（x+4）2﹣32 ＝（x+4+3）（x+4﹣3） ＝（x+7）（x+1）； （3）原式＝x2﹣4x+4+y2+6y+9+5 ＝（x﹣2）2+（y+3）2+5， ∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴（x﹣2）2+（y+3）2+5≥5， ∴当x＝2，y＝﹣3时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值，最小值为5． 第5天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知分式的值为整数，若a是非负整数，则a的值是　 　 ． 【解答】解： ， ∵a是非负整数， ∴a2+1是正整数， ∵分式的值为整数， ∴a2+1＝1或2， 当a2+1＝1时，a＝0， 当a2+1＝2时，a＝1或a＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴a的值0或1， 故答案为：0或1． 2．因式分解 （1）x3﹣4x2+4x （2）a2（x﹣y）﹣4（x﹣y） 【解答】解：（1）x3﹣4x2+4x ＝x（x2﹣4x+4） ＝x（x﹣2）2； （2）a2（x﹣y）﹣4（x﹣y） ＝（x﹣y）（a2﹣4） ＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）． 3．解不等式（组），并将解集表示在数轴上： （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 【解答】解：（1）， 3x﹣2﹣2x﹣6≤6， x≤14． 不等式组的解在数轴上表示如图所示， ． （2）解不等式3x+5≥8得x≥1， 解不等式2x得x＜3， ∴不等式组的解集为：1≤x＜3， 不等式组的解集在数轴上表示如图所示， ． 4．（1）化简：； （2）解方程：． 【解答】解：（1） ； （2）， 方程两边同时乘（x+2）（x﹣2），得x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8， 去括号，得x2+2x﹣x2+4＝8， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入（x+2）（x﹣2）＝0， ∴x＝2是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 5．已知分式：，，． （1）要使分式有意义，则x的取值范围为 　 ； （2）化简（C+B）÷A，并从1，3，0，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【解答】解：（1）由条件可知x﹣2≠0， 得x≠2， 故答案为：x≠2． （2）（C+B）÷A ； 由于分式A、B、C要有意义，则x≠2， 又∵分式A是除数，故分式A不能为0， ∴x≠0， 故当x＝1时，上式， 当x＝3时，上式， 综上，当x＝1时，（C+B）÷A的值为2；当x＝3时，（C+B）÷A的值为． 6．定义：对于两个多项式A、B，若进行因式分解后，有且只有一个公共的一次因式C，则称A、B为“唯一公因式对”．已知：A＝2x2﹣2，B＝x2+2x﹣3． （1）判断A与B是否为“唯一公因式对”，并说明理由． （2）化简代数式：． （3）若x为整数，且（2）中化简后的代数式的值为正整数，求所有满足条件的整数x． 【解答】解：（1）是，理由如下： 因为A＝2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1），B＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）， 所以A与B有且只有一个公共的一次因式x﹣1， 所以A与B是“唯一公因式对”； （2） ； （3）由（2）知， x+1． 因为该代数式的值为正整数， 所以x+1＝±1或±2， 所以x＝0或﹣2或1或﹣3． 因为x﹣1≠0， 所以x≠1， 所以x＝0或﹣2或﹣3． 当x＝0时，原式＝3， 故x＝0符合题意； 当x＝﹣2时，原式＝2， 故x＝﹣2符合题意； 当x＝﹣3时，原式＝3， 故x＝﹣3符合题意； 综上所述，所有满足条件的整数x为0或﹣2或﹣3． 第6天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x的不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是　 　 ． 【解答】解：由题意，解不等式x﹣2得，x＜3； 解不等式2x﹣5≤3x﹣m得，x≥m﹣5， ∴原不等式组的解集为：m﹣5≤x＜3． ∵不等式组恰好有2个整数解， ∴x＝1，2． ∴0＜m﹣5≤1． ∴5＜m≤6．故答案为：5＜m≤6． 2．因式分解： （1）a2﹣25； （2）4x3﹣4x2y+xy2． 【解答】解：（1）a2﹣25＝（a+5）（a﹣5）； （2）4x3﹣4x2y+xy2 ＝x（4x2﹣4xy+y2） ＝x（2x﹣y）2． 3．解下列不等式或不等式组： （1）解不等式：5x﹣6≥2x+6，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【解答】解：（1）5x﹣6≥2x+6， 5x﹣2x≥6+6， 3x≥12， x≥4， 在数轴上表示为： ； （2）， 由①得，x＞﹣1， 由②得，x＜4， 故不等式组的解集为﹣1＜x＜4， 它的所有整数解为：0，1，2，3． 4．计算： （1）计算：； （2）解方程： 【解答】解（1）原式 ； （2）， 去分母得 3x（x﹣2）﹣2（x+2）＝3（x+2）（x﹣2）， 解整式方程得x＝1， 检验：将x＝1代入（x+2）（x﹣2）得（1+2）×（1﹣2）≠0， ∴x＝1是原方程的解． 5．先化简，再求值：，请在﹣1，0，2中选择一个合适的数代入求值． 【解答】解：原式 ， ∵a+1≠0，a﹣2≠0， ∴a≠﹣1，a≠2， ∴只能选a＝0， 当a＝0时，原式． 6．若一个不等式组A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组B对于不等式组A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式组B：﹣1＜x≤5， ①A的解集中点值为　 　 ． ②不等式组B对于不等式组A　 　 （填“是’或“不是”）中点包含． （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之积为120，求n的取值范围． 【解答】（1）①解不等式组A得，4＜x＜6， ∴不等式组A的解集中点值为， 故答案为：5； ②∵不等式组B：﹣1＜x≤5，不等式组A的解集中点值为5， ∴不等式组B对于不等式组A是中点包含， 故答案为：是； （2）解不等式组C得，m﹣3＜x＜m+5， ∴不等式组C的解集中点值为 解不等式组D得，﹣4＜x＜6， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴﹣4＜m+1＜6 解得﹣5＜m＜5； （3）解不等式组E得，2n＜x＜2m， ∴不等式组E的解集中点值为， 解不等式组F得，， ∴， 解得n＜m＜6， ∴m可取5、4、3、2或m可取5、4、3、2、1， ∴1≤n＜2或0≤n＜1， 即0≤n＜2． 第7天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的分式方程无解，则m的值为　 　 ． 【解答】解：原方程去分母得：mx﹣1﹣5＝x﹣3， 整理得：（m﹣1）x＝3， 当m﹣1＝0时，该方程无解，符合题意， 解得：m＝1， 当m≠1时，原分式方程无解， 那么x﹣3＝0， 即x＝3， 则3（m﹣1）＝3， 解得：m＝2， 综上，m的值为1或2， 故答案为：1或2． 2．因式分解： （1）4x2﹣64； （2）2x3y+4x2y2+2xy3． 【解答】解：（1）4x2﹣64 ＝4（x2﹣16） ＝4（x+4）（x﹣4）； （2）2x3y+4x2y2+2xy3 ＝2xy（x2+2xy+y2） ＝2xy（x+y）2． 3．回答下列小题： （1）解不等式：． （2）解不等式组：． 【解答】解：（1）， 3（2x﹣1）﹣（x+1）≤6， 6x﹣3﹣x﹣1≤6， 6x﹣x≤6+3+1， 5x≤10， x≤2； （2）， 解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜3， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜3． 4．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2）， 方程两边同时乘x（x﹣1），得2+x（x﹣1）＝x2， 去括号，得2+x2﹣x＝x2， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入x（x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 5．先化简，再求值：，其中2x2+2x﹣3＝0． 【解答】解：原式 ＝﹣x（x+1） ＝﹣x2﹣x， ∵2x2+2x﹣3＝0， ∴， ∴原式． 6．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． （1）将假分式化为一个整数与一个真分式的和； （2）若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； （3）若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若A＝4a﹣9，B＝b﹣10，求a2+b2+ab的最小值． 【解答】解：（1） ； （2）∵为正整数，x2≥0， ∴x﹣2＞0， ∴x＞2， ∵， 又∵x＞2，且为整数，为正整数， ∴x﹣2＝1或2或4， ∴x＝3或4或6； （3） ， ∵，， ∴A＝4x﹣1，B＝﹣x﹣2， ∵A＝4a﹣9，B＝b﹣10， ∴4x﹣1＝4a﹣9，b﹣10＝﹣x﹣2， ∴a＝x+2，b＝﹣x+8， ∴a2+b2+ab ＝（x+2）2+（﹣x+8）2+（x+2）（﹣x+8） ＝x2﹣6x+84 ＝（x﹣3）2+75， ∵（x﹣3）2≥0， ∴当x﹣3＝0，即x＝3时，有最小值75， ∴a2+b2+ab的最小值为75． 第8天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣7，则m的取值范围为　 　 ． 【解答】解：解第一个不等式得x， ∵关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣7， ∴﹣4﹣3＝﹣7或﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2＝﹣7， 即它的整数解为﹣4，﹣3或4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， ∴﹣32或23， 解得：10≤m＜15或﹣15≤m＜﹣10， 故答案为：10≤m＜15或﹣15≤m＜﹣10． 2．分解因式： （1）2a3+8a2+8a； （2）x2（x﹣y）﹣（x﹣y）． 【解答】解：（1）原式＝2a（a2+4a+4）＝2a（a+2）2； （2）原式＝（x﹣y）（x2﹣1）＝（x﹣y）（x+1）（x﹣1）． 3．解下列不等式（组）： （1）解不等式； （2）解不等式组． 【解答】解：（1）原不等式去分母得2（x﹣3）+12≤3（2x+5）， 去括号得2x﹣6+12≤6x+15， 移项得2x﹣6x≤15+6﹣12， 合并得﹣4x≤9， 系数化为1得：； （2）解不等式2（x﹣4）＞﹣3得， 解不等式得x≤4， 所以，不等式组的解集为． 4．分式的计算及解方程： 计算：（1）； 解方程：（2）． 【解答】解：（1）原式• ； （2）去分母得：x﹣2＝2x﹣2， 解得：x＝0， 检验：当x＝0时，x﹣1≠0， 所以x＝0是分式方程的解． 5．先化简，再求值：，其中a满足等式2a2﹣6a﹣3＝0． 【解答】解： • • ， ∵2a2﹣6a﹣3＝0， ∴a2﹣3a， ∴原式． 6．观察下面的因式分解过程： am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b） 利用这种方法解决下列问题： （1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm （2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状． 【解答】解：（1）2a+6b﹣3am﹣9bm ＝（2a+6b）﹣（3am+9bm） ＝2（a+3b）﹣3m（a+3b） ＝（a+3b）（2﹣3m）； 或 2a+6b﹣3am﹣9bm ＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm） ＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m） ＝（2﹣3m）（a+3b）； （2）∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0， ∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0， ∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0， ∴（a﹣c）（a﹣b）＝0， ∴a﹣c＝0或a﹣b＝0， ∴a＝c 或 a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． 第9天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若a≥﹣4，且关于x的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为　 　 ． 【解答】解：原方程为3， 去分母得，a+3（x﹣2）＝﹣（x﹣8）， 去括号得，a+3x﹣6＝﹣x+8， 移项得，3x+x＝8+6﹣a， 合并同类项得4x＝14﹣a， x， ∵x是正整数， ∴0，14﹣a能被4整除， ∵分母不为0，x≠2，即2， ∴14﹣a≠8， ∴a≠6， 参数范围a≥﹣4 ∴由0得：14﹣a＞0， ∴a＜14， ∴综上，a的取值范围：﹣4≤a＜14且a≠6，且14﹣a是4的正整数倍， 令 14﹣a ＝ 4k（k 为正整数），则a ＝ 14﹣4k， 结合﹣4≤14﹣4k＜14且14﹣4k≠6，枚举： k＝1：a＝14﹣4＝10，x1（正整数，符合）， k＝2：a＝14﹣8＝6，x2（增根，舍去）， k＝3：a＝14﹣12＝2，x3（正整数，符合）， k＝4：a＝14﹣16＝﹣2，x4（正整数，符合）， k＝5，a＝14﹣20＝﹣6（小于﹣4，舍去）， 符合条件得整数a：10，2，﹣2 求和10+2+（﹣2）＝10， 故答案为：10． 2．因式分解： （1）ax2﹣2axy+ay2； （2）m2（m﹣n）+（n﹣m）． 【解答】解：（1）ax2﹣2axy+ay2 ＝a（x2﹣2xy+y2） ＝a（x﹣y）2； （2）m2（m﹣n）+（n﹣m） ＝m2（m﹣n）﹣（m﹣n） ＝（m﹣n）（m2﹣1） ＝（m﹣n）（m+1）（m﹣1）． 3．解不等式（组）： （1）1，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【解答】解：（1）∵1， ∴6﹣2（2x﹣4）≥3（1﹣5x）， 6﹣4x+8≥3﹣15x， ﹣4x+15x≥3﹣6﹣8， 11x≥﹣11， 则x≥﹣1， 将解集表示在数轴上如下： （2）解不等式①得：x≥﹣3， 解不等式②得：x＜3， 则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，其整数解为﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2． 4．计算： （1）解方程：； （2）化简：． 【解答】解：（1）两边都乘以2x（5x+1），得 6x＝5x+1， 解得x＝1， 经检验，x＝1是原方程的解， 所以原方程的解为x＝1； （2）原式[] ＝（a﹣2）2． 5．先化简：，再从﹣1，0，1，2选一个合适的a的值代入求值． 【解答】解： ． 要使原分式有意义，则， ∴a≠1且a≠2， ∴当a＝0时，原式； 当a＝﹣1时，原式． 6．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式，，M+N＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k． （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4． ①求G； ②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为　 　 ． 【解答】解：（1）∵A+B3， ∴A与B互为“和整分式”，“和整值”k＝3． （2）①∵，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4， ∴， 去分母得：（4x﹣2）（x+3）+G＝4（x+3）（x﹣3）， 整理得：G＝4（x+3）（x﹣3）﹣（4x﹣2）（x+3）＝﹣10x﹣30． ②∵G＝﹣10x﹣30， ∴D． ∵分式D的值为正整数， ∴x﹣3＝﹣1或﹣2或﹣5． 当x﹣3＝﹣1时，x＝2， 当x﹣3＝﹣2时，x＝1， 当x﹣3＝﹣5时，x＝﹣2（舍去）， ∴x值为1或2． 故答案为：1或2． 第10天 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．关于x的不等式组． （1）若a＝﹣1，则不等式组的整数解是 　 ． （2）若不等式组有解且每一个x的值均不在﹣2≤x≤2的范围中，则a的取值范围是 　 ． 【解答】解：解不等式a﹣2（x﹣1）＞5﹣x得x＜a﹣3， 解不等式得x＞2a﹣4， 因此不等式组的解集为 2a﹣4＜x＜a﹣3， （1）当a＝﹣1时，解集为 2×（﹣1）﹣4＜x＜﹣1﹣3，即﹣6＜x＜﹣4， 所以不等式组的整数解为﹣5； （2）∵不等式组有解， ∴2a﹣4＜a﹣3， 解得 a＜1， ∵不等式组的所有x均不在﹣2≤x≤2的范围中， ∴解集2a﹣4＜x＜a﹣3 与﹣2≤x≤2无公共部分，分两种情况讨论 当a﹣3≤﹣2时， 解得a≤1， ∵a＜1， ∴a＜1； 当2a﹣4≥2 时， 解得a≥3， ∵a＜1， 此时无公共解 综上，a的取值范围为a＜1； 故答案为：﹣5，a＜1． 2．因式分解： （1）﹣a2c2﹣c4+2ac3； （2）4（a﹣2b）2﹣16b2． 【解答】解：（1）﹣a2c2﹣c4+2ac3 ＝﹣c2（a2+c2﹣2ac） ＝﹣c2（a﹣c）2； （2）4（a﹣2b）2﹣16b2 ＝4[（a﹣2b）2﹣4b2] ＝4（a﹣2b+2b）（a﹣2b﹣2b） ＝4a（a﹣4b）． 3．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【解答】解：（1）（x﹣1）＜1， 去分母得，x﹣2﹣2（x﹣1）＜2， 去括号得，x﹣2﹣2x+2＜2， 合并同类项得，﹣x＜2， 系数化为1得，x＞﹣2； 在数轴上表示如下图： ； （2）， 解不等式①得，x， 解不等式②得，x≥﹣2， 取公共解集：﹣2≤x． 在数轴上表示如下图： ． 4．计算： （1）化简：； （2）解分式方程：． 【解答】解：（1）原式• •• ； （2）方程两边同时乘以（x﹣2）（x+2）得： 2（x+2）﹣4＝x﹣2， 解得：x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0， ∴x＝﹣2是分式方程的增根，原分式方程无解． 5．先化简，再求值：，其中． 【解答】解： ＝1• ＝1• ＝1• ＝1 ， 当，原式3． 6．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为（a+b），所以关于x的方程xa+b的解为x1＝a，x2＝b． （1）理解应用：方程的解为：x1＝　5　 ，x2＝　　 ； （2）知识迁移：若关于x的方程x7的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值； （3）拓展提升：若关于x的方程k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+4t3的值． 【解答】解：（1）∵xa+b的解为x1＝a，x2＝b， ∴5的解为x＝5或x， 故答案为：5，； （2）∵方程x7， ∴a+b＝7，ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣6＝43； （3）方程k﹣x可化为x﹣1k﹣1， 设y＝x﹣1，方程变形为yk﹣1， ∴y1•y2＝6，y1+y2＝k﹣1， ∴y1＝x1﹣1，y2＝x2﹣1， ∵x1＝t+1，x2＝t2+2， ∴y1＝t+1﹣1＝t，y2＝t2+2﹣1＝t2+1， ∴x﹣1＝t或x﹣1＝t2+1， ∴t（t2+1）＝6，t+t2+1＝k﹣1， ∴k＝t+t2+2，t3+t＝6， k2﹣4k+4t3 ＝k（k﹣4）+4t3 ＝（t+t2+2）（t+t2﹣2）+4t3 ＝t4+6t3+t2﹣4 ＝t（t3+t）+6t3﹣4 ＝6t+6t3﹣4 ＝6（t3+t）﹣4 ＝6×6﹣4 ＝32． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $